Đề thi thử đại học lần 3 trường THPT chuyên Nguyễn Huệ-Hà Nội năm 2014

Xác định vị trí hai điểm A, B thuộc (E) biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC có diện tích lớn nhất.. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm I trên .[r]

http://edufly.vn

1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2013 - 2014

ĐỀ THI MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu (2,0 điểm) Cho hàm số:

1 x y

x  

 có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm đồ thị (C) hai điểm A, B cho đường thẳng AB qua điểm I(1;1) trọng tâm tam giác ABO thuộc đường thẳng d: 2x + 9y – 12 =

Câu ( 2,0 điểm)

1 Giải phương trình: sin 2xcos 2x3cosxsinx 

2 Giải hệ phương trình sau

2

2 2

2

4

x xy y y

x xy y y

    

 

   

 

Câu (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm C(3;0) elip (E) có phương trình

2

1

9

x y

  Xác định vị trí hai điểm A, B thuộc (E) biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hoành tam giác ABC có diện tích lớn

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z + = đường thẳng d:

2 1

1

x y z

 

 cắt điểm I Gọi  đường thẳng nằm (P),  vng góc với d, khoảng cách từ I đến  Tìm hình chiếu vng góc điểm I 

Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (SBC)

và (SAB) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD

Câu (2,0 điểm)

1 Tính tích phân:

2

ln ln ln

e

x x x

dx

x x

 





2 Cho hai số phức z w thỏa mãn z  w  Chứng minh số

2

2

w

1 w

z z 

 số thực

http://edufly.vn

2

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng:

        

4 4

1 1

1 1 1

a b c b c a c a b 

-HẾT - ĐÁN ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN: TỐN

Câu Ý Nội dung Điểm

1 1 TXĐ: R\ 1

 2

1

'

1 y

x

 



1 x   

Hàm số nghịch biến khoảng  ; 1   1; 

0,25

Giới hạn:

1

2

lim ; lim

1

x x

x x

x x

 

 

 

    

  đường tiệm cận đứng đồ thị x = -1

lim

1

x

x x





 

 đường tiệm cận ngang đồ thị y =2

0,25

Bảng biến thiên

0,25

Đồ thị

Nhận xét: đồ thị nhận điểm I(-1;2) tâm đối xứng 0,25

2 Vì đường thẳng x = cắt đồ thị điểm nên phương trình đường thẳngAB qua I(1;1) có dạng

http://edufly.vn

3 Hoành độ A, B nghiệm phương trình:

  2  

1 *

1 x

k x kx x k

x 

      

 ( Vì x = -1 khơng nghiệm) Vì   1 k2  nên phương trình ln có nghiệm phân biệt

Gọi điểm A x y 1; 1;B x y 2; 2 x x nghiệm phương trình (*) 1, 2 Theo định lý viet ta có:

1 x x k x x         

Gọi G trọng tâm tam giác ABO đó:

3

A B o

G

x x x

x k     1 2

1

1

3 3

A B o

G

y y y x x k

y

  

   

   

0,25

Vì G thuộc đường thẳng 2x + 9y – 12 = ta có:

2

2

2

9 12 18

1 3 k k k k k k                       0,25 Với     2;3 , ;

2

1

3

2,3 , ; 2 A B x k x B A                               

1 10 10

3 10 10; , 10;

6 6

k x  A    B  

   

   



0,25

2 1

PT:

sin cos cos sin

2 sin cos sin cos 3cos 1

cos sin cos

x x x x

x x x x x

x x x                    0,25

sin cos sin

4 2

2

x k

x x x

x k                       0,25 cos

x  x  k

Kết luận nghiệm phương trình ; ;

2

xk  x k  x  k 

http://edufly.vn

4

2

Ta có:

 

 

 

   

2

2

2 2 2

2 0(1)

6 3 0(2)

x y y x x y y x

x y xy y x y y x

         

 



 

       

 

 

Từ (1)  x y2 y2x1thế vào (2) ta được:

