lý luận 2 hàm số báo cáo cuối kì

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Khoa Toán – Tin học BÀI BÁO CÁO HÀM SỐ Học phần: Lý luận phương pháp giảng dạy GVHD: TS Tăng Minh Dũng Nhóm Nguyên Thanh Thảo Vi Minh Toàn Nguyễn Mai Thảo Trang Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2017 Hàm số GVHD: TS Tăng Minh Dũng Bài cáo cáo nhóm Nguyên Thanh Thảo Vi Minh Toàn Nguyễn Mai Thảo Trang Mục Lục Phân tích khoa hoc luận tri thức hàm số 1.1 1.1.1 Sự hình thành tri thức hàm số qua thời kì 1.1.2 Tổng kết mục 1.1 1.2 Một điều tra lịch sử tri thức hàm số Tri thức hàm số chương trình đại học 1.2.1 Phân tích số giáo trình đại học hành 1.2.2 Tổng kết mục 1.2 Sự vận hành tri thức hàm số góc độ giảng dạy 2.1 Day học hàm số góc độ đào tạo giáo viên 2.1.1 Những định nghĩa khác khái niệm hàm số 2.1.2 Những cách biểu diễn khác hàm số 2.1.3 Đinh ̣ nghiã hàm dựa vào đại lượng biến thiên hay dựa vào tâ ̣p hơ ̣p dưới góc đô ̣ giảng da ̣y toán ho ̣c 2.1.4 Tổng kết mục 2.1 2.2 2.2.1 Tri thức hàm số chương trình tốn phổ thơng 10 2.2.2 Tri thức hàm số sách giáo viên 11 2.2.3 Tri thức hàm số sách giáo khoa tốn phổ thơng 11 2.3 Dạy học hàm số bậc phổ thông 10 Tổng kết mục 13 Kết luận 13 Phân tích khoa hoc luận tri thức hàm số 1.1 Một điều tra lịch sử tri thức hàm số Phân tích tổng hợp từ nghiên cứu Nguyễn Bá Kim (1994) [6], Nguyễn Thị Nga (2002) [7], Lê Thị Hoài Châu (2002) [9] 1.1.1 Sự hình thành tri thức hàm số qua thời kì 1.1.1.1 Thời cổ đại Từ năm 2000 TCN, nhà toán học cổ đại dùng bảng số (bảng bình-lập phương, khai căn, lượng giác) giải vấn đề toán học (đo đạc hình học, nghiên cứu đường cong,…) hay vật lý học, thiên văn học,… Nói chung, thuật ngữ “hàm số” chưa xuất hiện, sử dụng biểu diễn thông qua bảng tương ứng phần tử tập hợp Các đặc trưng “phụ thuộc”, “biến thiên”, “tương ứng” hai đại lượng không xuất tường minh thể ngần ẩn thông qua mô tả bảng số, đồng thời khái niệm biến-yếu tố cấu thành khái niệm hàm số-chưa xuất 1.1.1.2 Thời trung đại Từ việc tìm hiểu đại lượng chuyển động như: vận tốc, thời gian,… nhà toán học nghiên cứu đặc trưng “phụ thuộc” chủ yếu mặt định tính, thơng qua mơ tả lời bảng hình hình học (tiền thân đồ thị) Tuy nhiên, cách mô tả không tới quan hệ số lượng, chẳng hạn: N.Oresme dùng hình hình học (hình 1) biểu định tính, khơng diện số (các độ đo), nhằm diễn tả cường độ chất điểm chuyển động (vận tốc) theo thời gian, sau đó, Galilei đưa vào biểu diễn yếu tố định lượng Cuối thời kỳ này, mặt định lượng quan tâm nhiều cách mô tả giá trị, lại che lấp mặt biến thiên liên tục Thời kỳ bắt đầu có nghiên cứu đặc trưng biến thiên, thông qua hình hình học Nghĩa “biến phụ thuộc” bắt đầu xuất Tuy nhiên, thuật ngữ “biến thiên” khái niệm “biến” chưa xuất 1.1.1.3 Cuối kỷ XVI-XVII Từ cuối kỷ thứ 16, nghiên cứu (thực nghiệm) chuyển động giúp Galilei phát mối quan hệ đại lượng biến thiên (vận tốc, gia tốc) Vào kỷ thứ 17, hình học giải tích phép tính vi-tích phân đời đánh dấu mốc quan trọng tốn học nói chung quan niệm hàm số nói riêng.Trong tác phẩm hình học giải tích, Descartes đặc biệt quan tâm đến công thức mô tả chuyển động “đường”, từ hàm số hiểu biểu thức đồ thị Ngồi ra, ơng sử dụng chữ đại diện cho tham số ẩn Hơn thế, ông nêu lên phụ thuộc đại lượng biến thiên: “Bằng cách lấy vô hạn đại lượng khác đường y ta có vơ hạn đại lượng khác đường x ta có vơ hạn điểm khác nhau, điểm đánh dấu C, nhờ vào ta mơ tả đường cong mong muốn” Hàm số Newton xem xét phương diện học hình học ơng nghiên cứu vi tích phân chuổi vơ hạn Ngồi ra, ông dùng biến phụ thuộc đại lượng sinh từ thời gian, đại lượng liên tục giải tích quan tâm Leibniz người đưa thuật ngữ “hàm” (function) nghiên cứu phép tính vi tích đường cong, tốn xác định tọa độ điểm thỏa tính