Thiết diện vuông góc với đường thẳng nối hai tâm của hai đáy luôn là một elip, biết chiều cao vật thể là 4.. Tính thể tích vật thể này.[r]
(1)Câu 3. [2D1-3](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2) Cho hàm số yf x( ) xác định, liên tục
có đồ thị hàm số yf x( ) hình Đặt
2 ( ) ( )
2 x h x f x
Mệnh đề đúng?
A Hàm số y h x ( ) đồng biến khoảng ( 2; 3) B Hàm số y h x ( ) đồng biến khoảng (0; 4) C Hàm số y h x ( ) nghịch biến khoảng (0; 1) D Hàm số y h x ( ) nghịch biến khoảng (2; 4) Lời giải Chọn D
Ta có yf x( ) hàm số xác định, liên tục Do
2 ( ) ( )
2 x h x f x
là hàm số liên tục , ( )h x f x( ) x
Ta xét vị trí tương đối y f x( ) y x
Từ đồ thị ta thấy yf x( ) y có ba điểm chung ( 2; 2)x A , (2; 2)B (4;4)C Đồng thời ( ) 0h x đồ thị hàm số y f x( ) nằm phía so với đồ thị y ngược lại.x
Từ khoảng (2;4) ta thấy ( ) 0h x Do hàm số y h x ( ) nghịch biến khoảng 2; 4
Câu 6: [2D3-3](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2) Cho hàm số yf x dương có đạo hàm liên tục
trên đoạn 0; 3 biết f x f x x2 1 0 3 f e
Tính
3
0 ln d
I f x x
A 2 B
7 3
3
C
7 3
3
D 3 2 Lời giải
Chọn B
Ta có
2 1 0
f x x f x
2 1 f x
x f x
Đặt
ln
d d
u f x v x
' du f x dx
f x
v x
(2)Áp dụng cơng thức tích phân phần ta
3
0
ln d
I f x x
3 0 '
ln xf x d
x f x x
f x 3 0
ln d
x f x x x x
3
3 2
0
ln d
2
x f x x x
0
1
ln 1
3
x f x x x
7 3
3
Câu 8: [2D2-3](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2) Tập hợp tất giá trị thực tham số m để
phương trình: 2 2 1
x x
m
có nghiệm thực tập Sa b; Tính giá trị biểu
thức log 12 5
b a
a b
P
A P 1 B P 5 C P 3 D P 7 Lời giải:
Chọn C
TXĐ: 2 2 0
x
D x m
Ta có: 2 2 1
x x
m 2
1
2 1
x x x m
2
0
2 1 2.2
x
x x x
m
0
2 2(k t/m) x x x m
Để phương trình cho có nghiệm 0m hay S 0;1
0, a b
P log 72 053
Câu 9. [1D1-3](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2) Cho phương trình :
2
sin cos cos
cos
1
2 cos 8.4 cos
9
m
m x x x
x m x x
Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 1 có nghiệm thực ?
A.5 B.9 C.3 D.7
(3)Chọn A.
+ Phương trình
2
2 sin 2cos
sin 2cos
1 sin 2cos
3
x m x
x m x
x m x
+ Xét hàm số
1
3
t t
f t t
ta có :
1
2 ln ln 0,
t t
f t t
f t
đồng biến
+ Từ 2 ta có
2
sin 2cos
f x m f x sin2 x m 2cosx 3
2
cos 2cos
m x x
+ Phương trình 1 có nghiệm thực g x có nghiệm trên1; 1, với ucosx và
2 2
g u u u
1;1 1;1 ming u m maxg u
Ta cóg x 2u2 0 u 1 1; 1
1
g vàg 1 5. Vậy 1m có giá trị nguyên 5 m.
Câu 10: [2H3-4](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P :x 4y z 1 0 hai điểmA1; 0; ; B2; 5; 3 Đường thẳng d qua điểm A và
song song với mặt phẳng P cho khoảng cách từ điểm B đến d nhỏ có phương trình :
A
1
1
x y z
B
1
3 1
x y z
C
1
5 1
x y z
D
3
2
x y z
Lời giải:
Chọn D
(4)+) / /( )d P qua A nên d thuộc Mặt phẳng ( )Q qua A song song với (P)
+) Q :x 4y z 0 Gọi H hình chiếu B (Q) AH đường thẳng cần tìm
+)
2
:
3
x t
BH y t
z t
, H2t;5 ;3 t t Vì H Q nên t 1 H3; 1; 4
+) AH qua H có vtcp2; 1; 2.Viết phương trình đáp án D
Câu 11: [2D1-3](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2)Cho đồ thị hàm số:
4
1
2
3
y x x
có ba điểm
cực trị A B C A Oy, , Gọi M N, điểm thuộc cạnh AB, AC cho đoạn thẳng MN chia tam giác ABC thành hai phần Giá trị nhỏ MN là
A B 12 C 6 D 2
Lời giải:
Chọn A
+) Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A0; 1, B 3; 2, C 3; 2
Có AB BC CA 2 3 nên tam giác ABC
+) Theo giả thiết
1
AMN ABC
S S
.