 2     

2 2

2 2

y x  y x   y x x  0,25

2

0

1

2

1

0

2

y x

y x

y

x y



    

  

  

 

 



   

 

Vậy hệ có nghiệm là: (0;0), (2;1), (2;2)

0,5

3 1

Gọi A(a,b) thuộc (E)

2

1

9

a b

  

Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên B(a;-b)

0,25

Gọi H trung điểm AB ta có:

   

   

2

2

2

3 0

AB a a b b b

CH a a

    

     

0,25

   2 2

1

2

ABC

S AB CH b a a a

      

         

2

9 3 3

2

9 3 3

4

3 3

a a a a

a a a a      

        

 

Vậy max

ABC

S  , Dấu xảy 3 3

2

a a a b

        

Vậy 3; , 3;

2

A  B  

   

3

; , ;

2

A   B 

   

0,25

2 I d( )P I3;0; 4

Gọi (Q) mặt phẳng chứa d vng góc với (P) suy vectơ pháo tuyến (Q) là:

   

, 2; 4; / / 1; 2;

Q p d

n n n     

 

  

0,25

Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) suy vecto phương 1 d là: 1

   

1 , 3; 0; / / 1; 0;1

d p Q

n n n  

 

  

http://edufly.vn

5 PT d qua I(3;0;4) 1

3

x t

y

z t

   

     

Gọi M hình chiếu I  Md1M3t;0; 4t Ta có  Md1M3t; 0; 4t

Vậy  

; 3 2 18

3 t

d I IM t

t  

       

   Vậy M(6;0;7) M(0;0;1)

0,25

4 Gọi O tâm hình vng ABCD Vì S.ABCD hình chóp nên SOABCD

Kẻ AM SB M SB Vì ACSBD ACSB

  SB AM

SB AMC

SB CM

 

   

 

   

 SAB , SBC  AM CM,  60

   

Vì BOM vng M nên OM BOAO Suy

  

tanAMO AO AMO 45o AMC 90 MO

     

Vậy  120o

AMC 

0,25

Ta có: tan

tan 60

AO AO a

AMO MO

MO

    

Trong tam giác vng SBO ta có: 2 12 12

2 a SO

MO SO BO  

Vậy

3

1

3

S ABCD SBCD

a

V  SO S 

http://edufly.vn

6 Trong mặt phẳng (SBD) kẻ trung trực SB cắt SO I

Vì ISOIBICID

Vì I thuộc trung trực SBIS IB Ta có

2

2 2 3

4

a a

SB SO OB  SB

 

4

SI SH SB SH a

SHI SOB gg SI

SB SO SO

      

Vậy bán kính mặt cầu

a R 

0,5

5 1

1 1

ln ln ln

ln

ln ln

e e e

x x x x

dx xdx dx

x x x x

  

 

 

   0,25

1

1 1

ln ln

e e e

e

xdxx x  xddx e dx

   0,25

    1 ln ln

ln ln ln

ln ln

e e

e

d x x

x

dx x x e

x x x x

 

    

 

 

Vậy  

2

ln ln

1 ln ln

e

x x x

dx e x x        0,5

2 Ta có z  w  1 z z w.w 0,25

Đặt 2 2 w w z A z    Ta có:

2 2 2 2 2

2 2 2

2

1

w w

1

1 w 1 w

w

z z w z w z

A A

z z w z

z              0,5

Ta có A = a + bi nên AA a bi a bibi0b

Vậy A số thực 0,25

6

Đặt x 1,b 1,z

a b c

   Khi VT(1)

        

3 3

1 1 1

x y z

y z z x x y

  

      0,25

Theo Côsi

  

3

1

1 8

x y z x

y z          

1

1 8

y z x y

z x          

1

1 8

z x y z

x y

 

  

 

http://edufly.vn

7 Cộng bđt vế với vế ta  1

2

x y z

VT     0,25

Mặt khác abc = nên xyz = 1, x  y z 33 xyz  Từ suy đpcm 3