chất, ơng gọi hàm số đoạn khác gắn liền với đường cong, chẳng hạn tung độ nó” Quan niệm hàm số biểu thức giải tích lần đầu xuất ngầm ẩn định nghĩa J.Bernoulli: Hàm số đại lượng biến thiên đại lượng được tạo nên theo từ đại lượng biền thiên từ số Trong giai đoạn này, khái niệm “biến”, “sự phụ thuộc lẫn hai đại lượng biến thiên” thức đề cập đến (tường minh) Thuật ngữ “hàm số” xuất hiện, nhiên, định nghĩa tường minh hàm số chưa xuất thuật ngữ “hàm số” Hơn thế, hình học giải tích phép tính vi phân xem hàm số phương diện cơng thức giải tích Khái niệm hàm số dần đặc tính học hình học thay vào cách biểu diễn hàm số công thức biểu thức giải tích Tuy đặc trưng “biến thiên” quan tâm, “tương ứng” thể ngầm ẩn 1.1.1.4 Thế kỉ XVIII Giai đoạn có chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích Sự phụ thuộc lẫn hai đại lượng biến thiên thể biểu thức giải tích Hơn thế, nhiều nhà toán học quan niệm hàm số biểu thức giải tích, chẳng hạn Euler, D’Alembert, Condorcer, Lagrange…, Euler “Một hàm số đại lượng biến thiên biểu thức giải tích tạo thành, theo cách thức đó, từ đại lượng biến thiên số hay đại lượng không đổi Một hàm số biến đại lượng biến thiên” Kí hiệu cho hàm số Bernonlli đề nghị dùng chữ hy lạp viết khơng ngoặc: φx, cịn Euler sử dụng dấu ngoặc chữ f Hơn thế, khái niệm “hàm số”, “đại lượng không đổi” (hay hằng), “đại lượng biến thiên” thức nêu lên: Euler “Một (constant) đại lượng xác định lấy giá trị, đại lượng biến đưa vào tập hợp số” Đặc trưng “biến thiên” nhận nhiểu quan, nhiên, phụ thuộc tương ứng ngầm ẩn Cuối thời kỳ người ta đề cập đến hàm nhiều biến Chính qua định nghĩa hàm nhiều biến mà đặc trưng phụ thuộc biến thiên khái niệm hàm số lại nhấn mạnh Euler “Một đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác cho thay đổi đại lượng thứ hai kéo theo thay đổi đại lượng thứ đại lượng thứ gọi hàm số đại lượng thứ hai” 1.1.1.5 Nửa đầu kỷ XIX Đầu kỷ XIX, người ta dần nhận khơng phải biểu thức giải tích cho phép xác định hàm số mà tương ứng Đặc biệt, khái niệm hàm số bắt đầu định nghĩa lại tương ứng hai đại lượng biến thiên tư tưởng đồng nhât hàm số với biểu thức giải tích thời kỳ trước bị rời bỏ Chẳng hạn, Fourier giới thiệu chuỗi Fourier dùng để biểu diễn số hàm không liên tục, “hàm số f(x) biểu diễn giá trị mà phần tử lấy tùy ý ” Ngoài ra, nghiên cứu hội tụ chuỗi Fourier, Dirichlet nhận cần thiết phải định nghĩa lại hàm số, “y hàm số x với giá trị x tương ứng với giá trị hồn tồn xác định y cịn tương ứng thiết lập cách điều hồn tồn không quan trọng” Như vậy, theo Dirichlet, hàm số liên quan tới tương ứng định nghĩa qua khoảng, nhà toán học trước định nghĩa hàm số liên quan đến biểu thức giải tích đường cong: Lobatchepsky “hàm số x số thực cho ứng với x biến thiên với x Giá trị hàm số cho biểu thức giải tích điều kiện làm phương tiện để thử tất số chon chúng, cuối cùng, phụ thuộc tồn cịn chưa biết” Hàm số thời kỳ biểu diễn bảng, đồ thị, công thức, tổng quát hơn, phương tiện cho phép xác định tương ứng hai đại lượng Giữa kỷ XIX, Riemann khai triển khái niệm tích phân Cauchy mở rộng lớp hàm số biểu diễn chuỗi Fourier Nghiên cứu ông mở cánh cửa cho việc tìm kiếm khơng liên tục toán học Trước năm 1872, Weierstrass giới thiệu ví dụ hàm khơng liên tục hầu khắp nơi, dẫn đến phân hoạch tính liên tục tính khả vi việc phân tích Baire nghiên cứu điều kiện để hàm số biểu diển giải tích: “được xây dựng từ biến số số hữa hạn hay đếm tập hợp phép cộng, phép nhân vượt qua giới hạn điểm” Từ đây, ông tạo sơ đồ phân loại hàm số gọi hàm lớp Baire Sau ơng phát biểu “hàm số biểu diễn giải tích thuộc vào lớp Baire” 1.1.1.6 Thế kỷ XX Đầu kỉ 20, Lebesgue 1905 rằng: “không phải tất hàm số biểu diễn theo phép phân tích cách sử dụng định nghĩa Baire” suốt q