Bộ lọc kalman khoảng và ứng dụng dự báo thời tiết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỖ HỒNG NHUNG BỘ LỌC KALMAN KHOẢNG VÀ ỨNG DỤNG DỰ BÁO THỜI TIẾT TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỖ HỒNG NHUNG BỘ LỌC KALMAN KHOẢNG VÀ ỨNG DỤNG DỰ BÁO THỜI TIẾT Chuyên ngành: XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS NGUYỄN HU D H Ni 2015 Trữợc trnh b y nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n, em xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi GS TS, Nguyn Hu Dữ ngữới  tn tnh hữợng dÔn em câ th” ho n th nh khâa lu“n n y Em cơng xin b y tä lỈng bi‚t ìn chƠn th nh tợi to n th cĂc thy cổ gi¡o khoa To¡n - Cì - Tin håc, ⁄i håc Khoa Håc Tü Nhi¶n, ⁄i Håc QuŁc Gia H Nºi ¢ d⁄y b£o em t“n t…nh suŁt qu¡ tr…nh håc t“p t⁄i khoa Nh¥n dàp n y em cụng xin ữổc gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh tợi gia nh, bn b  luổn em, c vơ, ºng vi¶n, gióp ï em suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v thüc hi»n lu“n v«n tŁt nghi»p H Ni, ng y 19 thĂng 09 nôm 2015 Hồc viản ỉ Hỗng Nhung Mửc lửc DANHS CHHNHV M U MáTSăKH INI MCèB N 1.1 XĂc suĐt 1.1.1 1.1.2 1.2 Kho£ng thíi gian 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 ìợc l÷ỉng b…nh ph÷ìng cüc ti”u 1.4 Thu“t to¡n EM L¯C KALMAN 2.1 Giỵi thi»u 2.2 Mæ h…nh tr⁄ng th¡i Gauss 2.3 Låc Kalman v 2.4 Låc Kalman v 2.5 X¡c ành c¡c mỉ h…nh khỉng gian tr⁄n 2.6 V‰ dư KHO NG L˙I 3.1 Giỵi thi»u 3.2 SŁ håc kho£ng lỗi 3.3 Ma tr“n kho£ng, h» tuy‚n t‰nh kho£ng 3.3.1 3.3.2 ii 3.4 Bin ngÔu nhiản khoÊng 3.4.1 3.4.2 L¯C KALMAN KHO NG L˙I 4.1 Giỵi thi»u 4.2 Mæ h…nh khæng gian tr⁄ng th¡i kho£ng 4.3 Lồc Kalman khoÊng lỗi 4.4 L m trỡn Kalman khoÊng lỗi 4.5 Tõm lữổc Lồc Kalman khoÊng lỗi v L m 4.6 X¡c ành c¡c mæ h…nh khæng gian tr⁄n 4.6.1 4.6.2 ÙNG DÖNG DÜ B O TH˝I TI T KTLUN T ILI UTHAMKH O iii Danh s¡ch h…nh v‡ 2.1 Quan s¡t v Tr⁄ng th¡i l÷u lữổng dặng chÊy sổng Nile 27 5.1 Quan s¡t v Tr⁄ng th¡i 5.2 Trng thĂi ữợc lữổng v mổ phọng 5.3 Quan s¡t thỹc v ữợc lữổng 58 iv 59 60 M— U Dỹ bĂo thới tit cõ ỵ nghắa cỹc ký quan trồng i vợi sÊn xuĐt v ới sng, nhm phặng chng v hn ch thiản tai, thit lp k hoch sÊn xuĐt, khai thĂc tiãm nông kh hu Ngữới ta thữớng sò dửng nhiãu phữỡng phĂp dỹ b¡o thíi ti‚t Mºt nhœng ph÷ìng ph¡p â l thu“t to¡n EM, låc Kalman kho£ng Tł nhœng quan s¡t thu ữổc dữợi dng khoÊng (v dử: khoÊng nhiằt , khoÊng 'm, ), ta tm ữổc ữợc lữổng ca tr⁄ng th¡i th“t mỉi tr÷íng ta ang quan s¡t Thổng thữớng ữợc lữổng ữổc ta cn bit cĂc mổ hnh liản kt cĂc quan sĂt vợi cĂc thổng sŁ bi”u di„n cıa cıa mæ h…nh Vi»c x¡c ành ch‰nh x¡c mæ h…nh v gi£i mºt b i to¡n ÷ỵc l÷ỉng ln l ch…a khâa gi£i quy‚t h» thŁng liản kt d liằu V o nôm 1960, Rudolf