[VNMATH.COM]-Inequality_via_Theorems&Problems.

1.. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.. a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro).. Một số bất đẳng thức cổ điển khác 1.. Chứng minh rằng.. Biết được điểm xảy ra dấu bằng, chúng ta có thể tìm được cá[r]

Bất đẳng thức qua định lý toán

Trần Nam Dũng Trường ĐH KHTN TpHCM Đi chậm tiến xa - Start small, go big

Làm để học toán cách hiệu quả? Có phải giải thật nhiều tốn?

Tất nhiên muốn học tốn phải biết giải toán Nhưng đâm đầu vào giải hay đọc lời giải toán cho thật nhiều, thật nhanh cố gắng nhớ khơng phải cách hay Học toán phải vấn đề bản, phải chậm để ngấm hiểu phương pháp cách thấu đáo Và phải luôn việc nghiên cứu chứng minh định lý, tìm hiểu ý nghĩa tầm ứng dụng Chính mà người ta nói: Đi chậm tiến xa Ai vội vàng dễ dàng vấp ngã bị toán đè lên: Lật đật toán đè Hãy cố gắng làm toán với tốc độ thật chậm, thật Chậm học để nhanh thi

Bất đẳng thức mảng tốn khó chương trình phổ thơng nói chung chương trình chun tốn nói chung Mặc dù trang bị cơng cụ mạnh, phương pháp phân tích bình phương, dồn biến, ABC, pqr, hàm lồi … đứng trước toán bất đẳng thức mới, cảm thấy lúng túng thiếu tự tin

Vậy làm để tự tin tìm định hướng giải tốn bất đẳng thức? Để khơng bị bối rối bơi rừng phương pháp khác nhau, phải nắm tư tưởng chứng minh bất đẳng thức là:

Ln tìm cách đưa toán đơn giản cách

+ Giảm dần số biến số

+ Thay biểu thức đơn giản

Luôn nhớ quy tắc “No square is negative – x2   x  R”, “Look at the

end – Hãy nhìn vào đầu mút!”, “Hãy hoá chuẩn hoá”, “Hãy đối xứng hoá”, “Hãy thứ tự!”, “Hãy đặt biến phụ!”

1 Phương pháp quy nạp toán học

Khi bất đẳng thức phụ thuộc vào biến số nguyên dương n (n biến số, số biến số), ta nghĩ đến phép quy nạp toán học: sử dụng bất đẳng thức n = k (hoặc nhỏ hơn) để chứng minh cho n = k+1

1 Chứng minh với n nguyên dương ta có bất đẳng thức

1

3

2 n −1 2 n ≤

1

√

3 n+1

2 Cho a, b hai số thực dương Chứng minh ta có bất đẳng thức

an+bn ≥

(

a+b

2

)

n

3 Cho x1, x2, , xn n số thực dương có tích Hãy chứng minh

x1 + x2 + + xn ≥ n

4 Cho D khoảng thuộc R Giả sử f hàm xác định D thỏa mãn điều kiện

f (x1)+f (x2) ≥ f

(

x1+x2

2

)

với x1, x2  D

a) Chứng minh f (x1)+f (x2)+f (x3)+f (x4)

4 ≥ f

(

x1+x2+x3+x4

4

)

với x1, x2, x3, x4  D

b) Chứng minh f (x1)+f (x2)+f (x3) ≥ f

(

x1+x2+x3

3

)

với x1, x2, x3  D

Hướng dẫn: Làm để x4?

c) Chứng minh với x1, x2, , xn thuộc D ta có

f (x1)+f (x2)+ +f (xn)

n ≥ f

(

x1+x2+ +xn

n

)

5 Cho n ≥ x1, x2, , xn số nguyên dương cho di=

xi− 1+xi +1

2 n≤

∑

i n

di<3 n

6 Cho số nguyên dương n ≥ Cho x1, x2, , xn số thực thuộc đoạn [0, 1] Chứng

minh ta có bất đẳng thức

x1(1 − x2)+x2(1 − x3)+ .+ xn(1 − x1)≤

[

n 2

]

