Lược đồ sai phân khác thường mô phỏng số mô hình siêu quần thể: Sử dụng định lý ổn định Lyapunov

Trong bài viết này lược đồ sai phân khác thường cho mô hình siêu quần thể được xây dựng. Tính chất ổn định của mô hình rời rạc được nghiên cứu dựa trên một mở rộng của Định lý ổn định Lyapunov. Dựa trên kết quả này chứng minh được rằng lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tất cả các tính chất của mô hình siêu quần thể. Các thử nghiệm số chỉ ra rằng các kết quả lý thuyết là hoàn toàn đúng đắn.

Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Quốc gia lần thứ IX “Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR'9)”; Cần Thơ, ngày 4-5/8/2016 DOI: 10.15625/vap.2016.00034 LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG MƠ PHỎNG SỐ MƠ HÌNH SIÊU QUẦN THỂ: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV Đặng Quang Á1, Hoàng Mạnh Tuấn2 Trung tâm Tin học Tính tốn, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam dangquanga@cic.vast.vn, hmtuan01121990gmail.com TÓM TẮT— Trong báo lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình siêu quần thể xây dựng Tính chất ổn định mơ hình rời rạc nghiên cứu dựa mở rộng Định lý ổn định Lyapunov Dựa kết chứng minh lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tất tính chất mơ hình siêu quần thể Các thử nghiệm số kết lý thuyết hoàn tồn đắn So với phương pháp chúng tơi sử dụng trước [1], phương pháp hàm Lyapunov đơn giản nhiều khơng cần thực tính tốn phức tạp kỹ thuật khó để chứng minh tính chất ổn định mơ hình rời rạc Từ khóa— Lược đồ sai phân khác thường, mơ hình siêu quần thể, định lý ổn định Lyapunov, mơ số I GIỚI THIỆU Các nghiên cứu hệ thống sinh học, hóa học, vật lý, học,… phát triển nhiều năm qua [2, 4] Các hệ thống thường mô tả phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình vi phân thường Nghiệm phương trình có tính chất đặc biệt tính chất dương (chẳng hạn, số lượng quần thể mô hình sinh học, nồng độ chất phản ứng sinh hóa, kích thước, lượng,…), tính chất đơn điệu, tính chất tuần hồn, tính chất ổn định số tính chất bất biến khác… Bên cạnh phương trình mơ tả hệ thống thường phức tạp, khơng có hi vọng giải Chính việc nghiên cứu phương pháp giải gần mơ số phương trình vi phân vấn đề quan trọng tốn học nói chung tốn học tính tốn nói riêng Do nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết tốn học nhà tốn học tìm nhiều phương pháp giải gần phương trình vi phân Để giải gần phương trình vi phân mơ tả q trình vật lý, sinh học, hóa học, học,… nhiều phương pháp giải gần sử dụng, phương pháp sai phân phương pháp phổ biến Lý thuyết chung lược đồ sai phân giải phương trình vi phân xây dựng phát triển nhiều sách mà ngày trở thành kinh điển (xem, chẳng hạn, [17]) Ta gọi lược đồ loại ―lược đồ sai phân bình thường‖ (standard finite difference schemes) Trong nhiều toán phi tuyến lược đồ sai phân bình thường có nhược điểm gây tượng không ổn định số (numerical instabilities) [12-14] Một mô hình rời rạc gọi có tượng khơng ổn định số tồn nghiệm phương trình sai phân (hay lược đồ sai phân) khơng bảo tồn tính chất nghiệm phương trình vi phân tương ứng Trong [12-14] Mickens đưa nhiều ví dụ chi tiết