Mặt phẳng (q) qua BC vuông góc với mặt phẳng (SAB), cắt SA tại D. b) Xác định vị trí của điểm S trên đường thẳng (d) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.. Gọi H là giao điểm của OP[r]
(1)1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KIÊN GIANG 2004-2010
Năm 2004 – 2005, vịng Bài 1) (2điểm) Xác định tính chất tam giác ABC góc A, B, C thoả :
3
2
2 2
sin sin
2 (1)
sin ( ) sin( )
tg cos tg cos cos (2)
2 2 2
A A
B C B C
C B B C B C
Bài 2) (3điểm) Cho a, b, c số dương abc = Chứng minh :
2 2
3 3 3
1 ab 1 bc 1 ca 18
c a b a b c
Bài 3) (4 điểm) Hãy xác định a để bất phương trình sau có nghiệm :
2
1
log 11 loga ax 2x 3 loga ax 2x 1 0
Bài 4) (4 điểm) Giải hệ phương trình :
3
3
3
6 12 (1)
6 12 (2)
6 12 (3)
y x x
z y y
x z z
Bài 5) (7 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' mặt cầu (C) nội tiếp hình lập phương Mặt phẳng (P) quay quanh A tiếp xúc với mặt cầu (C) cắt hai cạnh A' B' , A' D' M , N Tìm tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA' MN
Năm 2004 – 2005, vòng
Bài 1) (4điểm) Cho x, y dương, thay đổi, thoả mãn điều kiện x.y = Tìm GTLN A 4 x 2 2 y 4
x y x y
Bài 2) (6 điểm) Tìm tất cặp nghiệm nguyên dương phương trình : 2(x+y) + xy = x2 + y2 Bài 3) (8 điểm) Cho dãy số {xn} (n = 1,2,3, …) xác định :
1
2
2
1
2
sin , *
5
n n n
x x
x x x n N
Chứng minh dãy số {xn} hội tụ tìm giới hạn nó
Bài 4) (2 điểm) Hãy xét xem khẳng định sau hay sai ? " Với m, n nguyên dương có
2 1 2
( 3 2)
m
n n "
Năm 2005 – 2006, vịng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
4 2
4 2
a b a b a b
P
b a b a b a
với a ≠ , b ≠
Bài : Giải hệ phương trình sau :
2
1 ( )( 2) 1 ( )( 2)
2
1 ( )( 2) 1 ( )( 2)
27
2 4 11
4
x x y x y x x y x y
x x y x y x x y x y
x
x y y
Bài : Cho hàm số f(x) thỏa mãn phương trình hàm : f(tg2x) = tg4x + cotg4x a) Xác định hàm số f
b) Chứng minh : f(sinx) + f(cosx) ≥ 196
Bài : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Một điểm M di động AA1 , điểm N di động BC1
cho MN cắt B1D Chứng minh :
2
1
2
. . 1
2 .
BC AA BN AM
BN AA
(2)2 Năm 2005 – 2006, vòng
Bài 1: Cho A, B, C ba góc tam giác Chứng minh :
1 cos (cos cos )
2 x
A x B C
với số
thực x Khi đẳng thức xảy ?
Bài : a) Cho hàm số :
2
2 4 ( )
1 4 x f x
x
với x > Chứng minh :
( )
f x
x Khi đẳng thức xảy ?
b) Tìm tất nghiệm hệ phương trình :
2
2
2
2
2
4
4
4
x y x y
z y
z x z
Bài : Cho số thực a 1 Dãy số xn xác định sau : x0= a ; xn1 xn log2xn ( n = 0, 1, 2, 3, ….)
Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn n tìm giới hạn
Năm 2006 – 2007, vòng
Bài : Giải hệ phương trình :
( )( ) 3
( )( ) 4
( )( ) 5
y z x y z x x
z x y z x y y
x y z x y z z
Bài :
a) Chứng minh bất đẳng thức : cos , 0,
1 sin
x x
x x
b) Chứng minh với tam giác ABC ln có :
cos cos cos
2 2 2
1 sin sin sin
2 2
A B C
A B C
Bài : Cho hàm số f : Z R thỏa mãn điều kiện :
10, 100
( )
( ( 11)), 100,
n khi n f n
f f n khi n n Z
Chứng minh f(n) = 91 với n ≤ 100
(3)3 Năm 2006 – 2007, vòng
Bài 1: Cho số x, y thuộc R thỏa điều kiện: x2xyy2 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: Px y3 y x3
Bài : Tìm tất cặp nghiệm nguyên (x;y) phương trình : (x2+y)(x+y2) = (x-y)3
Bài : Cho tam giác ABC vuông A M trung điểm BC Trên đường thẳng (d) qua M vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S (S khác M) Mặt phẳng (q) qua BC vng góc với mặt phẳng (SAB), cắt SA D a) Xác định mặt phẳng (q)
b) Xác định vị trí điểm S đường thẳng (d) cho tứ diện ABCD tích lớn
Bài : Cho a, b, c số thực dương cho abc = Chứng minh :
3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c b ca c a b
NĂM HỌC 2007 - 2008
Bài 1: (2 điểm) Chứng minh phương trình sau có nghiệm : 2007x2008 2008x2007 1
Bài : (2 điểm) Giải hệ phương trình :
2
2
5 (1)
5 (2)
5 (3)
y y x
z z y
x x z
Bài : (3 điểm)
a) Chứng minh bất đẳng thức : ln(1+x) < x với x > (kí hiệu ln logarith số e)
b) Chứng minh tam giác ABC ta có :
3 (1 sin )(1 sin )(1 sin ) A B C e Bài : (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức : sin 42 , 0,
2
x x x x
Bài : (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (CA = CB) điểm Q di động cạnh BC Kẻ QP song song với AB (P AC ) Gọi H giao điểm OP với AQ (O trung điểm AB) Tìm tập hợp điểm H Q di động Bài : (6 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh đơn vị Các điểm M, N thuộc đoạn A'B' A'D' cho nhị diện [M,AC',N] nhị diện vuông
a) Gọi E, O, F giao điểm cặp C’M với B’D’, C’A’ với B’D’, C’N với B’D’ H chân đường vng góc kẻ từ O đến C’A Chứng minh số đo góc
90
EHF tính OH b) Tính OE theo x=B’M, OF theo y=D’N
c) Xác định vị trí điểm M N để hình chóp A.A'MC'N tích nhỏ
NĂM HỌC 2008 – 2009 Câu 1: Xác định tất giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm m( 1x2 1x2 2) 1x4 1x2 1x2
Câu 2: Gọi ha , hb đường cao tương ứng với cạnh a,b tam giác ABC p nửa chu vi tam giác Chứng minh + hb = p p a( ) + p p b( ) tam giác ABC tam gíac Câu 3: Tìm cặp số nguyên dương (x ; y) thỏa 3x +1 = y2
Câu 4: Cho góc ,, thỏa mãn điều kiện
cos tan
cos tan
cos tan
0 , ,
2
(4)4 Chứng minh sin = sin = sin = 2sin
10
Câu 5: Gọi H trực tâm tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng: tanA.HA + tanB.HB + tanC.HC = 0
Câu 6: Cho p số nguyên dương Chứng minh với số nguyên dương m ta có
1
1 p p 1 p p 1 p
m m p m m m
Tìm
1
1 2 3
lim
p p p p
p
n
n n
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Biết cạnh SD có độ dài lớn 1, cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q Chứng minh thể tích hình chóp S.ABCD không vượt
4
NĂM HỌC 2009 – 2010 Bài 1: (4 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình :
3 2 2 2
4y 4x y 4xy x y5x 4y 4xy8x0
Bài 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình tập số thực:
2
2
2
6 6 13
3 3 5
6 6 5
xy xz yz
yz yx zx
zx zy xy
Bài 3: (4 điểm) Cho x, y l hai số thực thoả mn : 2x2 y2xy1 Chứng minh :
4 2
8 16
2 12
17 x y x y 9
Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam gic ABC, D l trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IE vng góc CD
Bài 5: (4 điểm) Cho dãy số (un) xác định sau:
1
1
2009 2010
2 1 0, , 1
n n
u
u u n N n
Tìm lim n
(5)5 NĂM HỌC 2010 – 2011
Bài
Gọi ( )C đồ thị hàm số yx33x2
1) Chứng minh khơng có tiếp tuyến ( )C mà tiếp xúc với ( )C hai điểm phân biệt 2) Tìm tham số m cho ( )C ( ) : ( 1) 35
1 m
m x m H y
x
cắt hai điểm phân biệt
Bài
1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 4
( ) 1
f x x x
2) Giải hệ phương trình
2
2
1
2 2.4 3(2 )
2 5 1 0,
x y
y x
x y x xy
tập số thực
Bài
Cho hình chóp S ABC có mặt phẳng (SAB), (SBC) (SCA) tạo với mặt phẳng (ABC)
một góc
60 ; hình chiếu điểm S lên mặt phẳng (ABC) điểm H, nằm khác phía với A đường thẳng BC
Chứng minh H cách đường thẳng AB BC CA, , Tính thể tích khối chóp S ABC , theo a , biết AB4 ,a BC5 ,a CA7a
Bài
Cho a số thực lớn e , x số thực thay đổi mà x1 Chứng minh tồn số
thực a0(1; )e cho
0
lna lna
a a chứng minh
x a
a x x(1;a0)( ;a )
Lưu ý : Trong này, lim (1 1)n n
e
n
, ln a logarít số e a Và cho biết lim ln x
x x
Bài
Trong mặt phẳng cho hình trịn tâm O, bán kính R1. Các điểm A A1, 2, ,A7 điểm, thay đổi, thuộc hình trịn Đặt d min{A Ai j |1 i j 7} Hãy tìm giá trị lớn d A A1, 2, ,A7