Slide _ Đại số_Chuong2_Bai05_2020

Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến được gọi là hệ Cramer.. Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:..[r]



 §5: Hệ phương trình tuyến tính

5.1 Dạng tổng qt dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính.

5.1.1 Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n

ẩn số có dạng:

n n n n

a x a x a x b

a x a x a x b

   

 

   

  

11 12 1 21 22 2

 

§5: Hệ phương trình tuyến tính

- Nếu bi = với i=1,2,…,m hệ gọi hệ tuyến tính nhất.

1

1

1

2

2

2

3

4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

   

 

    

 

    



    

 Ví dụ

Hệ phương trình ẩn

 

§5: Hệ phương trình tuyến tính

ij m n

A  [a ] 

+ Ma trận gọi ma trận hệ số phương trình (*)

+ Ma trận gọi ma trận hệ số tự phương trình (*)

m

b

b b

b

      

     

1

x



 §5: Hệ phương trình tuyến tính

 Ví dụ: Cho hệ phương trình

1

1

1

2

1

2

2

3

4

2

1

, ,

3

0

                                                                      

x x x x

x x x x

x x x x x x x

x x

A b x



 §5: Hệ phương trình tuyến tính

 

 

b s

A A A | b

Ma trận bổ sung hệ (*):

 Ví dụ: Cho hệ phương trình

1

1

2 2

2 4

[A|b]

3 3

       



 



      

  

   

  

      

bs

x x x x x x x x



 §5: Hệ phương trình tuyến tính Với kí hiệu đó, hệ (*) đưa dạng

Ax  b (**)

gọi dạng ma trận hệ (*)

 Ví dụ:

2 7 1 9

3 1 4 0

5 9 2 5

                                 x y z

2 7 9

3 4 0

5 9 2 5

             

x y z

x y z



 §5: Hệ phương trình tuyến tính

5.2 Hệ Cramer

Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến gọi hệ Cramer



 5.2 Hệ Crame

Định lý: Mọi hệ Cramer n pt có nghiệm nhất (x1, x2, …,xn) xác định công

thức

j j

D x

D





 5.2 Hệ Crame









 5.2 Hệ Crame

 Bài tập: Giải hệ phương trình sau:

1

1

1

2 1

2 3 5

3 2 1

x x x

x x x

x x x

             

1 1 2

2 1 3

3 2 1

D



 



1

1 1 2

5 1 3

1 2 1

D



 



2

1 1 2

2 5 3

3 1 1

D  

3

1 1 1

2 1 5

3 2 1



 5.2 Hệ Crame



 §5: Hệ phương trình tuyến tính

5.3.1 Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình Nhân số ( ) vào vế PT hệ. Đổi chỗ hai PT hệ.

Nhân số ( ) vào PT cộng vào

PT khác hệ.

0

 

0

 

1

2 3 2

2 5

x y z

x y z

x y z

             

2 4 2 1

1

2 3 2

0                

pt x y z

x y z

x y z



 5 Giải hệ PT PP Gauss

 Như phép biến đổi tương đương hệ

PT phép BĐSC dịng ma trận bổ sung tương ứng.

1

2 3 2

2 5              

x y z x y z x y z

2 ( 2) ( 1)

1

3 5 0

4

               pt pt pt pt

x y z y z

y

3

1 4 3 5 0

            pt pt

x y z y

y z



 5.3 Giải hệ PT PP Gauss

5.3.2 Định lí Kronecker-Capelli

a ĐL: Cho hệ phương trình Ax=b

Hệ có nghiệm  r( A)  r( A)

Cụ thể hơn, ta có kết sau: Nếu Ax=b hệ n ẩn số, ta có

+ hệ vơ nghiệmr( A)  r( A) 

+ r( A)  r( A)  n  hệ có nghiệm

+ hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số



 5.3 Giải hệ PT PP Gauss

Xét hệ phương trình tổng quát sau:



 5.3 Giải hệ PT PP Gauss



 5.3 Giải hệ PT PP Gauss

1

11 12 1

2

22 2

'

' ' ' '

'

0 ' ' '

' 0 0 ' ' '

 

 

 

 

 

  

r n

r n

r

r r r n

b

a a a a

b

a a a

A a a b

 

23 5.3 Giải hệ PT PP Gauss

Khi ta có:

 Nếu tồn

br+1, br+2 ,… ,bn khác nên hệ pt vô nghiệm.

 Nếu hệ hệ Cramer, nên có

nghiệm

 Nếu chuyển ẩn xr+1, xr+2,

…, xn sang vế phải ta hệ:

r( A)  r( A)

r( A)  r( A)  n

r( A)  r( A)  r n

n r r r n n n r r r n n

r r rr r r r r r r n n

a x a x a x b a x a x

a x a x a x b a x a x

a x a x a x b a x a x

                                 

11 12 1 1, 1 1, 21 22 2 2, 1 2,

1 2 , 1 ,

' ' ' ' '

' ' ' ' '



 5.3 Giải hệ PT PP Gauss

Ta gán cho ẩn xr+1, xr+2, …, xn giá trị cụ thể ta hệ

n r r r n n

n r r r n n

r r rr r r r r r r n n

a x a x a x b a x a x

a x a x a x b a x a x

a x a x a x b a x a x

 

