mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Cho hình chóp. S ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Cho hình chóp. S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cho hình chóp.. H [r]
(1)I N
M O
( )P
MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Câu Cho đường trịn ( )C đường kính AB đường thẳng D Để hình trịn xoay sinh
bởi ( )C quay quanh D mặt cầu cần có thêm điều kiện sau đây:
(I)Đường kính AB thuộc D
(II)D cố định đường kính AB thuộc D
(III)D cố định hai điểm , A B cố định trênD
A Chỉ (I) B Chỉ (II)
C Chỉ (III) D Không cần thêm điều kiện
Câu Cho mặt cầu ( )S tâm O , bán kính R mặt phẳng ( )P có khoảng cách đến O
bằng R Một điểm M tùy ý thuộc ( )S Đường thẳng OM cắt ( )P N Hình chiếu
của O ( )P I Mệnh đề sau đúng?
A NI tiếp xúc với ( )S
B ON =R 2Û IN =R
C Cả A B sai.
D Cả A B đúng.
Câu Cho mặt cầu S O R điểm A, biết ( ; ) OA=2R Qua A kẻ tiếp tuyến
tiếp xúc với ( )S B Khi độ dài đoạn AB bằng:
A R. B 2
R
C R 2 D R
Câu Cho mặt cầu S O R điểm A, biết ( ; ) OA=2R Qua A kẻ cát tuyến cắt
(2)O
H r ( )a
0 60
A r
( )P H
O
( )S B C cho BC=R 3 Khi khoảng cách từ O đến BC bằng:
A R. B 2
R
C R 2 D R
Câu Cho mặt cầu S O R mặt phẳng ( ; ) ( )a Biết
khoảng cách từ O đến ( )a
R
Khi thiết diện
tạo mặt phẳng ( )a với S O R đường trịn( ; ) có đường kính bằng:
A R B R
C 2
R
D
3
R
Câu Cho mặt cầu tâm I bán kính R=2,6cm Một mặt phẳng cắt mặt cầu cách tâm I khoảng 2, 4cm Thế bán kính đường trịn mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:
A.1,2cm B 1,3cm C 1cm D 1, 4cm
Câu Diện tích hình trịn lớn hình cầu p Một mặt phẳng ( )a cắt hình cầu theo
một hình trịn có diện tích
p
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng ( )a bằng:
A.
p
p B
1
p C
2 p
p D 2 p
p
Câu Một hình cầu có bán kính 2m , mặt phẳng cắt hình cầu theo hình trịn
có độ dài 2,4 mp Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
A.1,6m B 1,5m C 1, 4m D 1,7m
Câu Cho mặt cầu S O R , A điểm mặt cầu ( ; ) ( )S ( )P mặt phẳng
qua A cho góc OA ( )P 60
(3)Giaovienvietnam.com
Diện tích đường trịn giao tuyến bằng:
A pR2 B
2
R p
C
2
R p
D
2
R p
Câu 10 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Khi đó
mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD có bán kính bằng:
A
(1 3)
a +
B
( 2)
a
-C
( 2)
a +
D
( 1)
a
-Câu 11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B BA=BC= a Cạnh bên SA=2a vng góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:
A
2
a
B a C
6
a
D a
Câu 12 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên
SA=a vng góc với đáy (ABCD Tính theo ) a diện tích mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S ABCD ta được:
A a2 B 8pa2 C 2 a2 D 2pa2
Câu 13 Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB a=
Cạnh bên SA=a 2, hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là:
A
2
a
B
6
a
C
6
a
D
2
a
(4)Câu 14 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên
21
a
Gọi h chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số
R
h bằng:
A
7
12 B
7
24 C
7
6 D
1
Câu 15 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là:
A
3
4
a p
B
3
2
a p
C
3
8
a p
D
3
8
27
a p
Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, đáy lớn AD=2a,
AB=BC=CD= Cạnh bên a SA=2a vng góc với đáy Gọi R bán kính
mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Tỉ số
R
a nhận giá trị sau đây?
