Chuyen de boi duong HSG toan 7

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các tốn thực phép tính: Các kiến thức vận dụng: - Tính chất phép cộng , phép nhân - Các phép toán lũy thừa: 3a ; an = a1.a2 n am.an = am+n ; (am)n = am.n ; ( a.b)n = an bn ; ( ) n  am : an = am –n ( a �0, m �n) a b an (b �0) bn Một số toán : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ + +… + n , 1+ + +… + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n số tự nhiên khác không HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) : Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an c c c b) Tính tổng : A = a a  a a   a a với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = 2 n 1 n k HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an � aS = a + a2 +… + an + an+1 Ta có : aS – S = an+1 – � ( a – 1) S = an+1 – Nếu a = � S = n Nếu a khác , suy S = a n 1  a 1 c c 1  (  ) với b – a = k a.b k a b c 1 c 1 c 1 Ta có : A = k ( a  a )  k ( a  a )   k ( a  a ) 2 n 1 n b) Áp dụng c 1 c 1 1 1 = k ( a  a  a  a   a  a ) 2 n 1 n = k (a  a ) n Bài : a) Tính tổng : + 22 + 32 + … + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2 Bài 3: Thực phép tính: a) A = ( b) B  HD : A = Bài 4: 1 1      49     ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35  46.92  3   510.73  255.492  125.7   59.143 9 ;B= 28 1, Tính: 1   2003 2004 2005 P= 5   2003 2004 2005  2   2002 2003 2004 3   2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 3   0,375  0,3    1,5   0,75  11 12  : 1890  115  Bài 5: a) TÝnh A   2,5   1,25  0,625  0,5    2005   11 12   1 1 1 b) Cho B       2004  2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B  5  13   10  230  46 27 6 25  Bài 6: a) Tính : 2  10   1   : 12  14  7  10   1 1     2012 b) TÝnh P  2011 2010 2009     2011 HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = … 2012 2010 1     2011 2011 2012 2012 1 1  2012     2011 = 2012(     ) 2011 2012 1 1 1 (1     99  100)    (63.1,2  21.3,6) c)  9 A      99  100 � MS   Bài 7: a) Tính giá trị biểu thức:  11   2 1 31  15  19   14   31    A    1 93   50       12      1 1  b) Chứng tỏ rằng: B 1      2 3 2004 2004 Bài 8: a) Tính giá trị biểu thức:    81,624 :  4,505   125   A   11       13    : 0,88  3,53  (2,75)  :   25   25  b) Chứng minh tổng: S 1 1 1     n   n   2002  2004  0,2 2 2 2 2 Chun đề 2: Bài tốn tính chất dãy tỉ số nhau: Kiến thức vận dụng : a c  � a.d  b.c b d a c e a c e a �b �e -Nếu b  d  f b  d  f  b �d �f với gt tỉ số dều có nghĩa a c e - Có b  d  f = k Thì a = bk, c = d k, e = fk - Bài tập vận dụng Dạng Vận dụng tính chất dãy tỉ số để chứng minh đẳng thức a c a2  c2 a  Chứng minh rằng: 2  c b b c b a c HD: Từ  suy c  a.b c b a  c a  a.b 2  b c b  a.b a ( a  b) a = b( a  b )  b Bài 2: Cho a,b,c  R a,b,c  thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a (a  2012b) = c (b  2012c ) Bài 1: Cho HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c) a (a  2012b) Suy : = c (b  2012c ) Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu a c 5a  3b 5c  3d  th×  b d 5a  3b 5c  3d a c   k � a = kb, c = kd b d 5a  3b b (5k  3) 5k  5c  3d d (5k  3) 5k  Suy : 5a  3b  b(5k  3)  5k  5c  3d  d (5k  3)  5k  5a  3b 5c  3d  Vậy 5a  3b 5c  3d a  b ab  Bài 4: BiÕt với a,b,c, d �0 Chứng minh : c  d cd a c a d   b d b c 2 a b a b ab 2ab a  2ab  b ( a  b) ( ) (1)   HD : Ta có 2  = 2 (c  d ) cd c d cd 2cd c  2cd  d HD : Đặt a b a  b ab 2ab a  2ab  b ( a  b)  ( ) (2)    = cd c  d cd 2cd c  2cd  d (c  d ) a b a b �  � ab ab cd cd ) ( ) �� Từ (1) (2) suy : ( ab ba cd cd �  � cd d c � Xét TH đến đpcm Bài : Cho tØ lÖ thøc a c  Chøng minh r»ng: b d a  b2  a b vµ    c d2 cd  ab a  b  cd c  d a c HD : Xuất phát từ  biến đổi theo b d ab a  b a c a  b a b     ( ) hướng làm xuất 2 cd c  d b d c d cd Bài : Cho dãy tỉ số nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d a b b c c d d a    Tính M  c d d a a b bc 