PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐIỆN BÀNKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9.. Thời gian làm bài: 150 phút Không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1.. Chứng minh rằng DH.. Từ một điểm M bất kỳ
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐIỆN BÀN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Vòng I) Ngày thi: 25/ 11/ 2010
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1.
1/ Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 2 thì các số có dạng p 2 5 không chia hết cho 8
2/ Cho A = 2n + 1; B = ( 1)
2
n n
(với n ) Tìm ƯCLN(A; B)?*
Bài 2 Cho hàm số y = f(x) = x m 2 m 1 5 m x
m
(với m > 0).
1/ Vẽ đồ thị hàm số y
2/ Biết x1 = 6 2 5 6 2 5 và 2 3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2
Hãy so sánh f(x1) và f(x2)?
Bài 3.
1/ Tìm x biết (2 + 3 ) x + (2 3 )x = 4
2/ Cho biểu thức A(x, y) = x2 + 59 10xy + 14x 76y + 26y2 Với giá trị nào
của x, y biểu thức A(x, y) đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 4
1/ Cho ABC nhọn có: H là trực tâm và D là chân đường cao vẽ từ A Chứng minh rằng DH DA 1
4
BC2 2/ Cho đường thẳng (d) cắt đường tròn tâm O tại hai điểm A và B Từ một điểm
M bất kỳ trên (d) và nằm miền ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MP và MQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng khi M di động trên (d) (M nằm miền ngoài đường tròn) thì đường tròn ngoại tiếp MPQ luôn đi qua hai điểm cố định
b) Xác định vị trí của M để MPQ đều?
c) Giả sử góc PMQ bé hơn 900, từ P kẻ PN vuông góc với QM tại N Chứng minh rằng
2
1 2
HẾT
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐIỆN BÀN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Vòng I) Ngày thi: 25/ 11/ 2010
HƯỚNG DẪN VẮN TẮT ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1.
1/ Giả sử p2 - 5 = 8k ( k ), p > 2 p: lẻ p = 2m +1 ( m )
(2m +1)2 - 5 = 8k 4m2 + 4m + 1 - 5 = 8k m2 + m = 2k + 1 Vế trái là tích cuả 2
số tự nhiên liên tiếp nên là số chẵn Vế phải là số lẻ Vô lý KLuận (1 điểm)
2/ Đặt d = ƯCLN(A; B) = (2n + 1; ( 1)
2
n n
) (với n ) *
d! 2n + 1 và d ! ( 1)
2
n n
d! (2n + 1)n và d !2n(n + 1) d! 2n(n + 1) - n(2n + 1)
= 2n 2 + 2n - 2n 2 - n = n d! 2n Mà d! (2n + 1) d! 2n + 1 - 2n = 1.
Bài 2 1/ Ta có: y = f(x) = x m 2 m 1 5 m x
m
(với m > 0)
y = m12 m x 5
y = m 1 m x 5 y =x 5 (0,5 điểm)
Vẽ đồ thị hàm số y =x 5 :
+ Đồ thị hàm số y là một đường thẳng đi qua 2 điểm sau:
- Điểm cắt trục tung x = 0 y = - 5 A(0; -5)
- Điểm cắt trục hoành y = 0 x = 5 B(5; 0) (0,25 điểm)
+ Vẽ đúng 2 trục toạ độ và đường thẳng AB (0,25 điểm)
2/ x1 = 6 2 5 6 2 5 = 5 1 2 5 1 2 = = 2 5 (0,25 đ)
3 2 2 3 2 2
= = 2 2 (0,25 đ)
x1 > x2 và hàm y đồng biến trên (0,25 đ) Vậy f(x1) > f(x2) (0,25 điểm)
Bài 3 1/ (2 + 3 )x + (2 3 )x = 4
1
x
x
2 3x2 4 2 3x 1 0
2 3x 22 3 0
Trang 3 2 3x 2 3 2 3x 2 3 0
2/ A(x, y) = x2 + 59 10xy + 14x 76y + 26y2
= (x2 10xy + 25y2) + (y2 6y + 9) + (14x 70y) + 50 (0,25 điểm)
= (x 5y)2 + (y 3)2 + 14(x 5y) + 50 (0,25 điểm)
A(x, y) = (x 5y + 7)2 + (y 3)2 +1
Mà: (x 5y + 7)2 0 ; (y 3)2 0 A(x, y)min x 5y + 7 = 0 và y 3 = 0(0,25 đ)
Vậy: A(x, y)min = 1 với x = 8 và y = 3 (0,25 điểm) Bài 4 Hình vẽ ghi 0,25 điểm
1/ Xét ADB và CDH, có: ADB = CDB = 900
và BAD = HCD ADB CDH (g-g) (0,25 điểm)
DB DH DH.DA = DB.DC
2
DB DC 2
Vậy: DH.DA 1
4 BC
2 (0,5 điểm)
2/
Hình vẽ phục vụ
+ Câu a và b
ghi (0,25 điểm)
+ Câu c ghi (0,25đ)
a) Kẻ OH AB (HAB)
OPM = 900 P nằm trên đường tròn đường kính OM
OQM = 900 Q nằm trên đường tròn đường kính OM
MPQ nội tiếp đường tròn đường kính OM (0,25 điểm)
OHM = 900 H nằm trên đường tròn đường kính OM (0,25 điểm)
O và H cố định Đường tròn ngoại tiếp MPQ luôn đi qua hai điểm cố định là
b) MPQ đều QMP = 600 (0,25 điểm) OM = 2R (0,25 điểm)
Kluận: M cách O một khoảng bằng 2R thì MPQ đều (0,25 điểm)
c) Gọi E là điểm đối xứng của Q qua M PQE vuông tại P
PQ2 = QN.QE (0,25 đ) PQ2 = 2QN.QM = 2QN.PM
2
PQ
QN =
Và: MN = QM - QN =
2
PQ
PM -2PM =
2PM - PQ
MN 2PM - PQ
QN 2PM.QN
2
MN 2PM - PQ
QN PQ Vậy:
2
1 2
(0,25 điểm)
A
D H
d
O
A
P
Q H
E
N