phân tích sâu sắc tượng không ổn định số xảy sử dụng lược đồ sai phân bình thường Nói chung lược đồ sai phân bình thường bảo tồn tính chất tốn bước lưới chọn để rời rạc trục thời gian đủ nhỏ, tức với nhỏ Chính nghiên cứu mơ hình khoảng thời gian lớn ( việc chọn bưới lưới nhỏ dẫn đến chi phí tính tốn lớn Để khắc phục tượng không ổn định số, vào năm 80 kỷ trước Mickens đề xuất khái niệm mới, gọi lược đồ sai phân khác thường (nonstandard finite difference schemes) để phân biệt với lược đồ sai phân bình thường [12-14] Theo đó, lược đồ sai phân khác thường lược đồ xây dựng dựa quy tắc xác định Các quy tắc đề xuất Mickens dựa phân tích tượng khơng ổn định số sử dụng lược đồ sai phân bình thường Đây lớp phương pháp số bảo tồn tính chất phương trình vi phân tương ứng Đó tính chất nghiệm phương trình vi phân như: tính chất nghiệm dương, tính chất nghiệm đơn điệu, tính chất nghiệm bị chặn, tính chất nghiệm tuần hồn, tính chất ổn định nghiệm số tính chất bất biến khác bảo toàn lượng, bảo toàn hình dạng hình học… Ưu lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất nghiệm phương trình vi phân tương ứng với bước lưới Các lược đồ thỏa mãn tính chất cịn gọi lược đồ sai phân tương thích động lực (dynamically consistent) Một tính chất đặc biệt quan trọng phương trình vi phân tính chất ổn định tập hợp điểm cân Cần nhấn mạnh việc phân tích tính chất ổn định tập hợp điểm cân có vai trò quan trọng việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân Vì việc xây dựng lược đồ sai phân bảo tồn tính chất ổn định cho tập hợp điểm cân thực quan trọng việc mô số giải số phương trình vi phân Các lược đồ sai phân bảo tồn tính chất cịn gọi lược đồ ổn định (elementary stable) Có nhiều kết khác lược đồ ổn định bản, mà tiêu biểu kết cho hệ động lực tổng quát [5, 6, 10] số kết khác cho hệ phương trình cụ thể [7, 15, 16, 18] Cách tiếp cận chung, phổ biến xem xét ma trận Jacobian lược đồ rời rạc điểm cân Sau xác định điều kiện để tất giá trị riêng λ ma Đặng Quang Á, Hoàng Mạnh Tuấn 275 trận Jacobian nằm hình cầu đơn vị Đây điều kiện cần đủ để điểm cân hyperbolic ổn định địa phương [2, 8] Nhược điểm hạn chế chung cách tiếp cận là: Cách tiếp cận áp dụng tất điểm cân điểm cân hyperbolic Nếu tồn điểm cân non-hyperbolic khơng thể sử dụng cách tiếp cận Nói chung chưa có kết lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất ổn định cho tập hợp điểm cân non-hyperbolic Ngay tất điểm cân điểm cân hyperbolic việc xác định điều kiện để tất giá trị riêng λ ma trận Jacobian nằm hình cầu đơn vị khó khăn phức tạp Về mặt lý thuyết áp dụng điều kiện Jury [2, 7, 18] để xác định điều kiện Tuy nhiên thực tế, số trường hợp việc áp dụng điều kiện phức tạp khơng xác định biểu thức điểm cân biểu thức điểm cân phức tạp, thí dụ phương trình vi phân có số chiều lớn chứa nhiều tham số phương trình [3] Song song với sử dụng lược đồ sai phân có số chiều lớn (bằng số chiều phương trình vi phân) chứa nhiều tham số lặp (nhằm đảm bảo việc bảo tồn tính chất phương trình) việc phân tích ma trận Jacobian lược đồ sai phân nhờ điều kiện Jury không thực Việc xem xét ma trận Jacobian đảm bảo tính chất ổn định địa phương nhiều mơ hình lại có tính