1. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phư[r]
(1)Gia Sư Dạy Kèm Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn/tai-lieu-mon-toan.html
Một số tập toán nâng cao LỚP
PHẦN I: ĐỀ BÀI
1 Chứng minh số vô tỉ
2 a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 3 Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2
4 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : a b ab
b) Cho a, b, c > Chứng minh : bc ca ab a b c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab
5 Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 6 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b
7 Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 8 Tìm liên hệ số a b biết rằng: a b a b
9 a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥
10 Chứng minh bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho:
a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ
14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A 2
x 4x
17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính):
(2)c) 23 19 27
d)
18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn nhỏ 19 Giải phương trình : 3x26x 7 5x210x21 5 2xx2
20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy =
21 Cho S 1
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998
Hãy so sánh S 2.1998 1999
22 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a số phương a số vơ tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh rằng:
a) x y y x
b)
2
2
x y x y
0
y x y x
c)
4 2
4 2
x y x y x y
2
y x y x y x
24 Chứng minh số sau số vô tỉ: a) 1
b) m n
với m, n số hữu tỉ, n ≠
25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không?
26 Cho số x y khác Chứng minh :
2
2
x y x y
4
y x y x
27 Cho số x, y, z dương Chứng minh :
2 2
2 2
x y z x y z
y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)
(3)31 Chứng minh rằng: x y xy
32 Tìm giá trị lớn biểu thức: A 2
x 6x 17
33 Tìm giá trị nhỏ của: A x y z
y z x
với x, y, z >
34 Tìm giá trị nhỏ của: A = x2 + y2 biết x + y =
35 Tìm giá trị lớn của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ khơng :
a) ab a
b số vô tỉ b) a + b a
b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
37 Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
38 Cho a, b, c, d > Chứng minh: a b c d bccddaab 39 Chứng minh 2x x x 1
40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96
41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa :
2
2
1 1
A= x B C D E x 2x
x
x 4x x 2x 1 x
2
G 3x 1 5x 3 x x
42 a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy nào? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
2
M x 4x 4 x 6x9
c) Giải phương trình: 4x220x25 x28x 16 x218x 81 43 Giải phương trình: 2x28x x 24x 5 12
44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa :
2
2
1
A x x B C 9x D
1 3x x 5x
2
2
1 x
E G x H x 2x 3 x
x
2x x
(4)45 Giải phương trình:
2
x 3x
0
x
46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B x x
48 So sánh : a) a b=
b) 5 13 và 1
c) n 2 n và n+1 n (n số nguyên dương)
49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A 1 6x 9x2 (3x 1)
50 Tính : a) 3 b) 11 2 c) 27 10 2
2
d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n2 n 1 n2 n 1 (n ≥ 1)
51 Rút gọn biểu thức: M 41
45 41 45 41
52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức: (2xy)2(y 2) 2 (x y z)2 0 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 25x220x 4 25x230x9 54 Giải phương trình sau:
2 2 2
a) x x x 2 b) x 1 x c) x x x x
4 2
d) x x 2x 1 e) x 4x 4 x g) x 2 x 3 5
2 2
h) x 2x 1 x 6x 9 i) x 5 x x 25
k) x 3 x 1 x x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x2
55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện: xy = x > y CMR:
2
x y
2
x y
56 Rút gọn biểu thức:
a) 13 30 b) m m m m
c) 2 2 2 d) 227 30 123 22
57 Chứng minh
2
(5)58 Rút gọn biểu thức:
6 6 9 2 6
a) C b) D
2
59 So sánh:
a) 6 20 1+ b) 17 12 và 1 c) 28 16 và 32
60 Cho biểu thức: A x x24x4 a) Tìm tập xác định biểu thức A
b) Rút gọn biểu thức A
61 Rút gọn biểu thức sau:
a) 11 10 b) 14 c) 11 6
2 10
62 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức:
2 2
1 1 1
a b c a b c 63 Giải bất phương trình: x216x60 x
64 Tìm x cho: x2 3 x2
65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết rằng:
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa:
2
2
1 16 x
a) A b) B x 8x
2x
x 2x
67 Cho biểu thức:
2
2
x x 2x x x 2x
A
x x 2x x x 2x
a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A <
68 Tìm 20 chữ số thập phân số: 0,9999 (20 chữ số 9)
69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: A = | x - 2| + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx =
(6)72 Cho biểu thức A 74 3 3 Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ: 3 ; 3 ; 23
75 Hãy so sánh hai số: a3 3 b=2 1 ;
76 So sánh 4 4 số
77 Rút gọn biểu thức : Q
2
78 Cho P 14 40 56 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết rằng: x y y x 1
80 Tìm giá trị nhỏ lớn của: A x x 81 Tìm giá trị lớn của:
2
M a b với a, b > a + b ≤
82 CMR số 2b c ad ; 2c d 2 ab ; 2d a bc ; 2a b cd có hai số dương (a, b, c, d > 0)
83 Rút gọn biểu thức: N 68 34 18
84 Cho x y z xy yz zx, x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n
86 Chứng minh :
2
a b 2 2(ab) ab (a, b ≥ 0)
87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác
88 Rút gọn : a)
2
ab b a
A
b b
b)
2
(x 2) 8x
B
2 x
x
89 Chứng minh với số thực a, ta có:
2
2
a
2
a
Khi có đẳng thức?
90 Tính: A 3 3 hai cách
91 So sánh: a) 3 6,9 b) 13 12
5
(7)92 Tính: P 3
2 2
93 Giải phương trình: x 2 2x 5 x 2 2x 5 2
94 Chứng minh ta ln có: Pn 1.3.5 (2n 1)
2.4.6 2n 2n
; n Z+
95 Chứng minh a, b >
2
a b
a b
b a
96 Rút gọn biểu thức: A =
2
x 4(x 1) x 4(x 1) 1
x
x 4(x 1)
97 Chứng minh đẳng thức sau: a) a b b a : a b
ab a b
(a, b > ; a ≠ b)
14 15 a a a a
b) : c) 1 a
1 a a
(a >
0)
98 Tính : a) 5 3 29 20 ; b) 3 5 13 48
c) 7 48 28 16 7 48
99 So sánh : a) 3 15 b) 2 15 12 16
c) 18 19 d) 25
2
100 Cho đẳng thức:
2
a a b a a b
a b
2
(a, b > a2 – b > 0)
Áp dụng kết để rút gọn :
2 3 2 2
a) ; b)
2 2 17 12 17 12
2 10 30 2
c) :
2 10 2
(8)2
2
xy x y
a) A
xy x y
với
1 1
x a , y b
2 a b
(a > ; b > 1)
a bx a bx
b) B
a bx a bx
với 2
2am
x , m
b m
102 Cho biểu thức
2
2x x
P(x)
3x 4x
a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) <
103 Cho biểu thức
2
x x x x
A
4
1
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên
104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau:
2
a) x b) xx (x0) c) 1 x d) x 5 4
2
e) 3x g) 2x 2x h) x 2x i)
2x x
105 Rút gọn biểu thức : A x 2x 1 x 2x 1 , ba cách ?
106 Rút gọn biểu thức sau : a) 35 48 10 7 4
b) 4 10 5 4 10 5 c) 94 42 5 94 42 5
107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ b
a) a b a b a a2b b)
2
a a b a a b
a b
2
108 Rút gọn biểu thức : A x2 2x 4 x2 2x4 109 Tìm x y cho : x y x y
110 Chứng minh bất đẳng thức : a2b2 c2d2 ac 2 b d 2
111 Cho a, b, c > Chứng minh :
2 2
a b c a b c
b c c a a b
(9)a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a
113 CM: a2c2b2c2 a2d2b2d2 (a b)(c d) với a, b, c, d >
114 Tìm giá trị nhỏ : A x x 115 Tìm giá trị nhỏ : A (x a)(x b)
x
116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + 2x
118 Giải phương trình : x 1 5x 1 3x2 119 Giải phương trình : x2 x 1 x2 x 1 2 120 Giải phương trình : 3x221x 18 x 27x 7
121 Giải phương trình : 3x26x 7 5x210x 14 4 2xx2 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3 ; 2 123 Chứng minh x 2 x 2
124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học :
2 2
a b b c b(ac) với a, b, c > 125 Chứng minh (ab)(c d) ac bd với a, b, c, d >
126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác
127 Chứng minh
2
(a b) a b
a b b a
2
với a, b ≥
128 Chứng minh a b c
bc ac ab với a, b, c > 129 Cho x y y x 1 Chứng minh x2
+ y2 =
130 Tìm giá trị nhỏ A x2 x 1 x2 x 1 131 Tìm GTNN, GTLN A x x
132 Tìm giá trị nhỏ A x2 1 x22x5
133 Tìm giá trị nhỏ A x2 4x 12 x2 2x3
(10)135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b
x y (a b số dương) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) =
137 Tìm GTNN A xy yz zx
z x y
với x, y, z > , x + y + z =
138 Tìm GTNN
2 2
x y z
A
x y y z z x
biết x, y, z > , xy yz zx 1
139 Tìm giá trị lớn : a)
2
A a b với a, b > , a + b ≤
b)
4 4 4
B a b a c a d b c b d c d
với a, b, c, d > a + b + c + d =
140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y =
141 Tìm GTNN A b c
c d a b
với b + c ≥ a + d; b, c > 0; a, d ≥ 142 Giải phương trình sau :
2
a) x 5x2 3x120 b) x 4x8 x 1 c) 4x 1 3x 4
d) x 1 x 1 2 e) x2 x 1 x 1 g) x 2x 1 x 2x 1 h) x 2 x 2 x 7 x 2 i) x x x 1
2 2
k) 1 x x x 1 l) 2x 8x 6 x 1 2x2
2
m) x 6 x x 1 n) x 1 x 10 x 2 x5
o) x 1 x 3 x x 3x5 4 2x
p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 x2
2
q) 2x 9x 4 2x 1 2x 21x 11
143 Rút gọn biểu thức : A2 2 53 2 18 202 2
144 Chứng minh rằng, n Z+ , ta ln có :
1 1
1 n 1
2 n
145 Trục thức mẫu : a) b)
(11)146 Tính :
a) 5 3 29 20 b) 62 5 13 48 c) 5 3 29 12 5
147 Cho a 3 3 5 10 2 Chứng minh a số tự nhiên
148 Cho b 2 2
17 12 17 12
b có phải số tự nhiên khơng ?