A a B a C 1 D
Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=2a, AD=a Cạnh bên SA vng góc với đáy góc SC với đáy 45 Gọi N trung0 điểm SA , h chiều cao khối chóp S ABCD R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ R h là:
A 4R= h B 5R=4 h C
4 5
R= h
D
5
R= h
Câu 18 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA=a vng góc với đáy (ABCD Gọi M trung điểm SC , mặt phẳng)
( )a qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB , SD tại
,
E F Bán kính mặt cầu qua năm điểm , , , , S A E M F nhận giá trị sau đây?
A a B a C
2
a
D 2
a
Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA
(5)vng góc đáy (ABCD Gọi ) H hình chiếu A đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị sau đây?
A a B a C
2
a
D 2
a
Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B BC= a Cạnh bên SA vng góc với đáy (ABC Gọi , ) H K hình chiếu vng góc A lên cạnh bên SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKCB là:
A
3
2
a p
B 2pa3 C
3
a p
D
3
a p
Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , BD a= Hình
chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy (ABCD trung điểm OD.) Đường thẳng SD tạo với mặt đáy góc 60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình0 chóp S ABCD nhận giá trị sau đây?
A 4
a
B 3
a
C 2
a
D a
Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu vng
góc đỉnh S mặt phẳng (ABC trung điểm ) H cạnh BC Góc giữa
đường thẳng SA mặt phẳng (ABC ) 60 Gọi G trọng tâm tam giác SAC ,0
R bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng (SAB Đẳng thức sau) sai?
A R= ëd G SABé ,( )ûù B 13R=2SH
C
2 4 3
39
ABC
R
SD = D 13
R a =
Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB là tam giác vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là:
(6)A a p B 11 11 162 a p C a p D a p
Câu 24 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh
bên SA=a vuông góc với đáy (ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp)
S ABC là:
A 2
a B 13 a C 39 a D 15 a
Câu 25 Cho tứ diện OABC có cạnh OA OB OC đơi vng góc OA a, , = ,
2
OB= a, OC=3a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC là:
A a B
3 a C a D 14 a
Câu 26 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB AC a= =
Cạnh bên SA vng góc với đáy (ABC Gọi I trung điểm BC , SI tạo với)
đáy (ABC góc ) 60 Gọi , S V diện tích mặt cầu thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp S ABC Tỉ số
V
S ?
A a 14 B
14 12 a C 14 a D a
Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc ·BAD=1200
Cạnh bên SA=a vng góc với đáy (ABCD )
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ACD nhận giá trị:
A 13 a B a C 13 a D 13 3 a
Câu 28 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông C BC a= Mặt
phẳng (SAB vng góc với đáy, SA SB a) = = , ·ASB=1200 Bán kính mặt cầu ngoại
(7)tiếp hình chóp S ABC là:
A 4
a
B 2
a
C .a D a
Câu 29 Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông B , ' ' '
3
AC=a , góc ·ACB
30 Góc đường thẳng AB mặt phẳng ' (ABC) 60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện '0 A ABC bằng:
A
3
a
B
21
a
C
21
a
D
21
a
Câu 30 Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác cạnh ' ' ' a Mặt phẳng
(AB C tạo với mặt đáy góc ' ')
60 điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ' ' 'G A B C bằng:
A
85 108
a
B
3
a
C
3
a
D
31 36
a
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu Chọn C.
Câu Vì I hình chiếu O ( )P nên d O Pëé ,( )ûù=OI mà d O Péë ,( )ù=û R nên I
là tiếp điểm ( )P ( )S
Đường thẳng OM cắt ( )P N nên IN vng góc với OI I Suy IN tiếp xúc
với ( )S
Tam giác OIN vuông I nên ON =R 2Û IN = Chọn D.R
Câu Vì AB tiếp xúc với ( )S B nên AB^OB.
Suy AB= OA2- OB2 = 4R2- R2 =R 3. Chọn D.
Câu Gọi H hình chiếu O lên BC
(8)Ta có OB=OC= , suy R H trung điểm BC nên
3
2
CD R
HC= =
Suy
2 .
2
R OH = OC - HC =
Chọn B.
