[r]
(1)www.ebooktoan.com
Trang 1/4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1) Mơn: TỐN ( BẢNG A ) Ngày thi: 06/10/2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang )
Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định
Câu Đáp án Thang điểm
1 (5,0 điểm)
a ( 3,0 điểm )
Đặt 1,
2
t= x + +x t≥ Khi phương trình trở thành:
4t= − +t4 7t2− ⇔ −5 t4 6t2 + −9 (t2− + =4t 4) 0,5
( )2 ( )2 ( )( )
2 2
3
t t t t t t
⇔ − − − = ⇔ − − + − = (*) 0,5
(*)
2
2
1
t t
t t
− − =
⇔
+ − =
0,5
Với
t≥ t2− − =t có nghiệm
t= +
Với
t≥ t2+ − =t có nghiệm 21
t= − +
0,5
Khi
t= +
2
2
1 2
2
x + + =x + ⇔ x + x− − =
1
2
x − − +
⇔ =
2
x=− + +
0,5
Khi
1 21
t= − +
2
2 21
1 2 21
2
x + + =x − + ⇔ x + x− + =
1 19 21
x − − −
⇔ = 19 21
2
x= − + −
0,5
b ( 2,0 điểm )
Phương trình cho viết lại:
3sin2x+2 sin cosx x+cos2x=3( sinx+cosx)
0,5
( ) (2 )
3 sinx cosx 3 sinx cosx
⇔ + − + =
0,5
3 sinx cosx 0
(2)www.ebooktoan.com
Trang 2/4 sin cos tan
6
x+ x= ⇔ x= − ⇔ = − +x π kπ, k∈Z
sinx+cosx=3 phương trình vơ nghiệm 0,5
2 (5,0 điểm)
a (2,0 điểm )
Chọn hệ trục tọa độ Bxy vng góc cho tia Bx qua A tia
Byqua C Ta có: B( )0; , A( )2; , C( )0; Giả sử M x y( ); 0,5
MA2 +MB2 =MC2
( )2 2 2 2 2 ( )2
2 x y x y x y
⇔ − + + + = + −
⇔ 2
4
x +y − x+ y=
0,5
Phương trình phương trình đường tròn tâm (2; 2)
I − , bán kính R=2
0,5
Vậy quỹ tích điểm M đường trịn tâm I(2; 2− ), bán kính
2
R=
0,5
b ( 3,0 điểm )
Gọi G trọng tâm tam giác ABC Xét trường hợp: BGC=1200
Ta có: BC2 =GB2+GC2−2GB GC .cos1200 =76
= + − ⇔ =
2 2 2 . .cos600 28
4
AC
MC GM GC GM GC
Vậy AC2 = 112
0,5
= + − ⇔ =
2 2 2 . .cos 600 13
4
AB
NB GB GN GB GN Vậy AB2 = 52
0,5 Vậy độ dài trung tuyến lại :
+
= − = ⇒ =
2 2
2 63 3 7
2
a a
AC AB BC
m m
0,5
Xét trường hợp: BGC=600
Ta có : BC2=GB2+GC2−2GB GC .cos600 =28
= + − ⇔ =
2 2 2 . .cos1200 52
4
AC
MC GM GC GM GC
Vậy AC2 = 208
0,5
= + − ⇔ =
2
2 2 2 . .cos1200 37
4
AB
NB GB GN GB GN
Vậy AB2 = 148
0,5
Vậy độ dài trung tuyến lại : +
= − = ⇒ =
2 2
2 171 171
2
a a
AC AB BC
m m
(3)www.ebooktoan.com
Trang 3/4
Câu Đáp án Thang điểm
3 (4,0 điểm)
a 2,0 điểm
Dễ thấy un > ∀ ∈0, n N*
Từ un+1= 3un2+ ⇔2 un2+1 =3un2 +2 0,5 Đặt vn =un2 có: vn+1=3vn+ ⇔2 vn+1+ =1 3(vn+1) 0,5
Đặt xn = +vn ta có:
1
n n
x+ = x Từ suy ( )xn cấp số nhân với x1=2, công bội
0,5
Nên: xn =2.3n−1⇒vn =2.3n−1−1⇒un = 2.3n−1−1
0,5
b 2,0 điểm
0 2010
2.3 2.3 2.3 2.3 2011
S = + + + + − 0,5
=2 3( 0+ + + +31 32 32010)−2011 0,5
( )
2011
2
2011
−
= −
− 0,5
=32011−2012 0,5
4 (3,0 điểm)
Chứng minh được: (a b c+ + )2≤3(a2 + +b2 c2)=3 0,5
Suy ra: a b c+ + ≤ (a b c+ + )3 ≤3(a b c+ + ) 0,5
( )
2 6
3
a b c M ≤ a b c+ + + abc≤ + + + ≤
0,5 + 0,5
Vậy GTLN M 3
0,5
Giá trị đạt
a= = =b c 0,5
5
(3,0 điểm) Viết lại hệ: ( )( )
2
2
2
2
x x x y m
x x x y m
+ + = − −
+ + + =
0,5
Đặt
2 ,
u=x + x v= +x y Dễ có: u≥ −1
Hệ trở thành: u v 2m
u v m
= − −
+ =
(4)www.ebooktoan.com
Trang 4/4
Suy ra: ( ) ( )
2
2
2 3
2
u
u m u m u m u m
u
−
− = − − ⇔ − = + ⇔ =
+ 0,5
Xét hàm ( )
2
3
u f u
u
− =
+ với u≥ −1
( )
( )
2 /
2
4
0,
2
u u
f u u
u
+ +
= ≥ ∀ ≥ −
+ 0,5
Bảng biến thiên:
u −1 +∞ ( )
/
f u +
( )
f u +∞
2
− 0,5