149 Giải phương trình sau :
a) x x b) x x 3
5 x x x x
c) d) x x 5
5 x x
150 Tính giá trị biểu thức:
M 12 529 25 21 12 529 25 21
151 Rút gọn : A 1
1 2 3 n n
152 Cho biểu thức : P 1
2 3 4 2n 2n
a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ?
153 Tính : A 1
2 1 2 3 100 99 99 100
154 Chứng minh : 1 1 n
2 n
155 Cho a 17 1 Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : a a 1 a 2 a3 (a ≥ 3)
157 Chứng minh : x2 x
(x ≥ 0)
158 Tìm giá trị lớn S x 1 y 2 , biết x + y =
159 Tính giá trị biểu thức sau với a : A 2a 2a
4 1 2a 1 2a
160 Chứng minh đẳng thức sau :
(12) 2
c) 5 10 d) 48 e) 17 5
2
161 Chứng minh bất đẳng thức sau :
5 5
a) 27 48 b) 10
5 5
5 1
c) 0, 1,01
3
1 3
2 3 3
d)
2 6 6
e) 22 1 22 1 1,9 g) 17 12 2 1
2 2
h) 7 i) 0,8
4
162 Chứng minh : 2 n n n n n
Từ suy ra:
1 1
2004 2005
2 1006009
163 Trục thức mẫu :
3
2
a) b)
2 2
164 Cho x y=
3
Tính A = 5x
2
+ 6xy + 5y2
165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 2002 2003 2002 2003
2003 2002
166 Tính giá trị biểu thức :
2
x 3xy y
A
x y
với x 3 y 3
167 Giải phương trình : 6x 3 x x2
x x
168 Giải bất pt : a)
1
3 5x 72 b) 10x 14 c) 2 2x
4
169 Rút gọn biểu thức sau :
a
a) A 29 12 b) B a a(a 1) a
a
(13)2 2
2 2
x x x 5x x x
c) C d) D
2x x 3x x (x 2) x
1 1
E
1 2 3 24 25
170 Tìm GTNN GTLN biểu thức
2
1 A
2 x
171 Tìm giá trị nhỏ A
1 x x
với < x <
172 Tìm GTLN : a) A x 1 y 2 biết x + y = ; b) B x y
x y
173 Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 So sánh a với b, số lớn ?
174 Tìm GTNN, GTLN :
2
1
a) A b) B x 2x
5 x
175 Tìm giá trị lớn Ax x
176 Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 =
177 Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = 178 Tìm GTNN, GTLN Ax xy y biết x y 1
179 Giải phương trình : x x2 3x (x 2) x
x
180 Giải phương trình : x22x 9 4x 2x2
181 CMR, n Z+ , ta có :
1 1
23 2 3 (n 1) n
182 Cho A 1
1.1999 2.1998 3.1997 1999.1
Hãy so sánh A 1,999
183 Cho số x, y x y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ
184 Cho a 2 ; b 2
3
CMR : a, b số hữu tỉ
185 Rút gọn biểu thức : P a a a a a a
a
a a a
(a > ; a ≠ 1)
186 Chứng minh : a a a a 4a
a a a
(14)187 Rút gọn :
2
x 8x
2 x
x
(0 < x < 2)
188 Rút gọn : a b ab : a b a b
a b ab b ab a ab
189 Giải bất phương trình :
2 2
2
5a
2 x x a
x a
(a ≠ 0)
190 Cho A 1 a2: a a a a a a
1 a a
a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a =
c) Với giá trị a | A | = A
191 Cho biểu thức : B a b a b b b
a ab ab a ab a ab
a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B a 6 c) So sánh B với -1
192 Cho A 1 : a b
a a b a a b a b
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm b biết | A | = -A
c) Tính giá trị A a 5 ; b 2
193 Cho biểu thức A a a a a
a a a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị A a
2
c) Tìm giá trị a để A A
194 Cho biểu thức A a a a a a
2 a a a
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A để A = -
195 Thực phép tính : A a a : a a
1 a a a a
(15)196 Thực phép tính : B 3
2 2
197 Rút gọn biểu thức sau :
3
x y 1 1
a) A :
x y
xy xy x y xy x y x y
với x 2 ; y 2
b)
2 2
x x y x x y
B
2(x y)
với x > y >
c)
2
2
2a x C
1 x x
với
1 a a
x
2 a a
; < a <
d)
2
2
a b
D (a b)
c
với a, b, c > ab + bc + ca =
e) E x x x x 2x
x 2x x 2x
198 Chứng minh :
2
x x 2x
x x
x x x
với x ≥
199 Cho a , b
2
Tính a7
+ b7
200 Cho a 1 a) Viết a2
; a3 dạng m m 1 , m số tự nhiên b) Chứng minh với số nguyên dương n, số an
viết dạng
201 Cho biết x = nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx + c = với hệ số hữu tỉ Tìm nghiệm cịn lại
202 Chứng minh 2 n 1 n
2 n
với n N ; n ≥
203 Tìm phần nguyên số 6 6 (có 100 dấu căn) 204 Cho a 2 Tính a) a2 b) a3
(16)206 CMR, n ≥ , n N : 1 23 4 3 (n 1) n
207 Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :
1 25
1 1
a a a a
Chứng minh 25 số tự nhiên tồn số
208 Giải phương trình x x
2 x 2 x
209 Giải biện luận với tham số a x x a
1 x x
210 Giải hệ phương trình
x y 2y
y z 2z
z x 2x
211 Chứng minh :
a) Số 8 7 7 có chữ số liền sau dấu phẩy
b) Số 74 310 có mười chữ số liền sau dấu phẩy
212 Kí hiệu an số nguyên gần n (n N*), ví dụ :
1
1 1 a ; 1, 4a 1 ; 31,7a 2 ; 2 a 2
Tính :
1 1980
1 1
a a a a
213 Tìm phần ngun số (có n dấu căn) : a) an 2 2
b) an 4 4 c) an 1996 1996 1996 1996
214 Tìm phần nguyên A với n N : A 4n2 16n28n3 215 Chứng minh viết số x =
200
3 dạng thập phân, ta chữ số liền trước dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy
216 Tìm chữ số tận phần nguyên
250
3
(17)219 Giải phương trình : a) 3x 1 37 x b) x 2 x 1 3
220 Có tồn số hữu tỉ dương a, b không : a) a b 2 b) a b 221 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 35 b) 234
222 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với số không âm : a b c 3abc
223 Cho a, b, c, d > Biết a b c d
1 a 1 b 1 c 1 d Chứng minh :
1 abcd
81
224 Chứng minh bất đẳng thức :
2 2
2 2
x y z x y z
y z x y z x với x, y, z > 225 Cho a 33 33 3333 ; b2 33 Chứng minh : a < b
226 a) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có :
n
1
1
n
b) Chứng minh số có dạng nn (n số tự nhiên), số 33 có giá trị lớn 227 Tìm giá trị nhỏ A x2 x x2 x
228 Tìm giá trị nhỏ A = x2(2 – x) biết x ≤ 229 Tìm giá trị lớn Ax2 x
230 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 – 6) biết ≤ x ≤
231 Một miếng bìa hình vng có cạnh dm Ở góc hình vng lớn, người ta cắt hình vng nhỏ gấp bìa để hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp Tính cạnh hình vng nhỏ để thể tích hộp lớn
232 Giải phương trình sau :
3
3
a) 1 x 16 x3 b) x x 1
3
3 3
c) x 1 x 1 5x d) 2x 1 x 1
3 2 3 3
3
3
x 3x x x 7 x x 5
e) g) x
2 x x
3
2 2 3
3
h) (x 1) (x 1) x 1 i) x 1 x 2 x 3
2
4 4 4
k) x x x 3 l) a x b x a b 2x (a, b tham số)
233 Rút gọn
4 2
3 3
2
3 3
a a b b
A
a ab b
(18)234 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x2 x x2 x
235 Xác định số nguyên a, b cho nghiệm phương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = 1
236 Chứng minh 33 số vơ tỉ
237 Làm phép tính : a) 31 26 b) 69 2 238 Tính : a 320 14 2 3 20 14 2
239 Chứng minh : 3 2 37 5 2
240 Tính : A47 48 428 16 7 48
241 Hãy lập phương trình f(x) = với hệ số ngun có nghiệm : x 33 39
242 Tính giá trị biểu thức : M = x3 + 3x – 14 với
3
1
x
7
243 Giải phương trình : a) 3 x 2 25 x 3
2
3
b) x 9 (x 3) 6 c) x 322 x 323
244 Tìm GTNN biểu thức : A x32 1 x3 1 x32 1 x31 245 Cho số dương a, b, c, d Chứng minh : a + b + c + d ≥ 4 abcd4
246 Rút gọn:
3 3
3
3 3
8 x x x x
P : x
2 x x x x 2 x
; x>0, x ≠
247 CMR: x 35 17 35 17 nghiệm phương trình x3 – 6x – 10 =
248 Cho
3
1
x 15
4 15
Tính giá trị biểu thức y = x
3
– 3x + 1987
249 Chứng minh đẳng thức :
3
3
a
a
2 a a
250 Chứng minh bất đẳng thức : 3 94 3 2 5 2 2,1 0
(19)a)
3
4 2
3 3
3
2
3 3 3
3
1
a a b b b 4b b 24
A b)
1
b b
a ab b b 2 1 2.