Hướng dẫn: Bạn có gặp khó khăn chuyển từ n > n+1? Hãy tìm cách vượt qua khó khăn đó! a) (VMO 2011) Cho số nguyên dương n Chứng minh với số thực dương x ta

có bất đẳng thức x n

(xn+ 1+1)

xn+1 ≤

(

x+ 1

2

)

2 n+1

b)* Cho số nguyên dương n Chứng minh bất đẳng thức

(xy)n(n+1)/2(xn+yn) ≤ với x, y dương có tổng

2 Phương pháp phản chứng

Phản chứng phương pháp dùng để thêm giả thiết cho toán lật kết luận với giả thiết Trong bất đẳng thức, phương pháp tỏ hiệu

1 Cho a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > Chứng minh a > 0, b > 0, c >

2 (USAMO 2001) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c ≥ abc Chứng minh bất đẳng thức sau bất đẳng thức

2 6 6, 6,

a b c   b c a   c a b 

3 (IMO 2001) Chứng minh với a, b, c > ta có

2 8 8 8

a b c

a  bc  b  ca  c  ab 

4 Xét hai toán sau

(A) Chứng minh a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2

+ abc = a + b + c ≤

Hãy chứng minh từ tốn (B) suy toán (A)

5 Cho a, b, c > 2(a2+b2+c2) + 3abc = Chứng minh a + b + c ≤

6 (USAMO 1999) Cho a1, a2, …, an (n > 3) số thực thỏa mãn điều kiện

a1 + a2 + … + an = n, a12 + a22 + … + an2 ≥ n2 Chứng minh

max{a1, a2, …, an} ≥

7 Cho số dương a b c, , thỏa mãn abc 1 Chứng minh

(a)

1 1

1; 5a4  5b4  5c4 

(b)

1 1

1 1 3a1 1  3b1 1  3c1 

3 Bất đẳng thức AM-GM

1 a) Từ kết 1.3, chứng minh a1, a2, , an số thực dương ta

có a1+a2+ .+an≥ n n

√

a1a2 an.(1)

b) Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) phương pháp quy nạp lùi 1.4

c) Chứng minh a1, a2, , an số thực dương r1, r2, , rn số hữu tỉ

dương có tổng ta có

∑

i=1 n

riai≥

∏

i=1 n

airi (2)

d) Chứng minh bất đẳng thức (2) r1, r2, , rn số thực dương

2 Chứng minh với n ≥ ta có bất đẳng thức

√

nn<1+

√

n

3 Cho a, b, x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy = ax + by Chứng minh

x+ y ≥(

√

a+

√

b)2

4 Cho a, b, c > Chứng minh

b) a b b c c a a b c b c a c a b6     

c) (Bất đẳng thức Muirhead) Giả sử (m, n, p) (m', n', p') hai số thực dương cho: (i) m ≥ n ≥ p, m' ≥ n' ≥ p'

(ii) m + n + p = m'+ n' +p' (ii) m ≥ m', m + n ≥ m' + n'

khi ta viết (m, n, p) > (m', n', p') nói (m, n, p) trội (m', n', p') Đặt Mm,n,p(a, b, c) = ambncp + ambpcn + anbmcp + anbpcm + apbmcn + apbncm

Chứng minh (m, n, p) trội (m', n', p') Mm,n,p(a, b, c) ≥ Mm',n',p'(a, b, c)

5 a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro) Cho a, b, c > 0, chứng minh

a

b+c+

b c +a+

c

a+b≥

3

b) (Trung Quốc 2004) Cho số dương a, b, c Chứng minh

3

12 17

2

a c b c

a b c a b c a b c



   

     

6 (Nga 2002) Cho a b c , , a b c  3. Chứng minh rằng

a b c ab bc ca  

7 Cho số dương a b c, , thỏa mãn a b c  3. Chứng minh rằng

(a) 2

1 1

3; 1

a b c

b c a

        

(b)

2 2

3 3 1;

2 2

a b c

a b b c c a 

(c)

