Đề thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2014-2015 thành phố Đà Nẵng

Tại một hội nghị quốc tế, các thành viên tham dự đều biết ít nhất một trong ba thứ tiếng: Anh, Pháp, Đức. Biết rằng số thành viên biết Tiếng Anh, số thành viên biết Tiếng Pháp và số thà[r]

Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia Tp Đà Nẵng năm học 2014 - 2015

VÒNG (11/9/2014)

Bài (5đ)

Tìm cơng thức tính số hạng tổng quát dãy số (xn) biết 1 2013 2014

x  : xn 1 14 2011  xn

Chứng minh dãy số ( )xn có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Bài (5đ)

Tìm tất hàm số f Z: R cho f  0 0,f  1 6

        ,

f x f y  f x y f x y x yZ

Bài (5đ)

Cho hai đường tròn  C 1  C cắt hai điểm phân biệt C, D cho tâm O 2  C2

nằm  C Gọi A điểm 1  C B điểm nằm 1  C cho đường thẳng AC 2

tiếp xúc với  C C đường thẳng BC tiếp xúc với 1  C C Đường thẳng AB cắt lại 1  C2

E cắt  C F Gọi G giao điểm thứ hai đường thẳng CE 1  C Hai đường 1 thẳng CF GD cắt H Chứng minh giao điểm GO EH tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Bài (5đ)

VÒNG (12/9/2014) Bài (7đ)

Cho tam giác ABC nhọn khơng cân có O tâm ngoại tiếp Gọi P điểm nằm tam giác cho AP vng góc với BC Đường trung trực đoạn AP cắt AC M Đường trung trực đoạn thẳng MC cắt BC N, đường thẳng AO MN cắt K Gọi D điểm đối xứng O qua BC

a) Chứng minh đường thẳng AD qua trung điểm Q đoạn thẳng PK

b) Gọi E F hình chiếu vng góc P lên CA AB Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng EF qua Q

c) Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Đường trung trực đoạn thẳng EF cắt đường thẳng AI T Chứng minh KT vng góc BC

Bài (7đ)

Với số nguyên dương n, gọi f(n) số cách thay dấu "±" biểu thức ±1±2±3 ±n dấu "+" "−" cho tổng đại số nhận Chứng minh rằng:

a) f(n)=0 n≡1(mod4) n≡2(mod4)

b)221

n

≤f(n)<2n−2[2]1

n

n≡0(mod4) n≡3(mod4)

Bài (6đ)