Chúng tôi xin đề xuất một hướng giải quyết trong trường hợp biểu thức cần đánh giá là đẳng cấp.[r]
(1)Câu 1. [2D3-2.4-4] (Chuyên Vinh Lần 2)Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp ¡ thỏa mãn
(1) (1)
f = ¢ = f(1- x)+x f x2 ¢¢( ) 2= x
với x RỴ Tính tích phân
0
( ) I =ịxf x dx¢
A I = 1 B I = 2 C
1
I =
D
2
I =
Phân tích lỗi đề câu 45
Ta có: Thay x = vào 0 f(1- x)+x f x2 ¢¢( ) 2= x ta f( )1 =0
( )
2
(1 ) ( ) 2 ( ) ( )
f - x +x fÂÂx = xị - f¢ - x + xf¢¢x +x f¢¢¢x =
Khi f ¢ =-(1)
Sửa đề (Thầy Nguyễn Việt Hải – Tổ trưởng tổ STRONG)
Câu 2. [2D3-2.4-4] (Chuyên Vinh Lần 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n ¡ thỏa mãn
(1 ) ( )
f - x +x f x¢¢ = x với xỴ ¡ Tính tích phân
1
0
( ) I =ịxf x dx¢
A I =- 1 B I = 1 C
1
I =
D
1
I
=- Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm
Chọn A
Ta có: Thay x = vào 0 f(1- x)+x f x2 ¢¢( ) 2= x ta f( )1 =0
( )
2
(1 ) ( ) 2 ( ) ( )
f - x +x f¢¢x = xị - f - x + xfÂÂx +x fÂÂÂx =
Khi f ¢ =-(1)
1
2
0
(1 ) ( ) (1 ) ( ) dx dx
f - x +x f x¢¢ = xÛ ịéëêf - x +x f x¢¢ úùû =ị x
( ) ( )
1
0
(1 )d 1-x ( )dx
f x f¢ xf x¢
Û - ị - + - ò = ( )
1
0
dx ( )dx
f x xf x¢
Û ị - ị =
Đặt
( )
0
dx J =ịf x
, ta có:
( ) ( )
1 1
1
0
0 0
( )d ( )d ( )d
I =ịxf x x xf x¢ = - òf x x= f - òx x =-J
Do ta có hệ phương trình:
2
1
J I I
I J J
ì - = ì
=-ï ï
ï Û ï
í í
ï =- ï =
ï ï
ỵ ỵ
Vậy
0
( )
I =ịxf x dx¢ =-
Câu 3. [2D3-2.4-4] (Chun Vinh Lần 2) Cho hàm số f x( )liên tục ¡ thoả mãn ( ) (1 ) 3(1 ),
f x +f - x =x - x " Ỵ ¡x
f( )0 =0 Tính
0
d x I =úxfđỗ ữốố ứốộ ựứứx
(2)A
1 10
- B
1
20. C
1
10. D
1 20
- Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm
Chọn A
Từ giả thiết ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 ,
f x +f - x =x - x " ẻx Ă ị f =
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
3
0 0
1
d d d d
20 40
f x x+ f - x x= x - x x= Þ f x x=
ị ị ò ò
2
0
d x I =úxfđỗ ữốố ứốộ ựứứx
, đặt
d d
d d
2
u x u x
x x
v f x v f
ì = ì =
ï ï
ï ï
ï ï
ï ổ ử ị ù ổ ử
ớ Âỗ ữ ỗ ữ
ù = ỗ ữ ù = ç ÷
ï çè ø÷ ï çè ø÷
ï ï
ï ï
ỵ ỵ
Nên
( ) ( )
2 2
0 0
2
2 d d d d
0
2 2 10
x x x x
I = xfố ứỗỗổ ửỗ ữữữ - ũ xỗố ứỗổ ửỗ ữữữf= x- ũ ỗổ ửỗố ứỗfữữữ =-x ũ ỗỗỗổ ửố ứf t tữữữ =- ũ =-
Câu 4. [2D3-2.4-4] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số f x( ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục [0;2] Biết f( )0 =1 ( ) ( )
2
2 x x
f x f - x =e
với xỴ [0;2] Tính tích phân
( ) ( )
( )
3
2
0
3 '
d
x x f x
I x
f x -=ò
A
14
I
=- B
32
I
=- C
16
I
=- D
16
I
=- Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm
Chọn D
Từ giả thiết ( ) ( ) 2
2 x x
f x f - x =e
-, thay x ta 2 f( )2 =1
Ta có
( ) ( ) ( )
3
2
0
3 '
d
x x f x
I x
f x -=ò
Đặt
( ) ( )
( )
( )
3
2
3 d 3 6 d
'
d d ln
u x x u x x x
f x
v x v f x
f x
ìï = - ì
ï ï =
-ï ï
ï Þ ï
í í
ï = ï =
ï ïïỵ
ïïỵ
Khi đó: ( )
( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 ln ln d
I = x - x f x - ò x - x f x x
( ) ( )
2
0
3 x lnx f x xd 3J
=- ò -
(do f( )2 =1), với ( )
( )
2
0
2 ln d
J =ò x - x f x x Đặt x= - thì2 t
( ) ( ) ( ) ( )
0
2
2
2 2 ln d
(3)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
2 2
2
2 x 2 x ln f x d x x lnx f x xd
é ù
=òêë - - - úû - - =ò -
-Suy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
0 0
2J =ò x - lnx f x xd +ò x - lnx f 2- x xd =ò x - lnx f x f 2- x xd
( ) ( )( )
2
2 2
0
32 16
2 ln d 2 d
15 15
x x
x x e - x x x x x x J
=ò - =ò - - = Þ =
Vậy
16
5
I =- J
=-
Câu 5. [2D3-2.4-4] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục ,
0 0, 0
f f
và thỏa mãn hệ thức
. 18 3 6 1 ,
f x f x x x x f x x f x x
Biết
1
2
0
1 f xd x e x a e b
, với ;a b Giá trị a b bằng.