chất ổn định tồn cục [2, 4] Để khắc phục hạn chế sử dụng lý thuyết ổn định Lyapunov để tính chất ổn định tập hợp điểm cân bằng, kể điểm cân nonhyperbolic [8, 9] Tất nhiên, nhược điểm Định lý ổn định Lyapunov lúc xác định hàm Lyapunov phù hợp Mặc dù vậy, nhiều tốn có tính chất đặc biệt việc xây dựng hàm Lyapunov (liên kết chặt với tính chất tốn) lại cơng việc đơn giản nhiều Khi tính chất ổn định điểm cân mà khơng cần thực phân tích ma trận Jacobian phương trình rời rạc Đây hướng tiếp cận áp dụng cho nhiều lớp tốn khác nhau, khắc phục hạn chế cách tiếp cận dựa việc phân tích ma trận Jacobian trước Với mục tiêu minh họa cho hướng tiếp cận này, báo này, chúng tơi xét mơ hình siêu quần thể (dạng thu gọn) đề xuất Keymer năm 2000 [11] ( ban đầu tập {( ( ( tham số dương đặc trưng cho mơ hình Do ý nghĩa sinh học nên ta xét giá trị }, tức giá trị ban đầu thỏa mãn ( ( ( ( ( Các phân tích tốn học [2, Chapter 6] mơ hình (1) có tính chất sau đây: ( Tính chất hội tụ đơn điệu tổng ( ( ( : ( Với giá trị ban đầu thỏa mãn ( ( nghiệm ( ( ( ( Với giá trị ban đầu thỏa mãn ( nghiệm ( ( ( hội tụ đơn điệu giảm đến ngược lại, với giá trị ban đầu thỏa mãn ( ( hội tụ đơn điệu tăng đến nghiệm ( ( thỏa mãn ( ( ( thỏa mãn ( thỏa mãn ( Tính chất bị chặn: Tất nghiệm mơ hình (1) với giá trị ban đầu thỏa mãn (2) thỏa mãn (2) Nói khác tập D bất biến dương ( Tính chất ổn định tiệm cận địa phương: Mơ hình (1) có hai điểm cân Theo [2, Chapter 6] ( ( ( ổn định tiệm cận địa phương Đặt =( ( ổn định tiệm cận địa phương Tính chất ổn định tiệm cận toàn cục: Định lý Poincare-Bendixon [2] {( tiệm cận toàn cục ( ổn định tiệm cận toàn cục } Tính chất khơng tuần hồn nghiệm Tiêu chuẩn Dulax [2] mô hình (1) khơng có nghiệm tuần hồn ổn định 276 LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG MƠ PHỎNG SỐ MƠ HÌNH SIÊU QUẦN THỂ: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV Đây mơ hình có tính chất phức tạp Mới cách sử dụng lược đồ sai phân khác thường xây dựng thành cơng mơ hình siêu quần thể rời rạc tương thích động lực [1], tức mơ hình rời rạc bảo tồn tính chất ( ( mơ hình (1) Việc xây lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình (1) phức tạp Khó khăn bảo tồn tính chất ổn định toàn cục ( ) Để xây dựng lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất cần sử dụng kỹ thuật tinh vi tính tốn phức tạp Trong báo nhờ Định lý ổn định Lyapunov xây dựng lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất ổn định tồn cục mơ hình (1), nhờ nhận lược đồ sai phân bảo tồn tất tính chất mơ hình (1) So với cách chứng minh trước đây, cách chứng minh sử dụng sử dụng định lý ổn định Lyapunov ngắn gọn đơn giản nhiều Ở đây, không cần thực tính tốn phức tạp kỹ thuật tinh vi Cách tiếp cận áp dụng cho lớp toán tương tự Trong phần II lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất mơ hình (1) xây dựng Phần III trình bày thử nghiệm số nhằm kết lý thuyết hoàn toàn đắn Phần kết luận hướng nghiên cứu trình bày phần IV II XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG Chúng đề xuất lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình (1) dạng ( , ( ( ( So với lược đồ xây dựng trước [1] lược đồ (3) đơn giản