Biễu diễn năng lượng

65 Chơng IX: Biểu diễn năng lợng Ta đ biết rằng trong biểu diễn năng lợng, toán tử Hamilton có dạng chéo. Biểu diễn này bao gồm một cơ sở đợc tạo bởi các hàm riêng của toán tử H . 9.1. Hố thế 1 chiều sâu vô hạn Đối với bài toán một hạt chuyển động trong hố thế 1 chiều sâu vô hạn, cơ sở mà trong đó toán tử H có dạng chéo là: = , . 3 sin, 2 sin,sin 2 L x L x L x L . (1) Dạng ma trận của toán tử H trong biểu diễn này là = . 0 . 9 04 1 2 1 n EH . (2) 9.2. Dao động tử điều hoà 1 chiều Với dao động tử điều hoà một chiều, cơ sở mà trong đó toán tử H có dạng chéo là: = { } { } , .3,2,1), .(),(),( 332211 2 2 = HAHAHAe . (3) 66 Ta dễ dàng tìm đợc dạng của các toán tử trong biểu diễn này nh sau: a) Toán tử năng lợng H Dạng ma trận của toán tử H trong biểu diễn này là + = . 2 12 0 2 5 0 2 3 2 1 0 n H h . (4) b) Toán tử toạ độ x và toán tử xung lợng p Tính biểu diễn ma trận của toán tử toạ độ x và toán tử xung lợng p của dao động tử điều hoà một chiều trong biểu diễn năng lợng, với k và n là các số nguyên không âm, ta thu đợc: ( ) ++=+= + + 1, 2 1 1, 2 1 1 2 1 2 1 knkn kkkaankxn , (5) ( ) +== + + 1, 2 1 1, 2 1 00 1 2 2 knkn kk i m kaan i m kpn . (6) Từ đó, dạng ma trận của các toán tử toạ độ và xung lợng lần lợt là: = . 04000 40300 .03020 00201 00010 2 1 x ; (7) 67 = . 04000 40300 .03020 00201 00010 2 0 i m p . (8) c) Các toán tử sinh, huỷ Tơng tự, tính biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, huỷ trong biểu diễn năng lợng, lần lợt ta thu đợc: 1, 2 1 2 1 1 === knnk kknkkana , (9) ( ) ( ) 1, 2 1 2 1 111 + ++ +=++== kn nk kknkkana . (10) Dạng ma trận của các toán tử sinh và huỷ lần lợt là: = + . 04000 00300 .00020 00001 00000 a ; (11) = . 00000 40000 .03000 00200 00010 a . (12) 68 d) To¸n tö sè Cïng víi to¸n tö Hamilton       += + 2 1 ˆˆ ˆ 0 aaH ω h , to¸n tö sè aaN ˆˆ ˆ + = còng cã d¹ng chÐo trong biÓu diÔn n¨ng l−îng: ( ) =N ˆ                     . 04000 00300 .00020 00001 00000                     . 00000 40000 .03000 00200 00010                     = n0 . 3 2 1 00 . (13) . 65 Chơng IX: Biểu diễn năng lợng Ta đ biết rằng trong biểu diễn năng lợng, toán tử Hamilton có dạng chéo. Biểu diễn này bao gồm một cơ sở đợc. đợc dạng của các toán tử trong biểu diễn này nh sau: a) Toán tử năng lợng H Dạng ma trận của toán tử H trong biểu diễn này là