Cơ học ma trận

59 Chơng VIII: Cơ học ma trận 8.1. Cơ sở và biểu diễn a) Cơ học ma trận Trong A - biểu diễn, các trạng thái đợc mô tả theo một cơ sỏ tạo bởi các hàm riêng của A . Trong mọi biểu diễn ta đều có thể biểu diễn các toán tử và hàm sóng dới dạng ma trận. Khi đó, các phơng trình toán tử trở thành các phơng trình ma trận. Ví dụ, phơng trình toán tử F ' = trở thành phơng trình ma trận trong đó các hàm và ' đợc viết nh các véctơ cột và toán tử F đợc viết nh một ma trận vuông. b) Cơ sở Các hàm sóng liên quan tới một bài toán Cơ học lợng tử nhất định phải thoả mn một số điều kiện. Với mỗi bài toán và mỗi tập các điều kiện, ta có một không gian hàm xác định. Xét một bài toán cụ thể. Gọi H là không gian hàm liên quan. Giả sử tập các hàm = { } .,, 21 là một cơ sở của H. Ví dụ : - Hạt trong hố thế 1 chiều sâu vô hạn: = , . 3 sin, 2 sin,sin 2 L x L x L x L ; - Electron chuyển động trong nguyên tử hiđrô: 60 = ( ) ( ) { } , m lnl YrR ; - Hạt chuyển động tự do trong hệ toạ độ cầu: = ( ) ( ) { } , m ll YkrJ . Do là một cơ sở của H nên mọi hàm trong H có thể khai triển theo các hàm cơ sở n = n nn a , hay, một cách tơng đơng, = n nn . (1) Các hệ số khai triển n a là hình chiếu của lên các véctơ cơ sở. Do các hệ số khai triển { } n a tơng đơng với nên ta có thể viết phơng trình liên quan với nh là phơng trình liên quan với { } n a . Xét phơng trình ' F= hay ' F= . (2) Khai triển vế phải của (2) theo (1) và nhân trái với q q = n nnq F ' , (3) hay, một cách tơng đơng, q a = n nqn aF ' , (4) trong đó qn F nq F (5) 61 đợc gọi là biểu diễn ma trận của toán tử F trong cơ sở hay yếu tố ma trận nối q với n . Phơng trình (4) liên quan chỉ các hệ số khai triển { } q a , { } n a' và yếu tố ma trận { } qn F tơng đơng với phơng trình (2) liên quan các hàm sóng , ' và toán tử F . Phơng trình (4) đợc gọi là phơng trình ma trận. Có thể viết phơng trình đó dới dạng M 2 1 a a = MM L L 2221 1211 FF FF M ' ' 2 1 a a . (6) Trong phơng trình trên, hàm sóng đợc biểu diễn bởi véctơ cột bên trái, hàm sóng ' đợc biểu diễn bởi véctơ cột bên phải M 2 1 a a , ' M ' ' 2 1 a a , (7) còn toán tử F đợc biểu diễn bởi ma trận qn F F = MM L L 2221 1211 FF FF . (8) Sự vô hạn chiều của các phơng trình ma trận này là hệ quả của sự vô hạn chiều của không gian Hilbert. c) Sự chéo hoá của toán tử Giả sử là một cơ sở trực giao tạo bởi các hàm riêng trực giao của toán tử éc-mít G nnn gG = . (9) Khi đó, các yếu tố ma trận của G là qn G = nq G = nqn g = n g qn , (10) 62 hay, một cách tờng minh, G = MMM L L L 3 2 1 00 00 00 g g g . Nh vậy, ma trận của một toán tử trong một cơ sở tạo bởi các hàm riêng của toán tử ấy là ma trận chéo. Véctơ cột biểu diễn các hàm riêng n là các hệ số ( ) { } n q a trong khai triển n = ( ) q q n q a . (11) Nhân trái (11) với p ta đợc pn = ( ) q pq n q a = ( ) n p a ; ( ) n p a = pn . (12) Nh vậy biểu diễn ma trận của hàm riêng n là một véctơ cột với một thành phần khác 0 duy nhất ở khe thứ n : 1 ( ) ( ) M 1 2 1 1 a a = M 0 0 1 ; 2 ( ) ( ) M 2 2 2 1 a a = M 0 1 0 ; 3 ( ) ( ) M 3 2 3 1 a a = M 0 1 0 0 ; 4 ( ) ( ) M 4 2 4 1 a a = M 0 1 0 0 0 . (13) Phơng trình trị riêng (9) đợc viết 63 nq q qp G = npn g , hay ( ) n q q pq aG = ( ) n pn ag . (14) Chẳng hạn, với ( ) 3 a MMM L L L 3 2 1 00 00 00 g g g M 0 1 0 0 = 3 g M 0 1 0 0 . (15) Độ dài (bình phơng) của véctơ là 2 = = q qq = q q a 2 . (16) Độ dài của các véctơ cơ sở trực giao { } n là 2 n = q n q a 2 )( =1. Ví dụ, trong biểu diễn ma trận, 2 4 = 44 ( ) K 01000 M 0 1 0 0 0 =1. (18) Giả sử toán tử G chéo trong cơ sở { } n : qn G = qnn g , (19) hay, một cách tơng đơng, np G = nqn g . (20) 64 Nhân trái (20) với q q : np q q G = nq q qn g , (21) hay ( ) nnn gGI = 0, (22) nghĩa là n G = nn g . (23) Nh vậy, nếu toán tử G là chéo trong cơ sở thì tạo bởi các véc tơ riêng của G . Bài toán tìm trị riêng của một toán tử tơng đơng với bài toán tìm một cơ sở chéo toán tử đó. . 59 Chơng VIII: Cơ học ma trận 8.1. Cơ sở và biểu diễn a) Cơ học ma trận Trong A - biểu diễn, các trạng thái đợc mô tả theo một cơ sỏ tạo bởi các hàm. dạng ma trận. Khi đó, các phơng trình toán tử trở thành các phơng trình ma trận. Ví dụ, phơng trình toán tử F ' = trở thành phơng trình ma trận