PHềNG GIO DC & O TO HNG LNH THI CHN I TUYN CASIO Lp 9 THCS nm hc 2010 2011 Thi gian: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 13/12/2010 Bi 1. a) Tớnh giỏ tr ca biu thc ly kt qu vi 2 ch s phn thp phõn : N= 321930+ 291945+ 2171954+ 3041975 b) Tớnh giỏ tr ca biu thc M vi = 25 0 30', = 57 o 30 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 M= 1+tg 1+cotg + 1-sin 1-cos . 1-sin 1-cos (Kt qu ly vi 4 ch s thp phõn) Bi 2. Mt ngi gi tit kim 100 000 000 ng (tin Vit Nam) vo mt ngõn hng theo mc k hn 6 thỏng vi lói sut 0,65% mt thỏng. a) Hi sau 10 nm, ngi ú nhn c bao nhiờu tin (c vn v lói) ngõn hng. Bit rng ngi ú khụng rỳt lói tt c cỏc nh k trc ú. b) Nu vi s tin trờn, ngi ú gi tit kim theo mc k hn 3 thỏng vi lói sut 0,63% mt thỏng thỡ sau 10 nm s nhn c bao nhiờu tin (c vn v lói) ngõn hng. Bit rng ngi ú khụng rỳt lói tt c cỏc nh k trc ú. (Kt qu ly theo cỏc ch s trờn mỏy khi tớnh toỏn) Bi 3 . Cho A =2000.2001.2002.2004.2005.2006.2007.2008.2009.2010. Tớnh s s c nguyờn dng ca A khụng chia ht cho 100 000. Bi 4. Gii phng trỡnh (ly kt qu vi cỏc ch s tớnh c trờn mỏy) : x+178408256-26614 x+1332007 + x+178381643-26612 x+1332007 1= Bài 5 Cho P(x) = x 3 + ax 2 + bx - 1 a) Xác định số hữu tỉ a và b để x = 57 57 + là nghiệm của P(x); b) Với giá trị a, b tìm đợc hãy tìm các nghiệm còn lại của P(x). Bi 6. 1. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn. Chỳng minh rng tng ca bỡnh phng cnh th nht v bỡnh phng cnh th hai bng hai ln bỡnh phng trung tuyn thuc cnh th ba cng vi na bỡnh phng cnh th ba. 2. Bi toỏn ỏp dng : Tam giỏc ABC cú cnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm v ng cao AH = h = 2,75cm. a) Tớnh cỏc gúc A, B, C v cnh BC ca tam giỏc. b) Tớnh di ca trung tuyn AM (M thuc BC) c) Tớnh din tớch tam giỏc AHM. (gúc tớnh n phỳt ; di v din tớch ly kt qu vi 2 ch s phn thp phõn. Bi 7. Cho dóy s vi s hng tng quỏt c cho bi cụng thc : ( ) ( ) n n n 13+ 3 - 13- 3 U = 2 3 vi n = 1, 2, 3, , k, a) Tớnh U 1 , U 2 ,U 3 ,U 4 ,U 5 ,U 6 ,U 7 ,U 8 b) Lp cụng thc truy hi tớnh U n+1 theo U n v U n-1 c) Lp quy trỡnh n phớm liờn tc tớnh U n+1 theo U n v U n-1 Bi 8: Tỡm cỏc s chớnh phng bit rng: Cn bc hai s hc ca s cn tỡm l mt s cú 9 ch s tho món ng thi hai iu kin sau: 1. S to thnh bi ba ch s u bng s to thnh bi ba ch s cui v bng na s to thnh bi ba ch s cũn li (theo ỳng th t y); 2. L bỡnh phng ca tớch bn s nguyờn t khỏc nhau. A B C H M ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1. (5 điểm) a) N = 567,87 2,5 điểm b) M = 1,7548 2,5 điểm Bài 2.