Câu Gọi H hình chiếu O xuống ( )a
Ta có ,( )
R d Oéë a ù=û OH = <R
nên ( )a cắt S O R theo đường tròn ( ; ) C H r ( ; )
Bán kính đường trịn C H r ( ; )
2 3.
2
R r= R - OH =
Suy đường kính R 3.Chọn B.
Câu Mặt phẳng cắt mặt cầu S I( ;2,6cm) theo đường tròn (H r ; )
Vậy ( ) ( )
2
2 2,6 2, 4 1cm
r= R - IH = - =
Chọn C.
Câu Hình trịn lớn hình cầu S hình trịn tạo mặt phẳng cắt hình cầu qua
tâm hình cầu Gọi R bán kính hình cầu hình trịn lớn có bán kính R
Theo giả thiết, ta có
2 p
R p R
p
p
= Û =
2 .
2
p p
r r
p
p
= Û =
Suy
2
2
p
d R r
p
= - =
Chọn D.
Câu Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng d , ta có d2=R2- r2
Theo giả thiết R=2m
2,4
2 2,4 1,2m
2
r m r p
p p
p
= Þ = =
Vậy d = R2- r2 =1,6m Chọn A.
Câu Gọi H hình chiếu vng góc O ( )P
(9)S
A
B
C M
I
● H tâm đường tròn giao tuyến ( )P ( )S
● OA P· ,( )=(·OA AH, )=60
Bán kính đường trịn giao tuyến:
0
.cos 60
R r=HA=OA =
Suy diện tích đường trịn giao tuyến:
2 2
2 .
2
R R
r p
p =pổ ửỗỗ ữỗố ø÷÷=
Chọn C.
Câu 10
Gọi H tâm hình vng ABCD
Ta có SH trục đường trịn ngoại tiếp đáy.
Gọi M trung điểm CD I chân đường
phân giác góc SMH I· ( Ỵ SH)
Suy I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính r=IH .
Ta có
2 2;
2
;
2
a
SH SA AH
a a
SM MH
= - =
= =
Dựa vào tính chất đường phân giác ta có:
IS MS
IH =MH
( 2)
2
a
SH MS MH SH MH a
IH
IH MH MS MH
-+
Þ = Þ = = =
+ +
Chọn B.
Câu 11 Gọi M trung điểm AC , suy M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I trung điểm SC , suy
IM SAP nên IM ^(ABC).
(10)I
O B
D
C A
S
M C
A
S
G
B
Do IM trục ABCD , suy
IA=IB=IC ( )1
Hơn nữa, tam giác SAC vng A có I trung
điểm SC nên IS =IC=IA ( )2
Từ ( )1 ( )2 , ta có IS IA IB IC= = =
hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Vậy bán kính
2 6
2 2
SC SA AC a
R=IS = = + =
Chọn C
Câu 12 Gọi O=AC BDÇ , suy O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD
Gọi I trung điểm SC , suy ra
( )
IO SAP Þ IO^ ABCD
Do IO trục hình vng ABCD , suy
IA=IB=IC=ID ( )1
Tam giác SAC vuông A có I trung điểm cạnh huyền SC nên IS=IC=IA ( )2
Từ ( )1 ( )2 , ta có: 2
SC R=IA=IB=IC=ID=IS= =a
Vậy diện tích mặt cầu S=4pR2=8pa2 (đvdt) Chọn B.
Câu 13 Gọi M trung điểm AC , suy SM ^(ABC)Þ SM ^AC
Tam giác SAC có SM đường cao trung tuyến nên tam giác SAC cân S
Ta có AC= AB2+BC2 =a 2, suy tam giác SAC đều.
(11)M
I
O
C
B A
S
Gọi G trọng tâm SACD , suy GS =GA GC= ( )1
Tam giác ABC vng B, có M trung điểm cạnh huyền AC nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
Lại có SM ^(ABC) nên SM trục tam giác ABC
Mà G thuộc SM nên suy GA=GB=GC ( )2
Từ ( )1 ( )2 , suy
GS=GA GB= =GC hay G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC
Bán kính mặt cầu
2
3
a R=GS= SM =
Chọn B.