3 3

2 2 2

3

a b c

a b b c c a 

1 a) Cho a1, a2, , an; b1, b2, , bn số thực thỏa mãn điều kiện bi

2 =¿1

ai2 =¿

∑

i=1 n ¿

∑

i=1 n ¿ Hãy

chứng minh −1 ≤

∑

i =1 n

aibi≤ Từ suy bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

|

∑

i=1 n

xiyi

|

≤

√

(

∑

i=1 n

x2i

)(

∑

i=1 n

y2i

)

(1) với 2n số thực x1, x2, ,xn; y1, y2, , yn

Dấu xảy x1:y1=x2:y2= =xn:yn

b) Từ bất đẳng thức hiển nhiên

aix − bi

¿ ¿

∑

i=1 n ¿

với x thuộc R, suy bất đẳng thức

(

∑

i=1 n

aibi

)

2

≤

(

∑

i=1 n

a2i

)(

∑

i=1 n

b2i

)

(2) với ai, bi thực (i=1 n) Dấu xảy

khi ai, bi tỷ lệ

c) Chứng minh a > giá trị nhỏ hàm số ax2 + bx − b2

4 a Từ đó, xét hàm fi(x) = aix2 + bix với ai > áp dụng nguyên lý minimum tổng lớn hơn

hay tổng minimum, ta có

b1+b2+ .+bn¿

¿ ¿

−¿

suy bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng

b1+b2+ +bn¿

¿ ¿

b12 a+

b22 a + +

bn2 a ≥¿

(3)

d) Chứng minh dạng (1), (2), (3) có suy từ

∑

i=1

n a

i

ai +1+ai+2≥

n

2 (Ở an+1 = a1, an+2 = a2) Dấu xảy nào?

b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh ta có bất đẳng thức

4 3<

a

a+b+

b

b+c+

c c+a<

5

3 (Iran 1998) Cho x, y, z > 1, 1x+1

y+

1

z=2 Chứng minh ta có bất đẳng thức

√

x+ y +z ≥

√

x − 1+

√

y −1+

√

z −1

3 (Ba Lan 1991) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = Chứng

minh ta có bất đẳng thức x + y + z ≤ + xyz

4* Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh

1 2 − a+

1 2 −b+

1 2− c≥ 3.

5 (Iran 1998) Cho x, y, z > 1, 1x+1

y+

1

z=2 Chứng minh ta có bất đẳng thức

√

x+ y +z ≥

√

x − 1+

√

y −1+

√

z −1

6 Chứng minh x,y,z [ 1,1] thỏa mãn điều kiện x+y+z+xyz=0, ta có:

1 1

x  y  z 

7* Cho a1, ,a n n > cho 1 n

k k

a

 



2 n

k k

ka

 



Chứng minh rằng:

2

(a  a ) ( a  a ) (  an an ) n 0

5 Một số bất đẳng thức cổ điển khác 1 Bất đẳng thức Bernoulli

a) Chứng minh với x > -1 với r > ta có

(1+x)r > + rx

c) Chứng minh x, y > xy + yx > 1.

2 a) Cho r > s Chứng minh a1, a2, , an số thực dương cho a1s + a2s

+ + ans = n ta có a1r + a2r + + anr ≥ n

b) (Bất đẳng thức trung bình lũy thừa) Với a = (a1, , an) số thực r ta đặt

Mr(a)=

(

∑

i=1 n

air

n

)

1 r

Khi đó, r > s ta có Mr(a) ≥ Ms(a)

3 a) (Công thức tổng Abel) Cho hai dãy số thực (a1, a2, , an) (b1,b2, ,bn) Khi ta

có

aibi=¿

∑

i=1 n− 1

(ai− ai +1)(b1+ .+bi)+an(b1+ .+bn)

∑

i=1 n

¿

b) (Bất đẳng thức Abel) Cho hai dãy số thực (a1, a2, , an) (b1,b2, ,bn) dãy thứ

nhất dãy số giảm Đặt ck = b1+ +bk M = max (ck), m = (ck) Chứng minh

ma1 ≤ a1b1 + a2b2 + + anbn ≤ Ma1

c) (Bất đẳng thức hoán vị) Giả sử a1, a2, , an b1, b2, , bn hai dãy đơn điệu giảm

Nếu c1, c2, ,cn hốn vị tùy ý b1,b2, ,bn

a1b1 + a2b2 + + anbn ≥ a1c1 + a2c2 + + ancn

4 Cho < x < y ≤ z ≤ 3x + 2y + z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 3x2 +

2y2 + z2.