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    HD : Từ a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d 1  1  1  1 Suy : a b c d a b c d a b c  d a b c d a b c  d �    a b c d Nếu a + b + c + d = � a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) a b b c c d d a � M     = -4 c d d a a b bc Nếu a + b + c + d �0 � a = b = c = d � M  a b b c c d d a    =4 c d d a a b bc Bài : a) Chứng minh rằng: x y z   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a b c Thì x  y  z  x  y  z  x  y  z Nếu b) Cho: a b c a  a b c    Chứng minh:    b c d d bcd  a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c x y z   �   x y z a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a  2b  c 2(2a  b  c) 4a  4b  c a    � (1) x 2y z x  2y  z 2(a  2b  c) (2a  b  c ) 4a  4b  c b    (2) 2x y z 2x  y  z 4( a  2b  c) 4(2a  b  c ) 4a  4b  c c    (3) 4x 4y z 4x  y  z a b c Từ (1) ;(2) (3) suy : x  y  z  x  y  z  x  y  z x y z t Bài 8: Cho y  z  t  z  t  x  t  x  y  x  y  z HD : a) Từ chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên x  y y  z z t t  x    z t t  x x  y y  z x y z t y zt zt  x t  x y x y z HD Từ y  z  t  z  t  x  t  x  y  x  y  z � x  y  z  t y  z t z t  x tx y x yz 1  1  1  1 � x y z t x y zt zt  x y t  x y z x y z t    � x y z t P Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t � x = y = z = t � P = y zx z x y x yz   x y z � x� � y� � z� 1 � 1 � 1 � Hãy tính giá trị biểu thức : B = � � � � z� � x� � y� Bài : Cho số x , y , z khác thỏa mãn điều kiện : Bài 10 : a) Cho số a,b,c,d khác Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 x 2010  y 2010  z 2010  t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010     Biết x,y,z,t thỏa mãn: a2  b2  c  d a b c d b) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f a 14 c 11 e 13  ;  ;  b 22 d 13 f 17 a b c   c) Cho số a, b, c thỏa mãn : 2009 2010 2011 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* Tính giá trị biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d    a b c d a b b c c d d a    TÝnh M  c d d a a b bc Bài 12: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : y  z  t  nx z  t  x  ny t  x  y  nz x  y  z  nt    ( n số tự nhiên) x y z t x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng : Vận dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x,y,z,… 1+3y 1+5y 1+7y   Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 12 5x 4x HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y  1 5y 2y 1 5y  1 3y 2y       12 5x 4x 4x  5x x 5x  12 5x  12 => 2y 2y  với y = thay vào không thỏa mãn  x x  12 Nếu y khác => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta được: 1 3y y 1    y =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = 12 2 15 1 Vậy x = 2, y = thoả mãn đề 15 Bài : Cho a b c   a + b + c ≠ 0; a = 2012 b c a Tính b, c HD : từ a b c abc     � a = b = c = 2012 b c a abc Bài : Tìm số x,y,z biết : y  x 1 x  z  x  y     x y z x yz HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số nhau: y  x  x  z  x  y  2( x  y  z )    2 (vì x+y+z �0) x y z (x  y  z) xyz Suy : x + y + z = 0,5 từ tìm x, y, z 1 y 1 y 1 y   18 24 6x  y  y  y 2(1  y )  (1  y )  y   y  (1  y)     HD : Từ 18 24 6x 2.18  24 18  24  x 1 Suy :  � x  6x x y z Bài 6: T×m x, y, z biÕt: z  y   x  z   x  y   x  y  z (x, y, z  ) x y z x yz HD : Từ z  y   x  z   x  y   x  y  z  2( x  y  z )  1 1 Từ x + y + z = � x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức 2 2 Bài : Tìm x, biết rằng: ban đầu để tìm x 3x y 3z   vµ x  y  z 1 64 216 2x  y  2x  y    Bài : Tìm x , y biết : 7x Bài : T×m x, y, z biÕt Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép tốn cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế A, A �0 � - Tính chất giá trị tuyệt đối : A �0 với A ; A  �  A, A  � - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : A  B �A  B dấu ‘=’ xẩy AB �0; A  B �A  B dấu ‘= ‘ xẩy A,B >0 A �m � �A �m A �m � � (m  0) ; A �m � � (hay  m �A �m) với m > A � m � �A �m - Tính chất lũy thừa số thực : A2n �0 với A ; - A2n �0 với A Am = An � m = n; An = Bn � A = B (nếu n lẻ ) A = � B ( n chẵn) 0< A < B � An < Bn ; Bài tập vận dụng Dạng 1: Các toán Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 x 1 x  x  x     2011 2010 2009 2008 b) HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 � x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013 � x 2011.2012 2.2013  2012.2013 � x  2011 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ � x 1 x  x  x     2011 2010 2009 2008 ( x  2012)  2011 ( x  2012)  2010 ( x  2012)  2009 ( x  2012)  2008    2011 2010 2009 2008 x  2012 x  2012 x  2012 x  2012     2 2011 2010 2009 2008 1 1 � ( x  2012)(    )  2 2011 2010 2009 2008 1 1 � x  2 : (    )  2012 2011 2010 2009 2008 � Bài Tìm x nguyên biết 1 1 49 a) 1.3  3.5  5.7   (2 x  1)(2 x  1)  99 b) 1- + 32 – 33 + ….+ (-3)x = 91006  Dạng : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối  Dạng : x  a  x  b x  a �x  b  x  c Khi giải cần tìm giá trị x để GTTĐ khơng, so sánh giá trị để chia khoảng giá trị x ( so sánh –a –b) Bài : Tìm x biết : a) x  2011  x  2012 b) x  2010  x  2011  2012 HD : a) x  2011  x  2012 (1) VT = x  2011 �0, x nên VP = x – 2012 � x 2012 (*) x  2011  x  2012 � 2011  2012(vôly ) � �� x  2011  2012  x � x  (2011  2012) : � Từ (1) � � Kết hợp (*) � x = 4023:2 b) x  2010  x  2011  2012 (1) Nếu x �2010 từ (1) suy : 2010 – x + 2011 – x = 2012 � x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay = 2012 (loại) Nếu x �2011 từ (1) suy : x – 2010 + x – 2011 = 2012 � x = 6033:2(lấy) Vậy giá trị x : 2009 :2 6033:2 Một số tương tự: Bài : a) T×m x biÕt x   x   2 b) T×m x biÕt: x  x   x  c) T×m x biÕt: x    x Bi : a)Tìm giá trị x ®Ó: x   x  3x b) Tìm x biết: x   x   x Bài : tìm x biết : a) x  �4 b) x  2011 �2012 Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài : a) Tìm x ngyên biết : x   x   x   x   b) Tìm x biết : x  2010  x  2012  x  2014  HD : a) ta có x   x   x   x  �x    x  x    x  (1) Mà x   x   x   x   suy ( 1) xẩy dấu “=” �x �7 � �3 x x nguyên nên x �{3;4;5} �x �5 � Hay � b) ta có x  2010  x  2012  x  2014 �x  2010  2014  x  x  2012 �2 (*) Mà x  2010  x  2012  x  2014  nên (*) xẩy dấu “=” �x  2012  � x  2012 2010 �x �2014 � Suy ra: � Các tương tự Bài : Tìm x nguyên biết : x   x    x  100  2500 Bài : Tìm x biết x   x    x  100  605 x Bài : Tìm x, y thoả mÃn: x x   y   x  = Bài : Tìm x, y biết : x  2006 y  x  2012 �0 HD : ta có x  2006 y �0 với x,y x  2012 �0 với x Suy : x  2006 y  x  2012 �0 với x,y mà x  2006 y  x  2012 �0 �x  y  � x  2006 y  x  2012  � � � x  2012, y  x 2012 Bi : Tìm số nguyên x thoả mÃn 2004 x  x  10  x  101  x  990  x  1000 Dạng chứa lũy thừa số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 � 5x ( 1+ 52) = 650 � 5x = 25 � x = 10 Chuyên đề : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 Chứng tỏ rằng: M  HD : Ta có M  a b c   không số nguyên a b b c c a a b c a b c a b c       1 a b bc c a a bc c a b a bc a b c � M 1 Mặt khác M  a b c (a  b)  b (b  c)  c (c  a )  a      ab bc ca a b bc ca 3( b c a   ) = – N Do N >1 nên M < ab bc ca Vậy < M < nên M không số nguyên Bài Chứng minh : a  b �2 ab (1) , a  b  c �3 abc (2) với a, b, c �0 HD : a  b �2 ab � (a  b)2 �4ab � a  2ab  b �4ab � a  2ab  b2 �0 � (a  b)2 �0 (*) Do (*) với a,b nên (1) Bài : Với a, b, c số dương Chứng minh a b a a) (a  b)(  ) �4 (1) a b c b) (a  b  c)(   ) �9 (2) b HD : a) Cách : Từ (a  b)(  ) �4 � ( a  b) �4ab � ( a  b) �0 (*) Do (*) suy (1) 1 1 � (a  b)(  ) �2 ab 4 Cách 2: Ta có a  b �2 ab a  b � a b ab ab 20 Dấu “ =” xẩy a = b a b c b) Ta có : (a  b  c)(   )   Lại có bc ac ab a b b c a c    3 (  ) (  )  (  ) a b c b a c b c a a b b c a c  �2;  �2;  �2 b a c b c a a b c Suy (a  b  c)(   ) �3     Dấu “ = ” xẩy a = b = c Bài : a) Cho z, y, z số dương x y z Chứng minh rằng: x  y  z  y  z  x  z  x  y  