Kalman ln u tiản giợi thiằu lồc Kalman l mt lồc ÷ỵc l÷ỉng tŁi ÷u cho mỉ h…nh khỉng gian tr⁄ng thĂi tuyn tnh ữợc lữổng trng thĂi, lồc Kalman (KF) sß dưng c¡c ph†p o câ quan h» tuy‚n t ‰nh vỵi tr⁄ng th¡i v bà nhi„u Bº låc ÷ỵc l÷ỉng tr⁄ng th¡i cıa qu¡ tr…nh t⁄i mºt thíi im sau õ cõ ữổc phÊn hỗi t cĂc quan s¡t (câ nhi„u) Nh÷ v“y, c¡c ph÷ìng tr…nh cıa bº lồc Kalman ữổc chia th nh hai bữợc: dỹ bĂo v iãu chnh CĂc phữỡng trnh cp nht theo thới gian ” dü o¡n tr⁄ng th¡i hi»n t⁄i v vector hiằp phữỡng sai sai s nhm ữợc lữổng trng thĂi tiãn nghiằm cho bữợc tip theo CĂc phữỡng trnh cp nht theo giĂ tr o lữớng dũng cung cĐp phÊn hỗi v dử nhữ kt hổp mt giĂ tr o lữớng mợi vợi ữợc lữổng tiãn nghiằm cõ ÷ỉc ÷ỵc l÷ỉng tr⁄ng th¡i h“u nghi»m ” nh“n d⁄ng mæ h…nh khæng gian tr⁄ng th¡i tuy‚n t‰nh, b i toĂn ữợc lữổng tham s hổp lỵ cỹc i v thu“t to¡n cüc ⁄i hâa ký vång (Expectation - Maximization, EM) ữổc sò dửng tm lới giÊi Lồc Kalman ữổc ứng dửng rng rÂi ữợc lữổng qu o ca i tữổng qua cĂc khung hnh ữổc sò dửng nhiãu cĂc thit b iằn tò dƠn dửng nhữ Camera giĂm sĂt, iãu hữợng Robot, dặ tm mn, thit b kim tra h nh lỵ Lồc Kalman kho£ng l mºt mð rºng cıa låc Kalman vỵi mỉ h…nh khỉng gian tr⁄ng th¡i ÷ỉc bi”u di„n bði nhi„u v c¡c tham sŁ câ d⁄ng kho£ng T÷ìng tü nh÷ låc Kalman, ” x¡c ành mỉ h…nh tr⁄ng th¡i, ta s‡ sß dưng thu“t to¡n EM kho£ng Låc Kalman khoÊng cõ nhiãu ứng dửng ới sng, x hi nhữ: dỹ bĂo thới tit, theo dêi a chĐn tng hæp, ành và tr‰ Nºi dung cıa lu“n vôn ữổc cĐu trúc th nh cĂc phn nhữ sau: Ch÷ìng 1: Mºt sŁ kh¡i ni»m cì b£n Ch÷ìng 2: Lồc Kalman Chữỡng 3: KhoÊng lỗi Chữỡng 4: Lồc Kalman khoÊng lỗi Chữỡng 5: ng dửng dỹ bĂo thới tit Chữỡng MáTSăKH INI MCèB N Trong chữỡng n y, ta s‡ giỵi thi»u mºt v i kh¡i ni»m cì b£n cƒn thi‚t cho låc Kalman kho£ng v x¡c ành c¡c tham sŁ cıa mæ h…nh khæng gian tr⁄ng th¡i kho£ng Ta s‡ • c“p ‚n mºt sŁ kh¡i niằm cỡ bÊn lỵ thuyt xĂc suĐt nhữ ữợc l÷ỉng b…nh ph÷ìng cüc ti”u, thu“t to¡n EM; c¡c kh¡i ni»m mð rºng cho kho£ng v tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ ban ƒu cıa kho£ng sŁ håc 1.1 XĂc suĐt 1.1.1 Bin ngÔu nhiản nh nghắa Cho khỉng gian x¡c su§t ( ; F; P ) Khỉng gi£m tŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t ( ; F; P ) l khỉng gian x¡c su§t ı tøc l n‚u A l bi‚n cŁ câ x¡c su§t 0: P (A) = th… måi t“p B A công l bi‚n cŁ ( tøc l B F ) Gi£ sß E l khỉng gian metric, ¡nh x⁄ X : ! E ÷ỉc gåi l mºt bi‚n ngÔu nhiản (b.n.n) vợi giĂ tr trản E (hay bin ngÔu nhiản E giĂ tr) nu vợi mỉi Borel B cıa E ta câ X (B) F n Nu X l bin ngÔu nhiản nhn giĂ trà tr¶n E = R ta nâi X l vector ngÔu nhiản n chiãu Nu X l bin ngÔu nhi¶n nh“n gi¡ trà tr¶n t“p sŁ thüc R ta nõi X l bin ngÔu nhiản Nu X l vector ngÔu