Luyện thi cấp tốc đại học 2011 phần hình học – Thầy Đồ – Dạy toán – Học toán

Viết phương trình chính tắc của Parabol có đỉnh là gốc tọa độ, đi qua điểm A và nhận trục hoành làm trục đối xứng.. Vẽ đường tròn và Parabol tìm được trên cùng một hệ trục tọa độ.[r]

GSP 4.06.exe CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT

I Tọa độ

1 Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đơi vng góc với với ba vectơ đơn vị i j,   

ij 1

2 a a a 1; 2 a a i1 a j2

                                                       

; M(x;y)OM xi y j

 

3 Tọa độ vectơ: cho u x y v x y( ; ), ( '; ')

 

a u v  x x y y ';  '

 

b u v x x y y ';  '  

c ku( ; )kx ky 

d u v xx  'yy'

                           

e u v  xx' yy' 0

 

f

2

u  x y

g

 

cos ,

                                

u v u v

u v

4 Tọa độ điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB)

a.ABxB  x yA; B  yA



b.    

2

B A B A

AB x  x  y  y

c G trọng tâm tam giác ABC ta có:

xG=

A B C

x x x

; yG=

A B C

y y y

d M chia AB theo tỉ số k: ;

A B A B

M M

x kx y ky

x y

k k

 

 

 

Đặc biệt: M trung điểm AB: ;

A B A B

M M

x x y y

x   y  

II Phương trình đường thẳng

1 Một đường thẳng  xác định biết điểm M(x0;y0) vectơ pháp tuyến nA B; 



vectơ phương a a b; 



Phương trình tổng quát A x x  0  y y 0  0 Ax By C  0.

Phương trình tham số:

0

x x at

y y bt

 

 

 

 , tR.

Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: yk x x  0 y0.

2 Khoảng cách từ điểm M(xM;yM) đến đường thẳng :Ax By C  0 là:

 ,  AxM 2ByM2 C

d M

A B

 

 

 .

III Phương trình đường tròn

Dạng 1:    

2 2

x a  y b r

Dạng 2: x2 y2  2ax 2by d 0, điều kiện a2 b2  d 0 r a2 b2  d .

2 Điều kiện để đường thẳng : Ax By C  0 tiếp xúc với đường tròn (C) là:

 

2

, Aa Ba C

d I r

A B

 

  

 IV Ba đường conic

Elip

1 Phương trình tắc:

2

2

x y

a  b  , (a>b>0).

2 Các yếu tố: c2 a2  b2, c>0.

Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b.

Hai tiêu điểm F1c;0 , F c2 ;0 .

Bốn đỉnh: đỉnh trục lớn A1a;0 , A a2 ;0 ,

đỉnh trục bé B10;b B, 20;b.

Bán kính qua tiêu điểm: MF1   r1 a exM; MF2 r2  a exM

Tâm sai:

c e

a

 

Đường chuẩn:

a x

e



Khoảng cách hai đường chuẩn:

a d

e



3 Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2a2+B2b2=C2.

Hyperbol

1 Phương trình tắc:

2

2

x y

a  b  , (a>0, b>0).

2 Các yếu tố: c2 a2 b2, c>0.

Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục thực A1A2=2a Độ dài trục ảo B1B2=2b.

Hai tiêu điểm F1c;0 , F c2 ;0 .

Hai đỉnh: đỉnh trục thực A1a;0 , A a2 ;0,

Hai đường tiệm cận:

b

y x

a



Tâm sai:

c e

a

 

x y

F2 F1

B2 B1

A2 A1

O M

y= b ax

y=- b ax

B1 B2

A2 F2 A1

F1

O

y

Đường chuẩn:

a x

e



Khoảng cách hai đường chuẩn:

a d

e



3 Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol là: A2a2B2b2=C2.

