Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.. 2..[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN; Khối A
Thời gian làm 180 phút không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số
2
x y
x
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
2 Chứng minh với m đường thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1+k2 đạt giá trị nhỏ Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình sin 2 os2 sin x sin cot
x c x
x x
2 Giải hệ phương trình
2
2 2
5 2( )
( , )
( ) ( )
x y xy y x y
x y
xy x y x y
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân
4
0
sinx ( 1) cos sin cos
x x x
I dx
x x x
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; hai mặp phảng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) bẳng 600 Tính thể tích khối chop S BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a
Câu V: (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1;4] xy x, zTìm giá trị nhỏ biểu thức
2
x y z
P
x y x y z x
PHẦN RIÊNG (3.0 điểm); Thí sinh làm hai phần (Phần A B) A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a(2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ; x + y + = đường tròn
(C): x2 + y2 – 4x – 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; -2; 3) mặt phẳng
(P); 2x – y – z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB = Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất số phức z, biết z2 z2z
B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E);
2
1
4
x y
Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E), có hoành độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S); x2y2 z2 4x4y4z0và điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB
Câu VII.b (1,0 điểm) Tính môđun số phức z, biết;2z – 1 i ( z1)(1 ) 2 i i
-HẾT -
Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm
(2)HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I
/
2
1
\ ; 0,
2
D y x D
x
TCĐ: x=
2 1
2
lim , lim
x x
y y
; TCN: y =
vìlim
2
xy
Hàm số nghịch biến (;1 2) (
1
2; +) Hàm số khơng có cực trị x -∞
2 +∞ y’
y
-1
2 +∞
-∞ -1
2 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng d : y = x +m
2
x
x m x
(2x – 1) (x + m) = -x + (Vì x =
1
2 không nghiệm)
2x2 + 2mx – (m + 1) = (1)
Phương trình (1) có m22m 2 (m1)2 1 0, m
R
Phương trình (1) ln có nghiệm nên d cắt (C) hai điểm A, B Hoành độ tiếp điểm A, B x1, x2 nghiệm phương trình (1)
x1 + x2 = - m x1.x2 = m
Ta có: 1 2 2 2
1
1
(2 1) (2 1)
k k
x x
=
2
1 2
2
1 2
4( ) 4( )
4 2( )
x x x x
x x x x
=(4m28m 6) 4(m1)22
k1 + k2 đạt giá trị lớn -2 m = -1
Câu II:
1 sin2 2cos 2.sin sin2 cot
x x
x x
x
sin2x(1 sin2 xcos )x 2 sin2xcosx (ĐK : sinx ≠ 0) sin 2x cos 2x 2 cosx
2
2cos x 2sin cosx x 2 cosx
2cos (cosx xsinx 2)0
cosx = hay cosx + sinx =
cosx = hay sin x
x =
2 k
hay x =
4 k
(k Z)
O
1
-1
1 x
(3)2
2
2 2
2 2
2
2
2
5 2( ) (1)
( ) ( ) (2)
(2) ( ) 2
( )( 1) 2( 1)
( 1)( 2)
1
x y xy y x y
xy x y x y
xy x y x y xy
x y xy xy
xy x y
xy x y
5 2( )
TH1:
1
1
1