hơn, chứa tham số Mục tiêu xác định điều kiện đặt lên hàm mẫu số đề lược đồ (3) bảo tồn tính chất ( ( mơ hình (1) A Tính chất hội tụ đơn điệu tổng ( ( ( Định lý Lược đồ sai phân (3) bảo tồn tính chất ( ( Chứng minh Đặt mơ hình (1) với hàm ( ( ( thỏa mãn ( Cộng vế với vế hai phương trình (3) ta thu phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số ( ( ( Dễ dàng tìm biểu thức nghiệm tường minh (5) ( )( Chú ý φ hàm dương ( ( ) ( ( Vì điểm cân điểm cân ổn định tiệm cận địa phương phương trình sai phân tuyến tính (5) Do điểm cân ổn định tiệm cận toàn cục Kết hợp với (6) Định lý chứng minh B Tính chất bị chặn Định lý Lược đồ sai phân (3) bảo tồn tính chất ( ( { mơ hình (1) hàm } ( thỏa mãn điều kiện ( Chứng minh Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp toán học Đầu tiên theo Định lý lược đồ (3) bảo tồn tính chất ( ( Do đó, với giá trị ban đầu thỏa mãn (2) nghiệm (1) thỏa mãn Do để lược đồ (3) bảo tồn tính chất ( mơ hình (1) ta cần chứng minh với giá trị ban đầu thỏa mãn (2) nghiệm (3) khơng âm Thật vậy, dễ dàng đưa lược đồ (3) dạng lược đồ hiển dạng ( ( Đặng Quang Á, Hoàng Mạnh Tuấn 277 ( ( Do hàm thỏa mãn (7) nên từ (8) ta thu với thỏa mãn (2) Thế vào biểu thức ta nhận Ta cần với ( ( Mẫu số biểu thức ( nên ta cần tử số khơng âm Đặt ( ( ( Do ( nên Mặt khác, ta có Do ( = Vì từ (10) ta thu với thỏa mãn (2) Từ Định lý chứng minh C Tính chất ổn định tồn cục tập hợp điểm cân Bằng cách sử dụng định lý mở rộng Định lý ổn định Lyapunov [9, Theorem 3.3] tính chất ổn định toàn cục tập hợp điểm cân Trường hợp Trường hợp tập {( } } mơ hình (1) có điểm cân ( Chúng ta cần xác định điều kiện đặt lên hàm φ điểm cân ổn định tiệm cận tồn cục phương trình (3), tức là ổn định tiệm cận địa phương điểm hút toàn cục Định lý Nếu hàm thỏa mãn điều kiện Định lý điểm cân cục phương trình (3) tập D ổn định tiệm cận toàn Chứng minh Sử dụng mở rộng Định lý ổn định Lyapunov [9, Theorem 3.3] ta tính chất ổn định tồn cục Xét hàm ( Theorem 3.3] miền tục Hơn 1) ( 2) Ta có ( (thay với ( ( ( ( ( ) tập Ta hàm ( thỏa mãn điều kiện Định lý [9, ta xét tính chất ổn định tồn cục ) Rõ ràng hàm ( liên Ta để ý rằng: Do tính chất ( ( ( ( ( ) ( ) ) mơ hình bảo tồn nên với giá trị ban đầu thuộc ( ( 278 LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG MÔ PHỎNG SỐ MƠ HÌNH SIÊU QUẦN THỂ: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV ( ( Tương tự, với giá trị ban đầu thuộc ( ( ( Vì từ (11), (12), (13) ta nhận được thỏa mãn 3) Mặt khác, từ (11) ta thấy ( ( bảo toàn nên trường hợp ta có cục, tức Thật vậy: với ( ổn định địa phương Nếu giá trị ban đầu thuộc tập = {( {( } ( } } Do tính chất ( } Ta cần ( với giá trị ban đầu thuộc , tức thỏa mãn ) -ổn định tồn từ (6) ta thấy nghiệm (3) thỏa với , hay tương đương với mãn Do đó, điều kiện (2) Định lý Thế vào (5) ta thu ( ( ) ( ( Do ) thỏa mãn điều kiện Định lý nên Do đó, từ (14) suy Mặt khác nên điểm hút tồn cục Bên cạnh đó, từ (14) , tức ta thấy ( ( ( Do ổn định tiệm cận địa phương Kết hợp với hút tồn cục nên ổn định tồn cục Mặt khác tính chất ( bảo toàn nên rõ ràng là -ổn định toàn cục Từ điều kiện (3) Định lý thỏa mãn 4) Do tính chất ( bảo tồn nên hiển nhiên nghiệm (3) bị chặn Như vậy, điều kiện định lý mở rộng Định lý ổn định Lyapunov thỏa mãn nên Từ định lý chứng minh ổn định toàn cục Trường hợp Ta để ý xuất phát từ giá trị ban đầu từ (5) ta nhận nghiệm (3) ( Do dễ dàng trường hợp ( ổn định tiệm cận toàn cục Vì trường hợp ta xét giá trị ban đầu thuộc vào tập {( } } Nếu điểm cân thuộc vào Ta cần tính chất ổn định tiệm cận toàn cục Định lý sau phát biểu chứng minh tương tự Định lý Định lý Nếu hàm thỏa mãn điều kiện Định lý điểm cân cục phương trình (3) tập ổn định tiệm cận toàn Chú ý Hàm ( xây dựng chứng minh Định lý không thỏa mãn điều kiện Định lý ổn định toàn cục Lyapunov cổ điển tập {( } } Vì thay sử dụng Định lý ổn định Lyapunov cổ điển sử dụng mở rộng Định lý ổn định Lyapunov cổ điển Đặng Quang Á, Hoàng Mạnh Tuấn 279 Chú ý Mấu chốt quan trọng chứng minh tính chất ổn định tiệm cận tồn cục hai điểm cân xây dựng hàm Lyapunov (mở rộng) Trong trường hợp này, tính chất ( ( có vai trị đặc biệt quan trọng việc xây dựng hàm Lyapunov Nói cách khác tính chất ổn định tồn cục lược đồ sai phân có liên kết chặt chẽ với tính chất ( ( mơ hình Nếu khơng có hai tính chất việc hàm Lyapunov khó khăn phức tạp Chú ý Có thể áp dụng kỹ thuật phần cho lược đồ sai phân mà đề xuất trước [1] để chứng minh tính chất ổn định toàn cục tập hợp điểm cân D Tính chất khơng tuần hồn nghiệm Nhờ tiêu chuẩn Dulax ta dễ dàng mơ hình (1) khơng có nghiệm tuần hồn Đối với phương trình sai phân việc tính chất khơng tuần hồn nghiệm phức tạp nhiều Tuy nhiên, điểm cân ổn định toàn cục nên rõ ràng lược đồ sai phân (3) khơng thể có nghiệm tuần hoàn Tổng hợp kết ta nhận lược đồ bảo tồn xác tính chất cho mơ hình (1) ( Định lý Lược đồ sai phân (3) bảo tồn tính chất ( điều kiện ( { mơ hình (1) hàm ( thỏa mãn } Chú ý Có nhiều cách để lựa chọn hàm ( thỏa mãn điều kiện (16), chẳng hạn ta chọn hàm ( , III CÁC THỬ NGHIỆM SỐ Trong phần trình bày vài thử nghiệm số nhằm kết lý thuyết nhận bên hồn tồn xác A Trường hợp Xét mơ hình (1) với tham số ( Mơ hình có hai điểm cân cục, điểm cân không ổn định ( Trong trường hợp , điểm cân ổn định toàn Nghiệm số thu từ phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điển (classical four stage Runge–Kutta method), phương pháp Runge-Kutta hiển hai nấc (two stage Runge–Kutta method) phương pháp Euler hiển (explicit Euler method) biểu diễn Hình 1-3 Ta thấy phương pháp Runge-Kutta bốn nấc khơng bảo tồn tính chất nghiệm dương mơ hình Phương pháp Runge-Kutta hai nấc phương pháp Euler hiển có nghiệm dao động xung quanh điểm cân với biên độ dao động tăng dần Khi xem xét nghiệm mơ hình khoảng thời gian lớn dao động xảy mạnh Nghiệm số thu trường hợp khơng thể bảo tồn tính chất mơ hình (1) Nói chung, phương pháp sai phân bình thường Runge-Kutta Taylor bảo tồn tính chất toán bước lưới chọn đủ nhỏ Nghiệm số thu từ lược đồ (3) biểu diễn Hình 4, ta chọn = Trong hình cặp đường màu xanh màu đỏ tương ứng với cặp nghiệm Trường hợp này, lược đồ (3) bảo tồn tính chất mơ hình (1) Tương tự vậy, ta chọn bước lưới tính chất mơ hình bảo tồn nhờ lược đồ (3) Hình Phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điển với ( ( 280 LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG MÔ PHỎNG SỐ MƠ HÌNH SIÊU QUẦN THỂ: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV ( Hình Phương pháp Runge-Kutta hai nấc với Hình Phương pháp Euler hiển với ( Hình Lược đồ (3) với bước lưới ( ( Đặng Quang Á, Hoàng Mạnh Tuấn 281 B Trường hợp Ta xét mơ hình (1) với tham số hình có hai điểm cân = (0.75, 0) điểm cân không ổn định = (0.2, 0.55), Trường hợp Mơ điểm cân ổn định tồn cục, cịn Tương tự trường hợp , lược đồ sai phân bình thường Runge-Kutta hay Taylor bảo tồn tính chất mơ hình bước lưới chọn nhỏ Nghiệm số thu từ phương pháp Euler hiển với bước lưới biểu diễn Hình tương ứng Trường hợp tính chất mơ hình khơng bảo tồn Nghiệm số thu dao động mạnh xung quanh điểm cân Cuối cùng, nghiệm số thu từ lược đồ (3) với biểu diễn Hình Các tính chất mơ hình bảo tồn xác nhờ lược đồ (3) Hình Nghiệm số thu từ phương pháp Euler hiển Hình Nghiệm số thu từ phương pháp Euler hiển 282 LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG MÔ PHỎNG SỐ MƠ HÌNH SIÊU QUẦN THỂ: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV Hình Lược đồ (3) với bước lưới IV KẾT LUẬN Trong báo này, lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình siêu quần thể xây dựng Tính chất ổn định mơ hình rời rạc nghiên cứu dựa mở rộng Định lý ổn định Lyapunov Nhờ chúng tơi xây dựng lược đồ sai phân bảo toàn tất tính chất mơ hình siêu quần thể So với cách xây dựng chúng tơi trước đó, cách xây dựng ngắn gọn đơn giản nhiều Ở đây, khơng cần thực tính tốn phức tạp kỹ thuật khó Cách tiếp cận khắc phục hạn chế cách tiếp cận trước áp dụng cho lớp toán khác tương tự Trong tương lai phát triển kết để xây dựng mơ hình rời rạc bảo tồn tính chất mơ hình liên tục khác TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dang Quang A, Hoang Manh Tuan, ―Dynamically consistent discrete metapopulation model‖, Journal of Difference Equations and Applications, DOI: 10.1080/10236198.2016.1197213, 2016 [2] Linda J S Allen, ―An Introduction to Mathematical Biology, Prentice Hall‖, New Jersey, 2007 [3] P Amarasekare and H Possingham, ―Patch dynamics and metapopulation theory: The case of successional species”, J Theor Biol 209 (2001), pp 333–344 [4] F Brauer, C Castillo - Chavez, ―Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology‖, Springer New York, 2001 [5] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ―Nonstandard finite difference schemes for general two - dimensional autonomous dynamical systems‖, Applied Mathematics Letters, 18, pp 769–774, 2005 [6] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ―Stability - Preserving Finite - Difference Methods For General Multi - Dimensional Autonomous Dynamical Systems‖, International Journal Of Numerical Analysis And Modeling, 4(2), pp 280 – 290, 2007 [7] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ―Dynamically consistent numerical methods for general productive– destructive systems‖, Journal of Difference Equations and Applications, 17(12), pp 1721-1736, 2011 [8] S Elaydi, ―An Introduction to Difference Equations‖, Springer Science+Business Media, Inc, 2005 [9] A Iggidr, M Bensoubaya, ―New Results on the Stability of Discrete-Time Systems and Applications to Control