trình sử dụng phản ví dụ (Kleiner, 1989) Hơn nữa, định nghĩa hàm số Dirichlet xem xét, “ Một số xem mở rộng (ví dụ Lebesgue) số khác khơng có ý nghĩa (ví dụ, Baire Borel), số khác thừa nhận (ví dụ Hadamard)” Sự phát triển hàm L2, hàm suy rộng1 lý thuyết phạm trù Các hàm L2 hình thành không gian Hilbert cho phép tác động lên tương đương lớp hàm lên hàm độc lập Thêm vào đó, tốn tử khơng gian Hilbert hàm mà argument hàm số Các hàm suy rộng cung cấp ngữ cảnh cho việc tính vi phân đối tượng tốn học mà khơng phải hàm số, khai triển việc sử sụng chúng lý thuyết phương trình vi phân Lý thuyết phạm trù cho phép khái niệm hàm số ánh xạ tập hợp chấp nhận vào kỉ thứ 20 Đại số giải tích kết hợp yếu để phát triển toán học Lý thuyết tập hợp dần trở thành tảng toán học Khái niệm hàm đòi hỏi phải mở rộng để ứng dụng khoa học thực tiễn Lý thuyết tập hợp xem hàm quy tắc tương ứng hay quan hệ phần tử hai tập hợp thỏa mãn số điều kiện, hay tập hợp, vài định nghĩa2 minh họa cho tư tưởng này: Schwartz (1915):“Giả sử E F hai tập hợp, ta gọi ánh xạ từ E vào F hay hàm xác định E lấy giá trị F, tất tương ứng f theo phần tử x E đặt tương ứng f với phần tử, ký hiệu f(x), F Ký hiệu E   F có nghĩa: f ánh xạ từ E vào F E gọi tập nguồn, F tập đích ánh xạ” Từ điển toán học, 1993 “Phần tử tập hợp Ey (bản chất bất kì) gọi hàm phần tử x xác định tập hợp Ex (bản chất bất kì), phần tử x tập hợp Ex đặt tương ứng với phần tử y thuộc Ey, […] Tùy theo chất tập hợp Ex Ey ta có loại hàm khác Nếu Ex Ey tập hợp số thực đó, nghĩa x y nhận giá trị số thực ta có hàm số biến số thực hay đơn giản hàm số, […]” Bourbaki:“Giả sử E F hai tập hợp, phân biệt không Quan hệ biến x E biến y F gọi quan hệ hàm, với x thuộc E, tồn phần Xem phụ lục Xem phân tích chi tiết khuynh hướng khác tồn tư tưởng mục 2.1.1.2 tử F có quan hệ với x Ta gán từ “hàm” cho thao tác kết hợp phần tử x thuộc E với phần tử y thuộc F có quan hệ với x Ta nói y giá trị hàm phần tử x hàm xác định quan hệ hàm cho” Godement: “Ta gọi hàm ba f = (G, X, Y) G, X, Y tập hợp thỏa mãn điều kiện sau: (F1): G tập tích Descartes X  Y (F2): Với x thuộc X, tồn y thuộc Y cho (x, y) thuộc G…” Định nghĩa Schwartz nhấn mạnh đặc trưng “tương ứng”, đặc trưng phụ thuộc biến thiên diện ngầm ẩn, cịn Bourbaki nhấn mạnh quan hệ hàm, thuật ngữ tương ứng mặt tư tưởng tương ứng thể ngầm ẩn qua “thao tác kết hợp phần tử…” Thời kỳ hàm số biểu diễn nhiều dạng : biểu đồ Ven, bảng, đồ thị, công thức, cặp phần tử 1.1.2 Tổng kết mục 1.1 Phân tích lịch sử hình thành khái niệm hàm số ta thấy khái niệm hàm số trải dài qua nhiều thời kì lịch sử (từ cổ đại, trung đại, cận đại, toán học đại) phương diện nghĩa khái niệm hàm số chung thấy hàm số hiểu theo nghĩa từ tốn tóm tắc sau: Bảng tóm tắc Đặc trưng dùng làm gì? (cơng cụ - tốn,…) gì? (đối tượng - tốn) Tính tốn đại số, phép tốn bình-lập phương, khai bậc hai-ba lượng giác (cổ đạiBabylon Hy Lạp) Tính tốn vật lí, biểu diễn cường độ chất điểm chuyển động (vận tốc) theo thời gian hình hình học (trung đại N.Oresme) Nghiên cứu chuyển động, mô tả mối quan hệ vận tốc theo thời gian (TK 16 Galilei) Nghiên cứu hình học giải tích, xác định tọa độ điểm thỏa mản tính chất (TK 17-Descartes, Leibniz Euler) Nghiên cứu phép tính vi- tích phân (TK 18Bernoulli, Euler) Nghiên cứu phép tính vi- tích phân, tương ứng đại lượng biến thiên (TK 19-Dirichlet, Lobachevsky) Nghiên cứu lí thuyết tập hợp, xây dựng hình ảnh trực quan cho khái niệm toán học, tập hợp-biều đồ ven (TK 20) Nghiên cứu lí thuyết tập hợp, xây dựng mơ hình lí thuyết chặc chẻ cho khái niệm toán học, tập hợp-các cặp phần tử (TK 20) ngầm ẩn bắt đầu quan tâm biến thiên quan tâm biến thiên phụ thuộc, biến thiên đề cập rỏ ràng, tương ứng ngầm ẩn phụ thuộc nghiên cứu, biến thiên