Parabol

1 Phương trình tắc: y2 2px, (p>0 gọi tham số tiêu). 2 Các yếu tố:

Một tiêu điểm

;0

p

F 

 , đường chuẩn

p x 

B BÀI TẬP CƠ BẢN

1 Trong mặt phẳng Oxy, tìm phương trình đường trịn có tâm I(1;0) tiếp xúc với đường thẳng (D) 3x–4y + 12 = 0.

2 Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) nhận Ox làm trục đối xứng, qua gốc tọa độ qua điểm

2 ; 2

M .

a Lập phương trình (P).

b Đường thẳng (D) qua điểm E(2;0), song song với đường thẳng:  2xy 10 cắt (P) tại hai điểm F1, F2 Xác định tọa độ F1, F2

c Tính diện tích tam giác có đỉnh nằm đường chuẩn (P), cịn hai đỉnh hai đầu dây qua tiêu điểm song song với trục Oy.

d Tính diện tích hình phẳng giới hạn Parabol (P) với đường thẳng (D). Trong mặt phẳng cho Elip: 9x2 16y2 144

a Tìm tiêu điểm, tiêu cự tâm sai Elip

b Lập phương trình Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ có tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên phải Elip cho

4 Trong mặt phẳng Oxy cho Hyberbol (H) :

2

  y

x

a Tìm tâm sai tiệm cận (H).

b Lập phương trình tiếp tuyến (H) qua điểm M5 ; 4 5 Trong mpOxy cho cho Parabol (P) có phuơng trình : y2 8x

a Tìm tọa độ tiêu điểm phương trình đường chuẩn (P).

b Chứng minh với k 0đường thẳng : kx y k 0 luôn cắt (P) hai điểm

phân biệt

6 Trong mpOxy cho ba điểm A(0;1),B1;1 ,C 2;0

a Tìm tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC viết phương trình đường trịn đó.

b Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ I.

7 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F(3;0) đường thẳng (D) có phương trình 3x–4y+16=0.

a Tính khoảng cách từ điểm F tới (D) Suy phương trình đường trịn có tâm F tiếp xúc với (D).

b Viết phương trình parabol (P) có tiêu điểm F có đỉnh gốc tọa độ O. c Chứng tỏ (P) tiếp xúc với (D), tìm tọa độ tiếp điểm

B2 F2

y

x

8 Trong mặt phẳng Oxy cho Elip : 9x2 25y2 225

a Viết phương trình tắc xác định tiêu điểm, tâm sai Elip

b Một đường tròn (C) có tâm I(0;1) qua điểm A(4;2) Viết phương trình đường trịn và chứng tỏ (C) qua hai tiêu điểm Elip.

9 Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E): x2 3y2 12

a Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm tâm sai Elip (E).

b Cho đường thẳng (D) có phương trình: mx 3y90 Tính m để (D) tiếp xúc với (E).

c Viết phương trình Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ có tiêu điểm tiêu điểm bên trái Elip cho

10 Trong mpOxy cho đường thẳng (D) có phương trình : 4x 3y20 F(2;0) a Viết phương trình Parabol (P) nhận F làm tiêu điểm đỉnh gốc tọa độ. b Tìm khỏang cách từ F đến đường thẳng (D) Tìm tọa độ tiếp điểm.

11 Trong mpOxy cho Elip (E) có phương trình : 9x2 25y2  2250 a Tìm tọa độ tiêu điểm tâm sai (E).

b Viết phương trình đường thẳng (D1) qua F1 và có hệ số góc k = (D2) qua F2 có hệ số góc

k= 1 Chứng tỏ (D1) (D2)

c Viết phương trình đường trịn tâm F2 qua giao điểm hai đường thẳng (D1) (D2) Từ suy

ra (D1) tiếp xúc với đường tròn

12 Trong mpOxy cho F(0;3) đường thẳng (D) : 3x 4y160 a Lập phương trình đường tròn tâm F tiếp xúc với (D).

b Lập phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F có đỉnh gốc tọa độ Chứng tỏ (P) tiếp xúc với (D) Tìm tọa độ tiếp điểm.

13 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường Hypebol với phương trình : 3x2 – y2 = 12.

a Tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tâm sai phương trình đường tiệm cận hypebol b Tìm giá trị tham số k để đường thẳng y = kx cắt hypebol nói

14 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1;2), B(2;1) C(2;5).

a Viết phương trình tham số đường thẳng AB AC Tính độ dài đoạn thẳng AB AC. b Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC.

