Trờng THCS Nguyễn Trãi Đề cơng ôn tập Môn: Đại số 8 Học kỳ I: Năm học 2007-2008 A Lý thuyết Chơng I Phép nhân và phép chia các đa thức 1- Phép nhân - Đơn thức với đa thức. - Đa thức với đa thức. 2. Phép chia - Đơn thức chia cho đơn thức. - Đa thức chia cho đơn thức. - Đa thức chia cho đa thức. Chú ý: A = B . Q + R Nếu R = 0 A B Nếu R 0 A B (A, B, Q, R là đa thức. Bậc của R nhỏ hơn bậc của B) 3- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ 1. (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 2. (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 3. A 2 B 2 = (A - B)(A + B) 4. (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 5. (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 6. A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 AB + B 2 ) 7. A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) 4- Phân tích đa thức thành nhân tử + Phơng pháp đặt nhân tử chung + Phơng pháp dùng hằng đẳng thức + Phơng pháp nhóm hạng tử + Phơng pháp phối hợp Chơng II - Phân thức đại số 1- Định nghĩa B A là phân thức (A, B là đa thức , B khác đa thức 0) 2- Tính chất cơ bản B A = MB MA . . (M là một đa thức khác đa thức 0) B A = NB NA : : (N lµ mét nh©n tö chung) ∗ Chó ý: B A = B A − − ∗ ¸p dông: - Rót gän ph©n thøc - Quy ®ång mÉu c¸c ph©n thøc 3- C¸c phÐp to¸n Quy t¾c TÝnh chÊt PhÐp céng B A + B C = B CA + B A + D C = DB CBDA . + 1. Giao ho¸n B A + D C = D C + B A 2. KÕt hîp ( B A + D C ) + F E = B A + ( D C + F E ) PhÐp trõ B A + D C = B A + (- D C ) PhÐp nh©n B A . D C = DB CA . . 1. Giao ho¸n B A . D C = D C . B A 2. KÕt hîp ( B A . D C ) . F E = B A . ( D C . F E ) 3. Ph©n phèi víi phÐp céng B A ( D C + F E ) = B A . D C + B A . F E PhÐp chia B A : D C = B A . C D B, C, D ≠ 0 B- Bài tập Dạng 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + y) 2 + (x - y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 + x 2 - 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2 = 2(x 2 + y 2 ) b) (x - 2)(x + 2) (x - 3)(x + 1) = x 2 4 (x 2 3x + x - 3) = x 2 4 x 2 + 3x - x + 3 = 2x - 1 c) 2(x + y) (x - y) + (x + y) 2 + (x - y) 2 = [(x + y) + (x - y)] 2 = (x + y + x - y) 2 = (2x) 2 = 4x 2 d) (x + 3)(x 2 3x + 9) (54 + x 3 ) = x 3 + 27 54 x 3 = - 27 Dạng 2. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3x(x 2y) + 6y(2y x) = 3x(x 2y) - 6y(x 2y) = (x 2y)(3x 6y) = 3(x 2y)(x 2y) = 3(x 2y) 2 b) 2x 2 + 4x + 2 2y 2 = 2[(x 2 + 2x + 1) y 2 ] = 2[(x + 1) 2 y 2 ] = 2(x + 1 - y)(x + 1 + y) c) x 2 2x 3 = x 2 + x 3x - 3 = (x 2 + x) (3x + 3) = x(x + 1) 3(x + 1) = (x - 3)(x + 1) d) x 3 3x 2 4x + 12 = (x 3 3x 2 ) (4x 12) = x 2 (x - 3) 4(x - 3) = (x - 3)(x 2 - 4) = (x - 3)(x - 2)(x + 2) Dạng 3. Tìm x, biết a) (2x - 1) 2 (x + 