Câu 14 Gọi O tâm ABCD , suy SO^(ABC)
3
a AO=
Trong SOA, ta có
2 .
2
a h=SO= SA - AO =
Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d đoạn SA cắt
SO I, suy
● I Ỵ d nên IS =IA
● I Ỵ SO nên IA=IB=IC
(12)D
I
O
B
C A
S
d
Do IA=IB=IC=IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC
Gọi M tung điểm SA , ta có SMID ÿDSOA nên
2
7a
2 12
SM SA SA R SI
SO SO
= = = =
Vậy
7
R
h = Chọn C.
Câu 15 Gọi O=AC BDÇ , suy SO^(ABCD)
Ta có 60 =0 SB ABCD· ,( )=SB OB· , =SBO·
Trong SOBD , ta có
·
.tan
2
a SO=OB SBO=
Ta có SO trục hình vng ABCD
Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d của đoạn SB
Gọi
I SO IA IB IC ID
I SO d
I d IS IB
ì Ỵ ì = = =
ù ù
ù ù
= ầ ị ớù ẻ ị ớù =
ù ù
ợ ợ Þ IA=IB=IC=ID=IS= R
Xét SBDD có · · 60o
SB SD SBD SBO
ì =
ïï ị
ớù = =
ùợ SBDD đều.
Do d đường trung tuyến SBDD Suy I trọng tâm SBDD .
Bán kính mặt cầu
2
3
a R=SI = SO=
Suy
3
4
3 27
a V = pR = p
Chọn D.
Câu 16 Ta có SA^AD hay SAD· =90
Gọi E trung điểm AD
Ta có EA=AB=BC nên ABCE hình thoi.
(13)I
O M
E
B
D
C A
S
F
Suy
1
CE=EA= AD
Do tam giác ACD vng C Ta có:
( )
DC AC
DC SAC DC SC
DC SA
ì ^
ïï Þ ^ Þ ^
íï ^
ïỵ hay SCD· =90 0
Tương tự, ta có SB^BD hay SBD· =90
Ta có SAD· =SBD· =SCD· =900 nên khối chóp S ABCD nhận trung điểm I SD
làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính
2
2
2
SD SA AD
R= = + =a
Suy
R a =
Chọn D.
Câu 17 Ta có 450=SC ABCD· ,( )=SC AC· , =SCA·
Trong SACD , ta có h=SA=a
Ta có
( )
BC AB
BC SAB BC BN
BC SA
ì ^
ïï Þ ^ Þ ^
íï ^
ïỵ .
Lại có NA^AC Do hai điểm , A B nhìn đoạn
NC góc vng nên hình chóp N ABC nội tiếp
mặt cầu tâm J trung điểm NC , bán kính
2
1
2 2
NC SA a
R=JN= = AC +æ ửỗỗ ữỗố ứữữ=
Chn A.
Cõu 18 Mặt phẳng ( )a song song với BD cắt SB , SD , E F nên EF BDP
SAC
D cân A, trung tuyến AM nên AM ^SC ( )1
Ta có
( )
BD AC
BD SAC BD SC
BD SA
ì ^
ïï Þ ^ Þ ^
íï ^
ïỵ .
(14)O S
A
C
D
B H
Do EF ^SC.( )2
Từ ( )1 ( )2 , suy SC^( )a Þ SC^AE ( )*
Lại có
( )
BC AB
BC SAB BC AE
BC SA
ì ^
ùù ị ^ ị ^
ớù ^
ùợ .( )**
Từ ( )* ( )** , suy AE^(SBC)Þ AE^SB Tương tự ta có AF ^SD
Do SEA· =SMA· =SFA· =900 nên năm điểm , , , , S A E M F thuộc mặt cầu
tâm I trung điểm SA , bán kính
2
2
SA a
R= =
Chọn C.
Câu 19 Gọi O=AC BDÇ
Vì ABCD hình vng nên OB=OD=OC.( )1
Ta có
( )
CB AB
CB SAB CB AH
CB SA
ì ^
ïï Þ ^ ị ^
ớù ^
ùợ .