5 Cho dãy giảm n số dương x1, x2, , xn thỏa mãn điều kiện

x1+x2+ +xk≥

√

k với k = 1, 2, , n

Chứng minh x12

+x22+ +xk2>4

(

1+1 2+ +

1

n

)

6 Chứng minh với a, b, c > ta có bất đẳng thức

a3

b2+ b3

c2+ c3

a2≥ a2

b + b2

c + c2

7 (Crux) Với số thực dương x1, x2, ,xn có tổng 1, tìm giá trị nhỏ

biểu thức

f = x1

√

1 − x1+

x2

√

1− x2+ +

xn

√

1 − xn

6 Phương pháp phân tích bình phương

Nhiều bất đẳng thức đối xứng biến đưa dạng Sa(b-c)2 + Sb(c-a)2 + Sc(a-b)2 ≥

Hiển nhiên Sa, Sb, Sc khơng âm bất đẳng thức Tuy nhiên, trường hợp số Sa, Sb, Sc âm bất đẳng thức chứng minh thơng qua phân tích

1 Cho a ≥ b ≥ c a ≤ b ≤ c Giả sử Sc ≤ Sb ≤ Sa Chứng minh Sc <

Sb + Sc ≥ ta có Sa(b-c)2 + Sb(c-a)2 + Sc(a-b)2 ≥

2 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh

a2

+b2+c2 ab+bc+ca+

8 abc

(a+b)(b+c)(c+a)≥ 2

3 (Kvant) Cho a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh

1

a+

1

b+

1

c+48(ab+bc +ca)≥ 25.

4 Cho a, b, c > Chứng minh

a3

+b3+c3

abc +

9(ab+bc+ca)

a2+b2+c2 ≥ 12

5 Cho a, b, c > Chứng minh ta có bất đẳng thức

a2 b2

+c2+

b2 c2

+a2+

c2 a2

+b2≥

a

b+c+

b c +a+

c a+b

6 Cho a, b, c > Chứng minh

2 2

2 2

3

3( )

2

a b c

a b c a b c

b c c a a b

 

       

 

  

 

a3

+b3+c3+3 abc ≥ ab

√

a2+b2+bc

√

b2+c2+ca

√

c2+a2 7 Phương pháp dồn biến

Ý tưởng phương pháp dồn biến làm giảm dần số biến số, đưa việc chứng minh bất đẳng thức việc chứng minh (hay nhiều) bất đẳng thức đơn giản

Ví dụ để chứng minh f(a, b, c) ≥ 0, ta chứng minh

i) f (a , b , c)≥ f (a ,b+c

2 ,

b+c

2 ) ii) f(a, t, t)  0.

Ta có số ý sau

1) Khi thực hành phương pháp dồn biến, nên bất đẳng thức ii) trước với lý sau: i) Tìm điểm nghi vấn xảy dấu Biết điểm xảy dấu bằng, tìm cách tiếp cận thích hợp

ii) Nếu khơng chứng minh ii) việc dồn biến vơ ích Vì phải làm bước trước

2) Bất đẳng thức f (a , b , c)≥ f (a ,b+c

2 ,

b+c

2 ) nói chung khơng với a, b, c Sử dụng tính đối xứng bất đẳng thức, ta xếp thứ tự a, b, c để bất đẳng thức

3) Việc chọn giá trị để dồn biến đến phụ thuộc vào biểu thức f điều kiện ràng buộc Ví dụ điều kiện a + b + c = nên ta phải dồn trung bình cộng (hoặc thành b+c, 0)

1 (Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c số thực khơng âm Chứng minh ta có bất đẳng thức

a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)

2 (Việt Nam 2006) Cho a, b, c > abc = Chứng minh

a2

+b2+c2+3 ≥ 2

(

1

a+

1

b+

1

c

)

3 Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh

b+c+

1

c +a+

1

a+b≥

5

Hướng dẫn: Phải dồn biến để điều kiện đảm bảo?