b
c)
2 2
3 3
3
3
2
3 3
a a 2a b a b a b ab
C
a b
a ab a
252 Cho M x24a 9 x24x 8 Tính giá trị biểu thức M biết rằng:
2
x 4x 9 x 4x 8 2
253 Tìm giá trị nhỏ : P x22axa2 x22bxb2 (a < b) 254 Chứng minh rằng, a, b, c độ dài cạnh tam giác :
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
255 Tìm giá trị biểu thức | x – y | biết x + y = xy = -1 256 Biết a – b = + , b – c = - 1, tìm giá trị biểu thức :
A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca
257 Tìm x, y, z biết : x y z x 2 y 3 6 z 5
258 Cho y x2 x 1 x2 x 1 CMR, ≤ x ≤ giá trị y số
259 Phân tích thành nhân tử : M7 x 1 x3x2 x (x ≥ 1)
260 Trong tất hình chữ nhật có đường chéo 8 2, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn
261 Cho tam giác vng ABC có cạnh góc vng a, b cạnh huyền c Chứng minh ta có : c a b
2
262 Cho số dương a, b, c, a’, b’, c’ Chứng minh :
Nếu aa' bb ' cc ' (a b c)(a ' b ' c ') a b c a' b ' c '
263 Giải phương trình : | x2 – | + | x2 – | =
264 Chứng minh giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y :
4
x y
1 x y
C
4xy x y
x y x y
x y x y
(20)265 Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a:
2 a a a a a a
D
a
a a a
với a > ; a ≠
266 Cho biểu thức B a c ac
a c a c
a c
ac c ac a ac
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị biểu thức B c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị a c để B > ; B <
267 Cho biểu thức : A= m+2mn2 m 2mn2 12
1+n n n
với m ≥ ; n ≥
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A với m 56 24 5 c) Tìm giá trị nhỏ A
268 Rút gọn
2
2
1 x x 1 x x
D
x x
1 x x x x x x
269 Cho P x : x
x
x x x x x
với x ≥ ; x ≠
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x cho P <
270 Xét biểu thức
2
x x 2x x
y
x x x
a) Rút gọn y Tìm x để y =
(21)PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI
1 Giả sử số hữu tỉ m n
(tối giản) Suy
2
2
2
m
7 hay 7n m
n
(1) Đẳng thức
này chứng tỏ
m mà số nguyên tố nên m Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n2
= 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 số nguyên tố nên n m n chia hết phân số m
n không tối giản, trái giả thiết Vậy số hữu tỉ; số vơ tỉ
2 Khai triển vế trái đặt nhân tử chung, ta vế phải Từ a) b) (ad – bc)2 ≥ 3 Cách : Từ x + y = ta có y = – x Do : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy S = x = y =
Cách : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ mim S = x = y =
4 b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương bc ca ; bc ab ;ca ab
a b a c b c ,
ta có:
bc ca bc ca bc ab bc ab
2 2c; 2b
a b a b a c a c ;
ca ab ca ab
2 2a
b c b c cộng vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c
c) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : 3a 5b 3a.5b
(3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) 122 ≥ 60P P ≤ 12
5 max P = 12
5 Dấu xảy 3a = 5b = 12 : a = ; b = 6/5
5 Ta có b = – a, M = a3 + (1 – a)3 = 3(a ẵ)2 + ẳ ẳ Du = xảy a = ½ Vậy M = ẳ a = b = ẵ
6 Đặt a = + x b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 Suy : b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x =
Với a = 1, b = a3
+ b3 = a + b = Vậy max N = a = b = 7 Hiệu vế trái vế phải (a – b)2(a + b)
8 Vì | a + b | ≥ , | a – b | ≥ , nên : | a + b | > | a – b | a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2
4ab > ab > Vậy a b hai số dấu
(22)b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c bất đẳng thức có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥
10 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn, ta :
3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11 a)
4
2x x 3x x
2x x
2x x x
x
b) x2 – 4x ≤ (x – 2)2 ≤ 33 | x – | ≤ -3 ≤ x – ≤ -1 ≤ x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – (2x – 1)2 ≤ Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên : 2x – = Vậy : x = ½
12 Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2
+ (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do ta có : a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d =
13 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 M ≥ 1998
Dấu “ = “ xảy có đồng thời :
a b
a
b
Vậy M = 1998 a = b =
14 Giải tương tự 13
15 Đưa đẳng thức cho dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + = 16
2
2
1 1
A max A= x
x 4x x 5
17 a) 7 15 9 16 3 Vậy 7 15 < b) 17 1 16 1 4 49 45
c) 23 19 23 16 23 2.4 25 27
3 3
d) Giả sử
2
3 3 22 18 12 18 12
Bất đẳng thức cuối đúng, nên :
18 Các số 1,42
(23)Vế trái phương trình khơng nhỏ 6, cịn vế phải không lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1
20 Bất đẳng thức Cauchy ab a b
viết lại dạng
2 a b ab
(*) (a, b ≥ 0)
Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy ta :
2 2x xy 2x.xy
Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức x = 1, y = max A = x = 2, y =
21 Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng :
a b
ab Áp dụng ta có S >
1998
1999 22 Chứng minh
23 a)
2 2
x y x y 2xy (x y)
2
y x xy xy
Vậy x y y x
b) Ta có :
2 2
2 2
x y x y x y x y x y
A
y x y x y x y x y x
Theo câu a :
2
2
2
x y x y x y
A 2 1
y x y x y x
c) Từ câu b suy :
4 2
4 2
x y x y
0
y x y x
Vì
x y
2
y x (câu a) Do :
4 2
4 2
x y x y x y
2
y x y x y x
24 a) Giả sử 1 = m (m : số hữu tỉ) = m2 – số hữu tỉ (vơ lí)
b) Giả sử m +
n = a (a : số hữu tỉ)
n = a – m = n(a – m) số hữu tỉ, vô lí
25 Có, chẳng hạn 2 (5 2)5
26 Đặt
2
2
2
x y x y
a a
y x y x Dễ dàng chứng minh
2
2
x y
2 y x nên a
2
≥ 4,
| a | ≥ (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2
– + ≥ 3a
a2 – 3a + ≥ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)
(24)27 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
4 4 2 2
2 2
x z y x z x x z y x z y xyz
0 x y z
Cần chứng minh tử không âm, tức : x3
z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ (1)
Biểu thức khơng đổi hốn vị vịng x y z x nên giả sử x số lớn Xét hai trường hợp :
a) x ≥ y ≥ z > Tách z – x (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥
z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ Dễ thấy x – y ≥ , x3
– y2z ≥ , y – z ≥ , yx2 – z3 ≥ nên bất đẳng thức b) x ≥ z ≥ y > Tách x – y (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với :
x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥
z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ Dễ thấy bất đẳng thức dúng
Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
2 2
x y z x y z
1 1
y z x y z x
28 Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải số vô tỉ
29 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) Tương tự câu b
30 Giả sử a + b > (a + b)3 > a3 + b3 + 3ab(a + b) > + 3ab(a + b) >
ab(a + b) > ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2
(a – b)2 < 0, vô lí Vậy a + b ≤
31 Cách 1: Ta có : x ≤ x ; y ≤ y nên x + y ≤ x + y Suy x + y số nguyên không vượt x + y (1) Theo định nghĩa phần nguyên, xy số nguyên lớn không vượt x + y (2) Từ (1) (2) suy : x + y ≤ xy
(25)- Nếu ≤ (x + y) – ( x + y ) < xy = x + y (1)
- Nếu ≤ (x + y) – ( x + y ) < ≤ (x + y) – ( x + y + 1) < nên
xy = x + y + (2) Trong hai trường hợp ta có : x + y ≤ xy 32 Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + ≥ nên tử mẫu A số dương , suy A > : A lớn
A nhỏ x
2
– 6x + 17 nhỏ
Vậy max A =
8 x =