b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: ab  bc  ca 0 HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm ab  bc  ca 0 Chuyên đề : Các toán đa thức ẩn Bài : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = , P( 2) = 120 Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100 � a + b + c + d = 100 P(-1) = 50 � - a + b – c + d = 50 P( 0) = � d = P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 Từ tìm c, d, a XĐ P(x) Bài : Cho f ( x)  ax  bx  c với a, b, c số hữu tỉ Chứng tỏ rằng: f ( 2) f (3) 0 Biết 13a  b  2c 0 HD : f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c � f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = � ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 �0 Bài Cho đa thức f ( x)  ax  bx  c với a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên � c , a + b + c 4a + 2b + c nguên � a + b 4a + 2b = (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên � 2a , 2b nguyên Bài Chứng minh rằng: f(x)  ax  bx  cx  d có giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c d số nguyên HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với x � d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số nguyên Do d nguyên � a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên � 2b nguyên � 6a nguyên Chiều ngược lại cm tương tự Bài : Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = (3  x  x ) 2004 (3  x  x ) 2005 HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + … + a4018x4018 21 Khi A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 A(1) = nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = Bài : Cho x = 2011 Tính giá trị biểu thức: x 2011  2012 x 2010  2012 x 2009  2012 x 2008   2012 x  2012 x  HD : Đặt A = x 2011  2012 x 2010  2012 x 2009  2012 x 2008   2012 x  2012 x  x 2010 ( x  2011)  x 2009 ( x  2011)  x 2008 ( x  2011)   x( x  2011)  x  � x = 2012 A = 2011 Chuyên đề Các toán thực tế Kiến thức vận dụng - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x : y y y y n y = k.x � x  x  x   x  k ( k hệ số tỉ lệ ) n - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y đại lượng x gọi hai đại lượng tỉ lệ nghịch : x.y = a � x1 y1  x2 y2  x3 y3   xn yn  a ( a hệ số tỉ lệ ) - Tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : - Đọc kỹ đề , từ xác định đại lượng toán - Chỉ đại lượng biết , đại lượng cần tìm - Chỉ rõ mối quan hệ đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) - Áp dụng tính chất đại lượng tỉ lệ tính chất dãy tỉ số để giải Bài : Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng Bài : Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian tơ từ A đến B Bài : Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quãng đường người tới lúc gặp ? Bài : Ba đội công nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất cơng nhân Hỏi đội có công nhân ? 22 Bài : Ba ô tô khởi hành từ A phía B Vận tốc ô tô thứ ô tô thứ hai Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai thứ ba hết quãng đường AB : 40 phút, 5 , Tính vận tốc ô tô ? PHẦN HÌNH HỌC I Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh bên tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai góc nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai góc - Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc cặp góc so le ,đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác tam giác Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo góc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điểm - Hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng thứ - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao Chứng minh hai đường thẳng vng góc P2 : - Tính chất tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ đường thẳng song song đường thẳng vng góc - Tính chất đường trung trực, ba đường cao Chứng minh đường thẳng đồng quy( qua điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất đường tam giác So sánh hai đoạn