CLB Hỗ trợ học tập THỬ THÁCH 30 NGÀY CHINH PHỤC GIẢI TÍCH Mơn Giải tích – Tuần ***** Câu 1: (2đ) Các chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ? Vì sao? a) b) +∞ +∞ 𝑙𝑛2 𝑛 ∑ (−1)𝑛 𝑙𝑛 (1 + ) 𝑛 ∑ 𝑛 = 10 𝑛=2 𝑛 𝑙𝑛 𝑛 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑛) Câu 2: (2đ) Tìm miền hội tụ chuỗi số sau: a) b) +∞ (𝑛!)2 𝑥 + ∑ ( ) (2𝑛)! − 𝑥 +∞ 𝑛 𝑛 𝑛 ∑( ) 𝑛+2 𝑥 2𝑛 𝑛=1 𝑛=1 Câu 3: (1đ) Xét hội tụ tuyệt đối bán hội tụ: +∞ ∑ (−1)𝑛 𝑙𝑛 (1 + ) √𝑛 𝑛=2 Câu 4: (1đ) Tính tổng: +∞ ∑ 𝑛=0 (−1)𝑛 (2𝜋)𝑛 (√2)𝑛 𝑛! 𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠 ( ) Câu 5: (3đ) Giải PTVP sau: a) (𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑦 = 2𝑥𝑦𝑑𝑥 b) 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑦 𝑙𝑛𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑦(1) = c) (1 + 3𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑦 𝑑𝑦 = Câu 6: (1đ) Khai triển Fourier chuỗi số sau: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥), −𝜋 < 𝑥 < 𝜋, (𝑇 = 2𝜋) − − − HẾT − − − Chúc bạn bình tĩnh, tự tin, làm đạt kết cao! Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT Cao Như Đạt – K64 - CNTT CLB Hỗ trợ học tập THỬ THÁCH 30 NGÀY CHINH PHỤC GIẢI TÍCH Mơn Giải tích – Tuần ***** Đáp án Câu 1: (2đ) Các chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ? Vì sao? (2 chuỗi) a) HT b) PK +∞ +∞ ln2 n n ∑ (−1) ln (1 + ) n ∑ n=2 n = 10 n ln n ln(ln n) Câu 2: (2đ) Tìm miền hội tụ: (2 chuỗi) 10 a) (−∞; ) ∪ ( ; +∞) +∞ b) (−∞; − ) ∪ ( ; +∞) e e +∞ n (n!)2 x + ∑ ( ) (2n)! − x n n ∑( ) n+2 x 2n n=1 n=1 Câu 3: (1đ) Xét hội tụ tuyệt đối bán hội tụ: (BHT) +∞ ∑ (−1)n ln (1 + ) √n n=2 (S = −e−π , S(x) = ex cos x) Câu 4: (1đ) Tính tổng: +∞ ∑ n=0 (−1)n (2π)n (√2)n n! nπ cos ( ) Câu 5: (3đ) Giải PTVP sau: a) (x − y )dy = 2xydx (Đẳng cấp) y =C x2 + y2 b) xy′ + y = y lnx với y(1) = (Bernouli) y= ,𝑥 > ln x + c) (1 + 3x siny)dx − x coty dy = (Vi phân toàn phần) x + x = C, 𝑠𝑖𝑛 𝑦 ≠ sin y Câu 6: (1đ) Khai triển Fourier chuỗi số sau: Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT Cao Như Đạt – K64 - CNTT CLB Hỗ trợ học tập f(x) = sin(ax), −π < x < π (T = 2π) +∞ (−1)n 2n sin(aπ) S(x) = ∑ sin(nx) π(a2 − n2 ) n=1 Hướng dẫn giải: Câu 1: a) ln2 n +) an = ln (1 + ) > 0, lim an = 0, ∀x ≥ n→+∞ n f(x) = ln (1 + ln2 x x ) nghịch biến (e2 , +∞)(f ′ (x) = 2lnx−ln2 x x2 ln2 x 1+ x < 0, ∀x > e2 ) +) an = f(n) => an dãy giảm +∞ ln2 n Chuỗi đan dấu ∑ (−1) ln (1 + ) có an dương, ln giảm, tiến n n n=2 KL: HT theo Leibnitz (Không chứng minh an giảm f′(x) < trừ 0.5 điểm) b) +) an = f(x) = > lim an = 0, ∀x ≥ 10 n→+∞ n ln n ln(ln n) x.lnx.ln(lnx) nghịch biến [10, +∞), sử dụng tiêu chuẩn tích phân có: +∞ ∞ dx an = f(n) nên ∑ ∫ HT PK n ln n ln(ln n) 10 x lnx ln (lnx) n = 10 ∞ ∞ ∞ dx du dt +) I = ∫ =∫ = ∫ → ∞ => PK 10 x lnx ln (lnx) ln10 u lnu ln (ln10) t KL: PK theo tiêu chuẩn tích phân Câu 2: a) (n!)2 +) an = > lim an = 0, ∀x ≥ n→+∞ (2n)! Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT Cao Như Đạt – K64 - CNTT CLB Hỗ trợ học tập Đặt X = x+2 an+1 , ta có: lim | | = => bán kính hội tụ chuỗi R = n→∞ an 2−x n (n!)2 x + (n!)2 4n +) Với X = ±4, |un | = | ( ) |= (2n)! − x (2n)! (n + 1)! 4n+1 (2n)! un+1 4(n + 1)2 = >1 | |= (2n + 2)! (n!) 4n (2n + 1)(2n + 2) un => |un+1 | > |un |, ∀x ≥ = > Chuỗi PK khơng thỏa mãn điều kiện cần HT x+2 ∈ (−4; 4) 2−x 10 => x ∈ (−∞; ) ∪ ( ; +∞) Do đó, chuỗi hội tụ X ∈ (−4; 4) => 𝟔 𝟏𝟎 𝐊𝐋: 𝐌𝐇𝐓 = (−∞; ) ∪ ( ; +∞) 𝟓 𝟑 b) n n +) an = ( ) > lim an = 0, ∀x ≥ n→+∞ n+2 n n 1 n Đặt X = , lim √an = lim ( ) = lim n = n→∞ n + n→∞ x n→∞ e (1 + n) => bán kính hội tụ R = e2 n +) Với X = ±e , √|an un | Do đó, chuỗi hội tụ e2 = > → lim an un ≠ => Chuỗi PK n→∞ n (1 + n) 1 2 = X ∈ (−e ; e ) => x ∈ − ∪ ; +∞) (−∞; ) ( x2 e e 𝟏 𝟏 𝐊𝐋: 𝐌𝐇𝐓 = (−∞; − ) ∪ ( ; +∞) 𝐞 𝐞 Câu 3: +) an = ln (1 + ) > lim an = 0, ∀x ≥ n→+∞ √n f(x) = ln (1 + ) nghịch biến lim f(x) = x→∞ √x Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT Cao Như Đạt – K64 - CNTT CLB Hỗ trợ học tập an = f(n) => an giảm ∀x ≥ +∞ Do đó, Chuỗi đan dấu ∑ (−1)n ln (1 + ) HT theo Leibnitz √n n=2 1 +) |(−1)n ln (1 + )| = ln (1 + ) ~ n → +∞ √n √n √n ∞ +∞ 1 ∑ PK => ∑ |(−1)n ln (1 + )| PK (tiêu chuẩn so sánh) √n √n n=2 n=2 KL: Chuỗi số bán hội tụ Câu 4: +∞ Chú ý: ∑ n=0 (−1)n (2π)n (√2)n n! +∞ nπ (−π)n (√2)n nπ cos ( ) = ∑ cos ( ) n! n=0 x +) Xét f(x) = e cosx , ta có: π f ′ (x) = √2ex cos (x + ) Chứng minh quy nạp: π k f (k) (x) = (√2) ex cos (x + k ) Cơ sở quy nạp: k = π k Giả sử có: f (k) (x) = (√2) ex cos (x + k ) π π k Suy f (k+1) (x) = (√2) ex (cos (x + k ) − sin (x + k )) 4 π π k+1 = (√2) ex cos (x + k + ) (đpcm) 4 +) Suy khai triển Maclaurin cho f(x): n nπ ∞ (√2) cos ( ) f(x) = ∑ xn n! k=0 Thay x = −π ta được: +∞ (−π)n (√2)n nπ cos ( ) = f(−π) = −e−π ∑ n! n=0 Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT Cao Như Đạt – K64 - CNTT CLB Hỗ trợ học tập +∞ 𝐊𝐋: ∑ 𝐧=𝟎 (−𝟏)𝐧 (𝟐𝛑)𝐧 (√𝟐)𝐧 𝐧! 