A 1. B 2. C 0 D
2 3.
Lời giải
Tác giả: Đặng Mai Hương; Fb: maihuongpla
Chọn A
Ta có
2
18
f x f x x x x f x x f x
. 18 d 3 6 1 d
f x f x x x x x f x x f x x
2
1
6 d d
2 f x x x x x f x x
2
1
6
2 f x x x x f x C
, với C số.
Mặt khác: theo giả thiết f 0 nên C 0
Khi
2
1
6 ,
2 f x x x x f x x .
1 f2 x 12x3 6x2 2x f x
f x 2x f x 6x2 0
2
f x x
f x x
.
Trường hợp 1: Với f x 6 ,x2 , ta có x f 0 (loại).0
Trường hợp 2: Với f x 2 ,x x , ta có :
1
1 1
2
0 0
1
1 d d d
2 4
x x
f x x x e e
x e x x e x x e
(4)3
4 1
1
a
a b b
.
Câu 6. [2D3-2.4-4] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f x xác định có đạo hàm f x liên tục đoạn 1;3 , f x với x 1;3 , đồng thời
1 2 2 1
f x f x f x x
f 1
Biết
1
d ln f x x a b
, ,a b , tính tổng S a b
A S 0 B S 1 C S 2 D S 4
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai
Chọn B
Ta có:
2
1
f x f x f x x
2
2
1
1
f x f x
x f x
Lấy nguyên hàm vế ta được:
2
2
1
d
f x f x
x x dx
f x
2
2
1
d
f x f x f x
x x dx
f x
3
4
1
1 1
2 d
3 x
f x C
f x f x f x
3
3
1
1 1
3
x
C
f x f x f x
3
2
3
1 3
3
f x f x x
C f x
Mà f 1 nên
1 3
3 C C
.
Suy ra:
3
2
3
1 3 1
3 3
f x f x x
f x
3
2
3
1 3 1
3 3
f x f x x
f x
3
3
1
1 f x
x f x
3
3
1 1 x
f x
1
f x x
Vậy:
3
3
1 1
1
d d ln ln
f x x x x
x
(5)Câu 7. [2D3-2.4-4] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm
f x
có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f 2 =0,
2
2
1
1 d
45 f x x
và
2
1
1
1 d
30 x f x x
Tính
2
1
d I f x x
A
1 36
I
B
1 15
I
C
1 12
I
D.
1 12
I
Lời giải
Tác giả:Vũ Nam Sơn; Fb: Vũ Nam Sơn
Chọn D
Xét:
2
1
1 d
Ex f x x Đặt
2
d d
d d
2
u f x x
u f x
x
v x x v
2 2 2
1
2
1 1
d d
1
2 2
x x x
E f x f x x f x x
2
1
1
d
2 30
x
f x x
2
2
1
1
1 d
15 x f x x
Ta có:
2
4
1
1 d
5 x x
2
2
1
1
d
45 f x x
Ta tìm số k để
2 2
2
1
1 d
f x k x x
2 2 2
2
2 2
1 1
1 d d d d
f x k x x f x x k f x x x k x x
2
1 1
2
45 k 15 k k
Khi đó:
2
2
1
1 1
1 d 1
3
f x x x f x x f x x C
Mà
2
3
1
1 1 1
2 d d
9 9 9 12
f C f x x f x x x x
Câu 8. [2D3-2.4-4] (Sở Nam Định) Cho hàm số yf x có đạo hàm đến cấp hai liên tục Biết tiếp tuyến với đồ thị yf x điểm có hồnh độ x 1, x 0, x 1 tạo với chiều dương trục Ox góc 30°, 45, 60
Tính tích phân
0
3
1
' '' d ' '' d
I f x f x x f x f x x
A
25
I
B I 0 C
1
I
D
3
I
Lời giải
(6)Chọn A
Vì tiếp tuyến với đồ thị yf x điểm có hồng độ x 1, x 0, x 1 tạo với chiều dương trục Ox góc 30°, 45, 60 nên hệ số góc tiếp tuyến lần
lượt là:
3
' tan 30
3
f
, f ' 0 tan 45 , f ' 1 tan 60
Ta có:
0
3
1
' '' d ' '' d
I f x f x x f x f x x
Đặt tf x' dtf '' x xd Đổi cận
3
1 '
3
0 '
1 '
x t f
x t f
x t f
1
3
1
3
d + d
I t t t t
2
4
3
= 3
2
3 t
t
25
3
Câu 9. [2D3-2.4-4] (THTT số 3) Cho hàm số f x xác định, liên tục thoả mãn
1 1
f x x f x x
6
6x 12x 6x 2, x
Tính tích phân
1
3
f x dx
A 32 B 4 C 36. D 20.
Lời giải
Tác giả: Trần Tín Nhiệm ; Fb: Trần Tín Nhiệm
Chọn D
Đặt a x 3 , ta có x
2
f a f a a
Hàm số f a liên tục xác định .
Lúc ycbt trở thành tính giá trị tích phân
3
f a da
Lấy tích phân hai vế 1 , ta
được
1 1
2
3 3
2 40
f a da f a da a da
Từ tích phân
3
2
f a da
ta đặt t a 2 dtda Khi a 3 t1;a 1 t Tích phân chuyển thành3
1
3
f t dt
, kết hợp với 2 ta suy :
1
3
2 f a da 40 f a da 20
Đây đáp số cần tìm
Câu 10. [2D3-2.4-4] (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1;1 thỏa
1
f , f x 2 4f x 8x2 16x 8
với x thuộc 1;1
Giá trị
1
0
d f x x
(7)A B
3. C
1
5. D
1 Lời giải Chọn A Cách 1.
Đặt
1
1
2 d
I f x x
Dùng tích phân phần, ta có:
d 2d
u f x
v x d d 2
u f x x
v x . 1 1 1
2 2 d 2 d
I x f x x f x x f x f x x
1
2x f x xd
Ta có
2 2
4 16
f x f x x x
1
2
1
d 2 d
f x x f x x
8x 16x dx
1 1
2
1 1
d 2 d 2 d
f x x x f x x x x
1 2 1
8x 16x dx 2x dx
2 d
f x x x
2
f x x
f x x22x C
, C
Mà f 1 0 C3 f x x22x
1
2
0
5
d d
3
f x x x x x
Cách 2.