(5 điểm) a) Theo kỳ hạn 6 tháng, số tiền nhận được là : 20 a 3,9 T =100 000 000 1+ = 214 936 885,3 100 ÷ đồng 2,5 điểm Theo kỳ hạn 3 tháng, số tiền nhận được là : 40 1,89 T =100 000 000 1+ = 211 476 682,9 100 b ÷ đồng 2,5 điểm Bài 3. (4 điểm) Phân tích được A = 12 5 5 3 2 .3 .5 .7 .11.13.17.23.29.41.59.67.167.223.251.401 1.0 điểm Số số ước dương của A = 13.6.6.4.2 12 = 7 667 712 1.0 diểm B = 100 000 = 2 5 .5 5 suy ra A = B ( 7 5 3 2 .3 .7 .11.13.17.23.29.41.59.67.167.223.251.401 ) Vậy số số ước của A không chia hết cho B là: 13.6.6.4.2 12 - 8.6.4.2 12 = 6 881 200 ước 2.0 điểm Bài 4. (5 điểm) X 1 = 175744242 1.5 điểm X 2 = 175717629 1.5 điểm 175717629 < x <175744242 2 điểm Bài 5. (5 điểm) a) Ta thay vào: a =-13 ; b = 13 2.5 điểm b) 1 2 3 1; 6 35 11.91607978; 6 35 0.083920216x x x= = + ≈ = − ≈ ; 2.5 điểm Bài 6 (6 điểm) 1. Chứng minh (2 điểm) : 2 2 2 a b = +HM +AH 2 ÷ 0,5 điểm 2 2 2 a c = -HM +AH 2 ÷ 0,5 điểm ( ) 2 2 2 2 2 a b +c = +2 HM +AH 2 0,5 điểm 2 2 2 2 a a b +c =2m 2 + 0,5 điểm 2. Tính toán (4 điểm) B = 57 o 48’ 0,5 điểm C = 45 o 35’ 0,5 điểm A = 76 o 37’ 0,5 điểm BC = 4,43 cm 0,5 điểm AM = 2,79 cm 1 điểm S AHM = 0,66 cm 2 1 điểm Bài 7 (5 điểm) a) U 1 = 1 ; U 2 = 26 ; U 3 = 510 ; U 4 = 8944 ; U 5 = 147884 U 6 = 2360280 ; U 7 = 36818536 ; U 8 = 565475456 2 điểm b) Xác lập công thức : U n+1 = 26U n – 166U n-1 1.5 điểm c) Lập quy trình ấn phím đúng 1.5.điểm 26 Shift STO A x 26 - 166 x 1 Shift STO B Lặp lại dãy phím x 26 - 166 x Alpha A Shift STO A x 26 - 166 x Alpha B Shift STO B Bài 8: (5 điểm) Kết quả (Tìm được 1 số đúng 2,5 điểm) Có hai số chính phương thoả mãn bài toán là: 83855585460167521; 130843066447414321 5 điểm Hướng dẫn chấm thi : 1. Bảo đảm chấm khách quan công bằng và bám sát biểu điểm từng bài 2. Những câu có cách tính độc lập vàđã có riêng từng phần điểm thì khi tính sai sẽ không cho điểm 3. Riêng bài 3 và bài 8, kết quả toàn bài chỉ có một đáp số. Do đó khi có sai số so với đáp án mà chỗ sai đó do sơ suất khi ghi số trên máy vào tờ giấy thi, thì cần xem xét cụ thể và thống nhất trong Hội đồng chấm thi để cho điểm. Tuy nhiên điểm số cho không quá 50% điểm số của bài đó. 4. Khi tính tổng số điểm của toàn bài thi, phải cộng chính xác các điểm thành phần của từng bài, sau đó mới cộng số điểm của 8 bài (để tránh thừa điểm hoặc thiếu điểm của bài thi) 5. Điểm số bài thi không được làm tròn số để khi xét giải thuận tiện hơn. Lời giải chi tiết Bài 1 (5 điểm) a) Tính trên máy được :N = 567,8659014 ≈ 567,87 b) Có thể rút gọn biểu thức 4 4 1+cosαsin β M= cosαsinβ hoặc tính trực tiếp M = 1,754774243 ≈ 1,7548 Bài 2 (5 điểm) a) - Lãi suất theo định kỳ 6 tháng là : 6 x 0,65% = 3,90% - 10 năm bằng 10 x 12 =20 6 kỳ hạn Áp dụng công thức tính lãi suất kép, với kỳ hạn 6 tháng và lãi suất 0,65% tháng, sau 10 năm, số tiền cả vốn lẫn lãi là : 20 a 3,9 T =10000000 1+ = 214936885,3 100 ÷ đồng b) Lãi suất theo định kỳ 3 tháng là : 3 x 063% = 1,89% 10 năm bằng 10 x 12 =40 6 kỳ hạn Với kỳ hạn 3 tháng và lãi suất 0,63% tháng, sau 10 năm số tiền cả vốn lẫn lãi