đề thi HSG huyện Điện Bàn 10-11

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐIỆN BÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9. NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Vòng I) Ngày thi: 25/ 11/ 2010. Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1. 1/ Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 2 thì các số có dạng 2 5p − không chia hết cho 8. 2/ Cho A = 2n + 1; B = ( 1) 2 n n+ (với * n ∈ ¥ ). Tìm ƯCLN(A; B)? Bài 2. Cho hàm số y = f(x) = 2 1 5 m x m m x m + + − − (với m > 0). 1/ Vẽ đồ thị hàm số y. 2/ Biết x 1 = 6 2 5 6 2 5 − + + và 2 3 2 2 3 2 2 17 12 2 17 12 2 x − + = + − + . Hãy so sánh f(x 1 ) và f(x 2 )? Bài 3. 1/ Tìm x biết (2 + 3 ) x + (2 − 3 ) x = 4 2/ Cho biểu thức A(x, y) = x 2 + 59 − 10xy + 14x − 76y + 26y 2 . Với giá trị nào của x, y biểu thức A(x, y) đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Bài 4. 1/ Cho ∆ ABC nhọn có: H là trực tâm và D là chân đường cao vẽ từ A. Chứng minh rằng DH. DA 1 4 ≤ BC 2 . 2/ Cho đường thẳng (d) cắt đường tròn tâm O tại hai điểm A và B. Từ một điểm M bất kỳ trên (d) và nằm miền ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MP và MQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng khi M di động trên (d) (M nằm miền ngoài đường tròn) thì đường tròn ngoại tiếp ∆ MPQ luôn đi qua hai điểm cố định. b) Xác định vị trí của M để ∆ MPQ đều? c) Giả sử góc PMQ bé hơn 90 0 , từ P kẻ PN vuông góc với QM tại N. Chứng minh rằng 2 MN PM 1 2 QN PQ   + =  ÷   HẾT PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐIỆN BÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9. NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Vòng I) Ngày thi: 25/ 11/ 2010. HƯỚNG DẪN VẮN TẮT ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1. 1/ Giả sử p 2 - 5 = 8k ( k ∈ ¥ ), p > 2 ⇒ p: lẻ ⇒ p = 2m +1 ( m ∈ ¥ ) ⇒ (2m +1) 2 - 5 = 8k ⇒ 4m 2 + 4m + 1 - 5 = 8k ⇒ m 2 + m = 2k + 1. Vế trái là tích cuả 2 số tự nhiên liên tiếp nên là số chẵn. Vế phải là số lẻ. Vô lý ⇒ KLuận (1 điểm) 2/ Đặt d = ƯCLN(A; B) = (2n + 1; ( 1) 2 n n+ ) (với * n ∈ ¥ ) ⇒ d! 2n + 1 và d ! ( 1) 2 n n+ ⇒ d! (2n + 1)n và d !2n(n + 1) ⇒ d! 2n(n + 1) - n(2n + 1) = 2n 2 + 2n - 2n 2 - n = n ⇒ d! 2n. Mà d! (2n + 1) ⇒ d! 2n + 1 - 2n = 1. Vậy ƯCLN(A; B) = 1 (1 điểm) Bài 2. 