Đang tải... (xem toàn văn)
Trong mặt phẳng bài toán không khó, chẳng hạn điểm Torricelli của hệ đỉnh đa giác đều là tâm của nó.. Điểm Torricelli cho hệ 4 điểm trong không gian khó xác định hơn..[r]
(1)(2)Bài toán Fermat
Bài toán Fermat: Cho trước tập hợp
hữu hạn n điểm mặt phẳng Hãy tìm một điểm cho tổng khoảng cách từ điểm này tới điểm cho trước nhỏ
(3)Điểm Torricelli
Trong mặt phẳng tốn khơng khó, chẳng hạn điểm Torricelli hệ đỉnh đa giác tâm
(4)Bài tốn Steiner
Bài toán Steiner (thế kỷ 19): Cho trước tập
điểm hữu hạn mặt phẳng Hãy thiết kế mạng lưới giao thông nối n điểm với sao cho tổng độ dài nhỏ nhất.
“What is Mathematics” Robbins Courant
xuất năm 1941
A
D C
B A
D C
B
(5)Lịch sử tốn Gauss : “… tơi biết tới phải
thiết kế tuyến đường sắt nối
thành phố Harburg, Bremen, Hannover và Braunschweig “
Bremen
Harburg
Hannover
(6)Vài kết quả
Melzak [2], vào năm 1961, người đầu tiên nêu lên tính chất sở để xác định mạng giao thơng tối ưu cho
bài tốn Steiner n điểm
Một tổng quan toán Steiner mặt phẳng Ơcơlit đưa Gilbert Pollak năm 1968
(7)Vài ví dụ
Đề thi vào Đại học 1998: Bốn làng A, B, C
D đỉnh hình vng cạnh 10km
Chứng minh thiết kế mạng lưới giao thông với tổng độ dài 28km nối làng với nhau.
Phương án mạng lưới khơng có ngã tư: 30km
Nếu có ngã tư : giao điểm đường chéo, độ dài mạng lưới > 28,28 km B
A
(8)Lời giải
Phương án có ngã tư: < 27,33 km
Câu hỏi: Liệu có mạng lưới với nhiều ngã
tư không? Độ dài mạng tối ưu bao nhiêu?
B A
(9)Lý Thuyết đồ thị
Đồ thị hai tập hợp G=(V,E)
V tập đỉnh E tập cạnh
A1
A10 A9
A8
A7
A6 A5
A4 A3 A2
Định lý: Tổng bậc = số cạnh.
Ví dụ: Đồ thị
(10)Ví dụ đồ thị
Bài tốn: Có n cặp phụ huynh họp
phụ huynh học sinh Ông A nhận thấy số bắt tay người cịn lại đơi khác Hỏi:
a) Vợ ông A bắt tay người ? b) Ông A bắt tay người?
Giải: Số bắt tay người khơng vượt q 2n-2.
Do ngồi ơng A 2n-1 người, từ tới 2n-2 có 2n-1 giá trị khác nhau, nên có song ánh tập hợp 2n-1 người (khác A) 0, 1, , 2n-2.
(11)Lời giải
• Dễ thấy B0 B2n-2 cặp vợ chồng
• Tương tự B1 B2n-3 cặp vợ chồng, tổng quát Bi B2n-2-i cặp vợ chồng (cho i < 2n-1).
• Vậy Bn-1 A vợ chồng, vợ A bắt tay n-1 cái. • Số bắt tay A bậc (số cạnh xuất phát từ A) suy từ đồ thị xây dựng q trình lập luận trên.
• Số bắt tay A n-1.
Bn-1 A Bi B2n-i-2 B1 B2n-3
(12)Đồ thị đầy đủ n đỉnh Kn
Đồ thị đầy đủ hai đỉnh có đúng cạnh nối
K2 K3 K4 K
(13)Đồ thị bậc k
Đồ thị bậc k bậc đỉnh bằng k.
A1
A10 A9
A8
A7
A6 A5
(14)Cây
(15)Đồ thị lưỡng phân
Đồ thị lưỡng phân Có thể tơ màu đỉnh hai màu cho khơng có đỉnh kề (được nối cạnh) tô màu.
Đồ thị lưỡng phân đầy đủ hai đỉnh khác màu có cạnh nối, ký hiệu Km,n.
(16)Đồ thị phẳng
Đồ thị phẳng Có thể biểu diễn mặt phẳng cho cạnh khơng cắt nhau.
Ví dụ: Cây (cây gia phả)
(17)Một số tốn
1. Đồ thị đầy đủ: Tính số cạnh đồ thị đầy đủ n đỉnh
2. Đồ thị đều: số cạnh đồ thị n đỉnh bậc k.
3. Cây: tính số cạnh n đỉnh.
4. Đồ thị lưỡng phân khơng có chu
trình lẻ cạnh.
5. Đồ thị phẳng: Định lý Euler số miền, số cạnh
số đỉnh đồ thị liên thông phẳng
(18)MƠ HÌNH BÀI TỐN STEINER
Mạng lưới tối ưu nối n đỉnh có tính chất 1 Mạng cây.
2 Mỗi đỉnh thêm vào có bậc > 2.
3 Với x số đỉnh thêm vào, n+x đỉnh có
n+x-1 cạnh.
4 Tổng số bậc đỉnh = 2(x+n-1) ≥
(19)BÀI TOÁN STEINER CHO ĐiỂM
A E
D C
B M N
P F