Chọn
f x ax bx c a 0
(lý do: vế phải hàm đa thức bậc hai)
f x ax b
Ta có:
f x 2 4f x 8x2 16x 8
2ax b 24ax2bx c 8x216x 4a2 4a x 4ab 4b x b 4c 8x2 16x 8
2
2
4
4 16
4 a a ab b b c a b c hoặc a b c .
Do f 1 0 a b c 0 a , 1 b 2 c 3
Vậy f x x22x
1
2
0
5
d d
3
f x x x x x
Câu 11. [2D3-2.4-4] (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f x có đạo hàm thỏa mãn
2 2 1
2 2
1 e
x x
f x f x x
, x f 1 Giá trị e f 5 A 3e12 B 5e 17 C 5e17 D 3e 12
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Như Quỳnh ; Fb: Lê Thị Như Quỳnh
Chọn B
Ta có:
2 2 1 1 ex 2x
f x f x x
2 1
2 2
e e e
x
x x
f x f x x
1 ' 2
e e
x
xf x x
(8)
2
5
2
1
e d = e d
x
xf x x x x
2
5
5 2
2
1
1
e e d e d
x x
xf x x x x
5
1 e f I I *
Xét:
2
2
1 e d
x
I x
Đặt:
2 1 1
2
e d e d
d d
x x
u u x x
v x v x
.
2 15 5 1
2 12
2
2
1
e e d 5e
x x
I x x x I
12 5e
I I
* e5f 5 1 5e12 1 f 5 5e17
Câu 12. [2D3-2.4-4] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số yf x liên tục
0;2
, thỏa điều kiện f 2
2
2
0
2
d d
3 f x x f x x
Giá trị
2
2
d f x
x x
:
A.1 B.2 C.
1
4 D.
1 Lời giải
Tác giả:Nguyễn Trần Tuấn Minh; Fb: Tuấn Minh
Phản biện:Nguyễn Phương Thu;Fb: Nguyễn Phương Thu Chọn C
Đặt
d d
d d
u f x u f x x
v x v x
2 2
2
0
0 0
2
d d d d
3
f x x x f x x f x x x f x x x f x x
Ta lại có:
2
2
2
0
1
d
4 12
x
x x
Do đó:
2
2 2
2 2
0 0
1
d d d d
4 3
f x x x f x x x x f x x x
2 f x x
(vì
2
0
1
d , 0; 2
f x x x x
)
2 1 0
4
f x x C f C C
Vậy
2
2
2
1
1
1 1
d d
4 4
f x
f x x x x x
x
(9)
Khi đề cho biết giá trị f a , f b ,
d b
a
u x f x x h
,
2d b
a
f x x k
(với u x biểu thức chứa x tường minh), đề tìm f x trước tiên ta tìm số cho,
2d
b
a
f x u x x
, suy f x .u x , sau nguyên hàm hai vế để tìm f x
Bài tập tương tự (Nguyễn Phương Thu sưu tầm):
Vd 1: Cho hàm số yf x liên tục 0;1 , thỏa mãn điều kiện f 0 , f 1 ,2
1
2
0
d f x x
Tính
1
0
2018 d J f x x x
Giải:
Ta có:
1
0 0
d 2
f
f x x f
.
Với , xét tích phân:
1 1
2 2 2
0 0
d d d d 2
I f x x f x x f x x x
Ta có: I 0 2 f x 2 f x 2x C
Mà
0
0
1 f
C f x x
f
.
Vậy
1
3 4 2
0
8 2018
2 2018 d 1011
4
J x x x x x
Vd 2: Cho hàm số yf x liên tục đoạn 0;1 , thỏa mãn
1
0
d d
f x x xf x x
1
2
0
d
f x x
Tính giá trị tích phân
1
3
0
d
f x x
Giải:
Ở hàm xuất dấu tích phân
, ,
f x xf x f x
nên ta liên kết với bình phương
2 f x x
Với số thực ta có:,
1 1
2 2
0 0
2
2
d d d d
4
3
f x x x f x x x f x x x x
Cần tìm cho ,
2
2
0
d f x x x
hay
2
2
4
3
(10)
2 3 6 3 6 2 0
Để tồn :
2 2 2
2
3 6 12 12
3 2
Vậy
1
2
0
6 d 2, 0;1 10
f x x x f x x x f x
Câu 13. [2D3-2.4-4] (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1
2 2 6 4 2
4 40 44 32 4, 0;1
f x x f x x x x x
Tích
phân
1
0
f x dx
bằng?
A 23
15 B
13
15 C
17 15
D
7 15
Lời giải
Chọn B
f x 2 4 6 x2 1 f x 40x6 44x4 32x2 4
1 1
2 2 6 4 2
0 0
4 40 44 32
f x dx x f x dx x x x dx
Xét
1
2
0
4 24
I x f x dx x f x dx
Đặt
2
24
u f x du f x dx
dv x dx v x x
.
1
1
3 3
0
0
8 = 4
I x x f x x x f x dx x x f x dx
Do đó:
1 1
2
2 3 3 6 4 2
0 0
1 f x dx 4 x x f x dx 4x 2x dx56x 60x 36x dx
1 2
3
0
4
f x x x dx f x x x f x x x c
Mà f 1 1 c f x x4 x21
Do
1
4
0
13
1
15 f x dx x x dx
Câu 14. [2D3-2.4-4] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho
6
2
0
d d 72
f x x x f x x
Giá trị
1
d f x x
(11)
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phương Mai; Fb: Phương Mai
Chọn B
Cách 1: Ta có:
6
2
0
d d 72
f x x xf x x
;
2
0
d 72 x x
6
2
2
0
2 d d 72 2.72 72
f x xf x x x f x x x
f x x0 f x x
3
1
d d
f x x x x
Cách 2: Ta có:
2
6 6
2 2
0 0
72 xf x xd x xd f x xd 72.72 72
.