3) 2 = 0 (2x 1 x - 3)(2x - 1 + x + 3) = 0 (x - 4)(3x + 2) = 0 (x - 4) = 0 hoặc (3x + 2) = 0 x = 4 hoặc x = - 3 2 Vậy: x = 4 hoặc x = - 3 2 b) 5x(x - 1) = x 1 5x(x - 1) - (x 1) = 0 (5x - 1)(x - 1) = 0 (5x - 1) = 0 hoặc (x - 1) = 0 x = 5 1 hoặc x = 1 Vậy: x = 5 1 hoặc x = 1 c) 2(x + 5) x 2 5x = 0 2(x + 5) (x 2 + 5x) = 0 2(x + 5) x(x + 5) = 0 (x + 5) (2 x) = 0 (x + 5) = 0 hoặc (2 x) = 0 x = - 5 hoặc x = 2 Vậy: x = - 5 hoặc x = 2 d) x 2 + x = 6 x 2 + x - 6 = 0 x 2 + 3x - 2x - 6 = 0 x(x - 2) + 3(x - 2) = 0 (x - 2)(x + 3) = 0 (x - 2) = 0 hoặc (x + 3) = 0 x = 2 hoặc x = -3 Vậy: x = 2 hoặc x = -3 Dạng 4. Chứng minh a) (3n + 4) 2 16 chia hết cho 3 với mọi giá trị của n thuộc tập z. Ta có: (3n + 4) 2 16 = (3n + 4 - 4)(3n + 4 + 4) = 3n(3n + 8) Mà 3 3 3n 3 3n(3n + 8) 3 Hay (3n + 4) 2 16 chia hết cho 3 với mọi giá trị của n thuộc tập z.(đpcm) b) x 2 + x + 1 > 0 với mọi giá trị của x Ta có: x 2 + x + 1 = x 2 + 2.x. 2 1 + 4 1 + 4 3 = (x + 2 1 ) 2 + 4 3 Vì (x + 2 1 ) 2 0 với mọi x (x + 2 1 ) 2 + 4 3 4 3 > 0 với mọi x Suy ra: x 2 + x + 1 > 0 với mọi giá trị của x (đpcm). c) 4x 2 4x 2 < 0 với mọi x Ta có: 4x 2 4x 2 = - [(2x) 2 + 2.2x.1 + 1] 1 = - (2x + 1) 2 1 Vì - (2x + 1) 2 0 với mọi x -1 < 0 Nên - (2x + 1) 2 1 - 1 < 0 với mọi x Hay: 4x 2 4x 2 < 0 với mọi x (đpcm). Dạng 5. Tính nhanh a) (x 3 - 1) : (x 2 + x + 1) = (x - 1) x 2 + x + 1) : (x 2 + x + 1) = (x - 1) b) (x 2 2xy + y 2 ): (x - y) = (x - y) 2 : (x - y) = x y D¹ng 6. Chia ®a thøc mét biÕn ®· s¾p xÕp a) (6x 3 – 7x 2 – x + 2) : (2x + 1) 6x 3 – 7x 2 – x + 2 2x + 1 6x 3 + 3x 2 3x 2 - 5x + 2 - 10x 2 – x + 2 - 10x 2 – 5x 4x + 2 4x + 2 0 b) T×m sè a ®Ó ®a thøc x 4 – x 3 + 6x 2 – x + a chia hÕt cho ®a thøc x 2 – x + 5. Ta cã: x 4 – x 3 + 6x 2 – x + a x 2 – x + 5 x 4 – x 3 + 5x 2 x 2 + 1 x 2 – x + a x 2 - x + 5 a – 5 §Ó (x 4 – x 3 + 6x 2 – x + a) (x 2 – x + 5) ⇔ a – 5 = 0 ⇔ a = 5 VËy ®Ó ®a thøc x 4 – x 3 + 6x 2 – x + a chia hÕt cho ®a thøc x 2 – x + 5 th× a = 5 D¹ng 7. Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n a) ( xx + 2 1 - 1 2 + − x x ):( x 1 + x – 2) = ( )1( 1 + xx - 1 2 + − x x ) : x xx 21 2 −+ = )1( 21 2 + +− xx xx . 2 )1( − x x = )1( )1( 2 + − xx x . 2 )1( − x x = 1 1 +x b) 10 1 2 + − x x . 2 + x x + 10 1 2 + − x x . 2 1 + − x x = 10 1 2 + − x x .( 2 + x x + 2 1 + − x x ) = 10 1 2 + − x x . 2 1 + −+ x xx = 10 1 2 + − x x . 2 1 + x = )2)(10( 1 2 ++ − xx x c) 1 1 −x - 1 2 3 + − x xx . ( 12 1 2 +− xx + 2 1 1 x − ) = 1 1 −x - 1 2 3 + − x xx . [ 2 )1( 1 − x - )1)(1( 1 +− xx ] = 1 1 −x - 1 2 3 + − x xx . )1()1( 11 2 +− +−+ xx xx = 1 1 −x - 1 )1( 2 2 + − x xx . )1)(1( 2 2 −− xx = 1 1 −x - )1)(1( 2 2 −+ xx x = )1)(1( 21 2 2 −+ −+ xx xx = )1)(1( )1( 2 2 −+ − xx x = 1 1 2 + − x x