tường minh, tương ứng ngầm ẩn phụ thuộc nghiên cứu, biến thiên tường minh, tương ứng tường minh phụ thuộc, biến thiên ngầm ẩn, tương ứng tường minh phụ thuộc ngầm ẩn biến thiên ngầm ẩn tương ứng tường minh quy luật biến thiên x y, thông qua bảng (số) tương ứng giũa phần tử tập hợp quy luật biến thiên x y, thơng qua hình hình học(và bảng số) quy luật biến thiên x y, thông qua mơ tả lời đường cong hình học biểu thức giải tích có dạng y  f  x quy tắc tương ứng giá trị x  X với giá trị y  Y quy tắc tương ứng hai phần tử thỏa mản số ràng buộc tập hợp cặp điểm  x, y  trục tọa độ với x  X y  Y Vậy chương trình giáo dục đại cương đại học chương trình đào tạo giáo viên giáo dục phổ thơng khái niệm hàm số lựa chọn nghĩa nào? Và sử dụng toán cho nghĩa này? 1.2 Tri thức hàm số chương trình đại học 1.2.1 Phân tích số giáo trình đại học hành Chúng tơi lựa chọn phân tích giáo trình đào tạo bậc đại học cho sinh viên nghành khoa toán, kinh tế kĩ thuật Theo tác giả Nguyễn Đình Trí: “Ánh xạ từ tập E lên tập F quy luật f liên hệ E F cho tác động vào phần tử x thuộc E tạo phần tử y F” Theo tác giả Hồng Xn Sính: “ Giả sử X Y hai tập hợp cho Một ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho tương ứng với phần tử x X phần tử xác định, kí hiệu Y X gọi nguồn hay miền xác định Y gọi tập đích hay miền giá trị f ”, “Giả sử f : X  Y phận  X  Y gồm cặp phần tử  x, f ( x)  với x  X gọi đồ thị ảnh xạ f ” Theo tác giả Tạ Lê Lợi (2011): (đại học đà lạt) y  f  x  Trong “Cho hàm số (thực biến số thực) ánh xạ f : X  Y , x X, Y tập R Vậy với giá trị biến x  X , có giá trị y  f  x   Y X gọi miền xác định f , f  X    y  R : x  X , y  f  x  gọi miền giá trị f ” Thường hàm cho cách sau:  Công thức: biểu thị phụ thuộc đại lượng y theo đại lương x công thức  Đồ thị: đồ thị f tập  x, y  : x  X , y  f  x   R x x0 x1 xn y y0 y1 yn Theo tác giả Đinh Thế Lực-Tạ Duy Phượng: “Cho X Y hai tập khác trống tập số thực R Phép ứng f từ X vào Y gọi hàm số X Ta viết y  f  x  có nghĩa y giá trị (trong Y) ứng với x (trong X) Ta gọi x biến độc lập (hay đối số) y biến phụ thuộc (giá trị hàm số f x) Tập X gọi miền  Lập bảng:   xác định hàm số f Tập R f  y  Y  x  X : f  x   y gọi miền giá trị (hay tập ảnh) hàm f Với x  X có nhiều giá trị y  Y cho f  x   y ta nói f hàm đa trị Còn với x  X có giá trị y  Y cho f  x   y ta nói f hàm đơn trị” Các phương pháp biểu diễn hàm số: Muốn xác định hàm số ta phải miền xác định X quy tắc (phép ứng) f :    Phương pháp giải tích: Nếu f cho biểu thức giải tích ta nói hàm số cho phương pháp giải tích Trong trường hợp này, miền xác định hàm số tập tất giá trị đối số cho biểu thức có nghĩa Phương pháp bảng: Ta xác định giá trị hàm thời điểm (vị trí nào) thiết bị đo đạc sẵn có, khơng thể tìm biểu thức giải tích biểu diễn kết đo đạc theo thời gian (vị trí) cách xác, mà thường biểu thị chúng dạng bảng ghi số liêu Phương pháp đồ thị: cho tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Hàm số f xác định phép cho tương ứng hoành độ điểm (trong tập điểm cho) với tung độ nó, tập hợp cho cịn có tên gọi đồ thị hàm f thường ký hiệu Gf , hình chiếu tập Gf lên trục hoành miền xác định hàm f, hình chiếu Gf lên trục tung miền giá trị hàm f Theo tác giả Nguyễn Văn Đắc (2012): “Cho D tập khác trống tập số thực R hàm số f quy tắc ấn định số cho trước thuộc tập hợp D với số f  x  , tập hợp E D gọi tập xác định f Số f  x  gọi giá trị f x Tập gồm giá trị f x , với x chạy khắp tập xác định gọi tập giá trị Mỗi x thuộc vào tập xác định D x gọi biến độc lập, f  x  gọi biến phụ thuộc” Có ba cách hình dung hàm số:  Hình dung mơ hình mơt máy:  Hình dung mơ hình mơt biểu đồ mũi tên:  Hình dung mơ hình thơng qua đồ thị nó: cho f hàm số có tập xác định D đồ thị tập gồm cặp điểm thứ tự  