Dấu “=” xảy f x kx k 0
6
2
0
d d 72
xf x x kx x k f x x
3
1
d d
f x x x x
Câu 15. [2D3-2.4-4] (Ba Đình Lần2) Hàm số f x có đạo hàm đến cấp hai thỏa mãn:
2 1 3 1
f x x f x
Biết f x , tính 0, x
2
0
2 "
I x f x dx
A. B. C. 4. D. 4.
Lời giải
Ta có:
2
2 2
2
1 , 1 1
1
f x x f x f x x f x
f x x f x
Từ 1 2 2
1 1
f x x x
2
1
2
f x x
f x
2
2
0
4 d 2
I x x x x
Câu 16. [2D3-2.4-4] (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn
' ''
f x f x f x x x
với x f 0 Giá trị f2 1 bằng
A
2 B
9
2 C
16
15 D
8 15 Lời giải
Tác giả:Dương Đức Tuấn; Fb:Dương Tuấn
Chọn C
Ta có:
' '' ' '
f x f x f x f x f x
(12)Suy ra:
3
'
f x f x x x dx x x C
Với f 0 0 C0
Nên ta có: f x f x ' x4x2
Suy ra:
1
1
4 2
0 0
8 16
'
2 15 15
f x
f x f x dx x x dx f
Câu 17. [2D3-2.4-4] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số yf x xác định liên tục \ , biết x f x 1, x 0; f 1 2
x f x 12 x f x f x với 0 x \ Tính 1 d
e
f x x
A
2
e . B
1
e
C
1 e
D
1 e . Lời giải
Chọn A
Tác giả: Lê Văn Hùng; Fb: Lê Văn Hùng
Ta có
2
x f x x f x f x x f x x f x f x
1
x f x f x
x f x
(do x f x 1, ).x
1
1
x C
x f x x f x
Do f 1 nên
1 1
1 C C C
f
Do
2
2
1 1
x
x x f x x f x
x f x x x x
Suy
1
1
1 1
d d ln
e e e
f x x x x
x x x e
Câu 18. [2D3-2.4-4] (THPT Nghèn Lần1) Cho hàm số yf x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1
thỏa mãn f 1 ,
0
1 d
5 x f x x
2
0
9 d
5 f x x
Tính tích phân
0
d I f x x
A.
3
I
B
1
I
C.
1
I
D.
4
I
Lời giải
Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai ; Fb: Hồ Thị Hoa Mai
Chọn C
Xét
0
d Ax f x x
Đặt
2
d d
d d
2
u f x x u f x
x
v x x v
.
1 1 1
2
2
0
0
1 1
d d
2 2
x
A f x x f x x x f x x
1
0
3 d
5 x f x x
(13) Xét
1 1
2 2 2 4
0 0
d d d
f x x k x f x x k x x
1
2
9
2
5 k 5k k
1
trở thành
1 1
2 2 4
0 0
d d d
f x x x f x x x x
1
2
0
3 d
f x x x
1
2
2
0
3 d
f x x f x x x
Do
1
2
2
0
3 d
f x x x f x x
f x 3x2 f x 3 dx x x2 C
1 1
f f x x
1
3
0
1
d d
4 I f x xx x
Câu 19. [2D3-2.4-4] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f(0) 3 f x( )f(2 x)x2 2x2, x R Tích phân
2
0
( )d xf x x
A
4
B
2
3. C
5
3. D
10
Lời giải
Tác giả: Đoàn Thị Hường; Fb: Đoàn Thị Hường
Chọn D Cách 1.
Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta có:
2
2
0
( )d ( ) ( )d xf x x xf x f x x
Từ
2
( ) (2 ) 2,
f x f x x x x R
Thay x 0 vào 1 ta f(0) f(2) 2 f(2) 2 f(0) 3 1
Xét
2
0 ( )d I f x x
Đặt x 2 t dxdt, đổi cận:
0
2
x t
x t
Khi
0 2
2 0
(2 ) (2 ) (2 )
I f t dtf t dt I f x dx
Do ta có
2 2
2
0 0
8
( ) (2 ) d 2 d ( )d ( )d
3
f x f x x x x x f x x f x x
(14)Vậy
2
2
0
4 10
( )d ( ) ( )d 2.( 1)
3
xf x x xf x f x x
Cách 2.( Thầy Nguyễn Ngọc Hiệp đề xuất)
Từ
2
( ) (2 ) 2
(0)
f x f x x x
f
Thay x0;x1 vào 1 ta
1 (2) 1; (1)
2
f f
Xét hàm số
2 ( )
f x ax bx c từ giả thiết ta có
3
1
2
4
c c
a b c a
a b c b
Vậy
2
( ) 3 ( )
2
f x x x f x x
suy
2
0
10
( )d d
3 xf x x x x x
Phân tích, bình luận phát triển tốn
- Đây tốn tích phân hàm ẩn dạng toán mà đề thi hay gặp.
- Trong tốn để tính tích phân
0
( )d xf x x
sử dụng tích phân phần đưa tính tích
phân
0
( )d
f x x
Mặt khác từ biểu thức hàm số cho chứa f x( ) f(2 x), nên ta biến đổi tạo hai biểu thức cách đặt x 2 t
- Để làm toán học sinh cần nắm vững hai phương pháp tính tích phân đổi biến phần.
