CHUONG 4-GT

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN 1. Nguyên hàm và tích phân không xác định 2. Tích phân xác định 3. Tích phân suy rộng 1. Nguyên hàm & tích phâân không xác ònhđ 1.1. Nguyên hàm Hàm F(x) là một ngun hàm của hàm f(x) /(a,b) nếu F’(x)=f(x) ∀x∈(a,b). ĐL1: Nếu F(x), G(x) là hai ngun hàm của f(x) /(a,b) thì G(x)=F(x)+C, trong đó C là một hằng số bất kỳ. ĐL2: Nếu f(x) liên tục /[a,b] thì f(x) có nguyên hàm / (a,b) 1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh 1.2. Tích phân không Hàm f(x) có nguyên hàm là F(x) /(a,b). Biểu thức F(x) +C được gọi là tích phân không xác đònh của hàm f(x) và (C là hằng số). Kí hiệu là: - Là dấu tích phân f(x)dx - Là biểu thức thức dưới dấu tích phân f(x) - Là hàm dưới dấu tích phân dx - Là vi phân của đối số x = + ∫ ( ) ( )f x dx F x C ∫ 1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh 1.3. Các tích chất ( ) ( ) = = = ± = ± = + = + ∀ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1) ( ) ' ( ) ( ) ( ) 2) ( ) ( ) 3) [ ( ) ( ) ( ) ( ) 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx f x hay d f x dx f x dx af x dx a f x dx f x g x dx f x dx g x dx f x dx F x C thì f u du F u C u u x 1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh 1.2. PP tính tích phân a) Biến đổi về các tính tích phân cơ bản + = + ≠ − = + + = + < ≠ = + = − + = + = + = − + − = + ≠ = + ≠ + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 2 2 2 2 2 1 1/ , ( 1); 2/ ln 1 3/ , (0 1) 4/ ln 5/ sin cos 6/ cos sin 7/ 8/ cos sin 1 1 9/ ( 0) 10/ ln ( 0) 2 11 x x x x x x dx C dx x C x a a dx C a e dx e C a xdx x C xdx x C dx dx tgx C cotgx C x x dx x dx x a arctg C a C a x a a a a x a a x α α α α = + < − ∫ 2 2 / arcsin , dx x C x a a a x 1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh 1.2. PP tính tích phân b) Phương pháp đổi biến Cách 1: Đặt x=ϕ(t) là hàm liên tục, đơn điệu, có đạo hàm liên tục. Cách 2: Đặt t=ψ(x) là hàm liên tục, đơn điệu, có đạo hàm liên tục. ⇒ f(x)dx=g(t)dt ⇒ = = + ∫ ∫ ( ) [ ( )] '( ) ( )f x dx f t t dt F x C ϕ ϕ ⇒ = = + ∫ ∫ ( ) ( )] ( )f x dx g t dt F x C 1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh 1.2. PP tính tích phân-TD ( ) = = + ⇒ = + − + + + = = ⇒ = − + = = ⇒ + + + +   = − = ∈ −     − ⇒ = + + = − = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 3 3 2 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 2 2 ln( 1) 1 sin ) 3cos 1 ) , ln 1 2 1 ) 1 sin ; 2 2 arcsin 1 2 2 ) arcsin ( 2 2 dx a I Đặt t x I x x C x x b J dx Đặt t x J x C x xdx c K Đặt u x x x C x d H x dx Đặt x t vớit x x x L C x a x e L a x dx a x C a π π > 0)a 1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh 1.2. PP tính tích phân c) PP tích phân từng phần TD: Tính các tích phân sau: Để tính L đặt t=arcosx = − ⇔ = − ∫ ∫ ∫ ∫ ' 'udv uv vdu uv dx uv vu dx = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 ) cos ) cos3 ) ) (arccos ) ) ln x x a I e xdx b J x xdx c K x e dx d L x x dx e M x xdx 1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh 1.2. Phương pháp tính tích phân Một số dạng đặc biệt: ∫ ∫ ∫ 1) ( ) ; ( )sin ; ( )cos ax P x e dx P x axdx P x axdx ≠ − ∫ 2) ln 1 k x xdx với α α ∫ ∫ 3) ( )(arcsin ) ; ( )(arccos ) n n P x x dx P x x dx ∫ ∫ 4) cos ; sin ax ax e bxdx e bxdx 1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh 1.2. Phương pháp tính tích phân d) Tích phân hàm phân thức hữu tỷ − = − + = − × + − − − −   + + = + − − <  ÷ + + + + + +     + + = + − − <  ÷ + + + + + +   + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ m m 1 2 2 2 2 2 2 n 2 n 2 n 2 n A A A 1 1) dx Aln x a C; 2) dx C x a m 1 (x a) (x a) Ax B A 2x p AP dx 3) dx dx B (p 4q 0) 2 2 x px q x px q x px q Ax B A 2x p AP dx 4) dx dx B (p 4q 0) 2 2 (x px q) (x px q) (x px q) 2x p (x px q) − − − + + = = − + − + + + + = + +         + + −  ÷  ÷         − = = + ≥ ∈ + − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 2 n 2 n 1 2 n n 2 2 n n 1 2 2 n 2 2 2 n 1 2 d(x px q) 1 1 dx . c n 1 (x px q) (x px q) dx dx (x px q) p p x q 2 4 dt t 2n 3 I I ,n 2,n (t a ) 2(n 1)a (t a ) 2(n 1)a ¥