Problems‖, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 291, pp 392-414, 1998 [10] Hristo V Kojouharov, Daniel T Wood, ―A class of nonstandard numerical methods for autonomous dynamical systems‖, Applied Mathematics Letters, 50, pp.78 – 82, 2015 [11] Keymer, J E., P A Marquet, J X Velasco-Hernandez, and S A Levin, ―Extinction thresholds and metapopulation persistence in dynamic landscapes‖, THE AMERICAN NATURALIST, 156(5), pp 478-494, 2000 [12] R E Mickens, ―Nonstandard Finite Difference Models of Differential Equations‖, World Scientific, Singapore, 1994 [13] R E Mickens, ―Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes‖, World Scientific, Singapore, 2000 [14] R E Mickens, ―Nonstandard Finite Difference Schemes for Differential Equations‖, Journal of Difference Equations and Applications, 8(9), pp 823 – 847, 2005 [15] L -I W Roeger, ―Periodic solutions preserved by nonstandard finite-difference schemes for Lotka-Volterra system: a different approach‖, Journal of Difference Equations and Applications, 14, pp 481 – 493, 2008 Đặng Quang Á, Hoàng Mạnh Tuấn 283 [16] L -I W Roeger, ―Nonstandard finite-difference schemes for the Lotka-Volterra systems: generalization of Mickens's method‖, Journal of Difference Equations and Applications , 12, pp 937 – 948, 2006 [17] Alexander A Samarskii, ―The theory of difference schemes‖, Marcel Dekker, Inc, 2001 [18] D T Wood, T D Dimitrov, H V Kojouharov, ―A nonstandard finite difference method for n-dimensional productivedestructive systems‖, Journal of Difference Equations and Applications, DOI: 10.1080/10236198.2014.997228, 2015 NONSTANDARD FINITE DIFFERENCE SCHEMES FOR NUMERICAL SIMULATION OF A METAPOPULATION MODEL: USING THE LYAPUNOV STABILITY THEOREM Dang Quang A, Hoang Manh Tuan ABSTRACT — In this paper nonstandard finite difference (NSFD) schemes for a metapopulation model are constructed The stability properties of the discrete models are investigated by the use of a generalization of Lyapunov stability theorem Due to this result we have proved that the NSFD schemes preserve all properties of the metapopulation model Numerical examples confirm the obtained theoretical results of the properties of the constructed difference schemes The method of Lyapunov functions proves to be much simpler than the standard method for studying stability of the discrete metapopulation model in our very recent paper  ... PHÂN KHÁC THƯỜNG MƠ PHỎNG SỐ MƠ HÌNH SIÊU QUẦN THỂ: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV Hình Lược đồ (3) với bước lưới IV KẾT LUẬN Trong báo này, lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình siêu quần. .. mơ hình (1) khơng có nghiệm tuần hoàn ổn định 276 LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG MÔ PHỎNG SỐ MÔ HÌNH SIÊU QUẦN THỂ: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV Đây mơ hình có tính chất phức tạp Mới cách sử. .. mơ hình bảo tồn nhờ lược đồ (3) Hình Phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điển với ( ( 280 LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG MƠ PHỎNG SỐ MƠ HÌNH SIÊU QUẦN THỂ: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV ( Hình