- Đề xuất số toán tương tự :
Câu PT 43.1. Cho hàm số f x( ) liên tục R thỏa mãn f x( ) ( ) 2 xf x2 x với1 x R
Tính tích phân
0
( )
I xf x dx
A B C 2 D 1
Lời giải Chọn D
Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta có:
1
1
0
( )d ( ) ( )d xf x x xf x f x x
Từ
2
( ) ( ) 1,
f x xf x x x R
Thay x 1 vào 1 ta f(1) (1) 3 f f(1)1
Xét
1
(15)Đặt x t 2 dx2tdt, đổi cận :
0
1
x t
x t
Khi
1
2
0
( ).2 ( )
I f t tdt I xf x dx
Ta có
1
2
0
2 ( ) ( )
I I f x dx xf x dx
1
2
0
( ) ( )
f x xf x dx
1 1
2 0
2x dx x x
2
I I
Vậy
1
1
0
( )d ( ) ( )d 1.( 1) xf x x xf x f x x
Câu PT 43.2. Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn
;1
thỏa mãn
2
2 ( ) ( )
3
f x f x
x
với
2 ;1 x
Tính tích phân
2
ln ( )x f x dx
A
5 ln
3 3 . B
5 ln
3 3 . C
5 ln 3
D
5 ln 3
Lời giải
Tác giả: Đoàn Thị Hường; Fb: Đoàn Thị Hường
Chọn D
Áp dụng công thức tích phân phần, ta có:
1
1
2
3
( ln ( )x f x dx ln ( )x f x f x)dx
x
Từ
2
2 ( ) ( ) , ;1
3
f x f x x
x
Thay x 1 x
vào 1 ta hệ
2
(1) (1) ( )
3
2
2 10 ( )
2 ( ) (1) 3 3
3
f
f f
f
f f
.
Xét
2
d f x
I x
x
Đặt
2
3
x dx dt
t t
, đổi cận :
1
2
3
x t
x t
.
Khi
2
3 2
1
2 ( )
2 3
2
3 f
t t
I dt
t
1
2
3
2
( ) ( )
3 3
f f
t dt x dx
t x
(16)Ta có
1
2
3
2 ( )
( ) 3
2 3
f
f x x
I I dx dx
x x
1 1
2 2
3 3
2
2 ( ) ( ) 5 5 1
3
5
3
f x f x
x
I dx dx dx I
x x
Vậy
1
1
2
3
( 2
ln ( ) ln ( ) )d ln1 (1) ln ( ) ln
3 3 3
f x
x f x dx x f x x f f
x
Câu 20. [2D3-2.4-4] (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho 5 4 d b
a
Px x x
có giá trị lớn với (a b a b ; , ) Khi tính S a2b2
A.S 5 B.S 8 C.S 4 D S 7
Lời giải
Tác giả: ; Fb: Biện Tuyên
Chọn A
Xét hàm số
4 5 4 f x x x
, có
3 10 f x x x
f x 4x3 10x 0
0 10
10
x x x
.
Bảng biến thiên:
(17)Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
4 5 4 0
f x x x với x 2; 1 1;2
Do P có giá trị lớn
2,
1,
a b
a b
.
Vậy Sa2b2 5.
Câu 21. [2D3-2.4-4] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục
đoạn 0; thỏa mãn:
0
d cos d
2
f x x x f x x
1
f
Khi tích phân
2
0
d
f x x
A.0 B 2
C 2
D 2
Lời giải
Tác giả: Đinh Văn Trường; Fb: Đinh Văn Trường
Chọn B
*) Xét tích phân
0
cos d
I x f x x
Đặt
d cos d
u f x
v x x
d d
sin
u f x x
v x
0
sin
I x f x 0sin x f x x d
0
sin x f x xd
Theo giả thiết I
, suy
0
sin d x f x x
*) Tìm số thực k thỏa mãn f x k.sinx Khi
0
.sin d
f x k x x
0
d
f x x
0
2 sin k x f x xd
2
0
sin d
k x x
2
2
2 k k
k2 2k 1 k 1 Từ đó, f x sinx f x sinx f x cosx C
Do
1
f
nên C Vậy 1 f x cosx
*) Ta có
2
0
d
f x x
2
0
cosx dx
0 sin x x
1 2 Trắc nghiệm:
Từ giả thiết
0
d
f x x
0
sin d x f x x
(18)Câu 22. [2D3-2.4-4] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số f x có đạo hàm trên1;
Biết đẳng thức
2
2
( 1)
2 ( 1)
3
x x
f x x f x
x
thỏa mãn x 1; Tính giá trị
0 f .
A. 3 3. B 2 3.
C. D.Chưa đủ kiện tính f 0 Lờigiải
Tácgiả : Nguyễn Thị Bích Ngọc; Fb:Nguyên Thị Bích Ngoc
Chọn B
1;
x
, ta nhân hai vế đẳng thức cho
(x 1) ta được:
2
2
( 1)
2 ( 1)
3
x x
f x x f x
x
2 2
2
( )
1
x x
f x f x
x
x x
.
2
1 ( )
1 3
x x
f x
x x
1
2
0
1
d d
1 3
x x
f x x x
x x
1 1
2
0
1
3
x
f x x
x
0 f
Câu 23. [2D3-2.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số ( )f x liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn
2 ( ) (1f x f x)x 1 x, với x [0;1]. Tích phân
2
0 '
2 x xf dx
A
4 75
B.
4 25
C
16 75
D
16 25
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đắc Hà ; Fb: Nguyễn Đắc Hà.
Chọn C
Đặt 1 x a x 1 a. Khi ta có hệ.
2 1 1
3
5
3 1
f x f x x x
f x x x x x
f x f x x x
Đặt
1
; 0;
2
x
t dt dx x t x t
(19)
1 1
0 0
1
0
0
2 '( )2 '( ) ( ( )) ( ) ( )
4 (1) (x)
1
4
5 4
75 16
75
I t f t dt t f t dt td f t tf t f t dt
f f dx
x x x x dx
Câu 24. [2D3-2.4-4] (Sở Quảng NamT) Cho hàm số f x khơng âm, có đạo hàm đoạn 0;1
thỏa mãn f 1 ,
2f x x f x 1x f x , x 0;1
Tích phân
1
0
d f x x
bằng
A 1 B 2 C
1
3. D
3 2.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin
Chọn C
Ta có
2
2f x x f x 1x f x
2
2f x f x x f x x f x 2x
2 1
f x x f x x
f2 x x21 f x x2C. Với x 1 f2 1 1 C 1 C C
Do
2 1
f x x f x x
2 2
2
1 f x l
f x x f x x
f x x
.