1/ Ta có: y = f(x) = 2 1 5 m x m m x m + + − − (với m > 0) ⇒ y = ( ) 2 1 5m m x   + − −  ÷   ⇒ y = ( ) 1 5m m x+ − − ⇒ y = 5x− (0,5 điểm) Vẽ đồ thị hàm số y = 5x − : + Đồ thị hàm số y là một đường thẳng đi qua 2 điểm sau: - Điểm cắt trục tung x = 0 ⇒ y = - 5 A(0; -5) - Điểm cắt trục hoành y = 0 ⇒ x = 5 B(5; 0) (0,25 điểm) + Vẽ đúng 2 trục toạ độ và đường thẳng AB. (0,25 điểm) 2/ x 1 = 6 2 5 6 2 5 − + + = ( ) ( ) 2 2 5 1 5 1 − + + = . . . = 2 5 (0,25 đ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 2 3 2 2 x − + = + − + 2 1 2 1 3 2 2 3 2 2 − + = + − − = . . . = 2 2 (0,25 đ) ⇒ x 1 > x 2 và hàm y đồng biến trên ¡ (0,25 đ). Vậy f(x 1 ) > f(x 2 ) (0,25 điểm) Bài 3. 1/ (2 + 3 ) x + (2 − 3 ) x = 4 ⇒ ( ) ( ) 1 2 3 4 2 3 x x + + = + ⇒ ( ) ( ) 2 2 3 4 2 3 1 0 x x   + − + + =     ⇒ ( ) 2 2 3 2 3 0 x   + − − =     (0,25 đ) ⇒ ( ) ( ) 2 3 2 3 . 2 3 2 3 0 x x     + − + + − − =         ⇒ . . . ⇒ KLuận: x = ± 1(0,75 điểm) 2/ A(x, y) = x 2 + 59 − 10xy + 14x − 76y + 26y 2 = (x 2 − 10xy + 25y 2 ) + (y 2 − 6y + 9) + (14x − 70y) + 50 (0,25 điểm) = (x − 5y) 2 + (y − 3) 2 + 14(x − 5y) + 50 (0,25 điểm) A(x, y) = (x − 5y + 7) 2 + (y − 3) 2 +1 Mà: (x − 5y + 7) 2 ≥ 0 ; (y − 3) 2 ≥ 0 ⇒ A(x, y) min ⇒ x − 5y + 7 = 0 và y − 3 = 0(0,25 đ) Vậy: A(x, y) min = 1 với x = 8 và y = 3 (0,25 điểm) Bài 4. Hình vẽ ghi 0,25 điểm 1/ Xét ∆ ADB và ∆ CDH, có: ADB = CDB = 90 0 và BAD = HCD ⇒ ∆ ADB ∆ CDH (g-g) (0,25 điểm) ⇒ DA DC DB DH = ⇒ DH.DA = DB.DC ≤ 2 DB DC 2 +    ÷   Vậy: DH.DA ≤ 1 4 BC 2 (0,5 điểm) 2/ Hình vẽ phục vụ + Câu a và b ghi (0,25 điểm) + Câu c ghi (0,25đ) a) Kẻ OH ⊥ AB (H ∈ AB) · OPM = 90 0 ⇒ P nằm trên đường tròn đường kính OM · OQM = 90 0 ⇒ Q nằm trên đường tròn đường kính OM ⇒ ∆ MPQ nội tiếp đường tròn đường kính OM (0,25 điểm) · OHM = 90 0 ⇒ H nằm trên đường tròn đường kính OM (0,25 điểm) ⇒ O và H cố định ⇒ Đường tròn ngoại tiếp ∆ MPQ luôn đi qua hai điểm cố định là O và H. (0,25 điểm) b) ∆ MPQ đều ⇒ · QMP = 60 0 (0,25 điểm) ⇒ OM = 2R (0,25 điểm) ⇒ Kluận: M cách O một khoảng bằng 2R thì ∆ MPQ đều (0,25 điểm) c) Gọi E là điểm đối xứng của Q qua M ⇒ ∆ PQE vuông tại P ⇒ PQ 2 = QN.QE (0,25 đ) ⇒ PQ 2 = 2QN.QM = 2QN.PM ⇒ 2 PQ QN = 2PM (0,25 điểm) Và: MN = QM - QN = 2 PQ PM - 2PM = 2 2 2PM -PQ 2PM (0,25 điểm) ⇒ 2 2 MN 2PM -PQ QN 2PM.QN = ⇒ 2 2 2 MN 2PM -PQ QN PQ = . Vậy: 2 MN PM 1 2 QN PQ   + =  ÷   (0,25 điểm) A B C D H d O A B M P Q H E N . PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐIỆN BÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9. NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Vòng I) Ngày thi: 25/ 11/ 2010. Thời gian. HẾT PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐIỆN BÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9. NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Vòng I) Ngày thi: 25/ 11/ 2010. HƯỚNG DẪN