Bài tập BDHSG Hình phần I

BDHSG Hình học 9 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập hình học Phần I. Bài 1. Cho hình thang cân ABCD (AD//BC). Gọi M và N tơng ứng là trung điểm của đáy BC và AD. Trên AB kéo dài về phía A lấy điểm P bất kỳ, PN cắt BD tại Q. Chứng minh rằng MN là phân giác của góc PMQ. Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 1, 00 60 ,105 == BA . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Từ E kẻ ED//AB (D AC). Chứng minh rằng: 3 411 22 =+ ACAD Bài 3. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a. Gọi R và R lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác BAD và ABC. Chứng minh rằng: 222 4 ' 11 aRR =+ Bài 4. Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC kẻ tia Cx //AB và tia Cy sao cho tia Cx nằm ở phần trong góc Bcy. Một đờng thẳng bất kỳ qua B cắt Cx, Cy lần lợt tại D và E. Gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng EF luôn đi quan 1 điểm cố định. Bài 5. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. C là một điểm bất kỳ thuộc nửa đờng tròn. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = 2.CA. Nối BD cắt đờng tròn ở F. Đờng thẳng vuông góc với BD tại D cắt tiếp tuyến tại A của nửa đờng tròn ở E. Chứng minh tam giác CED cân. Bài 6. Cho hình vuông ABCD. Đờng tròn đờng kính CD và đờng tròn tâm A cắt nhau tại M (M không trùng D). Chứng minh rằng đờng thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định. Bài 7. Cho điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn (O; R). Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn tại B và C. Xác định vị trí của d để tổng AB + AC nhỏ nhất. Bài 8. Cho đờng thẳng d và (O, R) không giao nhau. A là điểm chuyển động trên d. Vẽ tiếp tuyến AB, AE của đờng tròn (O) (B và E là các tiếp điểm). a, Chứng minh rằng BE luôn đi qua 1 điểm cố định. b, C là một điểm trên đoạn OA sao cho AC = 4 1 OA. Đờng thẳng vuông góc với OA vẽ từ C cắt AB tại D. Xác định vị trí của A sao cho AD.AB nhỏ nhất. Bài 9. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R. M là một điểm tùy ý trên đ- ờng tròn. a, Chứng minh rằng MA 4 + MB 4 + MC 4 + MD 4 = 24R 4 . b, Chứng minh MA . MB . MC . MD < 6R 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Trung Bình THCS Cao Xuân Huy Diễn Châu BDHSG Hình học 9 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên 2 cạnh AB và AD lần lợt lấy 2 điểm di động E và F sao cho: AE + EF + FA = 2a. a, Chứng minh rằng đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn cố định. b, Tìm vị trí của EF sao cho S CEF lớn nhất. Bài 11. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đờng tròn. Từ một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ 2 với nửa đờng tròn cắt Ax, By lần l- ợt tại C và D. a, Xác định vị trí của M để 3.AC + BD nhỏ nhất. b, Tìm giá trị nhỏ nhất của S = S ACM + S BDM. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Trung Bình THCS Cao Xuân Huy Diễn Châu BDHSG Hình học 9 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Một số bài toán về yếu tố cố định Toán quỹ tích Bài 1. Cho đờng tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn. B là điểm chuyển động trên đờng tròn. Qua O dựng đờng thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại M, cắt tiếp tuyến Bx tại D. Chứng minh rằng khi B thay đổi trên đờng tròn thì D luôn thuộc một đờng cố định. Bài 2. Cho đờng tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn. Cát tuyến d qua A cắt đờng tròn (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn (O) cắt nhau tại D. Tìm quỹ tích điểm D. Bài 3. Cho điểm A chuyển động trên cung lớn BC cố định của (O; R). Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 4. Cho đờng tròn (O; R) và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với (O). Đờng thẳng d quay quanh A cắt (O) tại 2 điểm C và D. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác BCD. Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A cố định nội tiếp đờng tròn (O;R). Điểm M di động trên cạnh BC. Gọi D là tâm đờng tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B, E là tâm đờng tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C. Gọi I là trung điểm của DE Tìm quỹ tích điểm I Bài 6. Cho đờng tròn (O), điểm A cố định trên đờng tròn. Trên tiếp tuyến tại A lấy điểm B cố định. Gọi (O) là đờng tròn tiếp xúc với AB tại B có bán kính thay đổi. Gọi I là trung điểm của dây chung CD của hai đờng tròn trên. Chứng minh rằng điểm I luôn thuộc một đờng cố định. Bài 7. Cho đờng tròn tâm O cố định ngoại tiếp tam giác ABC, trong đó A cố định, cạnh BC thay đổi thỏa mãn BH.CH = 3.AH 2 (H là hình chiếu của A trên BC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M luôn thuộc một đờng cố định. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Trung Bình THCS Cao Xuân Huy Diễn Châu . trên cạnh BC. G i D là tâm đờng tròn i qua M và tiếp xúc v i AB t i B, E là tâm đờng tròn i qua M và tiếp xúc v i AC t i C. G i I là trung i m của DE Tìm. tích i m I B i 6. Cho đờng tròn (O), i m A cố định trên đờng tròn. Trên tiếp tuyến t i A lấy i m B cố định. G i (O) là đờng tròn tiếp xúc v i AB t i B