Than_tng_lp_Cao_hc_Toan_13_Bai_tp_Ly

Thân tặng lớp Cao học Toán 13 Bài tập Lý thuyết Phạm trù Kỳ Anh (http://kyanh.net/) Huế, 21/05/2005 – Tam Kỳ, 04/01/2008 Tóm tắt nội dung Hướng dẫn giải số tập (Phạm trù) Giáo trình Cơ sở Đại số đại (Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết) Bảng đối chiếu tập cho trang 13 Bài Tìm ker, coKer, im, coIm cấu xạ α = 0AB Hint: ker α = 1A ; coKer α = 1B ; im α = 00B ; coIm α = 0A0 (1) (2) Bài Tìm ker, coKer, im, coIm cấu xạ α = 1A Hint: ker α = 00A ; coKer α = 0A0 ; (3) im α = 1A ; coIm α = 1A (4) Bài Nếu α : A → B đơn xạ im α = α Hint: Đặt k = α Ta CMR k = im α Trước hết, α phân tích qua k Thật vậy, k = α = α · 1A Giả sử có I cấu xạ s : A → I , t : I → B (trong đó, t đơn xạ) cho α = ts A? /B ?     t    α=k ?? ?? ?? s ?? ?? ? I Khi đó, k = ts Như vậy, k cấu xạ bé mà α phân tích qua k Bài Nếu α : A → B tồn xạ coIm α = α (5) Hint: Tương tự Bài Bài Tìm cấu xạ f : B → C biết ker f = 1B Hint: Giả sử ker f = 1B Theo định nghĩa ker f , ta có f · ker f = f · 1B = f = 0BC Bài Nếu α đơn xạ ker α = Điều ngược lại không Hint: Giả sử α : A → B k = 00A Ta chứng minh k = ker α Trước hết, αk = Giả sử u : X → A cho αu = Đặt γ = 0X0 αkγ = 0XB = αu Vì α đơn xạ, nên kγ = u Do vật tận cùng, nên γ tồn Vậy k = ker α NX Trong chứng minh trên, ta sử dụng định nghĩa Để ý rằng, hạt nhân không tồn với phạm trù Do đó, từ αk = α0 α đơn xạ ta suy k = mà không suy k hạt nhân Bài Trong phạm trù cộng tính, ker α = α : A → B đơn xạ Hint: Xét u, v : X → A cho αu = αv Do phạm trù cộng tính, ta có α(u−v) = αu−αv = Vì ker α = nên tồn γ : X → để u − v = ker α · γ = 0XA Từ suy u = v Bài Trong phạm trù khớp, ker α = α : A → B đơn xạ Hint: Giả sử u, v : X → A cho αu = αv Vì phạm trù khớp, ta phân tích α = ts với t = ker(coKer α) s = coKer(ker α) Vậy t(su) = t(sv) Vì t đơn xạ1 nên su = sv Mà s = coKer(ker α) = coKer 00A = 1A (xem Bài 1) nên từ su = sv ta có u = v Có thể chứng minh theo cách sau2 : Phân tích α = ts với s = coKer(ker α) = 1A Khi đó, α = t = ker(coKer α) đơn xạ (do hạt nhân đơn xạ) Bài Trong phạm trù cộng tính, coKer α = α : A → B tồn xạ Hint: Lấy u, v : B → X cho uα = vα Vì phạm trù cộng tính, (u − v)α = uα − vα = Do coKer α = nên tồn γ : → X cho u − v = γ · coKer α = 0BX Suy u = v Bài 10 Trong