x y xy y x y
xy x x v y y 2
2 2
2
2
5 2( )
TH2 :
2
5 ( )( )
2 2
2 2
1 5
1 2 2
5
x y xy y x y
x y
x y xy y x y x y
x y
y x v y x x y x x x x v y y y y
Câu III : 4
0
sin ( 1) cos sin cos cos
sin cos sin cos sin cos
x x x x x x x x x
dx dx
x x x x x x x x x
= ' 4 0
sin cos 2
1 ln sin cos ln( )
sin cos
x x x
dx x x x x
x x x
Câu IV Ta có : SBA = 600 SBA ½ tam giác nên SA =
4 3 a a
V(SMNCB) = 1 ( )
3 a
a a a
=
3 3
a
Kẻ NI // AB để có AMNI hình vng, khoảng cách AB đến SN đường cao SAI, gọi h chiều cao đó, ta có:
2 2
1 1
(2 3)
h a a h = 12 13 a
Câu V P =
2
x y z
x y yzzx
Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = 2 2
( ) ( )
y x
y z z x
= 2 ( )( ) ( ) ( )
x y z xy y z z x
S
A B
C N
M
(4)+ Nếu x = y P =
+ Ta xét x > y P P( xy ) =
2
y x
x y y x Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ z = xy
Đặt t = x
y P thành f(t) =
2
2
2
2
t
t t (t (1; 2])
f’(t) =
3
2 2
2[4 ( 1) 3(2 3)]
(2 3) ( 1)
t t t t
t t
<
Vậy P f(t) f(2) = 34
33 Dấu “=” xảy x = 4, y = 1, z = Vậy P = 34
33 Câu VI.a
1 Diện tích MAI=5 =1
2AM AM 2 5và MI
= IA2 + AM2 = 25 M M(m; -m – 2) Vậy MI (2 m m; 3) nên ta có phương trình:
2
4m 4m m 6m 9 25 m2 + m – = m = hay m = -3
M (2; -4) M (-3; 1)
2 Pt mp (Q) trung trực đoạn AB qua trung điểm I (1;-1;2) AB có VTPT IA=(1;1;-1) : x + y – z + = Giao tuyến d (P) (Q) qua J (0; 1; 3) có VTCP a= (2; 1; 3)
pt d : 3 x t
y t
z t
MA = MB, M (P) M d M (2t; + t; + 3t) MA = (2 – 2t)2 + (-1 – t)2 + (-2 – 3t)2 =
t = hay t =
Vậy M (0; 1; 3) hay M 12; ; 7
Câu VII.a Giả sử z = a + bi (a, b R)
z2 z2 z (a ib)2a2 b2 a ib a2 b2 2abia2 b2 a bi
2
2 2 2
1
2
2
a b
a b a a b
b ab b v a
2
4
0
1
2 b a
b a
1
0 2 2
0 1
2
a a
a b
b b
Vậy có số phức thỏa ĐK :
1 1
0, ,
2 2
(5)B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b Do xA, xB > OAB cân O nên A, B đối xứng qua O xA = xB > 0, yB = - yA
Do A (E) nên
2
1
4
A A
x y SOAB =
1
( , )
2AB d O AB 2 yA xA x yA A Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : =
2 2
2
2
4
A A A
A A A OAB
x y x
y x y S
S lớn :
2 2 A A x y 2 A A x y
Vậy : A ( 2; 2) ; B
2
( 2; )
2
hay A ( 2; 2)
; B ( 2; 2)
2 Cách khác :
Gọi OH đường cao ta có OHxA, xA 0 v AH yA SOAB xA yA Mà ta có : ( 2; 2), ( 2; 2)
2
A B
.2 4
OAB A A
S y y
4
4
A A
y y
và 2
2
A A
S y x
2
( 2; ), ( 2; )
2
A B
( 2; 2), ( 2; 2)
2
B A
2 B (S) ABC nên
2 2
2
2
4 4
B B B B B B
x y z x y z
OA OB OA AB
2 2
2 2
2 2
4( )
32
32 (4 ) (4 )
B B B B B B
B B B
B B B
x y z x y z
x y z
x y z
2
2 2
8 32
8( )
B B B
B B B
B B B B B
x y z
x y z
x y z x y
2
8 32
B B B
B B B
B B
x y z
x y z
x y
2
4
( ) 32
4
B
B B B B B
B B
z
x y x y z
x y 4 B B B x y z hay 4 B B B x y z
Trường hợp 1: OA(4;4;0); OB(0;4;4) OA OB, (16; 16;16) Pt (OAB) : x – y + z =
Trường hợp 2: OA(4;4;0); OB(4;0;4) OA OB, (16; 16; 16) Pt (OAB) : x – y – z =
Câu VII.b Giả sử z = x + yi x, y R
Ta có : (2z – 1)(1 + i) + (z+1)(1 – i) = – 2i 2(1 + iz) + (1 – i)z =
(6) 3x – 3y + (x + y)i = 3 x y x y
1
1 x
y
1
9
z
Sưu tầm: Cao Văn Tú
: www.caotu.tk