Đang tải... (xem toàn văn)
- Bài tập 1: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân. Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác[r]
(1)Giải tốn Bài 9: Tính chất ba đường cao tam giác
Trả lời câu hỏi Toán Tập Bài trang 81: Dùng eke vẽ đường cao tam giác ABC
Hãy cho biết ba đường cao tam giác có qua điểm hay khơng
Lời giải
Ta vẽ đường ba đường cao tam giác ABC hình vẽ
Ba đường cao : AH, BI, CK
Dựa vào hình vẽ ta thấy ba đường cao tam giác qua điểm
Trả lời câu hỏi Toán Tập Bài trang 82: Hãy phát biểu chứng minh trường hợp lại nhận xét (xem tập)
(2)- Bài tập 1: Nếu tam giác có đường trung trực đồng thời đường phân giác tam giác tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa đường trung trực vừa đường phân giác
AI đường trung trực ⇒ AI ⊥ BC I trung điểm BC
Xét hai tam giác vng ΔABI ΔACI có:
AI chung
∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI phân giác góc BAC)
⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vng)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân A
- Bài tập 2: Nếu tam giác có đường trung trực đồng thời đường cao tam giác tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa đường trung trực vừa đường cao
⇒ AI ⊥ BC I trung điểm BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI ΔACI có:
(3)IB = IC ( I trung điểm BC)
⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vng)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân A
- Bài tập 3: Nếu tam giác có đường phân giác đồng thời đường cao tam giác tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa đường phân giác vừa đường cao
AI đường cao ⇒ AI ⊥ BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI ΔACI có:
AI chung
∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI phân giác góc BAC)
⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vng)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân A
- Bài tập 4: Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường cao tam giác tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa đường trung tuyến vừa đường cao
AI đường cao ⇒ AI ⊥ BC
AI đường trung tuyến ⇒ I trung điểm BC
Xét hai tam giác vng ΔABI ΔACI có:
AI chung
IB = IC ( I trung điểm BC)
⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vng)
(4)⇒ ΔABC cân A
Bài 58 (trang 83 SGK Tốn tập 2): Hãy giải thích trực tâm tam giác vuông trùng với đỉnh góc vng trực tâm tam giác tù nằm bên tam giác
Lời giải:
+ Xét ΔABC vuông A
AB ⏊AC ⇒ AB đường cao ứng với cạnh AC AC đường cao ứng với cạnh AB
hay AB, AC hai đường cao tam giác ABC
Mà AB cắt AC A
⇒ A trực tâm tam giác vuông ABC
Vậy: trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc vng
+ Xét ΔABC tù có góc A tù, đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H
(5)Vậy E nằm A B
⇒ tia CE nằm tia CA tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngồi ΔABC
+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ΔABC
+ Trực tâm H giao BF CE ⇒ H nằm bên ΔABC
Vậy : trực tâm tam giác tù nằm bên tam giác
Kiến thức áp dụng
+ Ba đường cao tam giác đồng quy điểm Do xác định trực tâm ta cần xác định giao hai đường cao
+ Định lý tổng ba góc tam giác : Trong tam giác, tổng ba góc 180o
Bài 59 (trang 83 SGK Toán tập 2): Cho hình 57
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50o, tính góc MSP góc PSQ
Hình 57
Lời giải:
a) Trong ΔMNL có:
(6)MQ ⊥ NL nên MQ đường cao ΔMNL
Mà LP, MQ cắt điểm S
Nên: theo tính chất ba đường cao tam giác, S trực tâm tam giác
⇒ đường thẳng SN đường cao ΔMNL
hay SN ⊥ ML
b)
+ Ta có : tam giác vng, hai góc nhọn phụ nên :
ΔNMQ vng Q có:
Bài 60 (trang 83 SGK Toán tập 2): Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J I K)
Kẻ đường thẳng l vng góc với d J Trên l lấy điểm M khác với điểm J Đường thẳng qua I vng góc với MK cắt l N
Chứng minh KN ⊥ IM
(7)l ⊥ d J, M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ đường cao ΔMKI
N nằm đường thẳng qua I vng góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN đường cao ΔMKI
IN MJ cắt N
Theo tính chất ba đường cao ta giác ⇒ N trực tâm ΔMKI
⇒ KN đường cao ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI
Vậy KN ⏊ IM
Kiến thức áp dụng
Trong tam giác, ba đường cao đồng quy điểm trực tâm tam giác
Bài 61 (trang 83 SGK Tốn tập 2): Cho tam giác ABC không vuông Gọi H trực tâm
a) Hãy đường cao tam giác HBC Từ trực tâm tam giác
b) Tương tự, trực tâm tam giác HAB HAC
(8)Gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ A, B, C ΔABC
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB
a) ΔHBC có :
AD ⊥ BC nên AD đường cao từ H đến BC
BA ⊥ HC F nên BA đường cao từ B đến HC
CA ⊥ BH E nên CA đường cao từ C đến HB
AD, BA, CA cắt A nên A trực tâm ΔHCB
b) Tương tự :
+ Trực tâm ΔHAB C (C giao điểm ba đường cao : CF, AC, BC)
+ Trực tâm ΔHAC B (B giao điểm ba đường cao : BE, AB, CB)
Kiến thức áp dụng
Dựa vào định lí : Ba đường cao tam giác qua điểm
(9)Lời giải:
+ TH1: Xét ΔABC vng A có đường cao AD, BA, CA
BA, CA hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B C ΔABC
AB = AC ⇒ ΔABC cân A (đpcm)
+ TH2: Xét ΔABC khơng có góc vng, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)
(10)BC (cạnh chung)
CE = BD (giả thiết)
⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền - cạnh góc vng)
+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa)
CE = BD ⇒ ΔABC cân A (như cmt) ⇒ AB = AC
CE = AF ⇒ ΔABC cân B (như cmt) ⇒ AB = BC:
⇒ AB = AC = BC