Lại có AH ^SB
Suy AH ^(SBC)Þ AH ^HC nên tam giác
AHC vuông H có O trung điểm cạnh huyền
AC nên suy OH OC= .( )2
Từ ( )1 ( )2 , suy
2
a R=OH =OB=OD=OC=
Chọn C.
Câu 20 Theo giả thiết, ta có
· 900
ABC= ·AKC=900
( )1
(15)Do ( ( ))
AH SB
AH HC
BC AH BC SAB
ì ^
ïï Þ ^
íï ^ ^
ïỵ ( )2
Từ ( )1 ( )2 , suy ba điểm , , B H K nhìn xuống AC góc 90 nên hình chóp A HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I trung điểm AC , bán kính
2
2 2
AC AB a
R= = =
Vậy thể tích khối cầu
3
4
3
a V = pR = p
(đvtt) Chọn A.
Câu 21 Ta có 600=SD ABCD· ,( )=SD HD· , =SDH·
Trong tam giác vng SHD , có
·
.tan
4
BD a
SH = SDH =
cos·
HD a
SD
SDH
= =
Trong tam giác vng SHB , có
2 3.
2
a SB= SH +HB =
Xét tam giác SBD , ta có SB2+SD2=a2=BD2
Suy tam giác SBD vuông S
Vậy đỉnh , , S A C nhìn xuống BD góc vng nên tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S ABCD O , bán kính
2
a R= BD=
Chọn C.
Câu 22 Ta có 600=SA ABC· ,( )=SA HA· , =SAH·
Tam giác ABC cạnh a nên
3
a AH =
(16)
Trong tam giác vng SHA, ta có
·
.tan
2
a SH =AH SAH =
Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với (SAB nên bán kính mặt cầu ) R= ëd G SABé ,( )ùû
Ta có ( ) ( ) ( )
1
, , ,
3
d G SABéë ùû= d C SABéë ùû= d H SABëé ùû
Gọi M E trung điểm , AB MB
Suy
3
CM AB
a CM
ì ^
ïï ïïí
ï =
ïïïỵ 12 43
HE AB
a
HE CM
ì ^
ïï ïïí
ï = =
ïïïỵ .
Gọi K hình chiếu vng góc H SE ,
suy HK ^SE ( )1
Ta có
( )
HE AB
AB SHE AB HK
AB SH
ì ^
ïï Þ ^ Þ ^
íï ^
ïỵ ( )2
Từ ( )1 ( )2 , suy HK ^(SAB) nên d H SABéë ,( )ù=û HK
Trong tam giác vuông SHE , ta có 2
2 13
SH HE a
HK
SH HE
= =
+ .
Vậy
2
3 13
a R= HK =
Chọn D.
Câu 23 Gọi O=AC BDÇ
Suy OA OB= =OC=OD ( )1
Gọi M trung điểm AB, tam giác SAB vuông S nên MS=MA=MB
Gọi H hình chiếu S AB
(17)Từ giả thiết suy SH ^(ABCD)
Ta có
( )
OM AB
OM SAB
OM SH
ì ^
ïï Þ ^
íï ^
ïỵ nên OM trục
của tam giác SAB , suy OA OB= =OS ( )2
Từ ( )1 ( )2 , ta có OS=OA OB= =OC=OD
Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD , bán kính
2
a R=OA=
Suy
3
4
3
a V = pR = p
(đvtt) Chọn A.
Câu 24 Gọi G trọng tâm ABCD , suy G tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD
Từ G dựng tia Gx^(ABC) (như hình vẽ)
Suy Gx trục tam giác ABC
Trong mặt phẳng (SA Gx , , )
kẻ trung trực d đoạn thẳng SA
Gọi
O Gx OA OB OC
O Gx d
O d OA OS
ì Ỵ ì = =
ï ï
ï ù
= ầ ị ớù ẻ ị ớù =
ï ï
ỵ ỵ
OA OB OC OS R
Þ = = = =
Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC
Ta có
1
2
a OG=PA= SA=
;
2 3
3 3
a a
AG= AM = =
(18)
x
J
I d
C
B A
S
Trong tam giác vng OGA , ta có
2 39.