2 AM AN
AB AC
AM AN
+) Khi MN2 MN2 AN AM2 AM2 AN2 2AM AN.
2AM AN 2AM AN
.
Dấu đẳng thức xảy AM AN
Vậy minMN AM AN
Câu 12. [2H2-4](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2) Cho tứ diệnABCD cóADABC đáyABC thỏa mãn :
cot cot cot
2
A B C BC CA AB
AB AC BC BA CA CB
Gọi H, K hình chiếu vng góc A lênDB, DC Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chópA BCHK
(5)Lời giải Chọn D.
+ Từ giả thiết
2 2
8
a b c a c b
S bc ab ac
8S abc
R2
+ Gọi AA đường kính đường tròn ngoại tiếp ABC A B ABD A B' AH mà BD AH
AH BDA
AH HA
Tương tự AK KA điểm ,A B, C,H, K thuộc
mặt cầu đường kính AA Smatcau 4R2 16
Câu 13: [2H2-4](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2) Cho vật thể có hai đáy đáy lớn elip có độ dài trục lớn 8, trục bé đáy bé elip có độ dài trục lớn 4, trục bé Thiết diện vuông góc với đường thẳng nối hai tâm hai đáy elip, biết chiều cao vật thể Tính thể tích vật thể
A 55
3
B
56
C
57
D
58
Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục hình vẽ
Cắt vật thể mặt phẳng song song với hai mặt đáy, có hồnh độ
, 0;4 x x
(6)
Khi thiết diện elip có nửa độ dài trục lớn, trục bé ,a b thỏa mãn
;
x a
8
x b
(Theo hình vẽ)
Vậy diện tích mặt cắt
8 2
8 x
S x
Thể tích khối cần tính
4
0
d
V S x x
2
0
d
x x
56
3
Chú ý: Nếu hai elip hai đáy vật thể có trục lớn bé khơng song song với khơng thể giải Đề cho chưa chặt chẽ!
Câu 14: [2D2-4](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2)Cho số thực ,x y thỏa mãn
1 2
x y x y *
Giá trị lớn biểu thức
4 2
3x y x y
M x y x y
A 9476 243
B 76. C
193
3 D
148 Lời giải:
Chọn D.
Điều kiện: x 2, y 3
Ta có *
2
1 2
x y x y x y
**
Vì x y3 x y nên từ **
1
x y x y
x y nên1
x y 7
Mặt khác lại có x y3 0 nên từ **
1
x y x y
1 x y x y
nên
3 x y x y
.
Vì x2 2x ( x 2),y2 1 2y nên x2 y2 1 2x y .
Do
4 2
3x y x y 1 x y x y 3x y x y 1 x y x y 3
Đặt t x y, t 1 3 t 7.
Xét hàm số f t 3t4t1 2 7t 6t3 Ta có
2188
243 f
3 ln 2t t 1 ln 6 t
f t t
(7) ln 3t ln 2 ln 0 t
f t t
, t 3;7 .
Suy f t đồng biến 3;7 Mà f t liên tục 3;7 f 3 f 7 0
f t
có nghiệm t o 3;7 .
Bảng biến thiên
4 2 148
3
3
x y x y x y x y
với ,x y thỏa mãn *
Đẳng thức xảy x 2; y 1
Câu 15. [2H3-3] Trong không gian Oxyz , cho điểm A4; 1; , B1; 4; , C1;1;5 , đường tròn C giao mặt phẳng P x y z: 0 mặt cầu
S x: y2 z2 2x 2y 4z 3 0
Hỏi có điểm M thuộc đường trịn C cho MA MB MC đạt giá trị lớn nhất?
A 1 B 5 C 7 D 3
Lời giải Chọn D.
Ta có mặt cầu S có tâm I1;1;2 bán kính R 3
Gọi đường thẳng qua I vng góc với mp P ta có
1
:
2
x t
y t
z t
tâm
đường trịn giao tuyến C giao điểm mp P P J2; 2; 3
Thấy A B C, , P , JA JB JC 6, ABBC CA 3 2 suy ba đỉnh A B C, , C
(8)TH1 : Xét M thuộc cung nhỏ BC Lấy điểm E thuộc đoạn AM cho MB ME mà
60o
BME BCA (do góc nội tiếp chắn cung AB) suy tam giác BME đều.