phạm trù khớp, coKer α = α : A → B tồn xạ Hint: Lấy u, v : B → X cho uα = vα Phân tích α = ts với t = ker(coKer α) s = coKer(ker α) Ta có (ut)s = (vt)s Mà s toàn xạ3 nên ut = vt Để ý t = ker(coKer α) = ker 0B0 = 1B (xem Bài 1) Vậy u = v Mọi hạt nhân đơn xạ Thanks to Sir Nguyễn Ngọc Sang Đối hạt nhân toàn xạ Ky Anh, http://kyanh.net/ [2] Có thể chứng minh theo cách sau4 : Phân tích α = ts với t = ker(coKer α) = 1B Khi đó, α = s = coKer(ker α) toàn xạ (do đối hạt nhân toàn xạ) α Bài 11 Trong phạm trù khớp, dãy −→ A −→ B khớp α đơn xạ α Hint: Dãy −→ A −→ B khớp im 00A = ker α = 00A α Bài 12 Trong phạm trù khớp, dãy A −→ B −→ khớp α tồn xạ Hint: Vì phạm trù khớp, ta phân tích α = uv với u = ker(coKer α) = im α α v = coKer(ker α) Dãy A −→ B −→ khớp im α = ker 0B0 = 1B = u = ker(coKer α) (6) Theo Bài 5, điều tương đương với coKer α = 0BC (tức α toàn xạ) α Bài 13 Trong phạm trù khớp, dãy −→ A −→ B −→ khớp α đẳng xạ5 Hint: Nếu α đẳng xạ, α song xạ; theo kết trên, ta có dãy cho khớp Bây giờ, giả sử dãy cho khớp Ta chứng minh α đẳng xạ cách cấu xạ β : B → A cho αβ = 1B βα = 1A Do α đơn xạ phạm trù khớp, ta có α = ker(coKer α) Do α tồn xạ, coKer α = 0BO ; đó, ker(coKer α) = ker 0B0 = 1B Như vậy, α 1B hạt nhân coKer α Vì 1B hạt nhân coKer α coKer α · α = 0, ta suy tồn β : B → A cho 1B = αβ Với β đó, ta có α1A = α = 1B α = αβα Mà α đơn xạ, nên 1A = βα Tóm lại, β thỏa mãn αβ = 1B βα = 1A Bài 14 Trong phạm trù khớp, α : A → B đơn xạ α = ker(coKer α) Hint: Phân tích α = uv với v = coKer(ker α) = coKer 00A = 1A Bài 15 Trong phạm trù khớp, α : A → B tồn xạ α = coKer(ker α) Hint: Phân tích α = uv với u = ker(coKer α) = ker 0B0 = 1B Bài 16 Trong phạm trù cộng tính, equ(α, β) = ker(α − β) Thanks to Sir Nguyễn Ngọc Sang α song xạ Ky Anh, http://kyanh.net/ [3] Hint: Đặt k = equ(α, β) : E → A Ta CMR k = ker(α − β) Trước hết, (α − β)k = αk − βk = 0EB (vì αk = βk ) Giả sử có l : X → A cho (α − β)l = 0XB Suy αl − βl = hay αl = βl Theo định nghĩa đẳng hóa k , tồn γ : X → E để l = kγ Ngược lại, giả sử tồn k : E → A hạt nhân α − β Ta CMR k = equ(α, β) Trước hết, ta có αk − βk = (α − β)k = k hạt nhân α − β Giử sử có u : X → A cho αu = βu Do phạm trù cộng tính, ta suy (α − β)u = 0XB Do đó, theo định nghĩa hạt nhân k , tồn γ : X → E cho u = kγ Vậy k đẳng hóa equ(α, β) Bài 17 Trong phạm trù cộng tính, coEqu(α, β) = coKer(α − β) Hint: Tương tự Bài 16 Phải chứng minh hai chiều: tồn coKer(α − β) dẫn đến tồn coEqu(α, β) ngược lại Bài 18 Nếu β : B → C đơn xạ ker(βα) = ker α với α : A → B NX Ta phải chứng minh: tồn ker α tồn ker(βα) ker(βα) = ker α Và ngược lại, tồn ker(βα) tồn ker α Ý nghĩa toán là, ta nối đơn xạ vào bên phải cấu xạ, hạt nhân cấu xạ khơng thay đổi Hint: Đặt k : K → A hạt nhân α Ta chứng minh k = ker(βα) Trước tiên, ta có (βα)k = β(αk) = β0KB = 0KC Giả sử có l : X → A cho (βα)l = β(αl) = 0XC Do β đơn xạ, ta có αl = 0XB Do định nghĩa k , tồn p : X → K để l = kp Vậy k hạt nhân βα Bây giờ, giả sử tồn k : K → A hạt nhân βα Ta chứng minh k = ker α Trước hết, ta có (βα)k = β(αk) = 0KC , mà β đơn xạ, nên αk = 0KB Nếu có u : X → A cho αu = 0XB ta có (βα)u = β(αu) = 0XC Theo định nghĩa k , tồn cấu xạ p : X → K cho u = kp Vậy k hạt nhân α Bài 19 Nếu α : A → B tồn xạ coKer(βα) = coKer(β) với β : B → C NX Ý nghĩa: ta nối toàn xạ vào bên trái cấu xạ, đối hạt nhân cấu xạ khơng thay đổi Hint: Đặt k : C → K đối hạt nhân β Ta chứng minh k = coKer(βα) Trước hết, ta có k(βα) = (kβ)α = 0BK α = 0AK Giả sử có l : C → X cho l(βα) = (lβ)α = 0AX Vì α tồn xạ, ta có lβ = 0BX Theo định nghĩa của đối hạt nhân k , tồn p : K → X cho l = pk Ky Anh, http://kyanh.net/ [4] Vậy k đối hạt nhân βα Ngược lại, giả sử tồn k : C → K đối hạt nhân βα Ta chứng minh k = coKer β Ta có k(βα) = (kβ)α = 0AK , mà α toàn xạ, nên kβ = 0BK Bây giờ, có l : C → X cho lβ = 0BX ta có l(βα) = (lβ)α = 0AX Do k đối hạt nhân βα, tồn p : K → X cho l = pk Vậy k đối hạt nhân β Bài 20 Trong phạm trù abel, vật Q nội xạ dãy khớp β α −→ A0 −→ A −→ A00 −→ (7) cảm sinh dãy khớp F G −→ [A00 , Q] −→ [A, Q] −→ [A0 , Q] −→ (8) NX Trong phạm trù cộng tính, tập hợp [X, Y ] nhóm cộng abel Do đó, dãy (8) gồm vật phạm trù nhóm; cấu xạ F , G đồng cấu nhóm mà ta xác định (Từ suy ra, ta phải chứng minh chẳng hạn F đơn cấu G toàn cấu.) Kết tập tương tự kết biết lý thuyết module M -nội xạ Hint: Trước hết, ta xác định F , G sau F (u) = uβ, G(v) = vα, u ∈ [A00 , Q], v ∈ [A, Q] (9) Sử dụng tính cộng tính phạm trù, ta chứng minh F G đồng cấu nhóm Ta chứng minh dãy khớp (7) cảm sinh dãy khớp F G −→ [A00 , Q] −→ [A, Q] −→ [A0 , Q] (10) vật Q có nội xạ hay khơng Ta có F đơn cấu Thật vậy, F (u) = uβ = với u : A00 → Q, β tồn xạ, ta có u = Bây giờ, lấy u ∈ [A00 , Q]