𝐧𝛑 𝐜𝐨𝐬 ( ) = −𝐞−𝛑 𝟒 Câu 5: a) (x2 − y )dy = 2xydx (1) (Đẳng cấp) +) Xét y(x) = thỏa mãn, x(y) = không thỏa mãn y2 y Xét: x, y ≠ 0, chia vế (1) cho x ta (1 − ) dy = dx x x y Đây PTVP đăng cấp, đặt u = ta được(1 − u2 )(u + u′ x) = 2u x +) Dễ thấy u = ±1 không thỏa mãn; u = thỏa mãn (1 − u2 )du dx 2u u + u3 ′ Xét u ≠ ± 1, u x = −u= => = − u2 − u2 u + u3 x y Nghiệm tổng quát: =C x + y2 𝐲 𝐊𝐋: 𝟐 =𝐂 𝐱 + 𝐲𝟐 b) xy′ + y = y lnx (1) với y(1) = (Bernoulli) Cách 1: PTVP Bernoulli y −1 +) ĐK x > 0, chia vế cho xy ta được: y′y + = x x t ln x t ln x Đặt t = y −1 , ta được: − t′ + = => t′ − = − (2), x x x x +) Ta có công thức nghiệm tổng quát (2) là: ln x ∫ −1dx ln x − ∫ − dx x t=e e x dx + C) = x ( + + C) (∫ − x x x => y = , y(1) = => C = ln x + + Cx 𝟏 𝐊𝐋: 𝐲 = ,𝐱 > 𝟎 𝐥𝐧 𝐱 + 𝟏 Cách 2: Đặt t = xy(t ≠ y(1) = 1) dt t dt lnx dx ′ Đưa (1) dạng t = = lnx => = dx x t x2 𝟏 => Nghiệm tổng quát: 𝐲 = 𝐥𝐧 𝐱 + 𝟏 −2 Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT Cao Như Đạt – K64 - CNTT CLB Hỗ trợ học tập c) (1 + 3x sin y)dx − x cot y dy = (1) (Vi phân toàn phần) P(x; y) = + 3x sin y => Py′ = 3x cos y +) Đặt { => Py′ ≠ Q′x ′ Q(x; y) = −x cot y => Q x = −cot y Q′x − Py′ −cot y − 3x cos y Đặt α(y) = = = −coty P(x; y) + 3x sin y Thừa số tích phân μ(y) = e∫ α(y)dy = e∫ −cotydy = , sin y ≠ |sin y| +) Nhân vế (1) với μ(y) ta phương trình vi phân tồn phần: −cosy + 3x ) dx − x dy = (2) ( sin y sin2 y π Chọn (x0 ; y0 ) = (0; ) thỏa mãn (2), đó: y x x CTN TQ (2) C = ∫ ( + 3t ) dt + ∫ 0dt = + x3 sin y sin y π 𝐊𝐋: 𝐱 + 𝐱 𝟑 = 𝐂, 𝐬𝐢𝐧 𝐲 ≠ 𝟎 𝐬𝐢𝐧𝐲 Câu 6: f(x) = sin(ax), −π < x < π (T = 2π) +) a ∈ Z, f(x) = sign(a) sin(|a|x) có dạng khai triển Fourier a không thuộc Z, f(x) = sin(ax) hàm lẻ nên an = 0, ∀n ≥ π π +) bn = ∫ sin(ax) sin(nx) dx = ∫(cos[(a − n) x] − cos[(a + n) x])dx π π 0 n = = (−1) 2n sin(aπ) ∀n ≥ π(a2 − n2 ) +∞ (−𝟏)𝐧 𝟐𝐧 𝐬𝐢𝐧(𝐚𝛑) 𝐊𝐋: 𝐒(𝐱) = ∑ 𝐬𝐢𝐧(𝐧𝐱) 𝛑(𝐚𝟐 − 𝐧𝟐 ) 𝐧=𝟏 Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT Cao Như Đạt – K64 - CNTT ... CHINH PHỤC GIẢI TÍCH Mơn Giải tích – Tuần ***** Đáp án Câu 1: (2đ) Các chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ? Vì sao? (2 chuỗi) a) HT b) PK +∞ +∞ ln2 n n ∑ (−1) ln (1 + ) n ∑ n=2 n = 10 n ln n ln(ln n)