15 Trên mặt phẳng Oxy cho Elip có phương trình : x2 + 4y2 = 4.

a Tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm tâm sai elip

b Đường thẳng qua tiêu điểm elíp song song với trục Oy cắt elíp điểm M N Tính độ dài đoạn thẳng MN.

c Tìm giá trị k để đường thẳng y = x + k cắt elíp cho. 16 Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol :

2

  y

x

a Xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, tâm sai tiệm cận hypebol Vẽ hypebol cho

b Tìm giá trị n để đường thẳng y = nx – có điểm chung với hypebol. 17 Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E) có phương trình 3x2 + 5y2 = 30.

a Xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm tâm sai elíp

b Một đường thẳng  qua tiêu điểm F2(2;0) elíp (E), song song với trục tung, cắt elíp (E) tại

2 điểm A B Tính khoảng từ A B tới tiêu điểm F1

18 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;3) B(2;1).

a Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A, B có tâm nằm trục hồnh.

b Viết phương trình tắc Parabol có đỉnh gốc tọa độ, qua điểm A nhận trục hoành làm trục đối xứng Vẽ đường trịn Parabol tìm hệ trục tọa độ

19 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(5;0) B(4;3 2)

b Lập phương trình tắc đường Elíp qua A B. 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình :

36

4 2

  y

x .

a Xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm tâm sai hypebol b Viết phương trình tắc elíp qua điểm 

   

  

3 ;

3

M

có chung tiêu điểm với hypebol cho

21 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho cho đường trịn (C) có phương trình:x2  y2  6x 2y0 a Xác định tọa độ tâm bán kính đường trịn (C).

b Chứng minh : Đường tròn (C) qua gốc tọa độ O Gọi OA đường kính đường trịn, viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) điểm A.

22 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho Elíp (E) :

2

  y

x

a Xác định tọa độ tiêu điểm độ dài trục (E).

b Điểm M thuộc (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng Viết phương trình tiếp tuyến của (E) M.

23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn (C) có phương trình :

3

2

   

 y x y

x .

a Xác định tâm bán kính đường trịn (C).

b Tìm điểm thuộc đường trịn (C) có hồnh độ x = viết phương trình tiếp tuyến các điểm

24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) qua điểm     

4 ;

M

nhận điểm F5;0 làm tiêu điểm

a Viết phương trình tắc hypebol (H).

b Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

1

5x y  .

25 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có khoảng cách đường chuẩn 36 và các bán kính qua tiêu điểm M nằm elip (E) 15.

a Viết phương trình tắc elip (E).

b viết phương trình tiếp tuyến elip (E) điểm M. 26 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho Elíp (E):

2

1 25 16

x y

 

có hai tiêu điểm F F1,

a Cho điểm M(3;m) thuộc (E), viết phương trình tiếp tuyến (E) M m>0. b Cho A B hai điểm thuộc (E) cho AF1BF2 8 Hãy tính AF2BF1

C BÀI TẬP NÂNG CAO

1 (CĐ Khối B_2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường trung

ĐS: A(1;4), B(5;0).

2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) x2 y2 4x4y6 0 đường thẳng :x my 2m

     với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

3 (ĐH_CĐ Khối D_2002)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy, cho elip (E) có phương trình x2 16+

y2

9 =1 Xét điểm M chuyển động tia Ox điểm N chuyển động tia Oy cho đường thẳng MN tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ điểm M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ đó.

ĐS: M(2√7 ;0), N(0;√21), MNmin=7

4 (ĐH_CĐ Khối D_2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 16x điểm A(1; 4).

Hai điểm phân biệt B, C (B C khác A) di động (P) cho góc BAC = 900 Chứng minh rằng

đường thẳng BC qua điểm cố định.

ĐS: Tọa độ điểm cố định I(17;4)

5 (ĐH_CĐ Khối D_2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường trịn (C):

(x1)2+(y2)2=4 đường thẳng d: xy1=0 Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn

(C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’).

ĐS: A(1;0), B(3;2)

6 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x3y – = đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình: x + y + 1= Xác định toạ độ các đỉnh B C tam giác ABC.

7 Cho F1, F2 tiêu điểm trái, tiêu điểm phải hypebol (H) Điểm M thuộc (H) có hồnh độ xM = 5 và

1

9 41

;

4

MF  MF 

Lập phương trình tắc hypebol

8 (ĐH_CĐ Khối D_2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho điểm C(2;0) elip

(E): x2 +

y2

1=1 Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác đều.