G F (u) = G(uβ) = (uβ)α = u(βα) = u0 = (11) Điều có nghĩa im F ⊂ ker G Ta phải chứng minh ker G ⊂ im F Lấy v ∈ ker G, tức v ∈ [A, Q] mà G(v) = vα = Ta phải tìm u ∈ [A00 , Q] để F (u) = uβ = v Với α phạm trù khớp, ta phân tích α = ts với t = ker(coKer α) = im α s = coKer(ker α) = coIm α Như vậy, G(v) = vα = v · im α · coIm α = Do coIm α toàn xạ, ta suy v im α = Do dãy (7) khớp, ta có im α = ker β Rốt cuộc, ta có v ker β = Theo Bài 15, với β tồn xạ, ta có β = coKer(ker β) (tức β đối hạt nhân ker β ) Do đó, từ v ker β = định nghĩa đối hạt nhân, ta suy tồn u : A00 → Q cho uβ = v Rõ ràng, với u đó, F (u) = uβ = v Ky Anh, http://kyanh.net/ [5] Cuối cùng, ta phải chứng minh vật Q nội xạ dãy khớp α −→ A0 −→ A (12) cảm sinh dãy khớp G [A, Q] −→ [A0 , Q] −→ (13) Để ý rằng, dãy (12) khớp α đơn xạ (xem Bài 11) Trong đó, dãy (13) khớp G toàn cấu, tức với cấu xạ v : A0 → Q tồn cấu xạ u : A → Q cho G(u) = v = uα So sánh với định nghĩa vật nội xạ, ta có điều phải chứng minh :-) Bài 21 Trong phạm trù abel, vật P xạ ảnh dãy khớp α β −→ A0 −→ A −→ A00 −→ (14) cảm sinh dãy khớp F G −→ [P, A0 ] −→ [P, A] −→ [P, A00 ] −→ (15) Hint: Các đồng cấu F , G xác định sau F (u) = αu, G(v) = βv, u ∈ [P , A], v ∈ [P, A] (16) Ta chứng minh trước hết dãy khớp (14) cảm sinh dãy khớp F G −→ [P, A0 ] −→ [P, A] −→ [P, A00 ] (17) vật P có xạ ảnh hay không Trước hết, F đơn xạ Thật vậy, với u ∈ [P, A0 ] mà F (u) = αu = 0, ta có u = α đơn xạ Ta chứng minh dãy (17) khớp [P, A] Với u ∈ [P, A0 ], ta có
G F (u) = G(αu) = β(αu) = (βα)u = 0u = (18) Do đó, im F ⊂ ker G Ta phải chứng minh ker G ⊂ im F Lấy v ∈ ker G, tức v ∈ [P, A] mà G(v) = βv = Ta phải tìm u ∈ [P, A0 ] cho F (u) = αu = v Trong phạm trù khớp, ta phân tích β = (im β) · s với s = coKer(ker β) đó, βv = im β · s · v = (19) Vì im β đơn xạ, nên s · v = coKer(ker β) · v = Vì dãy (14) khớp, ta có im α = ker β ; suy coKer(im α)·v = Vì α đơn xạ, nên theo Bài 3, ta có im α = α (coKer α)·v = Lại theo kết Bài 14, đơn xạ α, ta có α = ker(coKer α) (hay α hạt nhân coKer α) Từ định nghĩa hạt nhân, ta suy tồn cấu xạ u : P → A0 cho v = αu = F (u) Đó điều phải chứng minh Để hồn