33 Khơng dùng phép hốn vị vịng quanh x y z x giả sử x ≥ y ≥ z
Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z :
3
x y z x y z
A
y z x y z x
Do x y z x y z x y z
y z x y z x
Cách : Ta có : x y z x y y z y
y z x y x z x x
Ta có
x y
2
y x (do x, y > 0) nên
để chứng minh x y z
y z x ta cần chứng minh :
y z y
1 z x x (1) (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2)
(2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá
trị nhỏ x y z y z x
34 Ta có x + y = x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x – y)2 ≥ x2 – 2xy + y2 ≥ Từ suy 2(x2 + y2) ≥ 16 x2 + y2 ≥ A = x = y =
35 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : = x + y + z ≥ 3.3xyz (1)
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3(xy)(yz)(zx) (2)
Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ 9.3 A
A ≤
3
2
max A =
3
2
(26)36 a) Có thể b, c) Khơng thể
37 Hiệu vế trái vế phải (a – b)2(a + b) 38 Áp dụng bất đẳng thức 2
xy (xy) với x, y > :
2 2
2
a c a ad bc c 4(a ad bc c )
b c d a (b c)(a d) (a b c d)
(1)
Tương tự
2
2
b d 4(b ab cd d )
c d a b (a b c d)
(2)
Cộng (1) với (2)
2 2
2
a b c d 4(a b c d ad bc ab cd)
b c c d d a a b (a b c d)
= 4B
Cần chứng minh B ≥
2, bất đẳng thức tương đương với : 2B ≥ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2
a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ (a – c)2 + (b – d)2 ≥ : 39 - Nếu ≤ x - x < ½ ≤ 2x - 2 x < nên 2x = 2 x
- Nếu ½ ≤ x - x < ≤ 2x - 2 x < ≤ 2x – (2 x + 1) < 2x = 2 x + 40 Ta chứng minh tồn số tự nhiên m, p cho :
m chữ số
96000 00 ≤ a + 15p <
m chữ số
97000 00
Tức 96 ≤ am 15pm
10 10 < 97 (1) Gọi a + 15 số có k chữ số : 10k – ≤ a + 15 < 10k
ak 15 1k
10 10 10 (2) Đặt n k k
a 15p
x
10 10 Theo (2) ta có x1 < k
15 10 <
Cho n nhận giá trị 2, 3, 4, …, giá trị xn tăng dần, lần tăng khơng q
đơn vị, xn trải qua giá trị 1, 2, 3, … Đến lúc ta có xp = 96 Khi
96 ≤ xp < 97 tức 96 ≤ k k
a 15p
10 10 < 97 Bất đẳng thức (1) chứng minh 42 a) Do hai vế bất đẳng thức khơng âm nên ta có :
| A + B | ≤ | A | + | B | | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2
A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu “ = “ xảy AB ≥
(27)Vậy M = -2 ≤ x ≤
c) Phương trình cho | 2x + | + | x – | = | x + | = | 2x + + – x |
(2x + 5)(4 – x) ≥ -5/2 ≤ x ≤
43 Điều kiện tồn phương trình : x2 – 4x – ≥ x
x
Đặt ẩn phụ
x 4x 5 y 0, ta : 2y2
– 3y – = (y – 2)(2y + 1) = 45 Vô nghiệm
46 Điều kiện tồn x x ≥ Do : A = x + x ≥ A = x = 47 Điều kiện : x ≤ Đặt x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x x = – y2
B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + 13 ≤
13
4 max B = 13
4 y = ½ x = 11
4 48 a) Xét a2 b2 Từ suy a = b
b) 5 13 3 (2 1) 3 1 Vậy hai số c) Ta có : n 2 n 1 n 2 n 1 n+1 n n 1 n1 Mà n 2 n 1 n 1 n nên n+2 n 1 n 1 n
49 A = - | – 3x | + | 3x – |2 = ( | 3x – 1| - ẵ )2 + ắ ắ T ú suy : A = ¾ x = ½ x = 1/6 51 M =
52 x = ; y = ; z = -3
53 P = | 5x – | + | – 5x | ≥ | 5x – + – 5x | = P = x 5 54 Cần nhớ cách giải số phương trình dạng sau :
2
B
A (B 0) A
a) A B b) A B c) A B
A B A B B
B
A
d) A B A B e) A B
B
A B
(28)
d) Đưa phương trình dạng : A B e) Đưa phương trình dạng : | A | + | B | = g, h, i) Phương trình vơ nghiệm
k) Đặt x 1 = y ≥ 0, đưa phương trình dạng : | y – | + | y – | = Xét dấu vế trái l) Đặt : 8x 1 u ; 3x 5 v ; 7x 4 z ; 2x 2 t
Ta hệ :
2 2
u v z t
u v z t
Từ suy : u = z tức : 8x 1 7x 4 x
55 Cách 1 : Xét
2 2 2
x y 2 2(xy)x y 2 2(x y) 2xy(x y 2) 0
Cách : Biến đổi tương đương
2
2
2
2
x y
x y
2
x y x y
(x
2
+ y2)2 – 8(x – y)2 ≥
(x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ (x2 + y2 – 4)2 ≥
Cách : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy :
2 2 2
x y x y 2xy 2xy (x y) 2.1
(x y) (x y)
x y x y x y x y x y
(x >
y)
Dấu đẳng thức xảy x ; y
2
x ; y
2
62
2
2 2 2
1 1 1 2 1 1 1 2(c b a
a b c a b c ab bc ca a b c abc
=
= 12 12 12
a b c Suy điều phải chứng minh
63 Điều kiện :
2 (x 6)(x 10) 0 x
x 16x 60 x 10 x 10
x x
x
Bình phương hai vế : x2
– 16x + 60 < x2 – 12x + 36 x > Nghiệm bất phương trình cho : x ≥ 10
(29)Đặt thừa chung : x23.(1 - x23) ≤
2
2
x
x
x
1 x x 2
Vậy nghiệm bất phương trình : x = ; x ≥ ; x ≤ -2
65 Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + = - x2 ≤ Do : A2
– 4A + ≤ (A – 1)(A – 3) ≤ ≤ A ≤
min A = x = 0, y = ± max A = x = 0, y = ± 66 a) ½ ≤ x ≠
b) B có nghĩa
2
2
2
4 x 4 x
16 x
x 2
2x (x 4) x 2
2 x 2
1
x 8x x
1
2 x
2
67 a) A có nghĩa
2
2
2
x 2x x(x 2) x
x
x x 2x
x x 2x
b) A = 2 x22x với điều kiện
c) A < x22x < x2 – 2x < (x – 1)2 < - < x – < 2 kq 68 Đặt
20 chữ số
0,999 99 = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân a chữ số
9 Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có : < a < a(a – 1) < a2 – a < a2 < a Từ a2 < a < suy a < a <
Vậy
20 chữ số 20 chữ số
0,999 99 0,999 99
69 a) Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |
A ≤ | x | + + | y | + = + max A = + (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tìm giá trị nhỏ Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b
(30)Mặt khác, dễ dàng chứng minh : Nếu a + b + c = a2
+ b2 + c2 ≥
Do từ giả thiết suy : x2
y2 + y2z2 + z2x2 ≥
3 (2)
Từ (1) , (2) : A =
3 x = y = z = 3
71 Làm 8c (§ 2) Thay so sánh n n2 n+1 ta so sánh
n 2 n 1 n 1 n Ta có :
n 2 n 1 n 1 n n n 2 n 1
72 Cách : Viết biểu thức dấu thành bình phương tổng hiệu
Cách : Tính A2
suy A
73 Áp dụng : (a + b)(a – b) = a2 – b2 74 Ta chứng minh phản chứng
a) Giả sử tồn số hữu tỉ r mà 3 = r + 15 + = r2
2
r
15
Vế trái
là số vô tỉ, vế phải số hữu tỉ, vơ lí Vậy 3 số vô tỉ b), c) Giải tương tự
75 a) Giả sử a > b biến đổi tương đương : 3 3 3 2 1 3 32 22
2
3 22 27 8 158 225 128 Vậy a > b b) Bình phương hai vế lên so sánh
76 Cách : Đặt A = 4 4 , rõ ràng A > A2 = A =
Cách : Đặt B = 4 4 2.B 7 7 2 B =
77
2 2
2 2.3 2.4
Q
2 4
78 Viết 402 2.5 ; 56 2 2.7 ; 1402 5.7 Vậy P = 2 5
79 Từ giả thiết ta có : x y 1 y x Bình phương hai vế đẳng thức ta
được :
y x Từ : x2 + y2 =
(31)81 Ta có :
2 2
M a b a b a b 2a2b2
1
a b
max M a b
2
a b
82 Xét tổng hai số :
2a b cd 2c d 2 ab a b ab c d cd a c =
=
2
a c a b c d a c
83 N 68 34 18 12 3 4 64 22 =
=
2
2 32 2 2 32 2 3 2 2 3 22
84 Từ x y z xy yz zx
2 2
x y y z z x 0
Vậy x = y = z
85 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ai ( i = 1, 2, 3, … n )
86 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ 2 ab ≥ 0, ta có :
2
a b ab2 2(ab) ab hay a b 2 2(ab) ab Dấu “ = “ xảy a = b
87 Giả sử a ≥ b ≥ c > Ta có b + c > a nên b + c + 2 bc > a hay
2
b c a
Do : b c a Vậy ba đoạn thẳng a , b , c lập thành tam giác 88 a) Điều kiện : ab ≥ ; b ≠ Xét hai trường hợp :
* Trường hợp : a ≥ ; b > : A b.( a b) a a b a
b b
b b b
* Trường hợp : a ≤ ; b < :
2
2
ab b a a a a
A 1
b b b b
b
b) Điều kiện :
2
(x 2) 8x
x
x
x
2
x
x
(32)2
x x
(x 2) 8x (x 2) x
B
2 x 2 x 2
x x
Nếu < x < | x – | = -(x – 2) B = - x
Nếu x > | x – | = x – B = x
89 Ta có :
2 2
2
2 2
a 1
a
a
a a a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
2
2
1
a a
a a
Vậy
2
2
a
2
a
Đẳng thức xảy :
2
2
1
a a
a
93 Nhân vế pt với 2, ta : 2x 5 3 2x 1 4 5/2 ≤ x ≤ 94 Ta chứng minh qui nạp toán học :
a) Với n = ta có : P1 1
2
(*)
b) Giả sử : Pk 1.3.5 (2k 1) 2.4.6 2k
2k 2k
(1)
c) Ta chứng minh (*) n = k + , tức :
k
1 1.3.5 (2k 1)
P
2.4.6 (2k 2)
2k 2k
(2)
Với số nguyên dương k ta có : 2k 2k
2k 2k
(3)
Nhân theo vế bất đẳng thức (1) (3) ta bất đẳng thức (2) Vậy n Z+ ta có
n
1.3.5 (2n 1) P
2.4.6 2n 2n
95 Biến đổi tương đương :
2 3
a b a b
a b a b
b a ab
2
( a b)(a ab b)
a b ab a ab b a b
ab
(33)96 Điều kiện :
2
x 4(x 1)
1 x
x 4(x 1)
x
x 4(x 1)
x
Xét hai khoảng < x < x > Kết : A A=
1 x x-1
105 Cách : Tính A 2 Cách : Tính A2
Cách : Đặt 2x 1 = y ≥ 0, ta có : 2x – = y2
2 y 1
y 2y y 2y
2x 2x 2x 2x y
A
2 2 2
Với y ≥ (tức x ≥ 1), A (y y 1) 2
Với ≤ y < (tức
2 ≤ x < 1),
1 2y
A (y y 1) y 4x
2
108 Nếu ≤ x ≤ A = 2 Nếu x ≥ A = x 2
109 Biến đổi : x y 2 x y Bình phương hai vế rút gọn, ta : 2(x y 2) xy Lại bình phương hai vế rút gọn : (2 – y)(x – 2) =
Đáp : x = , y ≥ , x ≥ , y =
110 Biến đổi tương đương :
(1) a2 + b2 + c2 + d2 + a2b2c2d2 ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd
a2b2c2d2 ≥ ac + bd (2) * Nếu ac + bd < 0, (2) chứng minh * Nếu ac + bd ≥ 0, (2) tương đương với :
(a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd
(ad – bc)2 ≥ (3) Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) chứng minh 111 Cách : Theo bất đẳng thức Cauchy :
2 2
a b c 2 a .b c 2.a a a a b c
b c b c b c
Tương tự :
2
b b a c ; c c a b
a c a b
(34)Cộng vế bất đẳng thức :
2 2
a b c a b c a b c a b c
b c c a a b 2
Cách : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2
+ b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2 Ta có :
2 2
2 2
a b c X b c c a a b
b c c a a b
≥
≥
2
a b c b c a c a b
b c c a a b
2 2 2
2
a b c 2(a b c) (a b c) a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
112 a) Ta nhìn tổng a + dạng tích 1.(a + 1) áp dụng bđt Cauchy : xy x y
(a 1) a
a 1.(a 1)
2
Tương tự : b b ; c c
2
Cộng vế bất đẳng thức : a b c a b c 3,5
Dấu “ = ” xảy a + = b + = c + a = b = c = 0, trái với giả thiết a + b + c =
Vậy : a 1 b 1 c 3,5
b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki với hai ba số :
2 2 2 2
1 a b b c c a (1 1)X a b b c c a
2
a b b c c a ≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6 a b b c c a
113 Xét tứ giác ABCD có AC BD, O giao điểm hai đường chéo OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > Ta có :
2 2 2 2
AB a c ; BC b c ; AD a d ; CD b d AC = a + b ; BD = c + d Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD Thật ta có : AB.BC ≥ 2SABC ; AD.CD ≥ 2SADC Suy :
Suy : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD
Vậy : a2c2b2c2 a2 d2b2 d2 (a b)(c d)
a d
b c
O
D C
B
(35)Chú ý : Giải cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
(m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta có : (a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2 a2c c2 2b2 ≥ ac + cb (1)
Tương tự : a2d2d2b2 ≥ ad + bd (2) Cộng (1) (2) suy đpcm
114 Lời giải sai :
2
1 1
A x x x Vaäy minA
2 4
Phân tích sai lầm : Sau chứng minh f(x) ≥ -
4 , chưa trường hợp xảy f(x) = -
Xảy dấu đẳng thức x
Vô lí
Lời giải : Để tồn x phải có x ≥ Do A = x + x ≥ A = x =
115 Ta có
2
(x a)(x b) x ax+ bx+ab ab
A x (a b)
x x x
Theo bất đẳng thức Cauchy : x ab ab x
nên A ≥ ab + a + b =
2
a b
min A =
2
a b chi
ab x
x ab
x x
116 Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2 Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1)
Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :
A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2) Vói cách ta khơng số α mà A2
≤ α Bây giờ, ta viết A2 dạng :
A2 =
2
2 2x 3y áp dụng (1) ta có :
2 2
2 2
A x y (2 3)(2x 3y ) 5.5 25
Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ A = -5 x y x y 2x 3y
max A = x y x y
2x 3y
(36)2
2 9
a y y y maxA= y x
2 4 4
118 Điều kiện x ≥ ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 x ≥
Chuyển vế, bình phương hai vế : x – = 5x – + 3x – + 15x 13x 22 (3) Rút gọn : – 7x = 15x 13x 22 Cần có thêm điều kiện x ≤ 2/7
Bình phương hai vế : – 28x + 49x2
= 4(15x2 – 13x + 2) 11x2 – 24x + = (11x – 2)(x – 2) = x1 = 2/11 ; x2 =
Cả hai nghiệm không thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình cho vơ nghiệm
119 Điều kiện x ≥ Phương trình biến đổi thành : x 1 x 1 2 x 1 x 1 1
* Nếu x > : x 1 x 1 1 x 1 x 2 , không thuộc khoảng xét * Nếu ≤ x ≤ : x 1 x 1 2 Vô số nghiệm ≤ x ≤
Kết luận : ≤ x ≤
120 Điều kiện : x2 + 7x + ≥ Đặt x27x 7 = y ≥ x2 + 7x + = y2 Phương trình cho trở thành : 3y2
– + 2y = 3y2 + 2y – = (y – 1)(3y + 5) =
y = - 5/3 (loại) ; y = Với y = ta có x27x 7 = x2 + 7x + =
(x + 1)(x + 6) = Các giá trị x = - 1, x = - thỏa mãn x2 + 7x + ≥ nghiệm (1)
121 Vế trái : 3(x 1) 2 4 5(x 1) 2 9 4 5 Vế phải : – 2x – x2
= – (x + 1)2 ≤ Vậy hai vế 5, x = - Với giá trị hai bất đẳng thức trở thành đẳng thức Kết luận : x = -
122 a) Giả sử 3 = a (a : hữu tỉ) - = a2
2
5 a
2
Vế phải số
hữu tỉ, vế trái số vô tỉ Vơ lí Vậy 3 số vơ tỉ b) Giải tương tự câu a
123 Đặt x 2 = a, x = b, ta có a2 + b = Sẽ chứng minh a + b ≤ Cộng vế bất đẳng thức :
2
a b
a ; b
2
124 Đặt đoạn thẳng BH = a, HC = c đường thẳng Kẻ HA BC với AH = b Dễ thấy AB.AC ≥ 2SABC = BC.AH
125 Bình phương hai vế rút gọn, ta bất đẳng thức tương đương : (ad – bc)2
≥ Chú ý : Cũng chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki
c a
b
C B
(37)126 Giả sử a ≥ b ≥ c > Theo đề : b + c > a Suy : b + c + 2 bc > a
2
b c a b c a
Vậy ba đoạn thẳng có độ dài b , c , a lập thành tam giác 127 Ta có a, b ≥ Theo bất đẳng thức Cauchy :
2
(a b) a b a b a b ab a b
2 2
Cần chứng minh : ab a b
≥ a b b a Xét hiệu hai vế :
ab a b
- ab a b =
1
ab a b a b
2
=
=
2
1
ab a b
2
≥
Xảy dấu đẳng thức : a = b =
4 a = b =
128 Theo bất đẳng thức Cauchy : b c.1 b c : b c a
a a 2a
Do : a 2a
b c a b c Tương tự :
b 2b ; c 2c
a c a b c a b a b c
Cộng vế : a b c 2(a b c)
b c c a a b a b c
Xảy dấu đẳng thức :
a b c
b c a a b c
c a b
, trái với giả thiết a, b, c >
Vậy dấu đẳng thức không xảy
129 Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Ta có :
2
2 2 2
x y y x x y y x
Đặt x2
+ y2 = m, ta : 12 ≤ m(2 - m) (m – 1)2 ≤ m = (đpcm)
Cách : Từ giả thiết : x y 1 y x Bình phương hai vế :
(38)130 Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ≤ x ≤
131 Xét A2 = + x Do ≤ x ≤ ≤ + x ≤
≤ A2 ≤ A = với x = ± , max A = với x =
132 Áp dụng bất đẳng thức : a2 b2 c2d2 (a c) 2 (b d)2 (bài 23)
2 2 2
A x 1 (1 x) 2 (x x) (1 2) 10
1 x
minA 10 x
x
133 Tập xác định :
2
2
x 4x 12 (x 2)(6 x)
1 x (x 1)(3 x)
x 2x
(1)
Xét hiệu : (- x2
+ 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A > Xét : A2 (x 2)(6 x) (x 1)(3 x) 2 Hiển nhiên A2
≥ dấu “ = ” không xảy
ra (vì A > 0) Ta biến đổi A2
dạng khác :
A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) =
= (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) +
=
2
(x 1)(6 x) (x 2)(3 x) 3
A2 ≥ Do A > nên A = với x = 134 a) Điều kiện : x2 ≤
* Tìm giá trị lớn : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
A2 = (2x + x )2 ≤ (22 + 11)(x2 + – x2) = 25 A2 ≤ 25
2
2 2
2 2
x
x 5 x
A 25 x 4(5 x ) x
x x 5
Với x = A = Vậy max A = với x =
* Tìm giá trị nhỏ : Chú ý từ A2 ≤ 25, ta có – ≤ x ≤ 5, không xảy A2 = - Do tập xác định A, ta có x2 ≤ - ≤ x ≤ Do : 2x ≥ -
2
(39) 2 2
2
A x 99 99 101 x x (99 1)(99 101 x ) x 10 200 x
x 200 x
10 1000
2
2
2
2
x 101