ĐS: A(2

7; 4√3

7 ), B( 7;−

4√3

7 ) A( 7;−

4√3 ), B(

2 7;

9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng: d1: x+y +3=0, d2: xy 4=0, d3: x2y =0 Tìm

tọa độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần

khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 ĐS: M(22;11), (2;1).

10.(ĐH_CĐ Khối D_2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y22x2y+1=0 và

đường thẳng d: xy+3=0 Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường trịn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C), tiếp xúc ngồi với đường tròn (C).

ĐS: M1(1;4), M2(2;1)

11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành điểm B thuộc trục tung cho A và B đối xứng với qua đường thẳng d: x 2y+3=0. ĐS: A(2;0), B(0;4).

12.(ĐH_CĐ Khối D_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C): (x1)2+(y+2)2=9 và

đường thẳng d: 3x4y+m=0 Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB đều.

ĐS: m=19, m=41

13.(ĐH_CĐ Khối D_2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) trung điểm

của cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x2y3=0 và 6xy4=0 Viết phương trình đường thẳng AC.

ĐS: AC: 3x4y+5=0

14.(Khối A_2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm

của hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng : x+y5=0 Viết phương trình đường thẳng AB.

ĐS: AB: y5=0; x4y+19=0

15.(Khối A_2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết

rằng (E) có tâm sai √5

3 hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20. ĐS: x

2

9 +

y2

4 =1

16.(Khối A_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(2;2) C(4;2).

Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N trung điểm cạnh AB BC Viết phương trình đường trịn qua điểm H, M, N.

ĐS: x2+y2x+y2=0

17.(Khối A_2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1: x+y+3=0, d2: xy4=0, d3:

x2y=0 Tìm tọa độ điểm M mằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1

bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2

ĐS: M1(22;11), M2(2;1)

18.(Khối A_2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1: xy=0 d2: 2x+y1=0 tìm

tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc trục

hoành

ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;1), D(2;0) A(1;1), B(2;0), C(1;1), D(0;0)

19.(Khối A_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) B(−√3;− 1) Tìm tọa độ

trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

20 (Khối A_2002) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC √3 x − y −√3=0 , đỉnh A B thuộc trục hồnh bán kính đường trịn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC.

ĐS: G(7+4√3

3 ;

6 +2√3

3 ) G(

−4√3 − 1

3 ;

− −2√3

3 )

21.(Khối B_2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): (x2)2+y2=4/5 hai đường

thẳng 1: xy=0, 2: x7y=0 Xác định tọa độ tâm K bán kính đường trịn (C1); biết đường tròn (C1)

tiếp xúc với đường thẳng 1, 2 tâm K thuộc đường tròn (C).

ĐS: K(85;45), R=25√2

22.(Khối B_2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết rằng hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H(1;1), đường phân giác góc A có phương trình xy+2=0 đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y1=0.

ĐS: C(−103 ;34) 23.(Khối B_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;2) đường thẳng: d1: x+y2=0,

d2: x+y8=0 Tìm tọa độ điểm B C thuộc d1 d2 cho tam giác ABC vuông cân A.

ĐS: B(1;3), C(3;5) B(3;1), C(5;3)

24.(Khối B_2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đương tròn (C): x2+y22x6y+6=0 điểm

M(3;1) Gọi T1 T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng

T1T2

ĐS: T1T2: 2x+y3=0

25.(Khối B_2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) B(6;4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hoành điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B 5.

ĐS: (C1): (x2)2+(y1)2=1 (x2)2+(y7)2=49

26.(Khối B_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) B(4;3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x2y1=0 cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB 6.

ĐS: C1(7 ; 3) ,C2(−

43 11 ;−

27 11 ) 27.(Khối B_2003) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,

¿ BAC

^

❑=900 ¿

Biết M(1;1) là trung điểm cạnh BC G(2

3;0) trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C. ĐS: A(0;2), B(4;0), C(2;2) 28.(Khối B_2002) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1

2;0) , phương trình đường thẳng AB x2y+2=0 AB=2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hồnh độ âm

ĐS: A(2;0), B(2;2), C(3;0), D(1;2)