T1 logic tập hợp

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Tuần Chương 1: Logic - Tập hợp - Ánh xạ - Số phức Logic, tập hợp I Logic Kiến thức cần nhớ 1.1 Các phép toán logic Phủ định A = ⇔ A = Hội A ∧ B = ⇔ A = B = Tuyển A ∨ B = ⇔ A =  B=0   A = Kéo theo A → B = ⇔   B =    A = B = Khi A ↔ B = ⇔   A = B = 1.2 Tương đương logic Ký hiệu: X ⇔ Y Nghĩa X ↔ Y 1.3 Tính chất Đồng A ∧ T ⇔ A , Trội A ∨ T ⇔ T , A∨F ⇔A A∧F ⇔F Lũy đẳng A ∧ A ⇔ A , A∨A⇔A Phủ định kép A ⇔ A Giao hoán A ∧ B ⇔ B ∧ A , A∨B ⇔B∨A Kết hợp (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) , (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) Phân phối A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) , De Morgan A ∨ B ⇔ A ∧ B , A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) A∧B ⇔A∨B Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Một số tính chất khác A → B ⇔ B → A , A→B ⇔A∨B Ví dụ minh họa VD1 Chứng minh mệnh đề sau a) A ∧ (A ∨ C) → C b) (A → B) ∧ (B → C) → (A → C) Giải a) (Cách 1: Sử dụng biến đổi tương đương) A ∧ (A ∨ C) → C ⇔ A ∧ (A ∨ C) ∨ C ⇔ A ∨ A ∨ C) ∨ C ⇔ ⇔ ⇔ A∨ A∧C ∨C A∨A ∧ A∨C T ∧ A∨C ∨C ∨C ⇔ A∨C ∨C ⇔A∨ C ∨C ⇔T (Cách 2: Sử dụng bảng giá trị chân lý) A B C A∨C A ∧ (A ∨ C) A ∧ (A ∨ C) → C 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 Dựa vào bảng giá trị chân lý, ta đpcm b) Giả sử mệnh đề sai Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập     ⇔ (A → B) ∧ (B → C) =   A → C =      A→B=1    A → C = ⇔   A=1      C = Vì A = nên A → B = ⇔ B = 1, ta có C = nên A → C = ⇔ A = Nhưng A → B = 1, mâu thuẫn Vậy giả sử sai, ta có đpcm Chú ý Ngồi cách làm trên, ta cịn kẻ bảng giá trị chân lý VD2 Cho mệnh đề A, B, C thỏa mãn điều kiện sau (A ∧ C) → (B ∧ C) (A ∨ C) → (B ∨ C) Chứng minh mệnh đề A → B Giải Giả sử A → B = ⇔     A=1 Khi ta có:   B = = (A ∧ C) → (B ∧ C) = (1 ∧ C) → (0 ∧ C) = C → ⇔ C = = (A ∨ C) → (B ∨ C) = (1 ∨ C) → (0 ∨ C) = → C ⇔ C = (Mâu thuẫn) Vậy giả sử sai, ta phải có A → B = (đpcm) II Tập hợp Kiến thức cần nhớ 1.1 Các phép toán tập hợp Hợp A ∪ B = x x ∈ A x ∈ B Giao A ∩ B = x x ∈ A x ∈ B Hiệu A \ B = x x ∈ A x ∈ /B 1.2 Tính chất Giao hốn A ∪ B = B ∪ A , A∩B =B∩A Kết hợp A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C , A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Phân phối (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) , De Morgan A ∩ B = A ∪ B , A∪B =A∩B Một số tính chất khác A \ B = A ∩ B 1.3 (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) , X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B) Ví dụ Chứng minh: a) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C) b) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C) Giải Ta có biến đổi a) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A ∩ C A = (A ∩ B) ∩ A ∪ C = (A ∩ B) ∩ A ∪ (A ∩ B) ∩ C B = A∩A ∩B C ∪ A∩ B∩C = (B ∪ ∅) ∪ A ∩ B \ C =A∩ B\C b) Ta có biến đổi (A \ B) \ C = (A \ B) ∩ C A = A∩B ∩C =A∩ B∩C B C =A∩B∪C = A \ (B ∪ C) Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream ... II Tập hợp Kiến thức cần nhớ 1.1 Các phép toán tập hợp Hợp A ∪ B = x x ∈ A x ∈ B Giao A ∩ B = x x ∈ A x ∈ B Hiệu A B = x x ∈ A x ∈ /B 1.2 Tính chất Giao hốn A ∪ B = B ∪ A , A∩B =B∩A Kết hợp. .. sai Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập     ⇔ (A → B) ∧ (B → C) =... ∩ C Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Phân phối (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C)