x, f ( x)  x  D 1.2.2 Tổng kết mục 1.2 Các giáo trình cho thấy khái niệm hàm số chủ yếu hiểu theo phương diện lí thuyết tập hợp Khi hàm số hiểu theo nghĩa: “Hàm số quy tắc tương ứng giá trị x  X với giá trị y  Y ”, “Hàm số tập hợp cặp điểm  x, y  trục tọa độ với x  X y  Y ”, nghĩa lại sử dụng để phục vụ cho việc hiểu hai nghĩa Tóm lại hàm số theo chương trình đại học hiểu “một quy tắc tương ứng giá trị x  X với giá trị y  Y quy tắc tương ứng liên hệ x y hồn tồn khơng cần quan tâm” Sự vận hành tri thức hàm số góc độ giảng dạy • đề nghị dạy nào? (chương trình, SGK, SGV) 2.1 Day học hàm số góc độ đào tạo giáo viên Bùi Văn Nghị (2009) [5] (quan điểm hoạt động giải toán), Nguyễn Bá Kim (1994) [6] (dạy học toán trường THPT), Phạm Gia Đức (1998) [8] (dạy học toán trường THCS), 2.1.1 Những định nghĩa khác khái niệm hàm số 2.1.1.1 Định nghĩa dựa vào đại lượng biến thiên Quan điểm dựa vào tương ứng giá trị đại lượng biến thiên với giá trị đại lượng biến thiên Xem hàm đại lượng biến thiên: “đại lượng y gọi hàm số đại lượng x giá trị x, khoảng biến thiên nó, tương ứng với giá trị xác định y, x gọi đối số” Xem hàm quy luật biểu thị tương ứng “quy tắc biểu thị giá trị đại lượng biến thiên phụ thuộc tương ứng với giá trị đại lượng biến thiên độc lập” 2.1.1.2 Định nghĩa dựa vào tập hợp Định nghĩa dựa vào tình hàm: Giả sử M F hai tập hợp người ta nói M xác định hàm f nhận giá trị F với phần tử x thuộc vào M đặt tương ứng phần tử F Trong trường hợp tập hợp phần tử có chất thay từ “hàm” người ta dùng từ “ánh xạ” nói ánh xạ tập hợp M đến tập hợp F Định nghĩa dựa vào quy tắc tương ứng hai tập hợp: X Y hai tập hợp cho, ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho tương ứng với phần tử x∈A phần tư y∈B Định nghĩa dựa vào tương ứng: Hàm tương ứng mà theo với phần tử x tập hợp X tương ứng với phần tử y tập hợp Y Định nghĩa triệt để dựa vào tập hợp: Định nghĩa đầy đủ: “một tập hợp G mà phần tử cặp gọi đồ thị, tập hợp tất phần tử thứ cặp G gọi miền xác định đồ thị G, ký hiệu pr1G, Tập hợp tất phần tử thứ hai tập G gọi miền giá trị G, ký hiệu pr2G” Định nghĩa rút gọn: “một hàm tập hợp cặp (x,y) cho phần tử x tập hợp khơng có hóa cặp (x,y) với phần tử thứ viết cho trước” Tóm lại, Hàm số cho dù định nghĩa mang chất: “mỗi x∈X xác định phần tử y∈Y” 2.1.2 Những cách biểu diễn khác hàm số Theo [6] [8], hàm số diễn tả (hay cách cho hàm số) bảng, lời, biểu thức giải tích, hay nhiều biểu thức dạng tường minh hay ngầm ẩn, cách diễn tả đồ thị, cặp phần tử biểu đồ ven không đề cặp tới Các cách diễn tả nên xem xét phương tiện biểu diễn (thể hiện) khác khái niện hàm hàm số, không nên đánh đồng với chất kahi1 niệm Theo [8], cách diễn tả cơng thức giải tích cần đươc quan tâm đặc biệt hàm số nghiên cứu thổ thông hàm số co công thức, nôi dung nghiên cứu ks vẽ, đạo làm, tích phân,… liên quan mật thiết với cách diễn tả Nói thêm, từ việc trọng cơng thức giải tích sinh quan điểm học sinh “hàm số cơng thức giải tích” 3, quan điểm tồn lịch sử thời gian 2.1.3 Đinh ̣ nghiã hàm dư ̣a vào đại lượng biến thiên hay dư ̣a vào tâ ̣p hơ ̣p dưới góc đô ̣ giảng da ̣y toán ho ̣c Vấ n đề đă ̣t là nên da ̣y cho ho ̣c sinh khái niê ̣m hàm theo cách đinh ̣ nghiã nào? Để có ý thức về sự lựa cho ̣n cách đinh ̣ nghiã khái niê ̣m hàm, ta cầ n đánh giá ưu nhược điể m giảng da ̣y toán ho ̣c Đinh ̣ nghiã hàm theo lí thuyế t tâ ̣p hơ ̣p có những ưu điể m sau: Thứ nhấ t, một ̣nh nghiã thế là tổ ng quát nhấ t, xét quan điể m khoa ho ̣c giáo du ̣c toán ho ̣c Nế u theo quan điể m cổ điể n dựa vào đa ̣i lươ ̣ng biế n thiên thì khái niê ̣m hàm làm bao gồ m đươ ̣c những phép biế n hin ̀ h hin ̀ h ho ̣c? Tính tổ ng quát=> tăng tiń h thớ ng nhấ t của chương trình toán phổ thông (CTTPT) CTTPT xoay quanh khái