nhiản n chiãu th X cõ dng X = (X1; X2; :::; Xn) ð â X1; :::; Xn l cĂc bin ngÔu nhiản nh nghắa Cho X l bin ngÔu nhiản E giĂ tr Xt h m t“p X x¡c ành tr¶n ⁄i sŁ Borel cıa E theo c¡ch sau X(B) = P(X (B)); B B: BŒ • 10 Cho X = [a1; b1]; Y = [a2; b2] IR v a1; a2 > Khi â, Log(XY ) = LogX + LogY: Chøng minh Log(XY ) = fLog(X Y ); [0; 1]g = fLogX + LogY ; [0; 1]g = fLogX ; [0; 1]g + fLogY ; [0; 1]g = LogX + LogY: Cho f n; Xng l c¡c dœ li»u ho n ch¿nh â c¡c tr⁄ng th¡i Xn = fx1; x2; :::; xng v c¡c quan s¡t n = fy1; y2; :::; yng l c¡c dœ li»u kho£ng V… t§t c£ c¡c ph†p to¡n v t‰nh ch§t ÷ỉc sß dưng ” cüc ⁄i ph÷ìng tr…nh (2.48) l ành ngh¾a tŁt vi»c thi‚t l“p kho£ng bði ành nghắa tnh lỗi ca khoÊng, ta cõ th sò dửng cĂc bữợc  nảu xĂc nh tuyn tnh phƒn 2.5 cho vi»c x¡c ành c¡c tham sŁ kho£ng cıa mæ h…nh khæng gian tr⁄ng th¡i kho£ng (4.1), (4.2) Vợi giÊ thit phƠn b Gauss, mt xĂc suĐt P (x0) ÷ỉc cho bði P (x0) = (2 ) k=2 j 0j 1=2 exp( 1=2(x0 0) T Düa v o (4.1), (4.2), ta câ th” vi‚t c¡c h m m“t º câ i•u ki»n cho tr⁄ng th¡i kho£ng v ƒu P (ytjxt) = (2 ) k=2 P (xt+1jxt) = (2 ) jRj k=2 1=2 jQj exp( 1=2(yt 1=2 exp( 1=2(xt Theo cổng thức Bayes v cĂc bữợc ging (2.40), h m hổp lỵ chung d liằu ho n ch¿nh ÷ỉc cho x¡c ành bði Log h m hổp lỵ chung ữổc vit nhữ sau LogP ( n; Xn; ) = n=2LogjRj 51 T÷ìng tü nh÷ phƒn 2.5, ta câ th” t‰nh ký vång câ i•u kiằn ca h m hổp lỵ chung ca d liằu ho n chnh ti bữợc lp j; j = 1; 2; ::: G( j (j 1) ) =E[LogP (Yn; Xn; )jYn; (j 1=2trf â, n n n n n Trong cĂc phữỡng trnh trản, cĂc th nh phn x t 1; x t; P t 1; P t; P t;t cõ th ữổc tnh bng cĂch sò dửng cĂch phữỡng trnh lồc Kalman khoÊng lỗi v cĂc phữỡng trnh l m trỡn Kalman khoÊng lỗi (4.22) - (4.31) Do õ, ti bữợc lp j, ta tm cĂc ữợc lữổng iãu chnh ca cĂc tham s khoÊng chữa bi‚t A=CB Q = 1=n(D nT H =(yt(xt ) ) n X n t=1 X R = 1=nf t=1 n = x0 : Qu¡ tr…nh l°p ” thu ữổc h m hổp lỵ cỹc i ca cĂc tham sŁ kho£ng cıa mæ h…nh khæng gian tr⁄ng th¡i kho£ng ÷ỉc tŒng k‚t l⁄i nh÷ sau: B÷ỵc chu'n bà: lüa chån c¡c gi¡ trà b›t ƒu cho c¡c tham sŁ fA(0); H(0); (0) = (0) (0) R ; Q ; 0g v sò dửng cĂc phữỡng trnh (4.22) - (4.31) ữợc lữổng cĂc n n n giĂ tr ÷ỉc l m trìn x t; P t v P t;t vỵi c¡c tham sŁ ban ƒu 52 T‰nh ký vång câ i•u ki»n cıa Log h m hổp lỵ (phữỡng trnh 4.45) (Bữợc E) Sò dửng cĂc phữỡng trnh (4.22) - (4.31) ữợc lữổng cĂc n n n (j 1) gi¡ trà ÷ỉc l m trìn x t; P t v P t;t vỵi t = 1; 2; :::; n; vỵi c¡c tham sŁ ; (j = 1; 2; :::) Sß dưng c¡c gi¡ trà ÷ỉc l m trìn ” t‰nh B; C; D (4.46) (4.48) (Bữợc M) iãu chnh cĂc ữợc lữổng, sò dửng cĂc phữỡng trnh (4.49) (j) (4.53), ta thu ữổc Lp li bữợc v trản cho n cĂc ữợc lữổng v h m Log h m hổp lỵ n nh 53 Chữỡng ÙNG DÖNG DÜ B O TH˝I TI T Trong chữỡng