Tải Đề thi vào lớp 10 môn Toán (chuyên) trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm học 2017 - 2018 - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán có đáp án

1a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.. Do đó với mọi số thực m hệ phương trình luôn có nghiệm. Chứng minh rằng FA FD  và đường thẳng FD tiếp xúc với đường tr[r]

Equation Chapter Section 1S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MƠN: TỐN

Dành cho thí sinh thi chun Tốn, chuyên Tin học Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

—————————

Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x2 2(m1)x2m2 3m 1 0, m tham số, x ẩn số

a) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm

b) Giả sử phương trình cho có hai nghiệm x x1, Chứng minh 2 x x x x 

Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình

2

2

4

x xy

x xy y m

  

 

  



 , m tham số x y, là

các ẩn số

a) Giải hệ phương trình với m 7

b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm

Câu (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD vớiAD BC, hai cạnh đáy, BCAD, BC BD 1, ABAC,CD 1, BAC BDC 1800, E điểm đối xứng với D qua đường thẳng BC.

a) Chứng minh điểm A, C, E, B nằm đường tròn BEC 2AEC.

b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD điểm K, đường thẳng BC cắt đường thẳng AE tại điểm F Chứng minh FA FD đường thẳng FD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK.

c) Tính độ dài cạnh CD.

Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x2y2z2 3xyz (1) Mỗi số x y z, ,  x y z, , số nguyên dương thỏa mãn (1) gọi nghiệm nguyên dương phương trình (1)

a) Tìm tất nghiệm ngun dương có dạng x y y, ,  phương trình (1)

b) Chứng minh tồn nghiệm nguyên dương a b c, ,  phương trình (1) thỏa mãn điều kiện ; ;a b c  2017 Trong kí hiệu ; ;a b c số nhỏ ba số a b c, , Câu (1,0 điểm) Cho số tự nhiên n 1 n 2 số nguyên dương a a1, , ,2 an2 thỏa mãn điều kiện 1a1a2  an2 3n Chứng minh tồn hai sốa ai, j (1   j i n 2; ,i j ) cho n a i aj 2n.

SỞ GDĐT VĨNH PHÚC

(Đáp án gồm 05 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017 – 2018

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho chun Tốn, chun Tin học)

Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x2 2(m1)x2m2 3m 1 0, m tham số, x là ẩn số

Nội dung Điểm

1a) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm. 1,00 PT có nghiệm   ' (m1)2 (2m2 3m1) 0 0,25

2 0 ( 1) 0

m m m m

      0,25

0 0 0 1 m m m m m m m m m                                   0,25

0 m

   0,25

1b) Giả sử phương trình cho có hai nghiệm x x1, 2 Chứng minh rằng

1 2 x x x x 

.

1,00

Theo Viet ta có:

1 2

2( 1)

x x m

x x m m

         0,25 2

1 2

1

| | | 1|

4 16

P x x x x m m m 

           

  0,25

Có

2

1

0

4 4 16

m m m 

           

  0,25

Suy

2

9

2

16

P   m  

 

  , dấu xảy m 

0,25

Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình

2

2

4

x xy

x xy y m

  

 

  



 , m tham số x, y là các ẩn số.

Nội dung Điểm

2a) Giải hệ phương trình với m 7. 1,00

Với m=7 ta có:

2 2 2 2

4 4 4 7

x

x xy y

x

x xy y x xy y

                   

 (do x 0 không thỏa mãn).

2

2

2 2

4x 4x x x

x x

 

 

     

 

0,25

   2  

4 2 2 2

4 2 1

8

x x x x x x x x x 

              

  0,25

2

1

x x

   

Với x 1 y1

Với x 1 y1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y   ;   1; , 1;1   

0,25

2b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm 1,00 Ta có x 0 không thỏa mãn suy x 0

Rút y từ PT thứ vào PT thứ hai ta có:

2

2 2

4x 4x x x m

x x

 

 

    

 

0,25

Hệ có nghiệm    

2

4 2 2

4x 4x 2x 2x mx

     

có nghiệm khác 0,25

4

8x mx

    có nghiệm khác Đặt tx t2, 0. Thay vào phương trình ta được

8t  mt1 0 (1) Như yêu cầu toán   1 có nghiệm dương. 0,25 Dễ thấy phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu ac 0 suy (1) ln có

nghiệm dương Do với số thực m hệ phương trình ln có nghiệm 0,25

Câu (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD thỏa mãnAD BC, là hai đáy, BCAD, BC BD 1, ABAC,CD 1, BAC BDC 1800, E điểm đối xứng với D qua đường thẳng BC.

a) Chứng minh điểm A, C, E, B nằm đường tròn BEC2.AEC. b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD điểm K, đường thẳng BC cắt đường thẳng

AE điểm F Chứng minh FA FD đường thẳng FD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK.

c) Tính độ dài cạnh CD.

F

E K

L A

D

B

C

3a) Chứng minh điểm A, C, E, B nằm đường tròn và  2.