thành phần cịn lại tốn, ta lập luận tương tự phần cuối Bài 20 Bài 22 Hàm tử G : D → C có hàm tử F : C → D phụ hợp bên trái G với vật A C , hàm tử GA : D −→ S, Y 7−→ [A, G(Y )] (20) biểu diễn Ky Anh, http://kyanh.net/ [6] Hint: Hàm tử6 GA : với β : Y → Y , GA (β) : [A, G(Y )] → [A, G(Y )] xác định bởi: GA (β)(u) = G(β)u với u ∈ [A, G(Y )] Giả sử G có hàm tử F phụ hợp bên trái G Ta chứng minh rằng, với A ∈ Ob(C), hàm tử GA biểu diễn vật F (A) ∈ D Sự tồn F nghĩa hai hàm tử sau tương đương tự nhiên F : C × D −→ S, (X, Y ) 7−→ [F (X), Y ], (α,β) (X , Y ) −−−→ (X, Y ) 7−→ F (α, β) : [F (X), Y ] −→ [F (X ), Y ], (21) F (α, β)(g) = β · g · F (α); G : C × D −→ S, (X, Y ) 7−→ [X, G(Y )], (α,β) (X , Y ) −−−→ (X, Y ) 7−→ G(α, β) : [X, G(Y )] −→ [X , G(Y )], (22) G(α, β)(g) = G(β) · g · α Ký hiệu tX,Y : [X, G(Y )] → [F (X), Y ] song ánh để biểu đồ tX,Y [X, G(Y )] / [F (X), Y ] G(α,β) F (α,β)  [X , G(Y )] tX ,Y  / [F (X ), Y ] (23) giao hoán với (α, β) : (X , Y ) → (X, Y ) Bây giờ, cố định vật A ∈ Ob(C) đặt R = F (A) Từ sơ đồ với X = A ∈ Ob(C), α = 1A β ∈ [Y, Y ], ta có sơ đồ giao hốn: tA,Y [A, G(Y )] / [F (A), Y ] G(1A ,β) F (1A ,β)  [A, G(Y )] tA,Y  / [F (A), Y ] (24) Để ý rằng, F (1A , β)(u) = β · u · F (1A ) = βu, tương tự G(1A , β)(u) = G(β)u Xét hàm tử H R sau: H R : D −→ S, Y 7−→ H R (Y ) = [R, Y ], β Y −→ Y 7−→ H R (β) : [R, Y ] −→ [R, Y ], (25) H R (β)(u) = βu Với lưu ý R = F (A) cách xác định F (1A , β), ta có H R (β)(u) = βu = F (1A , β)(u) Có cần kiểm tra GA hàm tử? Ky Anh, http://kyanh.net/ [7] Để chứng minh hàm tử GA biểu diễn (bởi F (A)), ta chứng minh hàm tử GA tương đương tự nhiên7 với hàm tử H R Xét ánh xạ r sau: r : Ob(D) −→ Mor(S) (26) Y 7−→ r(Y ) : H R (Y ) −→ GA (Y ), đây, H R (Y ) = [R, Y ], GA (Y ) = [A, Y ] ta chọn r(Y ) = (tA,Y )−1 (khi đó, hiển nhiên r(Y ) song ánh) Ta cần sơ đồ sau giao hoán (với β ∈ [Y, Y ]) [R, Y ] r(Y ) / [A, G(Y )] H R (β) GA (β)  [R, Y ] r(Y 0)  / [A, G(Y )] (27) Từ sơ đồ giao hoán (24) với để ý GA (β)(u) = G(β)u = G(1A , β)(u) H R (β)(u) = βu = F (1A , β)(u) r(Y ) = (tA,Y )−1 , ta có điều phải chứng minh — Nếu bạn chưa hiểu, theo dõi chứng minh sau: từ (24), ta có F (1A , β) · tA,Y = tA,Y · G(1A , β) ⇐⇒ ⇐⇒ H R (β) · tA,Y = tA,Y · GA (β) (28) (tA,Y )−1 · H R (β) = GA (β) · (tA,Y )−1 ⇐⇒ r(Y ) · H R (β) = GA (β) · r(Y ), tức (27) giao hoán NX Việc tìm R = F (A) xuất phát từ việc quan sát (27) (cần) (24) (có) Hint: Để làm phần đảo toán, cần sử dụng phạm trù biểu diễn hàm tử Chứng minh phần này8 tìm thấy nhiều tài liệu lý thuyết phạm trù Bài 23 Cho M R-S module cố định Các hàm tử9 F : Mod-R −→ Mod-S, G : Mod-S −→ Mod-R, X 7−→ X ⊗ M, Y 7−→ Hom(M, Y ), α 7−→ α ⊗ 1; β 7−→ Hom(1, β) (29) liên hợp, liên hợp chúng HomS (X ⊗R M, Y ) −→ HomR X, HomS (M, Y )
(30) đẳng cấu nhóm abel Thanks to Nguyễn Thái An Vượt khả tác giả :D Cần kiểm tra F , G hàm tử Ky Anh, http://kyanh.net/ [8] Hint: Trước hết, ta xây dựng đẳng cấu
KX,Y = K : HomS (X ⊗R M, Y ) −→ HomR X, HomS (M, Y ) (31) Với u ∈ Hom(X ⊗ M, Y ) x ∈ X , ta xét ánh xạ K(u)(x) sau K(u)(x)(m) = u(x ⊗ m) (32)
Ta chứng minh K(u)(x) ∈ Hom(M, Y ) K(u) ∈ HomR X, HomS (M, Y ) Bước tiếp theo, ta chứng minh K đồng cấu nhóm, tức K thỏa mãn u, v ∈ Hom(X ⊗ M, Y ) K(u + v) = K(u) + K(v), (33) Bây giờ, ta chứng minh K đơn cấu Nếu K(u) = với u đó, K(u)(x)(m) = u(x ⊗ m) = 0, x ∈ X, m ∈ M (34) Vì tập hợp {x ⊗ m : x ∈ X, m ∈ M } hệ sinh X ⊗ M , nên từ (34) ta suy u = Ta chứng minh K toàn cấu
Lấy v ∈ HomR X, HomS (M, Y ) Ta u ∈ Hom(X ⊗ M, Y ) để K(u) = v Xét ánh xạ f : X × M → Y sau: f (x, m) = v(x)(m) (35) Ta có f ánh xạ song tuyến tính Do đó, theo định nghĩa tích tensor X ⊗ M , tồn (duy nhất) đồng cấu u : X ⊗ M → Y cho u(x ⊗ m) = f (x, m), x ∈ X, m ∈ M (36) Với u đó, ta có u ∈ Hom(X ⊗ M, Y ) K(u) = v Hint: Bây giờ, ta chứng tỏ F phụ hợp bên trái G Với (α, β) : (X , Y ) → (X, Y ), ta xác định ánh xạ F (α, β) G(α, β) sau: F (α, β)(u) = β · u · F (α); G(α, β)(v) = G(β) · v · α; (37) xác định ánh xạ thể qua hai sơ đồ sau: F (α) β u F (X ) −−−→ F (X) −→ Y −→ Y ; α G(β) v X −→ X −→ G(Y ) −−−→ G(Y ) (38) (39) −1 Ta phải chứng tỏ rằng10 sơ đồ sau giao hoán (với HX,Y = KX,Y ): [X, G(Y )] HX,Y G(α,β) F (α,β)  [X , G(Y )] 10 / [F (X), Y ] HX ,Y  / [F (X ), Y ] , (40) ` ´ Để ý: [X, G(Y )] = Hom X, Hom(M, Y ) [F (X), Y ] = Hom(X ⊗ M, Y ) Ky Anh, http://kyanh.net/ [9] tức phải chứng minh

F (α, β) HX,Y (u) = HX ,Y G(α, β)(u) (41)
với u ∈ Hom X, Hom(M, Y ) Với x0 ∈ X m ∈ M , ta có
  F (α, β) HX,Y (u) (x0 ⊗ m) = β · HX,Y (u) · (α ⊗ 1) (x0 ⊗ m)  
= β · HX,Y (u) α(x0 ) ⊗ m 