99 99
A 1000 x 10
1 101 x
x 200 x
Do : - 1000 < A < 1000
min A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10
135 Cách : A = x + y = 1.(x + y) = a b x y a ay bx b
x y x y
Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương : ay bx ay bx ab
x y x y
Do A a b ab a b2
2
min A a b với
ay bx
x y
x a ab
a b
1
x y y b ab
x, y
Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2
2
a b a b
A (x y).1 (x y) x y a b
x y x y
Từ tìm giá trị nhỏ A
136 A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz 2 xyz(x y z) 2 A = chẳng hạn y = z = , x = -
137 Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz xy yz 2y
z x z x
Tương tự : yz zx 2z ; zx xy 2x
x y y z Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = A = với x = y = z =
(40)138 Theo tập 24 :
2 2
x y z x y z
x y y z z x
Theo bất đẳng thức Cauchy :
xy yz zx
x y y z z x x+y+z
xy ; yz ; zx nên
2 2 2
min A =
1
x y z
3
139 a)
2 2
A a b a b a b 2a2b2
1
a b
max A a b
2
a b
b) Ta có :
4 4
2
a b a b a b 2(a b 6ab)
Tương tự :
4
2 2
4
2 2
4
2
a c 2(a c 6ac) ; a d 2(a d 6ad)
b c 2(b c 6bc) ; b d 2(b d 6bd)
c d 2(c d 6cd)
Suy : B ≤ 6(a2
+ b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤
a b c d
max B a b c d
4
a b c d
140 A3x 3y2 3x y 2 3x y 2 34 18 A = 18 với x = y = 141 Khơng tính tổng qt, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy :
a b c d
b c
2
b c b c c c a b c d c d c d
A
c d a b c d c d a b 2(c d) c d a b
Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có :
x y y y x y x y x y 1
A
2y y x 2y x 2y x 2y x 2
1
min A d , x y , b c a d
2
; chẳng hạn
a 1, b 1,c 2,d0
(41)b) Bình phương hai vế, đưa : (x2 + 8)(x2 – 8x + 8) = Đáp số : x = + 2 c) Đáp số : x = 20
d) x 1 2 x 1 Vế phải lớn vế trái Vô nghiệm
e) Chuyển vế : x2 x 1 1 x 1 Bình phương hai vế Đáp số : x =
g) Bình phương hai vế Đáp số : 1
2 ≤ x ≤
h) Đặt x2 = y Đưa dạng y 2 y = Chú ý đến bất đẳng thức : y 2 3 y y y Tìm ≤ y ≤ Đáp số : ≤ x ≤ 11
i) Chuyển vế : x x 1 x , bình phương hai vế Đáp : x = (chú ý loại x = 16 25) k) Đáp số : 16
25
l) Điều kiện : x ≥ x = - Bình phương hai vế rút gọn :
2
2 2(x 1) (x 3)(x 1) x 1 Bình phương hai vế : 8(x + 1)2
(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = 25
x
loại Nghiệm : x = ±
m) Vế trái lớn x, vế phải không lớn x Phương trình vơ nghiệm
n) Điều kiện : x ≥ - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x ≤ - Nghiệm : x = - o) Do x ≥ nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình
p) Đặt 2x 3 x 2 y ; 2x 2 x 2 z (1) Ta có :
2
y z 1 x2 ; y z x2 Suy y – z =
Từ z x2 (2) Từ (1) (2) tính x Đáp số : x = (chú ý loại x = - 1)
q) Đặt 2x2 – 9x + = a ≥ ; 2x – ≥ b ≥ Phương trình : a 3 b a 15b Bình phương hai vế rút gọn ta : b = b = a Đáp số : ;
2
144 Ta có :
2 k k
1 2
2 k k
k k k k k k k k
Vậy : 1 2( 1) 2( 2) 2( 3) 2( n n )
2 n
(42)= 2( n 1) (đpcm)
150 Đưa biểu thức dấu dạng bình phương M = -2 151 Trục thức mẫu hạng tử Kết : A = n -
152 Ta có : ( a a 1) P ( 2n 1)
a a 1 P số hữu tỉ (chứng minh phản chứng)
153 Ta chứng minh : 1 A
10 (n 1) n n n 1 n n 1
154 1 1 1 n n
2 n n
155 Ta có a + = 17 Biến đổi đa thức ngoặc thành tổng lũy thừa số a + A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000
= (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 =
156 Biến đổi : a a 1 ; a a
a a a a
157
2
2 1 1
x x x x x x x x
2 4 2
Dấu “ = “ khơng xảy khơng thể có đồng thời : x x
2
168 Trước hết ta chứng minh : a b 2(a2b )2 (*) (a + b ≥ 0) Áp dụng (*) ta có : S x 1 y 2 2(x y 2)
3 x
x y 2
max S
x y
y
* Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy
180 Ta phải có A ≤ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức :
B x
A
Ta có :
2 2
0 x 3 3 x 0 3 2 x 2
2
min B 2 3 x x Khi max A
2
(43) max B 2 x 0 x Khi A =
181 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B 2x x
1 x x
Khi :
2x x
(1) 2x x
B 2 B 2 x x
1 x x
0 x (2)
Giải (1) : 2x2
= (1 – x)2 x = – x Do < x < nên x = – x
x =
2 1
Như B = 2 x = -
Bây ta xét hiệu : A B 2x x 2x 1 x
1 x x x x x x
Do A = 2 + x = -
182 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng :
a b
ab
Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : 2
a b 2(a b )
A x 1 y 2 2(x y 3)
x y x 1,5
max A
x y y 2,5
Cách khác : Xét A2
dùng bất đẳng thức Cauchy
b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : ab a b
Ta xem biểu thức x , y 2 tích : x 1.(x 1) , y 2(y 2)
Theo bất đẳng thức Cauchy : x 1.(x 1) x 1
x x 2x
y 2.(y 2) y 2
y y 2y 2
x 1 x
1 2
max B
y 2 y
2 4
(44)183 a , b
1997 1996 1998 1997
Ta thấy
1997 1996 1998 1997 Nên a < b
184 a) A = - 2 với x = max A =
5 với x = ± b) B = với x = ± max B = với x =
185 Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤
2
2 x (1 x )
A x (1 x )
2
2
x x
1
max A x
2 x
186 A = x – y ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki :
2
2 1 2
A (x y) 1.x 2y (x 4y )
2 4
2
2
2y x
5
max A = x
2 5
x 4y y
10 x 5 y 10 187 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết :
3
3 2
3
0 x x x
x y x y
0 y y y
3 x x
max A x 0, y V x 1, y
y y
b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = x + y ≤ x y
Do :
3
3 x y x y
x y
2
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2 2 2 2
3 3 3
(x y )(xy) x y x y x x y y
= (x
2
+ y2) =
1
1
min A x y
2
(45)188 Đặt x a ; y b, ta có a, b ≥ 0, a + b =
A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab
Do ab ≥ nên A ≤ max A = a = b = x = x = 1, y =
Ta có
2
(a b) 1 1
ab ab 3ab A x y
4 4 4
189 Điều kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có : x
1 x (x 1)(x 2) x
x
x (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) 3 x 3 x 8
190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt
x 2x3 = y ≥ 0, phương trình có dạng :
y2 - y - 12 = (y - 2)(y + 2) = y
y 2 (loai y
Do
x 2x3 = x2 + 2x + = 18 (x – 3)(x + 5) = x = ; x = -5
191 Ta có :
1 1 1 1
k k k
(k 1)k k k
(k 1) k k k k k
= k 1
k k k
Do :
1 1
2
(k 1) k k k
Vậy : 1 1 1 1
2 (n 1) n 2 n n
= 1
n
(đpcm)
192 Dùng bất đẳng thức Cauchy
a b
ab (a, b > ; a ≠ 0) 193 Đặt x – y = a , x + y = b (1) a, b Q
a) Nếu b = x = y = 0, x , y Q
b) Nếu b ≠ x y a x y a
b b
x y
Q (2)
Từ (1) (2) : x b a Q ; y b a Q
2 b b
(46)199 Nhận xét : x2a2 x x2a2 xa2 Do :
2 2
2
2 2
2 2
5 x a x x a x
5a
2 x x a (1) x x a
x a x a
Do a ≠ nên : 2
x a x x x x x Suy : x2a2 x , x
Vì : (1) 2 2 2
2 2
x
x
2 x a x a x 5x x a
25x 9x 9a
x
3
x a
3
4
0 x a
4
207 c) Trước hết tính x theo a x 2a a(1 a)
Sau tính
2
1 x a(1 a) Đáp số : B =
d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 208 Gọi vế trái A > Ta có A2 2x
x
Suy điều phải chứng minh
209 Ta có : a + b = - , ab = - 1
4 nên : a
2
+ b2 = (a + b)2 – 2ab = + 2 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = 17
4 9 ; a
3
+ b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - 4 Do : a7
+ b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = 17 1 239
4 64 64
210 a) a2 ( 1) 3 2 9
3
a ( 1) 2 2 6 2 7 50 49
b) Theo khai triển Newton : (1 - 2)n = A - B ; (1 + 2)n = A + B với A, B N Suy : A2 – 2B2 = (A + B 2)(A - B 2) = [(1 + 2)(1 - 2)]n = (- 1)n
Nếu n chẵn A2
– 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp :
(47)* Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - 2)n = B - A = 2B2 A2 Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa mãn (2)
