LUONG GIAC CO BAN

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ sina + cosa = 1 tana = 1+tan a = tana . cota =1 cota = 1+cot a = - CUNG LIÊN KẾT: Cos đối - Sin bù - Phụ chéo - Hơn kém nhau π là tan, cot. cos(-x) = cosx cos ( -x)= sinx sin(-x) = - sinx sin( -x)= cosx tan(-x) = - tanx tan( -x)= cotx cot(-x) = - cotx cot( -x)= tanx sin(π -x) = sinx tan( π +x) = tanx cos(π -x) = - cosx cot (π +x) = cotx tan(π -x) = - tanx sin(π +x) = - sinx cot(π -x) = - cotx cos(π +x) = - cosx -CÔNG THỨC CỘNG sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa cos (a ± b) = cosacosb  sinasinb tan (a ± b) = cot( a ± b) = = -CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI sin2a = 2sinacosa cos2a = cos 2 a - sina = 2cosa - 1 = 1- 2sina tan2a = cot2a = = -CÔNG THỨC NHÂN BA sin3a = 3sina - 4 sina cos3a = 4cosa - 3cosa - CÔNG THỨC HẠ BẬC sina = cosa = tana = - CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. TỔNG THÀNH TÍCH Cosa+cosb = 2 cos( )cos( ) Cosa - cosb = - 2 sin( )sin( ) Sina + sinb = 2 sin( )cos( ) Sina - sinb = 2cos( )sin( ) Tan a ± tanb = 2. TÍCH THÀNH TỔNG Cosacosb = (cos(a+b) + cos(a-b)) Sina.sinb = (cos(a+b) - cos(a-b)) Sina.cosb = (sin(a+b) + sin(a-b)) Cosa .sinb = (sin(a+b) -sin(a-b)) B. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - Tìm điều kiện xác định(nếu có) - Biến đổi về các dạng phương trình lượng giác chuẩn mực - Giải nghiệm phương trình - Kết hợp điều kiện. I. PTLG cơ bản 1. PT sinx = m > 1: phương trình vô nghiệm ≤ 1:sinx = m ⇔ Nếu m đặc biệt, m= sinα sinx = m ⇔ 2. PT cosx = m > 1: phương trình vô nghiệm ≤ 1: cosx = m ⇔ Nếu m= cosα cosx= m ⇔ 3. Pt tanx = m ⇔ x = arctanm + kπ Nếu m= tanα Tanx = m ⇔ x=α +kπ Mở rộng tan u(x)= tan v(x) ⇔ 4.Pt cotx = m ⇔ x = arccotm + kπ Nếu m= cotα cotx = m ⇔ x=α +kπ Mở rộng cot u(x) = cot v(x) ⇔ VD: GPT a) sinx = ⇔ (k∈ Z) b) cosx = ⇔ cosx = cos ⇔ x = ± +k2π (k∈ Z) c)tan(x+ )= tan2x ⇔ ⇔ Kết hợp nghiệm ta được nghiệm của pt là x = - kπ (k∈ Z) ***Đặc biệt: Sinx= 0 ⇔ x= kπ (k ∈ Z) ; cosx = 0 ⇔ x= +kπ (k ∈ Z) Sinx = 1 ⇔ x = + k2π (k ∈Z) ; cosx= 1 ⇔ x =k2π (k ∈ Z) Sinx = -1 ⇔ x = - + k2π( k ∈ Z) ; cosx = -1 ⇔ x = π + k2π ( k ∈ Z) Tanx = 0 (⇔sinx = 0 )⇔ x =kπ (k ∈Z) ; cotx = 0 ( cosx= 0) ⇔ x= +kπ (k∈Z) BT 1)cos (2x- ) = cos ( - x) 2)cos ( x - ) - = 0 3) 