Vậy
1
1
2
0 0
1
d d
3
x I f x xx x
Câu 25. [2D3-2.4-4] (SGD-Nam-Định-2019) Cho hàm số yf x có đạo hàm đến cấp hai liên tục Biết tiếp tuyến với đồ thị yf x điểm có hồnh độ x 1, x 0,
1
x tạo với chiều dương trục Ox góc 30°, 45, 60.
Tính tích phân
0
3
1
' '' d ' '' d
I f x f x x f x f x x
A
25
I
B I 0 C
1
I
D
3
I
Lời giải
Tác giả: Hồ Văn Thảo ; Fb: Thảo Thảo.
(20)Vì tiếp tuyến với đồ thị yf x điểm có hồng độ x 1, x 0, x 1 tạo với chiều dương trục Ox góc 30°, 45, 60 nên hệ số góc tiếp tuyến là:
3
' tan 30
3
f
, f ' 0 tan 45 , f ' 1 tan 60
Ta có:
0
3
1
' '' d ' '' d
I f x f x x f x f x x
Đặt tf x' dtf '' x xd Đổi cận
3
1 '
3
0 '
1 '
x t f
x t f
x t f
1
3
1
3
d + d
I t t t t
2
4
3
= 3
2
3 t
t
25
3
Câu 26. [2D3-2.4-4] (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn
1;2
thỏa mãn
2
2
1
1 d
3
x f x x
, f 2 ,
2
2
d
f x x
Tính
1
d I f x x
A I
B
7 I
C
7 20 I
D
7 20 I
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: diephoang
Chọn B
Đặt
2
d d
u f x
v x x
ta
3
d d
1
u f x x
v x
Khi
2
2
2 3
1
1
1
1 d 1 d
3
x f x x x f x x f x x
2
3
1
1 d
3 x f x x
2
3
1 d
x f x x
Xét
2 2
3
1 d
f x k x x
k
2 2
2 2
1 1
d d d
f x x k x f x x k x x
(21)2
7
7 k k
7 k
3
7
f x x
4
7
4
x
f x C
Do f 2 nên
7
C
4
7
4
x
f x
Vậy
2
4
1
1 d
I x x
5
1
7
4
x
x
7
Câu 27. [2D3-2.4-4] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số yf x có đạo hàm liên tục
khoảng 0; , biết f x 2x1 f 2 x , x
1
6
f
Tính giá trị biểu thứcPf 1 f 2 f 2019
A.
2021
2020. B.
2020
2019. C.
2019
2020. D.
2018 2019.
Lời giải Fb: Tú Tam Tạng
Chọn C
TH1: f x f x trái giả thiết.0
TH2: f x f x 2x1 f2 x
2
f x
x f x
2 d d
f x
x x x
f x
2
x x C
f x
Ta có:
1
6
f
0
C
1 1
1
f x
x x x x
.
1 1 1 2019
1 2 2020 2020
P
Câu 28. [2D3-2.4-4] (KINH MÔN II LẦN NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN NĂM 2019) Cho
hàm số f x liên tục thỏa
3
2
0
16 d 2019
f x x x
,
8
2
d f x
x
x
Tính
8
4
d f x x
A 2019 B 4022 C 2020 D 4038
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy
(22)Xét
2
0
16 d 2019
f x x x
Đặt t x216 Ta có x
2 16 2 2 16
2 t
t x x t tx x x x
t
Suy
1
d d
2
x t
t
.
Khi x 0 t 4, x 3 t 8 Suy
3 8
2
2
0 4
1 8
2019 16 d d d
2
f x x x f t t f x x
t x
8 8
2
4 4
1
d d d
2
f x
f x x x f x x
x
Vậy
4
d 4022 f x x
Câu 29. [2D3-2.4-4] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số
f x có đạo hàm liên tục trên 0,3
, đồng thời thỏa mãn f 0 ; f 0 và1
2
2
cos
f x
f x f x f x
x
Tính T f
A. T
B.
3
T
C.
3
T
D.