4 (Việt Nam 2002) Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng

5 Dồn biến biên Cho số không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh a2b + b2c + c2a ≤ 4.

6 (Iran 1996) Cho x, y, z > Chứng minh ta có bất đẳng thức

7 (Vietnam TST 2006) Cho x, y, z số thực thuộc đoạn [1, 2] Chứng minh ta có bất đẳng thức

(x+ y+ z)

(

1

x+

1

y+

1

z

)

≥6

(

x y+ z+

y

z+x+

z x + y

)

8 Khử dần biến số đạo hàm biến

Nguyên lý Fermat nói c điểm cực trị hàm khả vi f(x) f'(c) = Điềi cho phép xây dựng thuật tốn tìm cực trị hàm biến Với hàm nhiều biến, ta sử dụng phương pháp cách cố định số biến, biến tự Việc sử dụng "đường mức" (điều kiện cố định) phụ thuộc vào tốn

1 Tìm giá trị lớn hàm số

f (x)=x

(

9

√

1+x2+13

√

1− x2

)

đoạn [0, 1] (PTNK 2012)

a) Chứng minh với số thực dương x ta có bất đẳng thức

2

(

x

4

+

x

4

+1

)

≥3

(

x+1 x

)

b) Tìm số thực dương  nhỏ cho bất đẳng thức

2

(

xα+

xα+1

)

≥3

(

x+

1

x

)

với x >

3 Cho tam giác ABC Với điểm M nằm mặt phẳng tam giác, gọi D, E, F hình chiếu M lên đường thẳng (BC), (CA), (AB) Tìm giá trị lớn

và giá trị nhỏ biểu thức MA+MB+MCMD+ME+MF

5 Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị

nhỏ biểu thức 2(x

+6 xy) 1+2 xy+2 y2

6 Cho f (x)=x

2

+2 x − 1

x2+1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức f(x)f(y) với x, y số thực thoả mãn điều kiện x + y =

7 Cho a, b, c số thực phân biệt, tìm giá trị nhỏ biểu thức

a −b¿2 ¿

b − c¿2 ¿

c −a¿2

(¿¿)

¿ ¿

1

¿

(

a2

+b2+c2

)

¿

9 Phương pháp tiếp tuyến

Theo cơng thức Taylor khai triển đến bậc f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f"(c)(x-x0)2/2 với c nằm x x0 Như f"(x0)  lân cận x0, tiếp tuyến f(x) (đường thẳng y = f(x0) + f'(x0)(x-x0) nằm hay nằm f(x) Điều cho phép ta đánh giá f(x) thơng qua hàm tuyến tính Đây ý tưởng phương pháp tiếp tuyến

1 (Ba Lan 1996) Cho x , y , z ≥ −3

4, x+ y +z =1. Chứng minh

x

1+x2+

y

1+ y2+

z

1+z2≤ 10

2 a) (Baltic Way) Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c >

a3 a2+ab+b2+

b3 b2

+bc+c2+

c3 c2+ca +a2≥

a+b+c

3

b) Chứng minh a1, a2, , an số thực dương ta có

∑

i=1

n a

i n

ain − 1+ain −2ai +1+ .+ai+ 1n −1≥

∑

i=1 n

ai

n

3 (Nhật Bản 1997) Chứng minh với a, b, c > ta có bất đẳng thức





2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

b c a c a b a b c

a b c b a c c a b

     

  

     