6
a R=OA= OG +AG =
Chọn C.
Câu 25 Gọi M trung điểm BC ,
suy M tâm đường tròn ngoại tiếp DOBC
Kẻ Mx^(OBC) (như hình vẽ)
Suy Mx trục OBCD
Trong mặt phẳng (OA Mx , kẻ trung trực d đoạn, ) thẳng OA cắt Mx I
Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bán kính mặt cầu:
2 14.
2
a R=IO= IM +OM =
Chọn D.
Câu 26 Ta có 60o=SI ABC· ,( )=SI AI· , =SIA·
Tam giác ABC vuông cân A, suy
1
2
a AI = BC=
Trong SAID , ta có
·
.tan
2
a SA=AI SIA=
Kẻ Ix^(ABC) (như hình vẽ)
Suy Ix trục ABCD
Trong mặt phẳng (SA Ix , kẻ trung trực d đoạn, ) thẳng SA cắt Ix J Khi J tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bán kính:
2 14
4
a R=JA= JI +AI =
nên
14
3 12
V R a
S = = Chọn B.
(19)G S
A
B C
D I
E M
x
d
S
A B
C M
I
P
Câu 27 Gọi G trọng tâm tam giác ACD Kẻ Gx^(ACD), suy Gx trục của
ACD
D .
Trong mặt phẳng (SA Gx , kẻ trung trực d đoạn SA cắt Gx I , )
Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Ta có
3
2
SA a IG=MA= =
;
2
3
a GA= AE=
Suy bán kính:
2 39.
6
a R=IA= IG +GA =
Chọn A.
Câu 28 Gọi M trung điểm AB, suy SM ^AB SM ^(ABC)
Do SM trục tam giác ABC
Trong mặt phẳng (SMB , kẻ đường trung trực d đoạn SB cắt SM ) I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , bán kính R=SI
Ta có AB= SA2+SB2- cosSA SB ·ASB=a
Trong tam giác vng SMB , ta có
·
.cos cos 60
2
a
SM =SB MSB=a =
Ta có SMBD ÿDSPI, suy
SM SP SB SP
R SI a
SB = SI Þ = = SM =
Chọn C.
(20)P
B' G'
C' A'
C
B A
G
I
Câu 29 Ta có 600=·AB ABC',( )=·AB AB', =B AB· '
Trong ABCD , ta có
·
.sin
2
a AB=AC ACB=
Trong DB BA' , ta có
·
' tan '
2
a BB =AB B AB=
Gọi N trung điểm AC ,
suy N tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD
Gọi I trung điểm 'A C ,
suy IN AAP 'Þ IN ^(ABC)
Do IN trục ABCD , suy IA=IB=IC.( )1
Hơn nữa, tam giác 'A AC vng A có I trung điểm 'A C nên 'IA =IC=IA ( )2
Từ ( )1 ( )2 , ta có 'IA =IA=IB=IC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp '.A ABC với bán kính
2
' ' 21
'
2
A C AA AC a
R=IA = = + =
Chọn B.
Câu 30 Gọi M trung điểm ' 'B C , ta có
(· ) ( ) · ·
0
60 = AB C' ' , A B C' ' ' =AM A M, ' =AMA'.
Trong DAA M' , có
3 '
2
a A M =
;
·
' ' tan '
2
a AA =A M AMA =
(21)
Gọi 'G trọng tâm tam giác ' ' 'A B C , suy 'G tâm đường tròn ngoại tiếp DA B C' ' '
Vì lặng trụ đứng nên GG'^(A B C' ' ')
Do GG trục tam giác ' ' '' A B C
Trong mặt phẳng (GC G , kẻ trung trực d đoạn thẳng '' ') GC cắt GG I Khi' đó I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ' ' 'G A B C , bán kính R=GI
Ta có
' ' '
'
GP GG
GPI GG C
GI GC
D ÿD Þ =
2 2
' ' ' ' ' 31
' ' ' 36
GP GC GC GG G C a
R GI
GG GG GG
+
Þ = = = = =
Chọn D.