n y, ta giợi thiằu mt ứng dửng ca lồc Kalman khoÊng lỗi dỹ bĂo nhiằt ti Vancouver Harbour CS t⁄i Cannada SŁ li»u nhi»t º ÷ỉc download t⁄i http://climate.weather.gc.ca/ Ta sß dưng låc Kalman kho£ng ” dü b¡o kho£ng nhi»t º düa tr¶n sŁ li»u quan sĂt thĂng u nôm 2015 (nhiằt ữổc o 149 ng y) S liằu trản ữổc chuyn th nh c¡c kho£ng, mØi kho£ng câ i”m cuŁi v im u ln lữổt l nhiằt thĐp nhĐt v I I I I nhi»t º cao nh§t cịng mºt ng y Cho yt = fy1 ; y2 ; :::; yn g l dœ li»u quan s¡t n ng y Mưc ti¶u cıa chóng ta l t…m dü b¡o cho ng y k‚ ti‚p ( t = n + 1) Dü b¡o n y s‡ l mºt kho£ng C¡c tham sŁ kho£ng ÷ỉc x¡c ành b‹ng thu“t to¡n EM  ữổc giợi thiằu chữỡng trữợc p dửng låc Kalman kho£ng v o mæ h…nh khæng gian tr⁄ng th¡i kho£ng vỵi c¡c I n I n n+1 tham sŁ ¢ bi‚t, ta câ th” dü o¡n (^x ) n+1 Dü b¡o (^x ) I ” t‰nh y^n +1 Tâm t›t qu¡ tr…nh l m nh÷ sau: n y ÷ỉc sß dưng Chuy”n dœ li»u o ÷ỉc th nh c¡c kho£ng X¡c ành c¡c tham sŁ cho mổ hnh trng thĂi khoÊng bng cĂch sò ữợc lữổng c¡c tham sŁ kho£ng (phƒn 4.6.2) p döng c¡c ph÷ìng tr…nh låc Kalman kho£ng phƒn 4.5 ” t…m I n (^x ) n+1 I n I Thay (^x ) n+1 v o ph÷ìng tr…nh ” t‰nh y^n +1 I I So s¡nh giœa yn +1 v y^n +1 b‹ng c¡ch t‰nh kho£ng c¡ch giœa hai kho£ng 54 R code Ta sò dửng phn mãm R v c¡c gâi l»nh dlm, ISDA.R, MAINT.Data, MARSS ” t‰nh to¡n library(scatterplot3d) library(stringi) library(MARSS) library(ISDA.R) library(MAINT.Data) require(grDevices) setwd("d:/codenhap") data < read.csv("MarchAprilMay.csv", header=TRUE) save(data, file="MarchAprilMay.rda") hmin =data[,c(5)] hmax=data[,c(4)] h= interval(hmin,hmax) k= lapply( h, as.character) temp= stri_list2matrix(k, byrow=TRUE) final = ’dim< ’(as.numeric(temp), dim(temp)) #estimate parameters U.model = "zero" x0.model = "zero" kem1 = MARSS(final, model = list(Z"=identity",B="identity",U=U.model, x0 = x0.model)) kem1$logLik #the log-likelihood kem1$AIC # the AIC plotdat=final xs = matrix(kem1$states, nrow = dim(plotdat)[1], ncol = dim(plotdat)[2], byrow=F) resids = plotdat xs i = 1:149 plot(i, resids[1,], type="l", col = "ORANGE", xlab="",ylab = "") lines(resids[2,], col = "ORANGE") title("Residuals") xmin = kem1$states[1,] xmax = kem1$states[2,] x=data.frame(cbind(xmin,xmax)) 55 x=IData(x) Q = data.frame(cbind(coef(kem1, type="matrix")Q[1,1], coef(kem1, type= "matrix")Q[2,2])) Q = IData(Q) R = data.frame(cbind(coef(kem1, type="matrix")R[1,1], coef(kem1, type= "matrix")R[2,2])) R = IData(R) kf.out =MARSSkfss(kem1) #simulate data sim.obj = MARSSsimulate(kem1, tSteps = 150, nsim=1) t= : 150 s1 = sim.obj$sim.states s1=data.frame(s1) s2 = sim.obj$sim.data s2 = data.frame(s2) plot(t, s1[,2], type="l", ylim =c( 10,30), col = "GREEN",ylab="Temperature",xlab = "Days") lines(s[,1],col="GREEN") lines(kem1$states[1, ], col="RED") lines(kem1$states[2, ], col="RED") legend("topleft",title="Legend", c("Estimate state", "Simulate state"), horiz=TRUE, lty=c(1,1),lwd=c(2,2),col=c("RED","GREEN")) plot(t,t(s2[1,]), type="l", ylim=c(-10,30),col="PURPLE", ylab="Temperature", xlab="Days") lines(t(s2[2, ]), col ="PURPLE") lines(hmax, col="RED") lines(hmin, col="RED") legend("topleft",title="Legend", c("Real observation", "Estimated observation"), lty = c(1,1), lwd = c(2,2),col=c("RED","PURPLE")) title(" Real observation and Estimated observation") #plot i = 1: nrow(data) matplot(i, hmin, type="l",ylim = c( 2, 25),xlab="Day", ylab="Temperature", col = "BLUE") lines(hmax, col="BLUE") lines(kem1$states[1, ], col="RED") lines(kem1$states[2, ], col="RED") 56 legend("topleft",title="Legend", c("Observations", "States"), horiz=TRUE, lty=c(1,1), lwd=c(2,2), col=c("BLUE","RED")) title("Observations and States",cex.main=.9) q() K‚t qu£: H…nh 5.1 cho th§y nhi»t º o ữổc trản thỹc t v trng thĂi nhiằt cho th§y c¡c quan s¡t kh¡ ch‰nh x¡c, nhi„u quan sĂt thĐp Trng thĂi ữợc lữổng ca nhiằt v o ng y thø 150 câ k‚t qu£ l [13.4; 21.8] v ữợc lữổng quan sĂt nhiằt ca ng y thø 150 l [13.9; 22] Tr¶n thüc t‚, nhi»t º o ÷ỉc ng y hỉm â l [13.7; 21.2] Nhiằt dỹ oĂn v nhiằt o ữổc trản thỹc t cõ sỹ chảnh lằch nhn chung khổng sai kh¡c qu¡ lỵn 57 H…nh 5.1: Quan s¡t v Trng thĂi 58 Hnh 5.2: Trng thĂi ữợc lữổng v mổ phọng 59 Hnh 5.3: Quan sĂt thỹc v ữợc lữổng 60 KTLUN Trong lun vôn n y, ¢ t…m hi”u v thüc hi»n thu“t to¡n EM låc Kalman kho£ng ” dü b¡o nhi»t º tł c¡c dœ li»u quan s¡t thüc t‚ Vi»c t ‰nh to¡n ÷ỉc thỹc hiằn nhớ mĂy tnh, nhiản vÔn cặn hn ch‚ v• tŁc º t‰nh to¡n v k‰ch cï dœ li»u ƒu v o Trong t÷ìng lai, b i to¡n n y s ữổc nghiản cứu k hỡn khc phưc c¡c h⁄n ch‚ tr¶n v Sau nghi¶n cøu • t i, ta câ th” rót ÷ỉc k‚t lun sau: lồc Kalman ữổc xƠy dỹng dỹa trản viằc giÊm sai s bnh phữỡng trung bnh (MSE) ìợc lữổng xĂc nh ữợc lữổng trng thĂi tt nhĐt phÊi thọa mÂn hai tiảu chu'n sau: Thứ nhĐt, giĂ tr ký vồng ca trng thĂi ữợc lữổng nản bng giĂ tr ký vång cıa tr⁄ng th¡i thüc Thø hai, tr⁄ng th¡i ữợc lữổng nản sai khĂc rĐt t so vợi trng thĂi thỹc, tức l phữỡng sai sai s thĐp nhĐt câ th” V líi gi£i låc Kalman thäa m¢n hai iãu kiằn trản nhiu vt; wt l nhiu trng Låc Kalman kho£ng l mºt bi‚n th” cıa låc Kalman truyãn thng vợi cĂc i lữổng l cĂc khoÊng Ơy l mºt nhœng ph÷ìng ph¡p quan trång v hi»u qu£ vi»c låc nhi„u v tŁi ÷u cho c¡c ữợc lữổng nản nõ ữổc ứng dửng rĐt rng rÂi C¡c øng dưng nh÷: Dü b¡o thíi ti‚t (nhi»t º, lữổng mữa, tc giõ ), Theo dêi a chĐn tng hổp, ìợc lữổng trng thĂi sc ca pin (Battery state of charge (SoC) estimation), ành