niê ̣m trung tâm là khái niê ̣m hàm và việc vâ ̣n du ̣ng khái niê ̣m này nghiên cứu những vấ n đề rấ t khác, xóa bỏ ranh giới giả ta ̣o giữa các phân môn, mô ̣t những xu hướng của viê ̣c cải cách môn toán ở nước ta cũng thế giới-dạy học tích hợp Tính tổ ng quát=>bao gồ m ví du ̣ hay gă ̣p thực tế hàng ngày: ho ̣c sinh–tuổ i của ho ̣c sinh đó, thành phố –số dân, … Nhờ đó khái niê ̣m hàm có mô ̣t pha ̣m vi ứng du ̣ng rô ̣ng raĩ và đồ ng thời ta cũng có mô ̣t nguồ n tài liê ̣u phong phú để minh ho ̣a khái niê ̣m này Tính tổ ng quát=>bao gồ m cả quan điể m hàm dựa vào đa ̣i lươ ̣ng biế n thiên mô ̣t trường hơ ̣p đă ̣c biê ̣t, thừa hưởng lại những ứng du ̣ng Thứ hai, ̣nh nghiã hàm theo lý thuyế t tập hợp là chặt chẽ nhấ t, rõ ràng Chă ̣t chẽ loa ̣i bỏ hoă ̣c ̣n chế những khái niê ̣m chưa đươ ̣c chính xác hóa, rõ ràng giảm bớt những khái niê ̣m không đinh ̣ nghiã những khái niê ̣m mơ hồ Tức là, ta còn loa ̣i bỏ đươ ̣c nhiề u thuâ ̣t ngữ mơ hồ , không rõ nghiã “quy tắ c”, “tương ứng”, “đại lượng”, “tâ ̣p hơ ̣p”, “că ̣p” … khái niê ̣m chỉ đươ ̣c mô tả chứ không đươ ̣c đinh ̣ nghiã Về mă ̣t nhươ ̣c điể m thì phải thừa nhâ ̣n rằ ng: Thứ nhất, tính trừu tượng của ̣nh nghiã nên sự hiể u biế t trực giác thông qua những tình huố ng cụ thể và ̣nh nghiã có thể có khoảng cách Thứ hai, có sự không phù hợp giữa ̣nh nghiã nghiã hàm theo lý thuyế t tập hợp với nhiề u thuật ngữ thường dùng (Dorofeev 1978, tr.23-24) Nế u theo quan điể m tâ ̣p hơ ̣p thì phải sử du ̣ng những kí hiê ̣u và thuâ ̣t ngữ không thông du ̣ng, gây nên sự thay đổ i lớn ngôn ngữ toán ho ̣c Chẳ ng ̣n ta sẽ phải dùng những thuâ ̣t ngữ và kí hiê ̣u sau: “  x, y   f ”, “Hàm  x,sin x  x    / 2,  / 2 là hàm thu hẹp đơn   ánh của hàm  x,sin x  x   ” Nhươ ̣c điể m có thể khắ c phu ̣c bằ ng cách dùng quy ước chuyể n những thuâ ̣t ngữ và kí hiê ̣u không thông du ̣ng sang thông du ̣ng, thiế u tự nhiên và chính xác 2.1.4 Tổng kết mục 2.1 Đinh ̣ nghiã tường minh theo tinh thầ n của lý thuyế t tâ ̣p hơ ̣p không nhấ t thiế t phải đưa vào chương trin ̀ h bắ t buô ̣c đố i với mo ̣i ho ̣c sinh Da ̣y khái niê ̣m hàm ở trường phổ thông với mục đích hin ̀ h Xem thêm Nguyễn Thị Nga (2003) thành cho học ho ̣c sinh những hiể u biế t đúng đắ n về nô ̣i dung khái niê ̣m chứ không phải ở chỗ bắ t buô ̣c phải phát biể u đinh ̣ nghiã tương ứng mô ̣t cách tường minh, chẳng hạn: (1) Mô ̣t hàm f với mxđ D thì với mỗi x  D đề u tương ứng với mô ̣t y  f  x  hoàn toàn xác đinh ̣ (2) Mô ̣t hàm f với mxđ D đươ ̣c cho bằ ng cách chỉ vởi mỗi x  D phầ n tử tương ứng y  f  x  (3) Điều kiện cần đủ để cho mô ̣t hàm là tâ ̣p hơ ̣p những că ̣p M f   x, y  y  f  x  , ta có: (F) đố i với x bấ t kì thì tâ ̣p M f chứa không quá mô ̣t că ̣p  x, y  với phầ n tử x cho trước Mxđ D của hàm f là tâ ̣p hơ ̣p các phầ n tử thứ nhấ t của các că ̣p  x, y   M f (suy từ (1) và (2)) (4) Mô ̣t tâ ̣p hơ ̣p bấ t kì M gồ m những că ̣p với tính chấ t (F) xác đinh ̣ mô ̣t hàm (suy từ (3)) Sau những phát biể u đã đươ ̣c dầ n dầ n hin ̣ nghiã tường minh khái ̀ h thành qua các lớp thì đinh niê ̣m hàm, dựa vào lý thuyế t tâ ̣p hơ ̣p, cũng sẽ rấ t tự nhiên: Nế u mô ̣t tâ ̣p bấ t kì M f với tính chấ t (F) xác đinh ̣ mô ̣t hàm thì coi tâ ̣p đó là mô ̣t hàm Ho ̣c sinh có thể dầ n dầ n liñ h hô ̣i đươ ̣c nô ̣i dung bản của khái niê ̣m hàm nhờ những phát biể u qua những bâ ̣c lớp khác nhau, coi những đinh ̣ nghiã không tường minh của khái niê ̣m đó 2.2 Dạy học hàm số bậc phổ thông 2.2.1 Tri thức hàm số chương trình tốn phổ thơng Lớp Hàm số + + * + Chú thích: + yếu tố kiến thức chuẩn bị; * học thức Tiểu học Ngầm ẩn THCS Tường minh * 10 * 11 * 12 * THPT Tường minh Cụ thể qua lớp Cấp Lớp Chương-bài Nội dung Tiểu học TH CS c1:mục5, c2, c5, c6: c2b1,c3b2 , c4b2 c2: 1, 