211 Thay a = vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c =
2(b + 2) = -(2a + c)
Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho :
x3 + ax2 – 2x – 2a = x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = (x2 – 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: ± - a
212 Đặt A 1
2 n
a) Chứng minh A2 n 3 : Làm giảm số hạng A :
1 2
2 k k
k k k k 1 k
Do A2 2 3 3 4 n n 1
2 n 2 n 2 n n
b) Chứng minh A2 n2 : Làm trội số hạng A :
1 2
2 k k
k k k k k 1
Do : A2 n n 1 3 2 2 12 n 2
213 Kí hiệu an 6 6 có n dấu Ta có :
1 100 99
a 63 ; a a 3 3 ; a a 3 3 a a 3 3 Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] =
214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + 3)2 = +
Ta có 3 48 nên < < 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13
Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + 3)2 x = + Xét biểu thức y = (2 - 3)2 y = - Suy x + y = 14
Dễ thấy < - < nên < (2- 3)2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2
] = 13
(48)215 Đặt x – y = a ; x y b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp :
a) Nếu b ≠ x y a x y a
b b
x y
số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có :
1 a
x b
2 b
số hữu tỉ ;
1 a
y b
2 b
số hữu tỉ
b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ
216 Ta có n n 1 n 1 1
n(n 1) n n
(n 1) n n n n n
n 1 1
1
n n n n n
Từ ta giải toán
217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , …
a25 ≥ 25 Thế :
1 25
1 1 1
a a a 1 25 (1) Ta lại có :
1 1 2
25 24 25 25 24 24 2
2 2
25 24 24 23 1
24 24 23 23 2
2 25 1
(2)
Từ (1) (2) suy :
1 25
1 1
a a a , trái với giả thiết Vậy tồn hai số 25 số a1 , a2 , … , a25
218 Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt 2 x a ; 2 x b
Ta có : ab = 4x , a2 + b2 = Phương trình :
2
a b
2 2a 2b
a2 - a2b + b2 + ab2 = 2(2 - b + a - ab)
2(a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b)
2(2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4)
a – b = (do ab + ≠ 0) Bình phương : a2
(49)219 Điều kiện : < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : x2 a a
Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = a a 1 Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy)
Kết luận : Nghiệm x = a
a 1 Với a ≥
220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > Từ hệ phương trình cho ta có : x 2y 2y y
1 y y
Tương tự y z ; z x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1)
221 a) Đặt A = (8 + 3 7)7 Để chứng minh tốn, cần tìm số B cho < B < 17 10 A + B số tự nhiên
Chọn B = (8 - 7)7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy :
7
7 7
1 1
8
10 10
8
Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + 7)7 = a + b với a, b N B = (8 - 7)7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên
Do B 17
10
A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy
Chú ý : 10-
= 0,0000001
b) Giải tương tự câu a
222 Ta thấy với n số phương n số tự nhiên, n khác số phương n số vơ tỉ, nên n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n N* có số nguyên an gần n
Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh
rằng an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh
bất phương trình :
1
1 x
2
(50)1
2 x
2
có bốn nghiệm tự nhiên
1
3 x
2
có sáu nghiệm tự nhiên
Tổng quát : k x k
2
có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tương đương
với : k2
– k +
4 < x < k
2
+ k +
4 Rõ ràng bất phương trình có 2k nghiệm tự nhiên : k2 – k + ; k2 – k + ; … ; k2 + k Do :
1 1980
2 soá soá 88 soá
1 1 1 1 1 2.44 88
a a a 1 2 2 44 44 44
223 Giải tương tự 24
a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ an ] =
c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45
Hãy chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46
Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45
224 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp
Ta có : (4n + 1)2
< 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 4n + < 16n28n 3 < 4n +
4n2 + 4n + < 4n2 + 16n28n 3 < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n +
(2n + 1)2 < 4n2 + 16n28n 3 < (2n + 2)2
Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n +
225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) x + y số tự nhiên có tận (2)
Ta chọn y = 3 2200 Ta có < 3 < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) chứng minh
Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có :
200 200 100 100
x y 3 3 6 5
(51)Sn = (5 + 6)n = (5 - 6)n
A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2
-10X + = 0, tức : a2
= 10a – (3) ; b2 = 10b – (4) Nhân (3) với an
, nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn),
tức Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 - Sn+1 (mod 10)
Do Sn+4 - Sn+2 Sn (mod 10) (5)
Ta có S0 = (5 + 6)0 + (5 - 6)0 = + = ; S1 = (5 + 6) + (5 - 6) = 10
Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2,
tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh
226 Biến đổi
250 125
3 6 Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36)
227 Ta có :
A 1 3 4 8 9 15 16 24
Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm
Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70
228 a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = 4. x
x
2 (3 – x) Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho số không âm x ,
x
2 , (3 – x) ta : x
x
2 (3 – x) ≤
3
x x x
2 1
3
Do A ≤ (1)
b) Xét x > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận x x
maxA x
x
229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta :
3
(52)b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt 3x y ; x z Khi x – = y2 ; x + = z2
nên z2
– y3 = Phương trình cho đưa hệ : y z (2)
z y (3)
z (4)
Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3
– y2 + 6y – = (y – 1)(y2 + 6) = y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x =
230 a) Có, chẳng hạn : 1
2
b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà a b 42 Bình phương hai vế : a b ab ab (a b)
Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2
– 2(a + b) 2(a + b) = + (a + b)2 – 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn
231 a) Giả sử 35 số hữu tỉ m
n (phân số tối giản) Suy =
3
m
n Hãy chứng minh
cả m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết m
n phân số tối giản
b) Giả sử 323 số hữu tỉ m
n (phân số tối giản) Suy :
3 3
3 3
3 3
3
m 2 4 6 8.m 6 6m m 6n 6mn (1) m 2 m 2
n n n
Thay m = 2k (k Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho n3 chia hết cho n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết m
n phân số tối giản
232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh a b c 3abc
tương đương với
3 3
x y z xyz hay
3
x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức :
x3 + y3 + z3 – 3xyz =
2(x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập sbt)
Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3
+ y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : a b c 3abc
(53)Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có :
a b c d a b c d 1 ab cd ab cd abcd
4 2 2
Trong bất đẳng thức
4
a b c d abcd
4
, đặt
a b c d
3
ta :
4
4
a b c
a b c a b c a b c a b c
3 abc. abc.