 = β HX,Y (u) α(x0 ) ⊗ m 
 = β u α(x0 ) (m) (42) G(β)(v) = Hom(1, β) (v) = β · v , ta có
  HX ,Y G(α, β)(u) (x0 ⊗ m) = HX ,Y G(β) · u · α (x0 ⊗ m)
= G(β) · u · α (x0 )(m) 
 = G(β) u α(x0 ) (m) 
 = β · u α(x0 ) (m) 
 = β u α(x0 ) (m)
Vậy (41) nghiệm với u ∈ Hom X, Hom(M, Y ) (43) Bài 24 Với A ∈ Ob(R-Mod), hàm tử H A = HomR (A, −) : R-Mod −→ Ab khớp trái Hint: Hàm tử F = H A xác định X 7−→ F (X) = [A, X] = Hom(A, X), α X −→ X 7−→ F (α) : Hom(A, X) −→ Hom(A, X ), F (α)(u) = α · u, (44) u ∈ Hom(A, X) Ta chứng minh F hàm tử hiệp biến, cộng tính NX Các phạm trù Ab R-Mod abel (khớp, cộng tính, có tích hữu hạn) Do đó, để chứng minh H A khớp, ta chứng minh dãy khớp α β −→ X −→ Y −→ Z (45) cảm sinh dãy khớp nhóm abel F (α) F (β) −→ Hom(A, X) −−−→ Hom(A, Y ) −−−→ Hom(A, Z) (46) Kết có lý thuyết module Dưới đây, ta sử dụng định nghĩa để giải toán α β Hint: Xét dãy đồng cấu X −→ Y −→ Y , đó, α = ker β , tức X = Ker β α phép nhúng X vào Y Ta phải chứng minh sơ đồ F (α) F (β) F (X) −−−→ F (Y ) −−−→ F (Z) Ky Anh, http://kyanh.net/ (47) [10]
ta có F (α) = ker F (β) Lấy v ∈ Hom(A, Y ) Ta có v ∈ Ker F (β)
F (β)(v)(a) = (β · v)(a) = β v(a) = 0, ∀a ∈ A; (48) tức v(a) ∈ Ker β với a ∈ A — điều có nghĩa v(A) ⊂ Ker β hay v ∈ Hom(A, Ker β) Ta vừa chứng minh Ker F (β) = Hom(A, Ker β) = F (Ker β) = F (X) Để kết thúc chứng minh, ta nhận xét F (α)(u) = αu = u (do α phép nhúng X vào Y ) — tức F (α) phép nhúng F (X) vào F (Y ) Bài 25 Với B ∈ Ob(R-Mod), hàm tử11 HB = Hom(−, B) : R-Mod −→ Ab khớp trái Hint: Hàm tử F = HB = Hom(−, B) xác định sau: X 7−→ F (X) = Hom(X, B), α X −→ X 7−→ F (α) : Hom(X, B) −→ Hom(X , B), F (α)(u) = u · α, (49) u ∈ Hom(X, B) Ta chứng minh F hàm tử phản biến, cộng tính β α Xét sơ đồ X −→ Y −→ Z , đó, β = coKer α, tức β phép chiếu Y vào Z = Y / Im α Ta phải chứng minh rằng, sơ đồ F (β) F (α) Hom(Z, B) −−−→ Hom(Y, B) −−−→ Hom(X, B) (50) ta có F (β) = ker F (α) Lấy v ∈ Hom(Y, B) Ta có v ∈ ker F (α)
F (α)(v)(x) = (v · α)(x) = v α(x) = 0, ∀x ∈ X; (51) tức Im α ⊂ Ker v Ký hiệu Ω tập hợp đồng cấu v ∈ Hom(Y, B) mà Im α ⊂ Ker v Ta có Im F (β) ⊂ Ω Thật vậy, với u ∈ Hom(Z, B) = Hom(Y / Im α, B) với y ∈ Im α, ta có