4 (Mỹ 2003) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh

2 a+b+c¿2 ¿

b+c¿2 ¿

2 b+c +a¿2 ¿

c+a¿2 ¿

2 c+a+b¿2 ¿

a+b¿2 ¿

2c2 +¿ ¿

2 b2+¿ ¿

2 a2 +¿ ¿ ¿

5 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c >0 Chứng minh

b+c¿2 ¿

c +a¿2 ¿

a+b¿2 ¿

5 c2+¿

5 b2 +¿

5 a2+¿

a2

¿

6 Cho x, y > x2 + y3 ≥ x3 + y4 Chứng minh x3 + y2 ≤ 3.

7 (Romanian TST 2006) Cho a, b, c số thực dương có tổng Chứng minh

1

a2+

1

b2+

1

c2≥ a

2

10 Hàm lồi bất đẳng thức Karamata

Bất đẳng thức Karamata công cụ mạnh để giải bất đẳng thức dạng "tổng hàm" Để phát biểu bất đẳng thức Karamata, ta nhắc lại khái niệm trội

Cho hai dãy số thực không tăng a = (a1, a2, , an) b = (b1, b2, , bn) Dãy a gọi trội hơn dãy b, ký hiệu a > b, chúng thỏa mãn

a1 ≥ b1, a1 + a2 ≥ b1 + b2, , a1 + a2 + + an = b1 + b2 + + bn

1 a) Cho I khoảng R Giả sử f hàm liên tục, khả vi bậc hai I lõm I (tức f"(x) ≥ với x thuộc I) Khi với x, y thuộc I ta có f(x) ≥ f(y) + f'(y)(x-y)

b) (Bất đẳng thức Karamata) Giả sử hàm số f hàm liên tục, khả vi bậc hai I lõm I Khi với hai dãy số thực không tăng a = (a1, a2, ,an) b = (b1,

b2, ,bn) thỏa a > b, ta có

f(a1) + f(a2) + + f(an) ≥ f(b1) + f(b2) + + f(bn)

c) (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử hàm số f hàm liên tục, khả vi bậc hai I lõm I Khi với x1, x2, , xn thuộc I ta có

f (x1)+f ( x2)+ +f (xn)≥ nf

(

x1+x2+ +xn

n

)

d) (Bất đẳng thức Popoviciu) Giả sử hàm số f hàm liên tục, khả vi bậc hai I lõm I Khi với x, y, z thuộc I ta có bất đẳng thức

f (x)+f ( y)+f (z )+3 f

(

x+ y+ z

3

)

≥ 2

(

f

(

x+ y

2

)

+f

(

y +z

2

)

+f

(

z+x

2

)

)

2 a) Cho x, y, z  [1, 2] Chứng minh

(x+ y+ z)

(

1

x+

1

y+

1

z

)

≤10

b) Cho x, y, z  [1, 2] Chứng minh x3 + y3 + z3 ≤ 5xyz.

3 (Việt Nam TST 1992) Cho x1, x2, , xn [-1, 1] (n > 2) thỏa mãn x1 + x2 + + xn = n

-3 Chứng minh x12 + x22 + + xn2 ≤ n -

4 Cho a, b, c  [0, 1] Chứng minh 1+bca + b 1+ca+

c

5 Cho x1, x2, …, xn  x1 + x2 + … + xn = n Chứng minh

2(x13+x23+…+xn3) + n2 ≤ (2n+1)(x12+x22+…+xn2)

6 Cho số dương a, b, c,d thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = Chứng minh

8

(

1

a+

1

b+

1

c+

1

d

)

≥ a

2

+b2+c2+d2+28

7 a) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh

a2

+b2+c2+3

√

3a2b2c2≥ 2(ab+bc+ ca)

b)* Cho a1, a2, , an n số thực dương Hãy chứng minh

(n −1)

∑

i=1 n

ai2

+n

√

n

∏

i=1 n

ai2≥

(

∑

i=1 n

ai

)

2

11 Bất đẳng thức toán cực trị

1 Cho x, y số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức 1+ y¿2

1+x¿2¿ ¿

(x − y)(1 − xy)

¿

2 (PTNK 1999) Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện:  x, y  2,  x + y  3. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức :

A = x2 + y2 + xy – 3x – 3y

3 (Việt Nam TST 1993) Cho x1, x2, x3, x4 số thực thoả mãn điều kiện

1 2≤ x1

2

+x22+x32+x42≤1

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

A = (x1 – 2x2 + x3)2 + (x2 – 2x3 + x4)2 + (x2 – 2x1)2 + (x3 – 2x4)2

4 Cho x, y, z w số thực dương thỏa mãn điều kiện

x2+y2−xy =w

2

+z2+wz

2 =36 , xz+yw=30

Tìm giá trị lớn (xy + wz)2.

5 (Trung Quốc 2003) Cho a1, a2, , a2n số thực thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn biểu thức

P = (an+1 + an+2 + + a2n) - (a1 + a2 + + an)

6* Cho a1, a2, …, an số thực cho a12 + a22 + … + an2 = Tìm giá trị lớn

của biểu thức a1a2 + a2a3 + … + an-1an

7 Phương pháp hệ phương trình kết hợp hàm biến a) Cho x, y, z số thực thoả mãn điều kiện

¿

x + y +z=5 x2+y2+z2=9

¿{

¿

i) Chứng minh  x, y, z  73

ii) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = xyz

b) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 10, 1/x + 1/y + 1/z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x3 + y3 + z3.

c) (VMO 2004) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện (x+y+z)3 = 32xyz.

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ

x + y +z¿4 ¿

P=x

4

+y4+z4

¿

d) Cho x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị

lớn giá trị nhỏ P = x2y + y2z + z2x.

12 Bài tập tổng hợp 1

1 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng

(2-ab)(2-ca)(2-ab) 

2 Cho x, y, z thuộc [0 ; 1] Chứng minh (xy-y+1)2 + (yz-z+1)2 + (zx-x+1)2  3/2.

3 (IMC 2008) Cho a, b, c, d, e > thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = d2 + e2, a4 + b4 + c4 =

d4 + e4 Hãy so sánh a3 + b3 + c3 d3 + e3.

2 2

2( )

5

a b c ab bc ca

b c a a b c

 

   

 

5 Cho x1, x2, …, xn  x1 + x2 + … + xn = n Chứng minh

(n-1)(x13+x23+…+xn3) + n2  (2n-1)(x12+x22+…+xn2)

6 (Hello 2007, TH&TT) Cho x, y, z số thực dương Chứng minh ta có bất đẳng thức xyz + 2(x2 + y2 + z2) +  5(x+y+z).

7 (Trung Quốc 2006) Cho số thực a1, a2, , an thỏa mãn điều kiện a1 + a2 + … + an =

0 Chứng minh

2

1

1 1

max ( )

3 n

i i i

i n i

n

a a a



  









8 Tìm số m nhỏ cho từ bốn số thực a, b, c, d thuộc [0, 1], ta chọn hai số x, y cho  xy(x-y)  m

9 Cho x1, x2, , xn n số thuộc đoạn [0, 2] Chứng minh

∑

i=1 n

∑

j=1 n

¿xi− xj∨≤ n2

Dấu xảy nào?

10 (Balkan MO 2011) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh

x (x +2)

2 x2+1 +

y ( y +2)

2 y2+1 +

z (z+2)

2 z2+1 ≥

11 (USAMO 2004) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức (a5 – a2 + 3)(b5 – b2 + 3)(c5 – c2 + 3) ≥ (a+b+c)5.