là : 40 a 1,89 T =10000000 1+ = 21147668,2 100 ÷ đồng Bài 4 (6 điểm)Xét từng số hạng ở vế trái ta có : ( ) 2 x + 178408256 - 26614 x+1332007 1332007 13307x= + − Do đó : 178408256 26614 1332007 1332007 13307x x x + − + = + − Xét tương tự ta có : 178381643 26612 1332007 1332007 13306x x x + − + = + − Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình sau : 1332007 13307 1332007 13306 1x x+ − + + − = Đặt 1332007y x= + , ta được phương trình : |y – 13307| + |y – 13306| = 1 (*) + Trường hợp 1 : y ≥ 13307 thì (*) trở thành (y – 13307) + (y – 13306) = 1 Tính được y = 13307 và x = 175744242 + Trường hợp 2 : y ≤ 13306 thì (*) trở thành –(y – 13307) – (y – 13306) = 1 Tính được y = 13306 và do đó x = 175717629 + Trường hợp 3 : 13306 < y < 13307, ta có 13306 < 1332007 < 13307x + Đáp số : 175717629 ≤ x ≤ 175744242) Bài 7 (4 điểm) a) Dễ thấy · BAH = α ; · AMB = 2α ; · ADB = 45 o + α Ta có : AH = ABcosα = acosα = 2,75cos37 o 25’ = 2,184154248 ≈ 2,18 (cm) o o os 2,75 os37 25' 2,203425437 2,20( ) sin(45 ) sin(45 ) sin82 25' o o AH ac c AD cm α α α = = = = ≈ + + o o os 2,75 os37 25' 2,26976277 2,26( ) sin 2 ) sin 2 sin 74 50' AH ac c AM cm α α α = = = = ≈ b) ( ) 1 . 2 ADM S HM HD AH= − HM=AH.cotg2α ; HD = AH.cotg(45 o + α) Vậy : ( ) 2 2 o 1 os cotg2 cotg(45 + ) 2 ADM S a c α α α = − ( ) 2 2 o o 1 2,75 os 37 25' cotg74 50' cotg82 25' 2 o ADM S c= − = 0,32901612 ≈ 0,33cm 2 Bài 8 (6 điểm) 1. Giả sử BC = a, AC = b, AB = c, AM = m a .Ta phải chứng minh:b 2 + c 2 = 2 a m + 2 2 a Kẻ thêm đường cao AH (H thuộc BC), ta có: AC 2 = HC 2 + AH 2 ⇒ b 2 = 2 2 a HM + ÷ + AH 2 AB 2 = BH 2 + AH 2 ⇒ c 2 = 2 2 a HM − ÷ + AH 2 Vậy b 2 + c 2 = 2 2 a + 2(HM 2 + AH 2 ). Nhưng HM 2 + AH 2 = AM 2 = 2 a m Do đó b 2 + c 2 = 2 2 a m + 2 2 a (đpcm) 2. a) sin B = h c = 2,75 3,25 ⇒ B = 57 o 47’44,78” b) sin C = h b = 2,75 3,85 ⇒ C = 45 o 35’4,89”; A = 180 o – (B+C) ⇒ A= 76 o 37’10,33” BH = c cos B; CH = b cos C ⇒ BC = BH + CH = c cos B + b cos C ⇒ BC = 3,25 cos 57 o 48’ + 3,85 cos 45 o 35’ = 4,426351796 ≈ 4,43cm b) AM 2 = 2 2 2 2( ) 4 b c BC+ − ⇒ AM 2 = 2 2 2 1 2( ) 2 a b BC+ − = 2,791836751 ≈ 2,79cm c) S AHM = 1 2 AH(BM – BH) = 1 2 .2,75 1 4,43 3.25 cos 57 48' 2 o − ÷ = 0,664334141 ≈ 0,66cm 2 Bài 9 (5 điểm) a) U 1 = 1 U 5 = 147884 U 2 = 26 U 6 = 2360280 U 3 = 510 U 7 = 36818536 U 4 = 8944 U 8 = 565475456 b) Đặt U n+1 = a.U n + b.U n-1 Theo kết quả tính được ở trên, ta có: 510 .26 .1 26a 510 8944 .510 .26 510a 26 8944 a b b a b b = + + = ⇔ = + + = Giải hệ phương trình trên ta được: a = 26,b = -166 Vậy ta có công thức: U n+1 = 26U n – 166U n-1 c) Lập quy trình bấm phím trên máy CASIO 500MS: Ấn phím: 26 Shift STO A x 26 - 166 x 1 Shift STO B Lặp lại dãy phím c b m a A B C H M x 26 - 166 x Alpha A Shift STO A x 26 - 166 x Alpha B Shift STO B