2cos(3x - 15) + 1 = 0 4)cot (3x + ) = 5) sin4x -cos6x = 0 6) sin ( 5x + ) - cos ( + π ) = 0 7) tanx = cot( -3x) 8) sin2x - cos3x = 0 9 ) tan( 2x+45 )= cot( x- 15) 10) cot ( x + ) = cotx II. PT bậc 1, bậc 2, bậc 3, . của 1 hàm số lượng giác 1. PT bậc nhất đối với 1 HSLG Dạng asinu + b = 0 ⇔ sinu = - (PTLG cơ bản) Tương tự với acosu + b = 0 ; atanu +b = 0; acotu +b = 0 2. PT bậc 2, bậc 3 đối với 1 HSLG Hàm sinx, dạng asinx +bsinx + c =0 asinx +bsinx + csinx +d = 0 Giải: Đặt t= sinx ĐK: -1 ≤ t ≤ 1 Tương tự với hàm cosx. ĐK: -1 ≤ t ≤ 1 Riêng hàm tanx; cotx không có điều kiện của t Dùng thêm các công thức sinx + cosx =1 ; tanx.cotx=1 và công thức nhân đôi VD:GPT a) tan(3x- 30) +1= 0 ⇔ tan(3x- 30) = - = tan (- 30) ⇔ 3x- 30 = - 30+ kπ ⇔ x = (k∈Z) b) 3tan 2x - 4tan2x+1 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ Z) c)3cosx + 4sinx +1 =0 ⇔ 3(1 - sinx) + 4sinx + 1 = 0 ⇔ 3sinx - 4sinx -4 = 0 ⇔ sinx=2 (vô nghiệm vì ≤ 1) hoặc sinx=- ⇔ BT: 1)4 cosx - 2( -1)cosx - = 0 2)2cos2x+ cosx =1 3) 2sinx + 4 sinx = 3cosx 4) tanx + cotx = 2 5) 2tan x + 3 = (đặt t= ) 6) 3 sin2x + 7cos2x -3 = 0 3. PT đẳng cấp bậc 2, bậc 3 Dạng asinx + b sinxcosx + c cosx + d = 0 (1) - Khi cosx = 0, thế vào (1) tìm x - Khi cosx ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho cosx,ta được: (1) ⇔ atanx + b tanx +c + d(tanx +1) = 0 ⇔ (a +d)tanx + b tanx +c + d = 0 (Phương trình bậc 2 theo tanx) Tương tự với bậc 3, chia cho cosx. VD: GPT a) 2sinx - cosx + 3 sinxcosx - 2 =0 (1) - cosx = 0 ⇔ x = +kπ (1) ⇔ 2 sinx - 2 = 0 ⇔ sinx =1 ⇔ sinx = ± 1 ⇔ x = +kπ (k ∈ Z) - cosx ≠ 0 ⇔ x = +kπ , chia 2 vế của phương trình (1) cho cosx ta được: 2tanx - 1 + 3 tanx - 2 ( tanx+1) = 0 ⇔ 3tanx = 3 ⇔ tanx = 1 = tan ( ) ⇔ x = +kπ (k∈ Z)(nhận) Vậy nghiệm của phương trình là : ( k ∈ Z) b) sinx - 5 sinxcosx - 3 sinxcosx + 3 cosx = 0(1) - Xét cosx = 0 ⇔ x = +kπ (1) ⇔ sinx = 0 ⇔ sinx =0 ( VN vì sinx + cosx = 1) ⇒ cosx = 0 không phải nghiệm phương trình (1), chia 2 vế phương trình cho cosx ta được: tanx - 5tanx - 3 tanx +3 = 0 ⇔ (tanx + 1)(tanx - 6tanx +3) = 0 ⇔ tanx = -1 hoặc tanx - 6tanx +3 = 0 Tanx = -1 =tan(- ) ⇔ x =- + kπ (k ∈ Z) tanx - 6tanx +3 = 0 ⇔ tanx = 3 ± ⇔ x = arctan (3 ± ) + kπ ( k ∈ Z) Vậy nghiệm của phương trình là (k ∈ Z) c) 2 sinx + 4 cosx = 3sinx (1) - cosx = 0 ⇔ x = +kπ (1) ⇔ 2 sinx = 3sinx ⇔ sinx( 2sinx - 3) = 0 ⇔ sinx=0 hoặc sinx= (vô nghiệm vì sinx + cosx = 1 ) ⇒ cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1), chia 2 vế của phương trình cho cosx ta được: 2tanx + 4 = 3 ⇔ 2tanx + 4 = 3 tanx( tanx+ 1) ⇔ Tanx + 3tanx - 4 = 0 ⇔ Tanx =1 = tan ( ) ⇔ x = +kπ ( k ∈ Z) ⇔ Vậy nghiệm của pt là x = +kπ ( k ∈Z) BT: 1)2sin2x - 3sin2xcos2x + cos2x = 2 ( chia cho cos2x) 2) 2 sinx + 4sin x cosx + sinx cosx + 2 cosx = 0 3) sinx + 2 sin2x + 3cosx= 0 4) 3sin x + 8 sinxcosx + 4 cos x = 0 5) 4cosx - 3sinxcosx + 3 sinx =1 4. PT bậc nhất theo sinx, cosx Dạng asinx + bcosx = c - Pt có nghiệm khi a + b ≥ c Chia 2 vế của Pt cho ta được: sinx + cosx = Đặt cosα = ; sinα = Phương trình trở thành Cosα sinx + sinα cosx = ⇔ sin(x+α ) = VD: GPT a) 4sinx - 3cosx = 5 (1) 4 2 + 3 2 = 5 2 ⇒ pt có nghiệm (1) ⇔ sinx - cosx = 1 Đặt cosα = ; sinα = (1) ⇔ cosα sinx + sinα cosx= 1 ⇔ sin (x+α ) = 1 ⇔ x+α = + k2π ⇔ x = -α +k2π (k ∈ Z) b) cos3x -sin 3x =1 1 2 + 1 2 = 2 > 1 2 ⇒ pt có nghiệm Chia 2 vế của pt cho ta được: cos3x - sin3x = ⇔ sin cos3x - cos sin3x = ⇔ sin ( - 3x) = = sin ⇔ ⇔ BT: 1)3sin2x + 2cos2x = 3 2) sinx - cosx =7 3) 5 cos2x - 12sin2x = 13 4) 2sinx+cosx = + 5) cos3x + sin3x = 5. PT đối xứng sinx, cosx: Dạng a(sinx ± cosx) + bsinxcosx + c =0 (1) Đặt t = sinx ± cosx = sin(x ± ) ĐK: ≤ ⇒ ≤ ⇔ t ≤ 2 Và t = 1 ± 2sinxcosx (=1 ± sin2x) ⇒ sinxcosx = hoặc sinxcosx = Thế t, t vào (1) ta được pt theo t, giải ra tìm x. VD:GPT 3 (cosx + sinx) +2sin2x +3 = 0(1) Đặt t= sinx+ cosx = sin(x + ) ĐK: ≤ ⇒ ≤ ⇒ t ≤ 2 Và t = 1 + sin2x ⇒ sin2x = t -1 (1) ⇔ 3t + 2(t -1) + 3 = 0 ⇔ 2t +3t +1 = 0 ⇔ (nhận) t= - ⇔ sin(x + )= - ⇔ sin (x+ ) = - ⇔ ⇔ (k ∈ Z) t= -1 ⇔ sin(x + )= -1 ⇔ sin(x + )= - = sin(- ) ⇔ ⇔ (k ∈ Z) BT : 1) (1+ )(sinx + cosx)- 2sinxcosx -1- = 0 2) 5sin2x + sinx = 1 -cosx 3) 2(sinx -cosx) + 3 sin2x- 1 = 0 6. Các dạng khác *Phương trình lũy thừa bậc chẵn của sinx, cosx (sinx-cosx,sinx- cosx, …), ta hạ bậc bằng công thức sina = cosa = rồi dùng các phép biến đổi (tích thành tổng, tổng thành tích, công thức nhân đôi, nhân ba,……. )hoặc đặt t= cos2x (ĐK: ≤ 1) để giải. VD: GPT a)sin3x - cos4x = sin5x - cos6x ⇔ - = - ⇔ cos6x +cos8x = cos10x + cos12x ⇔ 2cos7xcosx = 2 cos11xcosx ⇔ cosx(cos11x- cos7x) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ Z) ⇔ (k ∈ Z) b) sinx + cosx = 4cos2x ⇔ ( ) + ( ) = 4 . (1) Đặt t= cos2x ( ≤ 1) ⇒ cos4x = 2cos2x-1 = 2t- 1 (1) ⇔ ( ) + ( ) = 4. t ⇔ (1-t) + (1+t) = 32t ⇔ 2 + 6t = 32 t ⇔ t = ⇔ t = ± (nhận) ⇔ cos2x = ± ⇔ ⇔ (k ∈ Z) BT: 1)sin2x - cos3x = sin7x - cos 8x 2)sin ( 5x + ) - cos ( + π ) = 0 3) sin 2x + cos 3x = 1 4) sinx + cosx = cos2x 5) cosx - cos2x + 2 sinx = 0 * Phương trình chứa (u ± ) và (u ± ) Đặt t = u ± (Điều kiện) VD: a) Dạng a (tanx + cotx) + b (tanx + cotx) + c = 0 ĐK: sinx ≠ 0 ; cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ k (k ∈ Z) Đặt t = tanx + cotx ⇒ t = tanx + cotx + 2 ⇒ tanx + cotx = t -2 VD: GPT 2tanx + 3 tanx + 2 cotx + 3 cotx + 2 = 0 ĐK: sinx ≠ 0 ; cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ k (k ∈ Z) ⇔ 2 (tanx + cotx) + 3 (tanx + cotx) + 2 = 0 ⇔ 2 ((tanx + cotx) 2 -2) + 3 ( tanx + cotx) + 2 = 0 Đặt t = tanx + cotx (1) ⇔ 2(t - 2) + 3t +2 = 0 ⇔ 2t +3t -2 = 0 ⇔ t = ⇔ tanx + cotx = ⇔ tanx + = ⇔ 2 tanx - tanx +2 = 0 ( pt vô nghiệm) t = -2 ⇔ tanx + cotx = -2 ⇔ tanx + = -2 ⇔ tanx +2 tanx +1 =0 ⇔ tanx = -1 = tan (- ) ⇔ x = - +kπ (k ∈ Z) (nhận) Vậy nghiệm của phương trình là x = - +kπ (k ∈ Z) b) 2(cosx + ) + 9( - cosx)-1 = 0(1) Đk :cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ Đặt t = - cosx ⇒ t = +cosx - 4 (1) ⇔ 2(t +4) + 9t -1 = 0 ⇔ 2t + 9t +7 = 0 ⇔ t= -1 ⇔ - cosx = -1 ⇔ cos x- cosx - 2 =0 ⇔ ⇔ x= π + k2π (k ∈ Z) t=- ⇔ - cosx = - ⇔ 2cosx - 7cosx -4 = 0 ⇔ ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z) Vậy nghiệm của pt là (k ∈ Z) BT 1) sinx - sinx + - =0 2)tan2x + cot2x + tan2x + = 0 (chú ý điều kiện) 7. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH A.B ⇔ VD:GPT sinx + cosx = sinx + cosx ⇔ (sinx + cosx)(sinx - sinxcosx + cosx) = sinx + cosx ⇔ ( sinx + cosx)(1- sin2x-1)= 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ Z) BT: 1) sin x- cos x = sinx + cosx 2) 3- tan x (1+2cosx) + 6cosx= 0 3) Sinx + cosx +2 sinxcosx + 2cosx = 0 . đặt t= cos2x (ĐK: ≤ 1) để giải. VD: GPT a)sin3x - cos4x = sin5x - cos6x ⇔ - = - ⇔ cos6x +cos8x = cos10x + cos12x ⇔ 2cos7xcosx = 2 cos11xcosx ⇔ cosx(cos11x-. ⇔ 4.Pt cotx = m ⇔ x = arccotm + kπ Nếu m= cotα cotx = m ⇔ x=α +kπ Mở rộng cot u(x) = cot v(x) ⇔ VD: GPT a) sinx = ⇔ (k∈ Z) b) cosx = ⇔ cosx = cos ⇔ x