Nhóm Đại số: Nguyễn Trọng Hải LATEX Nguyễn Quang Huy Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập ĐỀ THI THỬ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 Nhóm ngành Thời gian làm bài: 90 phút Câu (2đ) Giải phương trình sau trường số phức sau biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng tọa độ z + (1 + 2i)z + (1 + 2i)z + 2i = x Ánh xạ f : R −→ R xác định f : x −→ có phải song ánh không? Tại +|x| sao? Câu (1.5đ) Ký hiệu M2 không gian vectơ ma trận vuông cấp Cho ma trận B = xét phép biến đổi tuyến tính f : M2 −→ M2 xác định sau f (X) = XB, ∀X ∈ M2 Hãy xác định f −1 (J) với J = 2 Kí hiệu Pn [x] khơng gian đa thức có bậc ≤ n Xét ánh xạ f : P2 [x] −→ R xác định f : p(x) −→ p(x) dx Chứng minh f ánh xạ tuyến tính −1 Tìm dim(ker f )? Câu (1.5đ) Trong R3 cho tích vơ hướng x, y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 với x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 Cho a1 = (2, 1, 2), a2 = (1, −2, 1) Gọi L1 = u ∈ R3 | u, a1 = , L2 = u ∈ R3 | u, a2 = Chứng minh L2 không gian R3 Tìm sở số chiều không gian L1 ∩ L2 2 Câu (2đ) Cho toán tử tuyến tính f : P2 [x] −→ P2 [x] có ma trận A = 0 0 3 2 sở B = {1, x, x } vectơ u1 = −2 + x + 2x , u2 = −10 − 2x + 3x2 , u3 = −4 + 2x2 Tìm sở P2 [x] để ma trận f theo sở có dạng chéo Xét xem vectơ u = − 2x + 3x2 ∈ span{f (u1 ), f (u2 ), f (u3 )} hay không Câu (2đ) Trong R3 cho dạng toàn phương f (x, x) = 3x21 + 2x1 x2 + 3x22 , x = (x1 , x2 ) Dùng phương pháp trực chuẩn hóa đưa f (x, x) dạng tắc Viết rõ mối liên hệ tọa độ cũ x phép biến đổi Nhận dạng đường bậc hai f (x, x) = vẽ đường Trong khơng gian R4 với tích vơ hướng thông thường, cho vectơ u1 = (1, 0, 1, 2), u2 = (0, 1, −1, 2), u3 = (2, 1, 1, 6), u4 = (−1, 1, −2, 9) Đặt W = span{u1 , u2 , u3 } Xác định hình chiếu trực giao vectơ u lên khơng gian W Câu (1đ) Cho Pk [x] không gian vectơ gồm đa thức có bậc khơng vượt q k Chứng minh hệ S = 1, (x − a), (x − a)2 , , (x − a)k sở Pk [x]