thẳng, hai góc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào tam giác từ vận định lí quan hệ cạnh góc đối diện tam giác , BĐT tam giác - Dựa vào định lí quan hệ đường xiên hình chiếu, đường xiên đường vng góc II Bài tập vận dụng Bài : Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Chứng minh: DC = BE DC  BE HD: Phân tích tìm hướng giải *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt) �  BAE � � Cần CM : DAC �  900  BAC �  DAC � Có : BAE 23 * Gọi I giao điểm AB CD Để CM : DC  BE cần CM I�2  B�1  900 �  900 Có I�1  I�2 ( Hai góc đối đỉnh) I�1  D � � � Cần CM B1  D1 ( ∆ABE = ∆ ADC) Lời giải �  900  BAC �  DAC � �  BAE � � DAC a) Ta có BAE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) Suy ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) � DC = BE b) Gọi I giao điểm AB CD �  900 ( ∆ ADI vuông A) B �D � ( Ta có I�1  I�2 ( Hai góc đối đỉnh) , I�1  D 1 � � ∆ABE = ∆ ADC) � I  B1  90 � DC  BC *Khai thác 1: Từ ta thấy : DC = BE vµ DC  BE ∆ABD ∆ ACE vng cân, có ∆ABD ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK  CD D ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có tốn 1.2 Bài 1: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC T B kẻ BK  CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ chứng minh DC  BE mà BK  CD K suy ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác 1.1 Từ 1.1 gọi M trung điểm DE kẻ tia M A MA  BC từ ta có tốn 1.2 Bài 1.2: Cho tam gi¸c ABC cã  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi M l trung điểm DE kẻ tia M A Chứng minh : MA  BC Phân tích tìm hướng giải HD: Gọi H giao điểm tia MA BC Để CM MA  BC � ta cần CM ∆AHC vuông H � Để CM ∆AHC vuông H ta cần tạo tam giác vuông ∆AHC Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN Kẻ DQ  AM Q � Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) � � � � � ACB , BAC CM: ND = AC , N ADN � CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c) � Có AD = AB (gt) � � Cần CM : ND = AE ( = AC) BAC ADN + Để CM ND = AE 24 � CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) � � + Để CM BAC ADN � � �  BAC �  1800 EAD  � ADN  1800 EAD � CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải Gọi H giao điểm tia MA BC , Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN kẻ DQ  AM Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) : �  DMN � ( hai góc đối đỉnh) AM = MN ; MD = ME (gt) EMA �  MAE � � DN = AE ( = AC) AE // DN N ( cặp góc so le ) � � �  BAC �  1800 � BAC � � � EAD ADN  1800 ( cặp góc phía) mà EAD ADN � � Xét ∆ABC ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN BAC ADN ( chứng minh � � ACB ) � ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) � N � � � � ACB Xét ∆AHC ∆DQN có : AC = DN , BAC ADN N � ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) � ∆AHC vuông H hay MA  BC * Khai thác toán 1.3 + Từ 1.2 ta thấy với M trung điểm DE tia MA  BC , ngược lại AH  BC H tia HA qua trung điểm M DE , ta có tốn 1.4 Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC cã  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi H l chõn đường vng góc kẻ từ A đến BC Chứng minh tia HA qua trung điểm đoạn thẳng DE HD : Từ 1.2 ta có định hướng giải sau: Kẻ DQ  AM Q, ER  AM R �  HBH � � ) Ta có : + DAQ ( Cùng phụ BAH AD = AB (gt) � ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) � DQ = AH (1) � ( phụ CAH � ) +� ACH  EAR AC = AE (gt) � ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) � ER = AH ( 1) Từ (1) (2) � ER = DQ � M � ( hai góc đối đỉnh ) Lại có M � ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) � MD = ME hay M trung điểm DE + Từ 1.3 ta thấy với M trung điểm DE tia MA  DE , ngược lại 25 H trung điểm BC tia KA vng góc với DE, ta có tốn 1.4 Bài 1.4: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi H trung điểm BC Chứng minh tia HA vng góc với DE HD : Từ 1.3 ta dễ dạng giải toán 1.4 Trên tia AH lấy điểm A’ cho AH = HA’ Dễ CM ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) �  HA � 'B � A’B = AC ( = AE) HAC � � � AC // A’B � BAC ABA '  1800 ( cặp góc phía) �  BAC �  1800 � DAE � � Mà DAE ABA ' Xét ∆DAE ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) � � DAE ABA ' � ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) �AA ' mà � � ADE  B � �AA '  900 � � �  900 ADE  B ADE  MDA Suy HA vuông góc với DE Bài : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm DM = EN � Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) � �E �  900 ( MD, NE Có BD = CE (gt) , D  BC) �  CBA � ( ∆ABC cân A) BCA b) Để Cm Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN � Cần cm IM = IN � Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I � Cần cm O điểm cố định 26 Để cm O điểm cố định � Cần cm OC  AC � �  OCN �  900 Cần cm OAC � � � �  OCM � Cần cm : OBA  OCA OBM � Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác Từ ta thấy BM = CN , ta phát biểu lại toỏn nh sau: Bi 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, tia AC lÊy ®iĨm N cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN I Chøng minh r»ng: a) I trung điểm MN b) Đờng thẳng vuông góc với MN I qua điểm cố định D thay i li giải: Từ lời giải để giải 2.1 ta cần kẻ MD  BC ( D �BC) NE  BC ( E �BC) Bài : Cho ∆ABC vuông A, K trung điểm cạnh BC Qua K kẻ đường thẳng vng góc với AK , đường thẳng cắt đường thẳng AB AC D E Gọi I trung điểm DE a) Chứng minh : AI  BC b) Có thể nói DE nhỏ BC khơng ? sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H giao điểm BC AI A1  � ACK  900 Để cm AI  BC � Cần cm � A1  � ACK  900 Để cm � � � � Có AEK  EAK  900 � � cần cm � A1  � AEK � ACK  CAK � Cần cm ∆AIE cân I ∆AKC cân K b) Để so sánh DE với BC � cần so sánh IE với CK ( 2.IE = DE, 2CK = BC) � So sánh AI với AK ( AI = IE, AK = CK) Có AI �AK 27 Lời giải : A1  � AEK a)Dễ dàng chứng ∆AIE cân I ∆AKC cân K � cần cm � � � �  900 � � A1  � ACK  90 � AI  BC mà � ACK  CAK AEK  EAK b) ta có BC = CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI �AK  DE BC , DE = BC K trùng với I ∆ABC vng cân A Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đường thẳng qua M vuông góc với tia phân giác góc A H cắt hai tia AB, AC E F Chứng minh rằng: A EF  AH  AE a) � � b) 2BME � ACB  B c) BE = CF lơì giải Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2 Mà  AHE =  AHF (g-c-g) nên HF = E B M H D F EF; AF = AE EF  AH  AE �F � Tõ AEH  AFH Suy E XÐt CMF cã � ACB lµ gãc ngoµi suy � lµ gãc ngoµi suy BME cã E C Suy ra: � � � CMF ACB  F � E �B � BME �  BME �  (� �)  ( E �B �) ACB  F vËy CMF � � � (®pcm) hay 2BME ACB  B �F � Từ AHE  AHF Suy AE = AF E Từ C vẽ CD // AB ( D � EF ) => BME  CMD( g  c  g ) � BE  CD (1) �  CDF � � F � � CDF cân � CF = CD ( 2) Lại có: E (cặp góc đồng vị) Do CDF Từ (1) (2) suy BE = CF Bài : Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh : BE = CD b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CB Chứng minh M,A,N thẳng hàng c)Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK �BC 28 d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn D E *Phân tích tìm lời giải a) Để cm BE = CD � Cần cm  ABE =  ADC (c.g.c) b) M k Để cm M, A, N thẳng hàng � �  BAM �  1800 Cần cm BAN � � � � Có BAN  NAD  180 Cần cm �  NAD � MAB �  NAD � Để cm MAB N A K I B C H � Cần cm  ABM =  ADN (c.g.c) c) Gọi giao điểm BC Ax � Để cm BH + CK �BC x � Cần cm BH �BI ; CK �CI Vì BI + IC = BC d) BH + CK có giá trị lớn = BC K,H trùng với I , Ax vng góc với BC Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền ngồi tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM a) *Phân tích tìm lời giải Để cm EM + HC = NH � Cần cm EM = AH HC = AN + Để cm EM = AH � cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) + Để cm HC = AN � cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để cm EN // FM � � � N ( cặp góc so le AEF  EF trong) 29 Gọi I giao điểm AN EF �N � để cm � AEF  EF � Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài : Cho tam ABC vuông A , đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC *Phân tích tìm lời giải Gọi F giao điểm BA IE AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB ∆AFE = ∆ CAB � để Cm Để cm : � � C  BAC �  900 (1); Cần cm AF = AC (2); AF � � EAF ACB (3) � C  BAC �  900 + Để cm (1) : AF � Cm CI // AE có FI // AC �  900 BAC � Để Cm CI // AE � Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC � Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) : � ) phụ HAC � � EAF ACB ( *Khai thác tốn : Từ ta thấy AH � AM � HE �AM + BC = 3AM ( AM = MB = MC) Vậy HE lớn = 3AM = BC H trùng M tam giác ABC vng cân Bài Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE  AB  AC 30 * Phân tích tìm lời giải a) Để cm AE = AF � ∆ANE = ∆ ANF ( c g c) Hoặc ∆AEF cân A ( Có AH vừa tia phân giác , vừa đương cao) b) Để cm BE = CF � cần tạo tam giác chứa BE( có cạnh = BE) mà tam giác MCF + Kẻ BI // AC � ∆MBI = ∆CMF( c g c) � Để cm �  BEI � � � � Có BIE BE = CF � ∆ BEI cân B � E ABF ( cặp �  AF � E ∆AEF cân A góc đồng vị ) mà E c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC AE = AF � AE = AB + AC hay AE  AB  AC Bài Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B C nhọn, đường cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K giao điểm DE với AB AC a) Chứng minh : Tam giác ADE cân A b) Tính số đo góc AIC AKB ? *Phân tich tìm hướng giải - Xét TH góc A < 900 a) Để cm ∆ ADE cân A � cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI  IB , BK  KC Do IB, KC tia phân giác góc ngồi ∆ HIK 31 nên HA tia phân giác Do � AHC  900 nên HC tia phân giác đỉnh H Các tia phân giác góc ngồi đỉnh H K ∆ HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK , IB  IC , Chứng minh tượng tự ta có BK  KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác tốn : Gọi M điểm thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ cho AB trung trực D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có Từ ta có tốn sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cạnh BC cho vẽ điểm D, E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ HD Tự nhận xét dễ dàng tìm vị trí điểm M cạnh BC Bài 10 Cho ∆ ABC với góc A khơng vng góc B khác 135o Gọi M trung điểm BC Về phía ngồi ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB Đường thẳng qua A vng góc với AB đường thẳng qua C song song với MD cắt E Đường thẳng AB cắt CE P DM Q Chứng minh Q trung điểm BP HD Trên tia đối tia MQ lấy điểm H cho MH = MQ - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) �  MCH � � BQ = CH (1) MBQ � , MCH � � BQ//CH hay PQ // CH ( MBQ cặp góc so le trong) 32 - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g) � PQ = CH (2) , Do Q nằm B P dù góc B nhỏ 1350 Từ (1) (2) Suy đpcm Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh : a) BA = BH �  450 b) DBK c) Cho AB = cm, tính chu vi tam giác DEK HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn) b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với EK , cắt EK I Ta có : � ABI  900 , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vng) �B � mà B �B � � DBK �  450 � B c)Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = … = 2.4 = cm �  450 chu vi ∆DEK = AB có chu vi * Từ ta thấy DBK �  450 ∆DEK = ta cm DBK 33 34 ... b, c chia hết cho HD a) ta có 17a – 34 b M 17 3a + 2b M 17 � 17 a  34b  3a  2bM 17 � 2(10a  16b) M 17 � 10a  16b M 17 (2, 7) = � 10a  17b  16b M 17 � 10a  bM 17 b) Ta có f(0) = c f(0) M3 �... x  7? ?? x 1 �  x  7? ??   x  7? ?? x 1 x 11   x  7? ?? x 11 0 0 10 �   x   � � � x  10   � �  x  7? ??  x   � �  � x1 � � � � �x ? ?7 � 0 x? ?7? ??0�x ? ?7 � � �� �� x 8 � ( x ? ?7) 10... b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7. 185 + 1) 19 = 7. k + ( k � N*) 4133 = ( 7. 6 – 1)33 = 7. q – ( q � N*) Suy : A 3638  4133 = 7k + + 7q – = 7( k + q) M7 Bài : a) Chứng minh rằng: 3n   2n