1 T
Lời giải
Tác giả: Phạm Văn Chuyền; Fb: Good Hope
Chọn D
Ta có
2
2
2
1
cos cos
f x f x f x
f x
f x f x f x
x f x x
2
1
tan cos
f x f x
x C
f x x f x
Vì
0 0 f
f
nên C 0
Do
tan
f x
x f x
Suy
3 3
3
0
0 0
(cos )
tan ln ln cos
cos
d f x d x
x dx f x x
f x x
1
ln ln ln ln1
3
f f f
Câu 30. [2D3-2.4-4] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0, ] Biết f( )0 =2e f x( ) thỏa mãn đẳng thức f x'( )+sin x f x( )=cos x ecosx," Ỵx [0,]
Tính
( )
I f x dx
=ò
(23)A I » 6,55 B I »17,30 C I »10,31 D I »16,91 Lời giải
Fb:Tứng Tartarus. Chọn B
cos
' sin cos x f x x f x x e
Chia hai vế đẳng thức cho ecos x ta
cos cos
' x x.sin cos
f x e e x f x x
( vế trái có dạng 'u v uv ')
f x e. cosx' cosx
f x e cosx'dxcos dx x
cosx sin
f x e x C
Do f 0 2e nên e e1 C C 2
Vậy
cos cos
sin
sin
x x
x
f x e x
e
cos
0
x sin
I f x dx e x dx
Sử dụng MTCT ( để đơn vị rad) KQ: 10,31
Câu 31. [2D3-2.4-4] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f x thỏa mãn
1 1 "
xf x x f x f x
với x dương Biết f 1 f 1 1 Giá trị f2 2
bằng A
2 2 2ln 2
f
B
2 2 2ln 2
f
C
2 2 ln 1
f
D
2 2 ln 1
f
Lời giải
Tác giả: Phan Hữu Thế ; Fb: Phan Hữu Thế
Chọn B
Ta có:
2 2
1 " ;
xf x x f x f x x
2. ' 1 1 "
x f x x f x f x
2
2
2
'
2
1
' "
1
' "
1
'
f x f x f x
x
f x f x f x
x f x f x
x
Do :
'
1
1
' d d '
f x f x x x f x f x x c
x x
Vì f 1 f ' 1 1 2 c1 c11
Nên
1
' d d
f x f x x x x
x
f x .d f x x1x d x
2
2
ln
2
f x x
x x c
Vì 2
1
1 1
2
(24)Vậy
2
2
ln 2 ln 2
2
f x x
x x f
Hoanghai445@gmail.com
Câu 32. [2D3-2.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số yf x có đạo hàm ( ) 0( ) f x , x [1;2]
thỏa mãn (1) 1f ,
22 (2)
15
f
3
2
4
( )
375
f x dx x
Tích phân
1 ( ) f x dx
A
5 B
7
5 C
3
5 D
4 Lời giải
Tác giả: Lê Đức Hợp ; Fb: Le Hoop
Chọn B
Ta có
1
22
( ) (2) (1)
15 15
f x dx f f
Mặt khác sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
3 2 3 2
4
( ) 1 ( ) 1
3 ( )
125 125 125 125 25
f x f x
x x x x f x
x x
1;2
x
.
Do
3
2
2
1
( )
( )
125 25
f x
x dx f x dx
x
3
2 2
2
1 1
( )
( )
25 125 375
f x
dx f x dx x dx
x
Vì dấu xảy ra, tức
3
4
( )
125 f x
x x
2 ( )
5 x f x
Ta có
2
5 15
x x
dx C
3 ( )
15 x
f x C
với C số thực
Vì (1) 1f
1 15 C
14
15 C
2 14 ( )
5 15 x f x
Vậy
2 2
1
14
( )
5 15
x
f x dx dx
Câu 33. [2D3-2.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hai hàm số f x( )ax4bx3cx2dx e
3
( )
g x mx nx px với a , b , c , d , e , m , n , p , q số thực Đồ thị hai hàm số yf x( ), y g x ( ) hình vẽ bên Tổng nghiệm phương trình
( ) ( )
(25)A
13
3 . B
13
C
4
3. D
4
Lời giải
Tác giả: Phan Thanh Tâm ; Fb: Phan Thanh Tâm
Chọn C
Đặt ( )h x f x( ) g x( ) Do hai đồ thị yf x( ), y g x ( ) cắt điểm có hồnh độ lần
lượt 1,
; mà bậc đa thức h x Ta có
( ) ( 1) ( 3) ( 0)
h x k x x x k
với (0)h f(0) g(0) e q.
Do
0
0
0
3
0
4
( ) ( ) (0) (0)
( ) d
5
( 1) ( 3) d
4
( 1)(4 5)( 3)
(4 13 15)
13
15
4
x
x
x
x
h x h x h h
h x x e q
k x x x x e q
k
x x x dx e q
k
x x x dx e q
k
x x x x e q
Phương trình ( )f x q g x( ) tương đương vớie
4
5 13
( ) 15 0
3
3
x
h x e q x x x x x
x
Vậy tổng nghiệm phương trình
5
0
3
(26)Câu 34. [2D3-2.4-4] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số yf x( ) liên tục có đạo hàm thỏa mãn
3
2 ( )
3 ( ) '( ) 4f x f x xe f x x x f(0)
Biết rằng
1 4089
0
(4 1) ( )d a
I x f x x
b
phân số tối giản Tính T a 3b
A T 6123 B. T 12279 C. T 6125 D. T 12273
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Dung ; Fb:Ngọc Dung.
Chọn D Ta có :
3
2 ( )
3 ( ) '( ) 4f x f x xe f x x x f(0)
3 2
3 ( ) ( ) 2
(f x( ))'ef x ef x (4x 1).e x x e x x
3 3
3 f x x 2 1 2x f x x 2x
f x x e x e e e C
Mà f 0 1 C f3 x x2x21
3( ) 2 1 ( ) 32 1
f x x x f x x x
1 4089
0
12285 (4 1) ( )d
4
I x f x x
Câu 35. [2D3-2.4-4] (Chuyên KHTN) Cho hàm số f x( ) liên tục ¡ thỏa mãn
3
2
0
( )
tan (cos )x f x dx f x dx
x
Tính tích phân
2
1
( ) f x
dx x
A. B 6 C 7 D 10
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hạnh ; Fb: Hạnh nguyễn
Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn Chọn C
+) Đặt t3 x t3 x 3t dt dx2 Đổi cận: x
t
Khi
8 3 2
2
1 1
( ) (t) (t)
3
f x f f
dx t dt dt
x t t
2
1 (t)
2 f
dt t
+) Đặt
2
cos 2cos sin 2cos tan tan
2
t x dt x xdx dt x xdx xdx dt
t
(27)Đổi cận: x
t 1
Khi
1
1
3
2
1
0
4
1 (t) (t)
tan (cos ) 12
2
f f
x f x dx dt dt
t t
+) Đặt
2 2 2
2
dx dx dt
t x dt xdx dt x
x x t
Đổi cận: x
2
t 2
Khi
2 2
1 1
2 4
( ) (t) (t) (t) 12
7
2 2
f x f f f
dx dt dt dt
x t t t
Câu 36. [2D3-2.4-4] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số yf x liên tục
1 ;3
thỏa mãn
.