2, 3, 4, 5, 6, * c 1-2 - Chưa đề cập - Làm quen cách ngầm ẩn, với đặc trưng khoa học luận khái niệm hàm số như: mối quan hệ phụ thuộc hai đại lượng biến thiên, tương ứng phân tử hai tập hợp,…nhằm hình thành biểu tượng ban đầu khái niệm hàm số, làm sở cho việc trình bày thức lớp - Những vấn đề hàm số như: định nghĩa, đồ thị… trình bày chương II phần đại số SGK Toán Ở đây, học sinh nghiên cứu hàm số cụ thể y =ax (a ≠ 0) hàm số y =a/x (được trình bày học thêm) - SGK đưa vào khái niệm hàm số theo phần: đại lượng tỉ lệ thuận đại lượng tỉ lệ nghịch; khái niệm hàm số; mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y=ax (a≠ 0), đồ thị hàm số y=a/x (bài đọc thêm) - Hàm số nghiên cứu đặc trưng tương ứng phụ thuộc Đặc trưng biến thiên chưa đề cập đến cách tường minh Về mặt lý thuyết, định nghĩa khái niệm hàm số tương ứng phụ thuộc đề cập cách tường minh phần tập, chủ yếu tập tập trung vào đặc trưng tương ứng đặc trưng phụ thuộc hầu hết ngầm ẩn tập - Các cách cho hàm số, hầu hết cho công thức - Hàm số xem xét dạng ngầm ẩn 10 TH PT * c 2: 1, 2, * c 4: 1, 10 * c 2: 1, 2, 11 * c 1: 1, 2, * c 3: 2, 3, 12 * c1: 1, 2, 3, *c2:bài2,4 - Nghiên cứu hàm số mức độ sâu rộng hơn, khái quát hơn, chặt chẽ - Gặp lại định nghĩa khái niệm hàm số bước đầu nghiên cứu tính chất đồng biến, nghịch biến hàm số y = ax + b, y=ax2 (a ≠ 0) - Tiếp cận cách tường minh với đặc trưng biến thiên hàm số - Thấy cách đầy đủ đặc trưng khoa học luận hàm số - Làm quen bước đầu với đặc trưng biến thiên qua việc nắm khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến xét đồng biến, nghịch biến số hàm số đơn giản, đặc trưng biến thiên chưa ứng dụng vào việc vẽ đồ thị giải tốn - Chưa thức đưa vào thuật ngữ “sự biến thiên hàm số” - Giới thiệu lại khái niệm hàm số cách xác - Đề cập đến tập xác định hàm số, khái niệm hàm số đồng, nghịch biến, chẵn-lẻ giới thiệu phương pháp khảo sát biến thiên vẽ đồ thị - SGK trình bày đầy đủ hai hàm số y=ax + b y=ax2 +bx+c (a ≠ 0) ngồi SGK cịn giới thiệu thêm hàm số y=|ax + b| cụ thể y=|ax| - Về cách cho hàm số, SGK Đại số 10 trình bày ba cách cho hàm số - Trình bày loại hàm số cụ thể như: hàm số lượng giác, dãy số - Làm quen với loại khái niệm mới, liên tới đặc trưng biến thiên, khái niệm giới hạn, tính liên tục, đạo hàm Trong chương I (Đại số Giải tích 11 kể sách nâng cao) - Giới thiệu hàm số lượng giác nghiên cứu đầy đủ tính chất: tính biến thiên, tuần hồn, chẵn, lẻ - Đặc trưng biến thiên nghiên cứu khảo sát hàm số, q trình tương ứng phụ thuộc củng cố (tường minh-ngầm ẩn) - Chương III, SGK trình bày khái niệm dãy số nghiên cứu hai dãy số đặc biệt cấp số cộng-nhân Thực chất, dãy số hàm số với biến số tự nhiên - Củng cố ba đặc trưng khoa học luận đặc trưng biến thiên đề cập đến tường minh qua định nghĩa dãy số tăng dãy số giảm - Đặc trưng tương ứng phụ thuộc đề cập cách ngầm ẩn qua cách cho dãy số (liệt kê phần tử, cho số hạng tổng quát, truy hồi) - Nhắc lại định nghĩa đồng-nghịch biến giới thiệu định lý cho phép sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số - Giới thiệu khái niệm, tính chất, đồ thị hàm số lũy thừa, mũ logarit 2.2.2 Tri thức hàm số sách giáo viên SGV lớp 10, mục tiêu, xác hóa khái niệm hàm số TXD, đồ thị, đơn điệu, chẵn-lẻ áp dụng vào khảo sát hàm bậc nhất, bậc hai Khái niệm hàm số nhắc lại theo định nghĩa SGK (sự tương quang phụ thuộc hai đại lượng biến thiên), mà không theo quan điểm ánh xạ, đưa thêm vào định nghĩa TXD, tập hợp mà đại lượng x nhận giá trị Hàm số cho bảng, biểu đồ hoăc công thức, thông qua cố lại quy ước TXD SGV nhấn mạnh đến việc SGK quan tâm nhiều đến công thức, nhiên vấn đề thực tế thường liên quan đến bảng biểu đồ Về đồ thị nhắc lại kiến tức lớp 7-9 Tính đơn điệu đươc nghiên cứu thông qua cách cho