F (β)(u)(y) = (u · β)(y) = u β(y) = u β(0) = 0; (52) điều có nghĩa v = F (β)(u) có nhân chứa Im α, tức v ∈ Ω Ta chứng minh F (β) đẳng cấu Hom(Z, B) Ω, cách đồng cấu G từ Ω đến Hom(Z, B) cho F (β) · G = G · F (β) = Đồng cấu G xác định sau: G : Ω −→ Hom(Z, B),
v 7−→ G(v) β(y) = G(v)(y) = v(y), y ∈ Y (53) Để ý rằng, với y, y ∈ Y v ∈ Ω, β(y) = β(y ) β(y − y ) = hay y − y ∈ Im α; Im α ⊂ Ker v , nên từ ta có v(y − y ) = hay v(y) = v(y ); điều có nghĩa v(y) khơng phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp β(y) = y ; đó, G(v) xác định cách hợp lý Ta kiểm tra đẳng thức F (β) · G = G · F (β) = 11 phản biến! Ky Anh, http://kyanh.net/ [11]
Với u ∈ Hom(Y, B) y ∈ Y , ta có G(u) ∈ Hom(Z, B) F (β) · G (u) ∈ Hom(Y, B) 

 
F (β) · G (u) (y) = F (β) G(u) (y) = G(u) · β (y) = G(u) β(y) = u(y); (54)
F (β) · G (u) = u hay F (β) · G = Bây giờ, với u ∈ Hom(Z, B), ta có
G · F (β) (u) ∈ Hom(Z, B) F (β)(u) = uβ ∈ Hom(Y, B), (55) Với z = β(y) ∈ Z , ta có


(53) G · F (β) (u)(z) = G F (β)(u) (z) ==== F (β)(u) (y) = (u · β)(y) = u(z) (56)
Vậy G · F (β) (u) = u hay G · F (β) = Bài 26 Cho A ∈ Ob(Mod-R) Khi đó, hàm tử F = A ⊗R − khớp phải, với F cho F = A ⊗ − : R-Mod −→ Ab, X 7−→ A ⊗ X, α X −→ X 7−→ 1A ⊗ α : A ⊗ X −→ A ⊗ X , (57) (1A ⊗ α)(a ⊗ x) = a ⊗ α(x) Hint: Ta chứng minh F hàm tử hiệp biến, cộng tính α β Xét sơ đồ X −→ Y −→ Z , với β = coKer α, tức β phép chiếu từ Y vào Z = Y / Im α Ta phải chứng minh sơ đồ F (α) F (β) A ⊗ X −−−→ A ⊗ Y −−−→ A ⊗ Z (58) ta có F (β) = coKer F (α) Việc chứng minh không đơn giản :D Ta sử dụng tiêu chuẩn nhận biết hàm tử khớp phạm trù abel Để ý R-Mod Ab phạm trù abel Mặc khác, với dãy khớp R-Mod α β X −→ Y −→ Z −→ 0, (59) ta có dãy nhóm abel khớp sau (do tính khớp phải tích tensor12 ) F (α) F (β) A ⊗ X −−−→ A ⊗ Y −−−→ A ⊗ Z (60) Như vậy, F khớp phải 12 Kết chứng minh lý thuyết module Ky Anh, http://kyanh.net/ [12] Bảng đối chiếu tập Cơ sở Đại số đại tài liệu 2.4.a, p.96 — 6, p.2 3.1.2, p.107 — 8, p.2 3.1.2, p.107 — 10, p.2 3.2.2, p.107 — 11, p.2 3.2.3, p.107 — 12, p.3 3.2.4, p.107 — 13, p.3 3.1.1, p.107 — 14, p.3 3.1.1, p.107 — 15, p.3 3.3.3, p.107 — 16, p.3 3.3.4, p.107 — 17, p.4 2.4.b, p.96 — 18, p.4 2.4.b’, p.96 — 19, p.4 3.6.1, p.108 — 20, p.5 3.6.2, p.108 — 21, p.6 3.4, p.133 — 22, p.6 3.3, p.133 — 23, p.8 5.2.a, p.152 — 24, p.10 5.2.a, p.152 — 25, p.11 5.2.b, p.152 — 26, p.12 Ky Anh, http://kyanh.net/ [13]