chuy”n ºng, X¡c ành tr‰ GPS, r§t thi‚t thüc v câ nhiãu õng gõp v o ới sng, kinh t, x hºi, an ninh quŁc phỈng 61 T i li»u tham khÊo ng Hũng Thng, (2012), XĂc suĐt nƠng cao, NXB ⁄i håc QuŁc gia H Nºi [1] [2] Alferd G., Mayer G., (2000), Interval Analysis: Theory and Applications, Tournal of Computitional and Applied Mathematics [3] Algahtani O.J (2011), An Interval Kalman Filter, Interval EM algorithm with application to weather prediction, King Fahd University of Petroleum [4] Anderson B.D.O and J.B Moore, (1979), Optimal Filtering, Prentice Hall [5] Catlin D.E (1984), Control and the Discrete Kalman Filter, Springer Ver-lag [6] Dempster A P., Laird N M and Rubin D B., (1977), "Maximum likeli- hood from uncomplete data via the EM algorithm", Journal of the Royal Statistical Society Series B (Methodological), Vol 39, pp 1-38 [7] Durrant H.F - Whyte, ( 2000), Introduction to Estimation and The Kalman Filter, Australian Centre for Filed Robotics [8] Harvey A C., (1989), Forecasting Structural Times Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press [9] Jean Pierre Aubin, Frankowska H., (1990), Set Valued Analysis, Birkhanser [10] Kalman R E., (1960), "A new approach to linear filter and prediction problems", J Basic Eng., Vol 82,pp 35-45 [11] Maybeck P.S (1979), Stochastic Models, Estimation and Control, Vol I Academic Press [12] Moens D and Vandepitte D., (2005), "A survey of non-probabilistic un-certainty treatment in finite element analysis", Computer Methods in Ap-plied Mechanics and Engineering 62 [13] Nedialkov N S., Jackson K R., Pryce J D., (2001), "An effective high- order interval method for validating existence and uniqueness of the solution of an IVP for an ODE", Reliable Computing, Vol 7, pp 449-465 [14] Neumaier, (1990), Interval Methods for Systems of Equations, Cambridge University Press [15] Shumway R.H and Stoffer D S., (2006), Time Series Analysis and Its Applications with R Examples, Springer [16] Xiaodong Luo, (2009), Recursive Bayesian Filters for Data Assimilation, Ph.D thesis, Oxford University 63 ... NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỖ HỒNG NHUNG BỘ LỌC KALMAN KHOẢNG VÀ ỨNG DỤNG DỰ BÁO THỜI TIẾT Chuyên ngành: XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI... = P t t KtHPt : (2.25) (2.26) (2.27) 18 2.4 Låc Kalman v Kalman smoother Ta tŒng k‚t c¡c ph÷ìng tr…nh låc Kalman v Kalman smoother nh÷ sau a Låc Kalman Vợi mổ hnh khổng gian trng thĂi ữổc ch (2.1),... trản ứng vợi Hai bữợc n y ữổc lp li cn thit Mỉi lƒn l°p l⁄i l m t«ng log cıa h m hổp lỵ v thut toĂn Êm bÊo hi tử n cỹc i a phữỡng ca h m hổp lỵ 13 Chữỡng LC KALMAN 2.1 Giợi thiằu Lồc Kalman (Kalman