công thức mối liên hệ với đồ thị 2.2.3 Tri thức hàm số sách giáo khoa tốn phổ thơng 2.2.3.1 Phần lí thuyết Định nghĩa hàm số SGK 7: “Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đối x cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số X X gọi biến số” Cách diễn đạt tương tự nhà toán học kỉ XIX, chẳng hạn 11 Dirichlet4, không dùng định nghĩa chặt chẽ nhờ lí thuyết tập hợp5, làm ấn trưng biến thiên, đặc trưng phụ thuộc tương ứng đề cập tới Thời điểm này, SGK chưa nhắc tới thuật ngữ “biến thiên” hay đặc trưng biến thiên hàm số Có lẽ, để học sinh tiếp thu cách tường minh đặc trưng sau vừa làm quen với khái niệm hàm số việc khó, địi hỏi mức độ cao học sinh nắm vấn đề hàm số Vì vậy, SGK chưa đề cập tới đồng biến, nghịch biến hàm số Nếu định nghĩa hàm số thuật ngữ “quy tắc tương ứng” gây cho học sinh khó hiểu học sinh chưa biết khái niệm “quy tắc tương ứng” mà việc trình bày định nghĩa theo cách phức tạp học sinh THCS cách định nghĩa chặt chẽ xác, tương tự cách định nghĩa nhà toán học kỉ XX Định nghĩa hàm số SGK 10: “Nếu giá trị x thuộc tập D có giá trị tương ứng y thuộc R ta có hàm số Ta x gọi biến số, y hàm số x, D gọi tập xác định” Cách diễn đạt gần với định nghĩa chặt chẽ nhờ lí thuyết tập hợp Như vậy, đặc trưng tương ứng hàm số đặc trưng bật xem xét, đặc trưng biến thiên nhắc đến để bước đầu cho học sinh hình dung thấy đầy đủ đặc trưng khái niệm Chủ yếu hà m số trình bày theo giúp học sinh nắm cách vẽ đồ thị hàm số tạo sở để giới thiệu khái niệm phương trình, hệ phương trình theo quan điểm hàm số 2.2.3.2 Các dạng tập sách giáo khoa Dạng toán Xác định đại lượng lại biết đại lượng cho trước hệ số tỉ lệ Lớp/bài/tr 4/3/65 4/2/158 7/1/53 2.Tính diện tích hình phẳng biết độ dài Lập bảng giá trị hàm số Tính giá trị hàm số Hỏi đại lượng y có hàm số theo x Hỏi điểm có thuộc vào đồ thị hay khơng Tìm cơng thức xác định hàm số 5/1/100 Vẻ đồ thị hàm số 7/39/71 7/26/64 7/25/64 7/24/63 7/41/72 7/1/53 7/12/58 9/12/48 Cách giải -Xét mối quan hệ tỉ lệ (thuận, nghịch) hai đại lượng -Áp dụng công thức tỉ lệ (thuận, nghịch) - Xem xét mối quan hệ tỉ lệ (thuận, nghịch) hai đại lượng - Áp dụng công thức tỉ lệ (thuận, nghịch) Căn Mối quan hệ tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch hai đại lượng Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng -Thiết lập mối liên hệ x với y -tính giá trị diền vào bảng -Tìm cơng thức -Thay vào cơng thức -kiểm tra hai đk: giá trị x tồn giá trị tương ứng y c1.Thay tọa độ vào pt xác định hàm số c2 Dựa vào đồ thị -Lập tỉ số -Tìm mối liên hệ x y - Thay toạ độ vào biểu thức y=f(x) - Giải hpt suy hệ số f(x) -Xác định tính chất hàm số-Cho điểm -Vẻ hình Cơng thức tính diện tích hình phẳng Định nghĩa đồ thị hàm số(69) tính chất đại lượng tỉ lệ thuận y  y , y  x 1 x1 x2 y2 x2 nghịch x y 1  x2 y2 , x1 y  x2 y1 Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận nghịch Định nghĩa dồ thị hàm số(69) Tính chất đồ thị hàm số(70) Hàm số trình bày theo quan điểm: hàm số mô tả phụ thuộc lẫn hai đại lượng biến thiên Định nghĩa khái niệm hàm số theo quan điểm lí thuyết tập hợp, coi hàm số quy tắc tương úng hai phân tử hai tập hợp số: “Cho hai tập hợp A B hàm số từ tập hợp A tới tập hợp B quy luật f cho tương ứng phần tử x  A với phần tử y  f  x   B mà ta kí hiệu f : X  Y , x y  f  x  ” 12 10/4/50 12 Xét tính chẳn lẻ 10 Xét tính đơn điệu 10/4/39 9/9/48 10/2/49 12 11 Tìm giao điểm 10/1/49 đồ thị hàm số 10/1/49 12 Tìm đỉnh parabol 10/14/51 Hàm số bậc nhất-Xác định điểm đồ thị qua-Vẽ đồ thị Hàm số bậc hai-Tìm định toạ độ đỉnhVẽ trục đối xứng-Tìm toạ độ giao điểm với trục tung trục hoàng-Vẽ đồ thị - TXD -chiều biến thiên-cực trị-lồi lõm điễm uốn-điểm đặt biệt-vẽ hình So sánh với f(-x) -f(x), kết luận a>0 hàm tăng- a