12 (IMO 2005) Cho a, b, c > 0, abc ≥ Chứng minh

a

− a2 a5+b2+c2+

b5−b2 a2+b5+c2+

c5− c2 a2+b2+c5≥0

13 Các số nguyên dương a1, a2, …, an thỏa mãn điều kiện tất tổng riêng

1 k

i i

a  a (i

1

2 n

i ai 



13 Bài tập tổng hợp 2

1 (USA MO 2011) Cho a, b, c số thực dương cho a2 + b2 + c2 + (a+b+c)2 ≤

Chứng minh

a+b¿2 ¿

b+c¿2 ¿

c +a¿2 ¿ ¿ ¿ ¿

ab+1

¿

2 a) (Vietnam SMO 2011) Đoạn thẳng [m, n] gọi đoạn thẳng tốt với ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a + 3b + 6c = phương trình ax2 + bx + c =

có nghiệm thuộc đoạn [m, n] Tìm đoạn thẳng tốt có độ dài nhỏ b) Nếu [m, n] đoạn thẳng tốt, chứng minh m + n – 2mn ≥ 32

3 (IMO 2003) Cho lục giác lồi mà hai cạnh đối diện có tính chất sau:

khoảng cách trung điểm chúng

√

23 lần tổng độ dài chúng Chứng minh tất góc lục giác

4 (Romanian TST 2006) Cho a1, a2, …, an số thực cho |ai| ≤ a1 + a2 + … +

an =

a) Chứng minh tồn k  {1, 2, …, n} cho

¿a1+2 a2+ +kak∨≤2 k +1

b) Chứng minh với n > đánh giá tốt

5 (Putnam, Romania, Iran) Cho n số thực x1, x2, …, xn Chứng minh ta có bất đẳng

thức

∑

i=1 n

∑

j=1 n

¿xi+xj∨≥ n

∑

i=1 n

6 a) (Bất đẳng thức Newton) Cho a1, a2, , an số thực Đặt

(x-a1)(x-a2) (x-an) = xn - 1xn-1 + 2xn-2 - +(-1)nn Si=

σi Cni

Chứng minh Si −1Si+1≤ Si2 với i = 1, 2, , n-1

b) Bất đẳng thức Maclaurin) Với ký hiệu ≥ Chứng minh S1≥

√

S2≥

3

√

S3≥ ≥ n

√

Sn

7 (Việt Nam 1996) Cho a, b, c, d bốn số thực không âm thỏa mãn điều kiện

2(ab + ac + ad + bc + bc + cd) + abc + abd + acd + bcd = 16

Chứng minh

a + b + c + d  32 (ab + ac + ad + bc + bd + cd)

và xác định điều kiện xảy dấu

8* (Việt Nam TST 2011) Cho số nguyên dương n ≥ Các số thực x1, x2, …, xn thỏa mãn

điều kiện

i) x1 ≥ x2 ≥ …≥ xn;

ii) x1 + x2 + … + xn = 0;

iii) x12 + x22 + … + xn2 = n(n-1)

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = x1 + x2

9 (IMO 2003) Cho n số nguyên dương cho x1 ≤ x2 ≤ …≤ xn số thực

a) Chứng minh

¿xi− xj∨¿

∑

i , j=1

n

¿ ¿

xi− xj¿2

¿ ¿ ¿

10* (IMO 2003 Short list) Cho n số nguyên dương (x1, x2, …, xn), (y1, y2, …, yn)

hai dãy số thực dương Giả sử (z2, z3, …., z2n) dãy số thực dương cho

z2

i+j  xiyj với  i, j  n

Đặt M = max{z2, z3, …, z2n} Chứng minh

(

M+z2+z3+ +z2 n

2 n

)

2

≥

(

x1+x + +xn

n

)(

y1+y + + yn

n

)

11 (Mathlinks Contest) Cho a, b, c,, x, y, z số thực cho (a b c x y z  )(   ) 3 (a2b2c2)(x2y2z2) 4 Chứng minh ax+by+cz0.

12* Cho a, b, c, x, y, z số thực dương Chứng minh ta có bất đẳng thức

( ) ( ) ( ) 3( )

a b c

y z x z x y xy yz zx

b c  c a  a b    

13* (Bất đẳng thức Fejer)

a) Chứng minh với số nguyên dương n với số thực x ta có bất đẳng thức 1+cos x +cos x

2 + + cos nx

n ≥ 0.

b) Chứng minh với số nguyên dương n với số thực x  (0, ) ta có bất đẳng thức

sin x+sin3 x + +

cos (2 n −1)x 2 n −1 >0