 

 

      

 

      

  

       



11 12 1 1, 1 1,

21 22 2 2, 1 2,

1 2 , 1 ,

' ' ' ' '

' ' ' ' '



 5.3 Giải hệ PT PP Gauss

5.3.3 Phương pháp Gauss

Hệ Ax=b  Abs=[A|b] Bđsc

theo hàng B

bs=[B|c] (bậc thang)

Khi đó:

+ r(A)=r(B), r(Abs)=r(Bbs)



 

5.3 Giải hệ PT PP Gauss h h h h h h    

2

h h

                     

1 2 1 1 0

0 1 1 1 1

0 7 3 2 3

0 8 2 5 2

0 1 2 0 2

h h h h h h                       

1 2 1 1 0

0 1 1 1 1

0 0 10 5 10

0 0 10 3 10

 

5.3 Giải hệ PT PP Gauss                    

1 1 0 1 1 0 10 10 0 10 10 0 3

h  h

                    

3

1 1

0 1 1

0

0 10 10

0 3

h  h



 

 

 

10    1 0 1 1

0 h  h



 

 

 

 

5.3 Giải hệ PT PP Gauss

Hệ tương đương với

x x x x

x x x

x x x                 

1 4 4 2 0 1 2 1 17 0 x x x x             1 0 1 0

Vậy hệ có nghiệm (1;0;1;0)

                







 5.3 Giải hệ PT PP Gauss

sử dụng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung dạng ma trận hình thang:

bs









 5.3 Giải hệ PT PP Gauss

VD3. Giải hệ phương trình:

1

1

1

2 3 1

2 3 7 3

4 2

  

 

  



   



x x x

x x x

x x x

(K55-đề 1)

3 4 0

   

x x x x



 5.4 Hệ PTTT nhất







 §5: Hệ PTTT nhất

11 12

21 22

0

0

n

n bs

a a a

a a a

A

 

 

 



 

 



 §5: Hệ PTTT nhất

 Hệ có trường hợp:

 Hệ có nghiệm

Hạng ma trận hệ số số ẩn hệ phương trình

 Hệ có vơ số nghiệm



 §5: Hệ PTTT nhất

Tóm lại: Hệ n ẩn

- có nghiệm tầm thường r(A)=n - có nghiệm không tầm thường

r(A)≠n



 §5: Hệ PTTT nhất



 §5: Hệ PTTT nhất

1 2 1

0 3 1

0 0 2

A

m



 

 



 

  

 

2 ( ) 3

m    r A 

Cách 1. Ta có:

Biến đổi

sơ cấp



 §5: Hệ PTTT nhất

Cách 2. Vì r(A)<3  detA=0 nên

1 2 1

det( ) 2 1 3

1 1

A

m



 

 

(3m 6) 0

  

2

m



 MỘT SỐ ĐỀ THI

Bài Cho hệ phương trình

1

1

1

1

1

2 3 8

3 2

4 4 3 14

   

 

   

 

   



    



x x x x

x x x x

x x x b

x x x ax

 

47

MỘT SỐ ĐỀ THI

Bài Cho hệ phương trình

1

1

1

1

+ 5

2 2 - 3 10

2 +x

2 3 4 2 11

                    

x x x ax

x x x x

x x x b

x x x x

với a, b tham số

a) Giải phương trình với a=1, b=3

b) Tìm a, b để hệ phương trình vơ số nghiệm.

(Đề 2-K52)



 MỘT SỐ ĐỀ THI

Bài Biện luận số nghiệm hệ phương trình theo a b

1

1

1

2 - 4 4

3 5 2 7

2 3 - 3

  

 

   



   



x x x x

x x x x

x x ax x b

(Đề 1-K53)

3 4 5

   

x x x x



 MỘT SỐ ĐỀ THI

Bài Giải hệ phương trình

1

1

1

1

2 3 2

2 2 3 5 2

3 2 2

2 6 7 13 10

                         

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

(Đề 3-K54)

1

1

1

1

2 4

2 4 =3

2 1

2 4 4 6 6

                       

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

(Đề 4-K54)

i)



 MỘT SỐ ĐỀ THI

Bài Giải hệ phương trình

1

1

1

1

2 3 2

2 2 3 5 2

3 2 2

2 6 7 13 10

    

 

    

 

   



     



x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

(Đề 3-K54)

2 4

   

x x x x



 MỘT SỐ ĐỀ THI

Bài Tìm giá trị tham số thực a để hệ có nghiệm

1

1

1

1

2 3 2

3 ( 1) 5

              

x x x

x ax x

x ax a x

(Đề 3-K51)

(Đề 4-K51)

i)

ii)

1

1

1

2 3

2 5

3 5 ( 2) 7

              

x x x

x ax ax



 MỘT SỐ ĐỀ THI

Bài Cho hệ phương trình

1

1

1

1

2 6 16 0

7 17 3 = 0

4 10 + = 0

2 2 4 3 0

                     

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

(Đề 2-hè 2010)

i) ii)

1

1

1

1

3 2 0

4 7 2 0

9 3 14 + 0

4 3 3 0

                      

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x