Ta có ABE CBM (vì cộng với góc EBC 60 )o ABE CBM MCAE.
MB MC ME EA MA
2
MA MB MC MA
nên MA MB MC đạt giá trị lớn MA đạt giá
trị lớn MA đường kính tức M điểm cung nhỏ BC Vậy trong trường hợp có điểm M thỏa mãn.
TH2 TH3 : Xét M thuộc cung nhỏ AC AB; vai trị bình đẳng đỉnh tam giác hồn tồn tương tự trường hợp có điểm M thỏa mãn.
Vậy có ba điểm M thuộc đường tròn C cho MA MB MC đạt giá trị lớn nhất.
Câu 42. [1H3-2] Cho tứ diện ABCD có AB CD a ,
3 IJ a
( I , J trung điểm của
BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD là:
A 30 B 45 C 60 D 90
Lời giải Chọn C.
Gọi M , N trung điểm AC, BC
Ta có:
1
2 2
// JN // JN MJ // IN // CD
a MI NI AB CD
MI
MINJ là hình thoi.
Gọi O giao điểm MN IJ
(9)Xét MIO vuông O, ta có:
cosMIO IO MI a a 3 30 MIO
MIN 60
Mà: AB CD, IM IN, MIN 60
Câu 48: [2D1-3](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2)Cho hàm số y3x x có đồ thị C , điểm
;
A m m
.Tập hợp tất giá trị m để từ điểm A kẻ tiếp tuyến tới
đồ thị C tập S a b; Tính P a 2b2.
A 4 B 8 C 2 D 6
Lời giải
Chọn A.
Ta có: y 3 3x2
Gọi : y k x m m đường thẳng qua điểm A m ; m Để từ điểm A kẻ duy
nhất tiếp tuyến tới đồ thị C thì:
Hệ:
3
2
3 ;
3 ;
x x k x m m x k
có nghiệm nhất.
Thế (2) vào 1 , ta có phương trình:
3
3x x 3 x x m m 2x3 m x3 2 2 0 2 ; * x m x .
Bài tốn có u cầu tương đương là: tìm m để phương trình * có nghiệm
Xét:
3 2 x g x x
TXĐ:
6 \
3 D R
2 12 x x g x x ; x Cho 2 12 x x g x x 2 x x x .
(10)Từ bảng biến thiên ta có: m 2; 2
Vậy: P a b2 4
Câu 49: [1D3-3](Phan Thúc Trực Nghệ An Lần 2) Cho số hạng dương a, b, c số hạng thứ m, n, p cấp số cộng cấp số nhân Tính giá trị biểu thức
log3 2 log9 3 log27
P b c a c a b a b c.
A P 3 B P 1 C P 0 D P 2
Lời giải
Chọn C
Ta có Pb c log3ac a log3ba b log3c.
Gọi u , 1 d số hạng đầu công sai cấp số cộng;
1
v , q số hạng đầu công bội cấp số nhân.
Ta có
1
1
1
1
1
1
1
1
1
m n
p
a u m d v q b u n d v q c u p d v q
Do
b c n p d c a p m d a b m n d
n m p m
b a q c a q
Suy log3 log3 log3
n m p m
P d n p a p m a q m n a q
log3 log3
d n p p m m n a d p m n m m n p m q
0
.
(11)2 ( ) 1f x
2 ( )
2
f x mx
2
2
1
(1 )
4 , 0
1 ( ) ( )
4
m x m x
m f x f x m
.Có giá trị nguyên tham số
m để hàm số
( ) f x m y
x m
đồng biến khoảng xác định nó?.
A 8 B 9 C 6 D 7
Lời giải Chọn C
Cách Từ giả thiết ta có 2
2
2 ( ) 4
2 ( ) ( )
f x m x mx m
mx f x f x m
2
2
2 ( ) (2 1)
2 (2 ( ) 1)
f x mx m
mx f x m
3
(2 ( ) 1)f x (2 ( ) 1) (2m f x mx 1) (2m mx 1)
2mx 1 0
Xét hàm đặc trưng:
( )
g u u mu g u( ) 3 u24m0, u 0,m0
Vậy hàm số đồng biến liên tục tập (0;) (2 ( ) 1) (2 1)
g f x g mx f x( )mx
9
mx m y
x m
2
9
( )
m m
y
x m
Hàm số đồng biến khoảng xác định nó: 0,
y x m m2 9m 8 0
1m8