Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.. 1.Gọi độ dài đoạn thẳng AM = x..[r]
(1)Trường THPT ĐỀ THI THỬ MƠN TỐN
Thành Phố Cao Lãnh KỲ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 2009-2010 Tỉnh Đồng Tháp
-Câu 1: (5 điểm) (Phương trình, hệ phương trình) Giải hệ phương trình
{ (4x+ 1
2− 1)(4y+ 12− 1)
4x+4y+2x + y− 2x− 2y+14=0
=7 2x+ y −1
Câu 2: (4 điểm)(Giải tích)
Cho dãy số (an) thỏa a1 =
n n n
1
a a
a
với n ≥2 , n∈ N Chứng minh dãy số (an) có giới hạn tìm giới hạn
Câu 3: (5 điểm) (Hình học)
Cho tam giác ABC có góc A nhọn Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G tam giác ABC cắt cạnh AB, AC M, N
1.Gọi độ dài đoạn thẳng AM = x Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác BMNC
2.Hãy dựng tam giác cân AMN cho M thuộc AB, N thuộc AC, AM = AN MN qua trọng tâm G tam giác ABC
Câu 4: (3 điểm)(Số học)
Xác định số nguyên a, b, c, d, e cho
(x2+ax+b).(x3+cx2+dx+e )=x5− x −27
Câu 5: (3 điểm)(Tổ hợp)
Cho tập hợp X ={1, , , , ,6 ,7 , 8} Lập số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N chia hết 99.999 chữ số N lấy từ số thuộc tập X Tính trung bình cộng tất số N tìm
(2)Trường THPT ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ MƠN TỐN
Thành Phố Cao Lãnh KỲ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 2009-2010 Tỉnh Đồng Tháp
-Câu Nội dung Điểm
Câu 1
5 điểm Giải hệ phương trình
{ (4x+ 12−1)(4y+ 12−1)
4x+4y+2x + y− 2x−6 2y+14=0(2)
=7 2x + y −1(1)
.Đặt {u=2x
v=2y điều kiện u>0 ; v>0
.Khi (2)⇔u2
+(v −7)u+v2− v +14=0
.Để phương trình có nghiệm
v −7¿2− v2+24 v − 56 ≥ Δ=¿
⇔− v2
+10 v − ≥ 0
⇔1 ≤ v≤
3 (2)⇔ v2
+(u − 6)v+u2−7 u+14=0
u −6¿2− u2+28 u− 56 ≥ Δ=¿
⇔− 3u2+16 u − 20≥ 0 ⇔2 ≤u ≤10
3 (1)⇔(2 u−1
u)(2 v −
1
v)=
7
Xét hàm số z t t
1
với t1
z❑
=2+1
t>0 với t1
z
đồng biến t1
.Khi u ≥2⇒2 u −1 u≥
7
v ≥1⇒2 v −1 v ≥1
.Suy (2 u−
u)(2 v −
1
v)≥
7
.Vậy (1)⇔{u=2 v=1⇔{
x=1
y =0 nghiệm hệ
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5 0,5
0,5
(3)Câu 2 4 điểm
n n n
2 2
k k i j
i j j
k j
1
a a a a 2(n 1)
a a n n
j j
1
a 2n
a
Vậy an > 2n , n 2.
2
k 2
k
1 1 1 1
a 2k k
a (2k-1) (2k-1) 4k(k+1) k k
.
Suy ra:
n n
4
k k j j
1 1 1
(1 )
a n a 4
Suy ra:
n n
2
j j j j
1
(n 1) (n 1) (n 2)
a a
Vậy: n 5(n 1)
a 2n (n 2)
2 Suy ra: n n
5(n-1) a 5(n-1)
n 2; 2n-1<a < 2n-1+ 2- < 2n-1+
2 n n
Do lim
n →∞ an
√n=√2 Câu
5 điểm 1.Tìm GTLN diện tích tứ giác BMNC:.Dựng BE, CF song song MN (hình vẽ)
AB AM= AE AG AC AN= AF AG } ⇒ AB AM+ AC AN= AE+AF AG = AD
AG =3⇒AN=bx3 x − c
.Ta có SBMNC=SABC− SAMN=1
2sin A(bc − bx2
3 x − c)
.Khảo sát SBMNCmax=
18 bc sin A x=
2c
2.Dựng tam giác cân AMN: Ta có ABAM+AC
AN=3⇔
c
AM+
b
AN=3
Với AM=AN ta có AM=b+c
.Cách dựng :
+Dựng AB đoạn AM=b+c
3 , suy M
+MG cắt AC N
+suy tam giác AMN cần dựng
.Biện luận : tốn có nghiệm b+c3 ≤ c và b+c
3 ≤ b
(4)Câu 4 3 điểm
.Đồng hai đa thức ta
{ac +b+d =0a+c=0 ad + bc+e=0 ae+ bd=− 9 be=−27
a, b, c, d, e số nguyên
Nên khả cặp (b, e) (±1,∓27) ;(± 3,∓9 );
Thay a= -c vào (2) , (3), (4) ta có c2− b=bc+e
c =
ce − 9
b
.Đưa phương trình bậc hai theo c, buộc Δ số phương Kết a=3 , b=3 , c=− , d=6 , e=− 9
Câu
3 điểm Cho tập hợp
X ={1, , , , ,6 ,7 , 8} Lập số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N chia hết 99.999 chữ số N lấy từ số thuộc tập X Tính trung bình cộng tất số N tìm được. Gọi M tập hợp số N thỏa điều kiện đề
.Ta xây dựng ánh xạ f sau :
Nếu N=a1a2 a2010 f (N)=b1b2 b2010 với
bi=9 −ai (i:1 2010)
.Với cách xây dựng vậy, ta có : N +f (N)=99 9⏟
2010 chia hết cho 99.999 Suy f song ánh từ M → M Từ ta có
2 ∑
N∈ M
N=∑
N∈ M
(N +f (N ))=|M|(⏟9 9)
2010
=99 9⏟
2010
=102010− 1
.Suy trung bình cộng tất số N tìm :
102010−1
2
0,5
1,5
1,0
0,5