f x x f x x
x
Giá trị tích phân
3
2
d
f x
I x
x x
A
9 B.
2
3 C
3
4 D.
16 Lờigiải
Tác giả: Vũ Văn Hiến; Fb: Vu Van Hien
Chọn A
+ Đặt x
t
dx 12 dt t
+ Đổi cận:
1
3;
3
x t x t
+ Ta có
1
3 3
2
1
2
3
1
1
d d d
1 1
f f
f x t t
I x t t
x x t t
t t
Suy ra:
3 3 3
2
1 1 1
3 3 3
1
1 16
2 d d d d d
1 1
f f x x f
f x x x x x x
I x x x x x x
x x x x x x x
(28)Vậy I
Câu 37. [2D3-2.4-4] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục
0;1
thỏa mãn f 1 ,
1
2
0
3
d 2ln
2 f x x
1
2
3
d 2ln
2
f x x
x
Tích phân
1
0
d f x x
A
1 ln 2
B
3 2ln 2
C
3 4ln 2
D
1 ln 2
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trường An; Fb: Trường An Nguyễn
Chọn A Ta có:
1
1 1 1
2
0 0 0
d d d d d
1 1 1
1
f x x x f x x f x f x f x x f x
x f x x x x
x x x x x
x
1
2
0
d d 2ln
1
x f x f x
x x
x x
Mặt khác:
1
2
1 1
2
0 0
1 1
d d d 2ln 2ln
1 1 1
x
x x x x x
x x x x x
Khi đó:
2
1 1
2
0 0
3
d d d 2ln 2 2ln 2ln
1 2
x f x x
f x x x x
x x
2
2
0
2 d
1
x x
f x f x x
x x
2
0
d *
x
f x x
x
Vì
2
0, 0;1
x
f x x
x
nên
2
0
d 0, 0;1
1
x
f x x x
x
Dấu " " xảy 0, 0;1 1, 0;1
x x
f x x f x x
x x
.
Khi đó:
1 1
1
0
0 0
1
d d d d
1
x
f x x x f x x f x x x x x
x x
1
0
1 2ln
ln ln
2 2
x
x x
(29)Câu 38. [2D3-2.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số ( )f x liên tục nhận giá trị không âm trên
đoạn [0;1] Giá trị nhỏ biểu thức
1
0
2 ( ) ( ) d ( ) ( ) d M f x x f x x f x x xf x x
bằng
A 24
B
1
C
1 12
D
1
Lời giải
Tác giả: Trịnh Văn Thạch; Fb: Trịnh Văn Thạch
Chọn A
Đặt af x( ), ta có:
1 1
0 0
2 ( ) ( ) d ( ) ( ) d (2 ) d d
M f x x f x x f x x xf x x a x a x a x xa x
1 4 2
2
0 0
1
2 d d d
8 8 24
x x
a a xa xa x xa x a x x x
Dấu “=” xảy 4 ( )
x x
a x a x a f x
Vậy giá trị nhỏ biểu thức M 24
Lời bình
Trong giải có sử dụng biến đổi:
4 2
2
2
8 8
x x
a a xa xa x xa a x
Tuy nhiên, hệ số biểu thức 2a2 4a xa3xa x xa bị thay đổi (thành hệ số khác) ta khó mà đưa dạng mũ
Câu hỏi đặt trường hợp phải làm để đưa đánh giá Để ý biểu thức 2a2 4a ax3ax x ax đẳng cấp bậc hai Chúng xin đề xuất một hướng giải trường hợp biểu thức cần đánh giá đẳng cấp Chẳng hạn toán trên, ta cần đánh giá biểu thức g a x , 2a2 4a ax3ax x ax , với x 0;1
( ) 0, 0;1 af x x
Ta thực sau:
+) Với x biểu diễn 0
2
2
2
, a a a a a
g a x x
x x x x x
.
Đặt
a t
x
Khi
2
,
g a x x t t t t
Lập bảng biến thiên hàm số h t 2t4 4t33t2 t 0; , ta 0;
1
8 h t
Do ta có
, , 0;1
8 x
(30)+) Kiểm tra đánh giá x 0
Như
2
, , 0;1
8 x
g a x x
Từ lấy tích phân vế đoạn 0;1 tốn giải
Chú ý: Nếu ( , )g a x đẳng cấp bậc n ta đưa x dấu ngoặc.n
Câu 39. [2D3-2.4-4] (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục
đoạn 1;e thỏa mãn
1
2
f
2
x f x xf x f x
x
, x 1;e Giá trị f e
A
3
2e. B
4
3e. C
3
4e. D
2 3e .
Lời giải
Tác giả: Phạm Duy Nguyên; Fb: The Scarpe
Chọn D
Theo giả thiết, với x 1; e ta có
2 3 2 3 1
xf x xf x f x x f x xf x x f x
x
2 2 1
x f x xf x x f x xf x
xf x 12 x xf x f x x xf x 1
2
1 1 1 1
d d ln
1
1
xf x xf x
x x x C
x x xf x
xf x xf x
1 1
1
ln ln
xf x f x
x C x x x C
Thay x 1 vào ta có
1 1
1 e
2 ln 3e
f C f x f
C x x x
Câu 40. [2D3-2.4-4] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho hàm số f x thỏa mãn
hai điều kiện
2 2
3
f x x x x f x
, x
3
1
d 12 f x x
Giá trị
2
0 d f x x
bằng
A 6 B 7 C 8 D 5
Lời giải
Tác giả: Bùi Bài Bình; Fb: Bui Bai
Chọn D
2 3 2 1
1 1
f x x x x f x
f x x f x x
(31)
3 3
1 1
1 d d d d 10
x x f x x x x f x x
Nếu x 1 1 3x 1 f x x
1 1
1 1
3x dx f x xd x dx f x xd
Từ 2 3
1
4 f x xd 12
Do
1
d 12 f x x
f x 3xx1 khi1 xx11
.
Vậy
2
0
d d d
f x x f x x f x x
