Đề thi vào chuyên toán khoa học tự nhiên-ĐHQG Hà Nội năm học 2014

D là điểm nằm trên BC ( D nằm giữa B và C) sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC. Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam g[r]

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0989189380 Page ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHTN ( ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI) NĂM

HỌC 2014 – 2015

Mơn thi: Tốn ( không chuyên)

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I

1) Giải phương trình  x 1 1x2 1x2  2

2) Giải hệ phương trình

2

2

1

2

x xy y

x xy y

   

 

  



Câu II

1) Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz Chứng minh rằng:

 

   

2 2

5

2

1 1

xyz x y z

x y z

x y z x y y z x z

 

  

     

2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y2 2x    y x y xy

Câu III Cho tam giác ABC nhọn với AB < BC điểm thuộc cạnh BC cho AD phân giác góc ABC Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực AC E Đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực AB F

1 Chứng minh: tam giác ABF đồng dạng tam giác ACE Chứng minh: AD, BE, CF đồng quy G

3 Đường thẳng qua G song song với AE cắt BF Q Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC P Chứng minh điểm A, P, G, Q, F thuộc đường tròn

Câu IV Giả sử a, b, c số thực dương ab + bc + ca = Chứng minh rằng:

  4

2

9

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0989189380 Page

Mơn thi: Tốn ( chuyên)

Thời gian làm : 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I

1) Giả sử x, y số thực dương phân biệt thỏa mãn:

2

2 8

2

4

y y y y

xy x y  x y x y 

Chứng minh 4x = 5y

2) Giải hệ phương trình:

2

2

2 12

6 12

x y xy

x x y y y x

   

 

   



Câu II:

1) Cho x, y số nguyên lớn cho 4x y2 27x7y số phương Chứng minh x = y

2) Giả sử x, y số thực khơng âm thỏa mãn x3y3xyx2y2 Tìm GTLN

và GTNN biểu thức:

2

x x

P

y y

 

 

 

Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp (O) điểm P nằm tam giác cho BP = PC D điểm nằm BC ( D nằm B C) cho P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB E khác B Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC F khác C

1) Chứng minh điểm A, E, P, F thuộc đường tròn

2) Giả sử đường thẳng AD cắt (O) Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng CQ L Chứng minh tam giác ABE đồng dạng tam giác CLF

3) Gọi K giao điểm đường thẳng AE đường thẳng QB Chứng minh

   

QKL PAB QLKPAC

Câu IV Cho tập hợp A gồm 31 phần tử dãy gồm m tập hợp A thỏa mãn đồng thời điều kiện sau:

i) Mỗi tập thuộc dãy m có phần tử

ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung phần thử số phần tử hai tập khác

Chứng minh : m900