4 3
Chia hai vế cho số dương a b c
(trường hợp số a, b, c 0, toán
chứng minh) :
3
3
a b c abc a b c abc
3
Xảy đẳng thức : a = b = c = a b c
a = b = c =
233 Từ giả thiết suy : b c d a
b c d 1 a a 1 Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho số dương : b c d 3.3 bcd
a b c d 1 (b 1)(c 1)(d 1) Tương tự :
3
3
3
1 3. acd
b (a 1)(c 1)(d 1)
1 3. abd
c (a 1)(b 1)(d 1)
1 3. abc
d (a 1)(b 1)(c 1)
Nhân từ bốn bất đẳng thức : 81abcd abcd 81
234 Gọi
2 2
2 2
x y z
A
y z x
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2
2 2
2 2
x y z x y z
3A (1 1)
y z x y z x
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : x y z 3.3 x y z
(54)Nhân vế (1) với (2) :
2
x y z x y z x y z
3A A
y z x y z x y z x
235 Đặt x 3333 ; y 3333 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y)
Do (1), ta thay 24 4(x3
+ b3), ta có :
b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3
> a3 , b > a
236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có :
n
2 n
1 n(n 1) n(n 1)(n 2) n(n 1) 2.1
1 n
n n 2! n 3! n n! n
< 1 1
2! 3! n!
Dễ dàng chứng minh : 1 1
2! 3! n! 1.2 2.3 (n 1)n
= 1 1 1 1
2 n n n
Do
n
1
(1 )
n
b) Với n = 2, ta chứng minh 33 (1) Thật vậy, (1)
6
33 2
32 > 22 Với n ≥ 3, ta chứng minh nn n 1 n 1 (2) Thật :
n(n 1) n(n 1) n n
n n
n n
n
(n 1)
(2) n n (n 1) n n n
n n
(3)
Theo câu a ta có
n
1
1
n
, mà ≤ n nên (3) chứng minh
Do (2) chứng minh
237 Cách : A2 2 x 1 x4x 12 A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
2 4
4
A (x x 1)(x x 1) x x 2 A = với x =
(55)3
3
x x x
A x x .(x 2) 2 2 2x 8
4 2 3
- A ≤ 32 A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x2 ≤
3
2
2 2
2 2
x x 9 x
x x 2 2
A x (9 x ) (9 x ) 4.27
2
max A = với x = ± 240 a) Tìm giá trị lớn :
Cách : Với ≤ x < A = x(x2 – 6) ≤
Với x ≥ Ta có ≤ x ≤ ≤ x2 ≤ ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x =
Cách : A = x(x2
– 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x =
b) Tìm giá trị nhỏ :
Cách : A = x3
– 6x = x3 + (2 2)3 – 6x – (2 2)3 == (x + 2)(x2 - 2x + 8) – 6x - 16
= (x + 2)(x2 - 2x + 2) + (x + 2).6 – 6x - 16 2= (x + 2)(x - 2)2 - ≥ -
min A = - với x =
Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm :
x3 + 2 + 2 ≥ 3.3 x 2.2 23 = 6x
Suy x3 – 6x ≥ - A = - với x =
241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2
Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương :
4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤
3
4x 2x 2x
= max V = 4x = – 2x
x =
3-2x
3-2x
x
x x
x x x x
(56)Thể tích lớn hình hộp dm3
cạnh hình vng nhỏ dm
242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt 32 x a ; x b Đáp số : ; ; 10
c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ±
d) Đặt 3 2x 1 = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) =
x = y Đáp số : ;
e) Rút gọn vế trái : 1 x x 4
2 Đáp số : x =
g) Đặt 37 x a ; x b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải
phương trình cho
3
a b
2
Phương trình cho trở thành : a b a b
=
3
a b
2
Do a3 + b3 = nên
3 3
a b a b
a b a b
(a – b)(a
3
+ b3) = (a + b)(a3 – b3) Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2
– ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x =
h) Đặt 3x a ; x b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x =
i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho 3 x 2 Đặt x a ; x b
x x
Giải hệ a
3
+ b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm
Cách : Đặt 3x 2 = y Chuyển vế : y 13 3 y 13 y Lập phương hai vế ta :
y3 – + y3 + + 3.3 y 16 (- y) = - y3 y3 = y y 16 Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2
= 3y 16 Lập phương : y6 = y6 – Vô n0
Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ
nghiệm, xem bảng :
x 3x 1 3x 2 3x 3 Vế trái
x < -
x > - x
< -
> -
<
>
<
>
<
>
(57)Theo bất đẳng thức Cauchy mn m n
, ta có
a b a b
3 a b a b
2 2
1 a b a b
a b 1
2 2
Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x =
l) Đặt 4a x m ; b x n 0 m4 + n4 = a + b – 2x
Phương trình cho trở thành : m + n = 4m4n4 Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2
+ 3mn + 2n2) =
Suy m = n = 0, cịn m, n > 2m2
+ 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a
243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0)
Đặt 3
a x ; b y, ta có :
4 2 4 2 2
2 2
x x y y x 2x y y 2x y
A
x xy y x xy y
=
2 22 2 2 2 2 2
2
2 2
x y (xy) x y xy x y xy
x y xy
x xy y x y xy
Vậy : 3
A a b ab (với a2 + b2 ≠ 0)
244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
2 2 4 2
A x x x x x x x x (x x 1)(x x 1) = = x4 4x2 2 Đẳng thức xảy :
2
4
x x x x
x
x x 1
Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A =
x =
245 Vì + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 3(1 + 3)3 + a(1 + 3)2 + b(1 + 3) + 12 =
Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) =
Vì a, b Z nên p = 4a + b + 42 Z q = 2a + b + 18 Z.Ta phải tìm số nguyên a, b
(58)Nếu q ≠ = - p
q, vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p =
Vậy + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = :
4a b 42
2a b 18
Suy a = - 12 ; b =
246 Giả sử 33 số hữu tỉ p q (
p
q phân số tối giản ) Suy : =
3
p
q Hãy chứng minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết p
q phân số tối giản
247 a) Ta có :
2
3 6 6
1 1 2 2 2
Do : 6 6 2
1 2 2 2 2 1
b) 69 2 1
248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có :
3 3 2
a 20 14 2 20 14 2 3 (20 14 2)(20 14 2).a a 40 20 (14 2) a
a3 – 6a – 40 = (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên a = 249 Giải tương tự 21
250 A = + 3
251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3
3 Suy x3 = 12 + 3.3x x3 – 9x – 12 =
252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25
b) Đặt u= 3x- , v= x- 3, ta :
3
3
u v
v u
u = v = - x =
c) Đặt : 4 x232 y Kết x = ±
254 Đưa biểu thức dạng : A x3 1 x3 1 Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = -1 ≤ x ≤
255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần
(59)258 Ta có : P xa2 xb2 = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương
(a b c) (b c a) (b c a) (c a b)
(a b c)(b c a) b (b c a)(c a b) c
2
(c a b) (a b c)
(c a b)(a b c) a
2
Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy :
a + b – c = b + c – a = c + a – b a = b = c (tam giác đều)
260 x y (xy)2 (xy)24xy 4 2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2
Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( 2+ 1)2 + ( - 1)2 + (-2 2)2 = 14 Suy A =
262 Đưa pt dạng :
2 2
x 2 y 3 2 z 5 3 0 263 Nếu ≤ x ≤ y =
264 Đặt : x 1 y M x 1 x 3 x 1
265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 2)2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 x = y =
266 Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab 2c2 ≥ (a + b)2 c ≥ a + b c ≥ a b
2
Dấu đẳng thức xảy a = b
267 Biến đổi ta :
2 2
a 'b ab ' a 'c ac ' b 'c bc ' 0 268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