BEC AEC. 1,00

Do E đối xứng D qua BC nên BDC BEC  0,25

Có BAC BDC  1800 BAC BEC  1800 suy A C E B, , , nằm đường

tròn 0,25

Có tam giác ABC cân A nên ABCACB, kết hợp với tứ giác ACEB nội tiếp ta được

  , 

ABCAEC ACB BEA 0,25

Từ suy AEC BEA  BEC2.AEC. 0,25

3b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD điểm K, đường thẳng BC cắt đường thẳng AE điểm F Chứng minh FA FD đường thẳng FD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK.

1,00

Có: DEBC AD BC,   ADEvuông D FD FE FA  . 0,25 Mặt khác BAC BDC 1800 BAC BDK  tứ giác AKDL nội tiếp. 0,25 Có ADB DBC (do AD||BC), tứ giác ACEB nội tiếp suy CAE CBE  , BC trung

trực BE nên DBC CBE  Do ADB CAE suy 0,25 FA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK, kết hợp với FA FD  FD là

tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK. 0,25

Do EF phân giác BEC, suy

FC CE

CE

FB EB  (vì BE BD 1)

Ta có AFC đồng dạng với

AC BE

BFE

AF BF

  

0,25

Áp dụng định lý Ptolemy có: AE BC AB CE AC BE   2AF AC(1CE) 0,25

1

1

AC BE BC BF FC FC

CE

CE AF BF BF BF BF



        

 0,25

1 EC2 EC

     

2

CD EC

    . 0.25

Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x2y2z2 3xyz (1) Mỗi số x y z, ,  x y z, , là các số nguyên dương thỏa mãn (1) gọi nghiệm nguyên dương phương trình (1).

Nội dung Điểm

4a) Tìm tất nghiệm ngun dương có dạng x y y, ,  phương trình (1). 1,00 Giả sử phương trình có nghiệm ngun dương x y y, ,  Khi thay vào phương trình

ta được: x2y2y2 3xy2  x22y2 3xy2

0,25

suy x y2  x y  x ty Thay trở lại phương trình ta 2 2 3 2 2 3

t y  y  t y y  t   ty. 0,25

Từ phương trình ta 2t t 1, 2 0,25 Với t 1 y 1 x1

Với t 2 y 1 x2. Do phương trình cho có hai nghiệm nguyên dương dạng x y y, ,  là:1,1,1 , 2,1,1   .

0,25

4b) Chứng minh tồn nghiệm nguyên dương a b c, ,  phương trình (1) và

thỏa mãn điều kiện min ; ;a b c  2017 Trong kí hiệu min ; ;a b c là số nhỏ nhất trong ba số a b c, ,

1,00

Ta có x1,y2,z5 nghiệm phương trình cho Giả sử amin ; ;a b c với a b c  thỏa mãn a2b2c2 3abc.

0,25

Xét phương trình:    

2 2 2 2

3

a d b c  a d bc  ad d  bcd

*

3

d bc a N

    . 0,25

Suy phương trình (1) có nghiệm a b c'; ;  với a' a d.

Do a b c  , suy mina b c'; ;  min ; ;a b c a.

Lặp lại q trình sau khơng 2017 lần ta ; ;a b c  2017 0,25

Câu (1,0 điểm) Cho số tự nhiên n 1 số nguyên dương a a1, , ,2 an2 thỏa mãn điều kiện

1 2

1a a  an 3n Chứng minh tồn hai số a ai, j (1   j i n 2; ,i j )

sao cho n a i  aj 2n.

Nội dung Điểm

Với k đặt bi ai k ai aj aik ajk  b bi j (2) Do ta chọn k

sao cho bn2 3n chuyển xét dãy số 1 b1 b2  bn2 3n Khi ta cần chứng minh tồn hai số b bi, j (1   j i n 2; ,i j ) cho n b b i j 2n

0,25

Xét trường hợp:

1 Nếu tồn j1, 2, ,n1 cho n b j 2n ta có: n b n2 bj 2n 0,25

2 Nếu với j1, 2, ,n1 ta có bjn1; 2n1 thì số

   

1, 2, , n 1, 2, ,3 \ 1, ,

b b b  n n n Các số thuộc tập

1, 2, ,3n1 \ n1, , 2n1

chia thành n cặp số: 1; , 2; 2n  n1 , , n n; 1 Do

0,25

trong n 1 số b b1, 2, ,bn1, tồn số b bi, j (j i ) thuộc cặp, chẳng hạn t; 2n t 1

hay n b b i j 2n t  1 t2n 1 2n Theo (2) từ cặp số b bi, j thỏa mãn

2

i j

n b b   n tồn cặp số a ai, jthỏa mãn n a i aj 2n.

0,25

Lưu ý chấm bài:

- Hướng dẫn chấm (HDC) trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có bài làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước đó.

- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm.

- Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng được điểm.

- Bài hình học khơng vẽ hình phần khơng cho điểm phần đó. - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn.