Thuật toán tách cho bài toán cân bằng

MÐ †U Cho C l mët tªp hñp, f : C×C → R l mët h m thäa m¢n f(x, x) = 0. B i to¡n: t¼m x¯ ∈ C sao cho f(¯x, y) ≥ 0 vîi måi y ∈ C ÷ñc gåi l b i to¡n c¥n b¬ng, x¯ ÷ñc gåi l iºm c¥n b¬ng. B i to¡n n y âng vai trá quan trång c£ v· m°t l½ thuy¸t l¨n thüc t¸. Nâ bao gçm nhi·u b i to¡n trong lþ thuy¸t tèi ÷u nh÷ nhúng tr÷íng hñp °c bi»t. Vi»c ch¿ ra i·u ki»n º b i to¡n câ nghi»m v vi»c t¼m ra thuªt to¡n º t½nh nghi»m âng vai trá quan trång. Thuªt ngú c¥n b¬ng ¢ tø l¥u ÷ñc sû döng rëng r¢i trong c¡c ng nh khoa håc nh÷ vªt lþ, hâa håc, k¾ thuªt, kinh t¸. . . d÷îi c¡c h¼nh thùc kh¡c nhau, tòy thuëc v o c¡c mæ h¼nh to¡n håc kh¡c nhau. Trong thíi gian g¦n ¥y, b i to¡n c¥n b¬ng ¢ thu hót ÷ñc r§t nhi·u sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa c¡c nh to¡n håc, c£ v· ph÷ìng di»n lþ thuy¸t l¨n thuªt to¡n. V· ph÷ìng di»n lþ thuy¸t, ¢ câ kh¡ nhi·u nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i nghi»m, t½nh ên ành, sü mð rëng cõa b i to¡n c¥n b¬ng. C¡c thuªt to¡n hi»n nay cì b£n düa tr¶n c¡c k¾ thuªt t¼m nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u nh÷ thuªt to¡n chi¸u, thuªt to¡n chi¸u t«ng c÷íng, ph÷ìng ph¡p h m ¡nh gi¡,. . . .Ph¦n lîn c¡c b i to¡n thuëc lîp c¡c b i to¡n ¤t khæng ch¿nh, muèn gi£i ÷ñc th¼ ta ph£i ÷a b i to¡n °t ch¿nh. Vi»c ¡p döng c¡c thuªt to¡n chi¸u, ho°c chi¸u t«ng c÷íng º gi£i mët b i to¡n c¥n b¬ng hi»u ch¿nh câ thº g°p khâ kh«n trong t½nh to¡n khi song h m hi»u ch¿nh câ c§u tróc phùc t¤p hìn so vîi tøng song h m f. Vi»c n y d¨n ¸n nhu c¦u gi£i b i to¡n c¥n b¬ng khi song h m c¥n b¬ng câ thº t¡ch th nh têng cõa hai hay nhi·u h m kh¡c v méi h m câ nhúng t½nh ch§t tèt hìn ho°c d¹ t½nh to¡n hìn. Möc ½ch cõa luªn v«n l tr¼nh b y mët thuªt to¡n t¡ch cho b i to¡n c¥n b¬ng. Luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y theo hai ch÷ìng:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ HỒNG NHUNG THUẬT TOÁN TÁCH CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ HỒNG NHUNG THUẬT TOÁN TÁCH CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Xuân Tấn THÁI NGUYÊN - 2020 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng năm 2020 Tác giả luận văn Trần Thị Hồng Nhung ii LỜI CẢM ƠN Lời tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến GS.TS Nguyễn Xuân Tấn, người thầy nghiêm túc hướng dẫn, tận tâm bảo cho tác giả kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học sáng tạo, định hướng đắn để tác giả hoàn thành tốt luận văn Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học tập trường Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn thầy tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè người thân gia đình ủng hộ, động viên, giúp đỡ đồng hành tác giả suốt thời gian học Cao học thời gian tác giả thực luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020 Học viên Trần Thị Hồng Nhung iii MỤC LỤC Trang Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chƣơng Bài toán cân giả đơn điệu mạnh 1.1 Các kiến thức sở giải tích lồi 1.2 Bài tốn cân giả đơn điệu 13 Chƣơng Bài toán cân tách 29 2.1 Phát biểu toán 29 2.2 Thuật toán giải 30 2.3 Sự hội tụ thuật toán 31 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 ✶ ▼Ð ✣❺❯ ❈❤♦ ❈ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣✱ f : C×C → R ❧➔ ♠ët ❤➔♠ t❤ä❛ ♠➣♥ f (x, x) = 0✳ ❇➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ x¯ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ f (¯x, y) ≥ ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✱ x¯ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ ❝↔ ✈➲ ♠➦t ❧➼ tt tỹ t õ ỗ t tr ỵ tt tố ữ ữ ỳ trữớ ủ ❜✐➺t✳ ❱✐➺❝ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ✈✐➺❝ t➻♠ r❛ t❤✉➟t t♦→♥ ✤➸ t➼♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣✳ ❚❤✉➟t ♥❣ú ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤➣ tø ❧➙✉ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ ữ t ỵ õ tt t ữợ tự tũ t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❝→❝ ♠æ ❤➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤➣ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ r➜t ♥❤✐➲✉ sü q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ t ữỡ ỵ tt tt t ữỡ ỵ tt õ ự sỹ tỗ t t ê♥ ✤à♥❤✱ sü ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❈→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ❤✐➺♥ ♥❛② ❝ì ❜↔♥ ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❦➽ t❤✉➟t t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♥❤÷ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉✱ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ t➠♥❣ ❝÷í♥❣✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤➔♠ ✤→♥❤ ❣✐→✱✳ ✳ ✳ ✳P❤➛♥ ❧ỵ♥ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤↕t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✱ ♠✉è♥ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ t❤➻ t❛ ♣❤↔✐ ✤÷❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❝❤➾♥❤✳ ❱✐➺❝ →♣ ❞ư♥❣ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉✱ ❤♦➦❝ ❝❤✐➳✉ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝â t❤➸ ❣➦♣ ❦❤â ❦❤➠♥ tr♦♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ❦❤✐ s♦♥❣ ❤➔♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝â ❝➜✉ tró❝ ♣❤ù❝ t↕♣ ❤ì♥ s♦ ✈ỵ✐ tø♥❣ s♦♥❣ ❤➔♠ f ✳ ❱✐➺❝ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ ♥❤✉ ❝➛✉ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❦❤✐ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝â t❤➸ t→❝❤ t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❤❛② ♥❤✐➲✉ ❤➔♠ ❦❤→❝ ✈➔ ♠é✐ ❤➔♠ ❝â ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t tèt ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❞➵ t➼♥❤ t♦→♥ ❤ì♥✳ ▼ư❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② t❤❡♦ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✿ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì t ỗ t ỡ ụ ữ sỹ tỗ t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✶✺ t❤→♥❣ ✻ ♥➠♠ ✷✵✷✵ ❚→❝ r ỗ ữỡ t ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ỗ ởt số tt s ữủ sỷ tr ự sỹ tỗ t ụ ♥❤÷ sü ❤ë✐ tư ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝á♥ ❝â t❤➸ ✤ó♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ♥❤÷♥❣ ✤➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔②✱ t❛ ❝❤➾ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ tự ỡ s t ỗ ✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❈❤♦ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t tr R ổ ữợ tr H ①↕ , : H × H → R✱ (x, y) → x, y t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ✭❛✮ x, x ≥ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ H✱ x, x = ⇔ x = 0✳ ✭❜✮ x, y = y, x ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ H✳ ✭❝✮ ❱ỵ✐ x ∈ H ❝è ✤à♥❤ t❤➻ ❤➔♠ x, : H → R ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ✭❞✮ ❱ỵ✐ y ∈ H ❝è ✤à♥❤ t❤➻ ❤➔♠ , y : H → R ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ◆➳✉ , ❧➔ ởt t ổ ữợ tr H t x → x, x ✈ỵ✐ x ∈ H ❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ H✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ||.|| ✈➔ →♥❤ ①↕ (x, y) → ||x − y|| ✈ỵ✐ x, y ∈ H ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tr➯♥ H✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ d(x, y)✳ ❚❛ ♥â✐ ❝➦♣ ✭H, , ✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ♥➳✉ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✤➛② ✤õ✳ ỗ a, b H õ ã ữớ t q a✱ b ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝â ❞↕♥❣✿ {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R}, • ✣♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a, b tr♦♥❣ H ❝â ❞↕♥❣✿ [a, b] = {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]} ❈❤♦ u ∈ H \ {0} ✈➔ η ∈ R✳ ▼ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✈ỵ✐ ✈➨❝ tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ u tr♦♥❣ H ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â ❞↕♥❣ {x ∈ H : x, u = η} ▼é✐ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ❝❤✐❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♥û❛✱ ❝→❝ t➟♣ {x ∈ H : x, u ≤ η} ✈➔ {x ∈ H : x, u < η} ❧➛♥ ❧÷đt ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤â♥❣ ✈➔ ♥û❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♠ð ✈ỵ✐ ✈➨❝ tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ♥❣♦➔✐ u✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ▼ët t➟♣ ❝♦♥ C H ữủ ỗ ợ x, y ∈ C t❤➻ [x, y] ⊂ C tù❝ ❧➔ λx + (1 − λ)y, ∀λ ∈ [0, 1] ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ H✱ u ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø u ✤➳♥ C ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ dC (u)✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ∈ H dC (u) = inf {d(u, y) : y ∈ C} = inf {||u − y|| : y ∈ C} ◆➳✉ ❝â ✤✐➸♠ p ∈ C s❛♦ ❝❤♦ ||u − p|| = dC (u) t❤➻ p ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ u tr➯♥ C ✳ ◆➳✉ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ H ✤➲✉ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ tr➯♥ C t❤➻ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❈❤❡❜②s❤❡✈✳ r trữớ ủ q t ự ợ ộ tr♦♥❣ H ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥â tr➯♥ C ❝❤♦ t❛ ♠ët t♦→♥ tû ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ tr➯♥ C ✱ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ PC ✳ ✺ ❚❛ ❝â ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ởt tr ởt t ỗ õ rộ s ỵ C ởt t ỗ õ rộ H ✤â C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❈❤❡❜②s❤❡✈ ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ✈➔ p tr♦♥❣ H✱ p = PC (u) ⇐⇒ p ∈ C ✈➔ (∀y ∈ C) u − p, y − p ≤0 ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ C ❧➔ ởt t ỗ õ rộ H x ∈ H✳ ◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ C t↕✐ x✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ NC x✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ {u ∈ H | u, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} ♥➳✉ x ∈ C , NC x = ∅ ♥➳✉ x ∈/ C ❚✐➳♣ t❤❡♦ ✤➙② ❧➔ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✈➔ ❤ë✐ tư ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ▼ët ❞➣② {xn} tr♦♥❣ H ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✭✐✮ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✤➳♥ ✤✐➸♠ x ♥➳✉ ||xn − x|| → ❦❤✐ n → ∞✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ xn → x❀ ✭✐✐✮ ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ ✤✐➸♠ x ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ H✱ xn − x, u → ❦❤✐ n → ∞✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ xn → x✳ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ {xn}n≥0 ✈➔ {un}n≥0 ❧➔ ❝→❝ ❞➣② tr♦♥❣ H✱ x ✈➔ u ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ H✳ ●✐↔ sû xn → x✱ un → ∞✳ ❑❤✐ ✤â xn, un → x, u ❦❤✐ n → ∞✳ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ {xn}n≥0 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ H✳ ❑❤✐ ✤â ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❝õ❛ {xn}n ≥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ q✉❡♥ t❤✉ë❝ số ỗ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ H ✈➔ ❤➔♠ f : C → [−∞, +∞]✳ • ▼✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ f ❧➔ t➟♣✿ domf = {x ∈ C | f (x) < +∞}✳ ✷✺ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❛ ❝â lim k→∞ k i=k0 [1 = 0, + 2ρk (β − L2 )] ✭✶✳✷✳✶✻✮ ✈➔ ❞♦ ✤â ♥➳✉ t❤✉➟t t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ❞ø♥❣ t❤➻ {xk } ❤ë✐ tư ✤➳♥ x¯✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ k t❛ ❝â [1 + 2ρk (β − L2 )]||xk+1 − x¯||2 ≤ ||xk − x¯||2 − (1 − 2ρk L1 )||xk+1 − xk ||2 ứ tt k lim k = tỗ t k0 ∈ N s❛♦ ❝❤♦ − 2ρk L1 > 0✱ ∀k ≥ k0 ✳ ❉♦ ✤â✱ [1 + 2ρk (β − L2 )]||xk+1 − x¯||2 ≤ ||xk − x¯||2 , ∀k ≥ k0 , ✤✐➲✉ ✤â ❦➨♦ t❤❡♦ ||xk − x¯||, ∀k ≥ k0 + 2ρk (β − L2 ) ||xk+1 − x¯|| ≤ ❚ø ✤â t❛ ✤÷đ❝ k k+1 ||x [1 + 2ρi (β − L2 )]||xk0 − x¯||, − x¯|| ≤ i=k0 tù❝ ❧➔ ✭✶✳✷✳✶✺✮ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t α := 2ρk (β − L2) > 0✱ t❛ ❝â ∞ ∞ αk = 2(β − L2 ) k=k0 ρk = ∞, k=k0 ❦➨♦ t❤❡♦ k i=k0 (1 + αi ) ≤ 1+ k i=k0 αi → 0, ❦❤✐ k → ∞ ❉♦ ✤â tø ✭✶✳✷✳✶✺✮✱ t❛ ✤÷đ❝ xk → x¯ ❦❤✐ k → ∞ ✷✻ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❚➻♠ x¯ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ F (¯ x), y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ C, ð ✤â F : C → H ❧➔ t♦→♥ tû ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❤➺ sè µ > ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✲▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ C ✱ ✈ỵ✐ s♦♥❣ ❤➔♠ f ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ f (x, y) := F (x), y − x , t❛ ❧✉æ♥ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ✤÷đ❝ t❤❛♠ sè m > s❛♦ ❝❤♦ L2 = 2mL < µ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♣❤➨♣ ❧➦♣ tr♦♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✷ trð t❤➔♥❤ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ xk+1 = PC (xk − ρk F (xk )) ❙ü ❤ë✐ tö ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈→❝ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✶ ✈➔ ✶✳✷✳✷ ❝â t❤➸ ❝♦✐ ♥❤÷ ❧➔ sü ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤â✳ ❱➼ ❞ö s❛✉ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✷ ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❈❤♦ C = H = R ✈➔ f (x, y) = x(y − x) ❉➵ t❤➜②✱ f (x, y) ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ ❤➺ sè β = tr➯♥ C ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❞↕♥❣ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈ỵ✐ L1 = L2 = 12 ✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✭❊P✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t x¯ = 0✳ ❈❤♦ {ρk }k≥0 ⊂ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦ ρk → ❦❤✐ k → ∞✳ t t tứ ởt x0 = tũ ỵ ❚❤❡♦ ❚❤✉➟t t♦→♥ t❛ ❝â xk+1 = argmin{ρk f (xk , y) + ||y − xk ||2 } y∈C argmin{ρk xk (y − xk ) + ||y − xk ||2 } = (1 − ρk )xk , y∈C ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ k→∞ lim ρk = ✈➔ xk = 0✱ ∀k ∈ N✱ t❛ s✉② r❛ {xk } ❤ë✐ tư ✈➲ x¯ = ♥❤÷♥❣ tè❝ ✤ë ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ t✐➳♣ t❤❡♦ ✤➙② →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ð õ s f ổ tt ữợ ữợ ①➾✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ ❣✐↔♠ ♥❤➭ ✤✐ ♥❤✐➲✉ ❦❤✐ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ✤➳♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦✐➸✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝❤♦ s♦♥❣ ❤➔♠ f ♥ú❛✳ ✷✼ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✸✳ ❈❤å♥ s❛✐ sè { k }k≥0 ⊂ [0, ∞), k →0 ∞ ❦❤✐ ≥ 0✱ ❝→❝ ❞➣② k → +∞✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ∞ k=0 ∞ ρ2k ρk = +∞, sè {ρk }k≥0 ⊂ (0, ∞) ✈➔ < +∞, k=0 ρk k < +∞ k=0 ▲➜② x0 ∈ C ✈➔ ✤➦t k = ữợ gk f (xk , xk )✱ tù❝ ❧➔ k f (xk , y) + g k , xk − y ≥ − k , ∀y ∈ C ✭✶✳✷✳✶✼✮ ✭❛✮ ◆➳✉ gk = ✈➔ k ≤ t❤➻ ❞ø♥❣✿ xk ❧➔ ♠ët ✲♥❣❤✐➺♠✳ ✭❜✮ ◆➳✉ gk = ✈➔ k > ✱ q✉❛② tr ữợ ợ k ữủ t k + ữợ t tố ữ ỗ ♠↕♥❤ min{ρk f (xk , y) + ||y − xk ||2 } y∈C ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t xk+1✳ ◆➳✉ xk+1 = xk t❤➻ ❞ø♥❣✿ xk ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠✱ tr t tr ữợ ợ k ữủ t➠♥❣ ❧➯♥ k + 1✳ ❙ü ❤ë✐ tö ❝õ❛ t❤✉➟t t ữủ t ữ s ỵ sû f ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✈ỵ✐ ❤➺ sè β ✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❆✶✮✱ ✭❆✷❛✮✳ ❳➨t ❞➣② {xk }k≥0 s✐♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✸✳ ❑❤✐ õ tt t ứ t ữợ k tr ữợ t xk ởt ◆➳✉ t❤✉➟t t♦→♥ ❦➨♦ ❞➔✐ ✈æ ❤↕♥✱ t❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ s❛✉ ||xk+1 − x¯||2 ≤ (1 − 2βρk )||xk − x¯||2 + ρ2k ||g k ||2 + 2ρk k , ∀k, ✭✶✳✷✳✶✽✮ ð ✤â x¯ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✭❊P✮✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ {gk } ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ ❞➣② {xk } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❞➳♥ x¯✳ ✷✽ ❈❤ù♥❣ tt t ứ t ữợ ✤â gk = ✈➔ k ≤ ✳ ❉♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✶✳✷✳✶✼✮✱ f (xk , y) ≥ − k ≥ − ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ C ✳ ❱➻ ✈➟②✱ xk ❧➔ ♠ët ✲♥❣❤✐➺♠✳ ✭✐✐✮ ❙û ❞ư♥❣ ❧➟♣ ❧✉➟♥ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ k t❛ ❝â ||xk+1 − x¯||2 ≤ ||xk − x¯||2 + 2ρk [f (xk , x¯) − f (xk , xk+1 )] − ||xk+1 − xk ||2 ✭✶✳✷✳✶✾✮ ❚ø ✭✶✳✷✳✶✼✮✱ t❛ ❝â f (xk , xk+1 ) ≥ g k , xk+1 − xk − ✭✶✳✷✳✷✵✮ k ❉♦ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✈ỵ✐ ❤➺ sè β ❝õ❛ f ✈➔ x¯ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭❊P✮✱ t❛ ❝â f (xk , x¯) ≤ −β||xk − x¯||2 ✭✶✳✷✳✷✶✮ ❚ø ❝→❝ ✤→♥❤ ❣✐→ ✭✶✳✷✳✶✾✮✱ ✭✶✳✷✳✷✵✮✱ ✭✶✳✷✳✷✶✮ t❛ ✤÷đ❝ ||xk+1 − x¯||2 ≤ (1 − 2βρk )||xk − x¯||2 − 2ρk g k , xk+1 − xk + 2ρk k − ||xk+1 − xk ||2 = (1 − 2βρk )||xk − x¯||2 + ρ2k ||g k ||2 + 2ρk k − ||xk+1 − xk + ρk g k ||2 ≤ (1 − 2βρk )||xk − x¯||2 + ρ2k ||g k ||2 + 2ρk k ❚ø ✤â✱ ✭✶✳✷✳✶✽✮ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû {gk } ❜à ❝❤➦♥✱ ❦❤✐ ✤â ❝â M > s❛♦ ❝❤♦ ||gk || ≤ M ✈ỵ✐ ♠å✐ k✳ ❚ø ✭✶✳✷✳✶✽✮✱ t❛ ✤÷đ❝ ||xk+1 − x¯||2 ≤ (1 − 2βρk )||xk − x¯||2 + M ρ2k + 2ρk k ✭✶✳✷✳✷✷✮ ❉♦ ∞k=0 ρk = +∞✱ ∞k=1 ρ2k < +∞✱ ∞k=0 ρk k < +∞✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✼✱ tø ✭✶✳✷✳✷✷✮ t❛ s✉② r❛ ||xk − x¯|| → ❦❤✐ k → ∞✳ ✷✾ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤ ❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✿ ❚➻♠ x¯ ∈ C, f (¯x, x) ≥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s♦♥❣ ❤➔♠ f t→❝❤ ✤÷đ❝ t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❤❛② ♥❤✐➲✉ s♦♥❣ ❤➔♠ ❦❤→❝✳ ❈ö t❤➸✱ t❛ ❣✐↔ sû s♦♥❣ ❤➔♠ f ❝â ❞↕♥❣ f (x, y) = f1 (x, y) + f2 (x, y) ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤đ♣ q✉❛♥ trå♥❣✱ ✈➼ ❞ư ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ❤❛② tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤é♥ ❤đ♣✳ ●➛♥ ✤➙②✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❞↕♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ♠ët ✈➔✐ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ữợ q t Pt t C t ỗ õ rộ tr ổ rt H✳ ❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② t❛ ①➨t s♦♥❣ ❤➔♠ f : C ì C R ữủ t t tờ ❝õ❛ ❤❛✐ s♦♥❣ ❤➔♠ f1, f2 : C × C → R ♥❤÷ s❛✉✿ f (x, y) = f1 (x, y) + f2 (x, y), ∀x, y ∈ C ❈→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ s♦♥❣ ❤➔♠ f ✈➔ fi✱ i = 1, ♥❤÷ s❛✉✿ ✭❇✶✮ f (., y) ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ②➳✉ ð tr➯♥ C ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ C ❀ f (x, ) ❧➔ ♥û❛ tử ữợ tr C ợ ộ x C; ✭❇✶✬✮ f (., y) ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ð tr➯♥ C ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ C ❀ f (x, ) ỷ tử ữợ tr C ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ C; ✸✵ ✭❇✷✮ fi(x, x) = 0, ∀x ∈ C; ✭❇✸✮ fi(x, ) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ỗ ữợ tr C ợ ộ x ∈ C ❱ỵ✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❇✶✮✱ ✭❇✷✮✱ ✭❇✸✮✱ t P P ởt t ỗ õ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ✭❙❊P✮ ❦❤ỉ♥❣ ré♥❣✳ ❙❛✉ ✤➙② t❛ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤✳ ✷✳✷ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ▼ët t❤✉➟t t♦→♥ ❡r❣♦❞✐❝ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❊P✮ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶✳ ❈❤å♥ ❞➣② {βk }k≥0 ⊂ (0, 1) t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ∞ ∞ βk2 < +∞ βk = +∞, k=0 ✭✷✳✷✳✶✮ k=0 ▲➜② x0 ∈ C ✈➔ k = ộ ữợ k = 1, 2, , ❧➜② g1k ∈ ∂2f1(xk , xk )✱ g2k ∈ ∂2f2(xk , xk ) ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤    ηk yk   xk+1 ✈➔ ✤➦t zk = := max{βk , ||g1k ||, ||g2k }, λk = βk ηk , = argmin{λk f1 (xk , y) + 21 ||y − xk ||2 | y ∈ C}, = argmin{λk f2 (xk , y) + 21 ||y − y k ||2 | y ∈ C} k i i=0 λi x k i=0 λk , k = 0, 1, ú ỵ r f1 0✱ ❦❤✐ ✤â yk = xk ✈ỵ✐ ♠å✐ k ∈ N r trữớ ủ ợ s f ỡ ✤✐➺✉ tr➯♥ C t❤➻ ❞➣② {xk } s✐♥❤ ❜ð✐ t❤✉➟t t♦→♥ tr➯♥ ❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳ ▼ët ♣❤↔♥ ✈➼ ❞ö q✉❡♥ t❤✉ë❝ ♠✐♥❤ ❤♦❛ ❝❤♦ ✤✐➲✉ ♥➔② ♥❤÷ s❛✉✿ ❳➨t tr♦♥❣ R2✱ C := R2 ✈➔ s♦♥❣ ❤➔♠ f2 (x, y) := Ax, y − x ✈ỵ✐ A= −1 ✸✶ ❉➵ t❤➜②✱ x¯ = (0, 0)T ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t t ợ x0 = tũ ỵ {xk } s✐♥❤ ❜ð✐ t❤✉➟t t♦→♥ ♠ët ❧➛♥ ❝❤✐➳✉ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ xk+1 = xk − λk Axk = (xk1 − λk xk2 , xk2 + λk xk1 )T ❉♦ ✤â✱ ||xk+1||2 = (1 + λ2k )||xk ||2 > ||xk ||2 > 0✱ ✤✐➲✉ ✤â ❦➨♦ t❤❡♦ ❞➣② {xk } ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ x¯ = ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❞➣② ❡r❣♦❞✐❝ {zk } ❧↕✐ ❤ë✐ tö ✤➳♥ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❊P✮✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✤÷đ❝ ❜↔♦ ✤↔♠ q ỵ sỹ tử tr ữợ t ởt s {gk ∈ ∂2f (xk , xk )} ❜à ❝❤➦♥ ♥➳✉ ❞➣② {xk } ❜à ❝❤➦♥✳ ✭❍✶✮ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ s➩ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥✳ ✷✳✸ ỹ tử tt t ỵ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❇✶✮✱✭❇✷✮✱ ✭❇✸✮ ✈➔ ✭❍✶✮ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ f ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✈➔ f (., y) ❧ã♠ ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ C ✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ C ✱ fi(x, ) ✭✐❂✶✱✷✮ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â t❤✉ë❝ C ❤♦➦❝ intC = ∅✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {z k } s✐♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭❊P✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✽ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ✭✐✮ ❱ỵ✐ ♠é✐ x¯ ∈ (SEP )✱ ❞➣② {||xk − x¯||} ❤ë✐ tư✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ k ≥ 0✱ ✤➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥ t❛ ✤➦t hk1 (x) := λk f1 (xk , x) + ||x − xk ||2 , hk2 (x) := λk f2 (xk , x) + ||x − y k ||2 ❉♦ ❣✐↔ t❤✐➳t hk1 ỗ ợ số ữợ t õ hk1 (y k ) + uk1 , x − y k + ||x − y k ||2 ≤ hk1 (x), ∀x ∈ C, ✭✷✳✸✳✷✮ ✸✷ ✈ỵ✐ uk1 ∈ ∂hk1 (yk )✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ yk ✱ sû ❞ö♥❣ tố ữ t q ỗ t❛ ❝â ∈ ∂hk1 (y k ) + NC (y k ), õ tỗ t uk1 NC (yk ) s❛♦ ❝❤♦ tø ✭✷✳✸✳✷✮✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ C ✱ t❛ ❝â uk1 , x − y k ≥ 0, ∀x ∈ C ✳ ❱➻ ✈➟②✱ hk1 (y k ) + ||x − y k ||2 ≤ hk1 (x) 1 ⇔ λk f1 (xk , y k ) + ||y k − xk ||2 + ||x − y k || ≤ λk f1 (xk , x) + ||x − xk ||2 2 k k k k ⇔ ||y − x|| ≤ ||x − x|| − ||y − x || ✭✷✳✸✳✸✮ + 2λk [f1 (xk , x) − f1 (xk , y k )] ▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ h2✱ t❛ ✤÷đ❝ hk2 (xk+1 ) + ||x − xk+1 ||2 ≤ hk2 (x) k+1 =⇒ ||x − x|| ≤ ||y k − x||2 − ||xk+1 − y k ||2 ✭✷✳✸✳✹✮ + 2λk [f2 (xk , x) − f2 (xk , xk+1 )] ❑➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✸✳✸✮ ✈➔ ✭✷✳✸✳✹✮✱ ❝❤♦ t❛ ||xk+1 − x||2 ≤ ||xk − x||2 + 2λk [f1 (xk , x) + f2 (xk , x)] − ||y k − xk ||2 − 2λk [f1 (xk , y k ) + f2 (xk , xk+1 )] − ||xk+1 − y k ||2 = ||xk − x||2 + 2λk f (xk , x) − ||y k − xk ||2 − ||xk+1 − y k ||2 − 2λk [f1 (xk , y k ) + f2 (xk , xk+1 )] ✭✷✳✸✳✺✮ ❚ø g1k ∈ ∂2f1(xk , xk ) ✈➔ f1(xk , xk ) = 0✱ t❛ ❝â f1 (xk , y k ) − f1 (xk , xk ) ≥ g1k , y k − xk ⇒ −2λk f1 (xk , y k ) ≤ −2λk g1k , y k − xk ✭✷✳✸✳✻✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ tự r ú ỵ r ||g1k || k ✱ tø ✭✷✳✸✳✻✮✱ t❛ ✤÷đ❝ −2λk f1 (xk , y k ) ≤ βk ηk ||y k − xk || = 2βk ||y k − xk || ηk ✭✷✳✸✳✼✮ ✸✸ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â ✭✷✳✸✳✽✮ −2λk f2 (xk , xk+1 ) ≤ 2βk ||xk+1 − xk || ❚❤➳ ✭✷✳✸✳✼✮ ✈➔ ✭✷✳✸✳✽✮ ✈➔♦ ✭✷✳✸✳✺✮✱ t❛ ✤÷đ❝ ||xk+1 − x||2 ≤ ||xk − x||2 + 2λk f (xk , x) − ||y k − xk ||2 − ||xk+1 − y k ||2 ✭✷✳✸✳✾✮ + 2βk ||y k − xk || + 2βk ||xk+1 − xk || ❚❤❛② x = xk tr♦♥❣ ✭✷✳✸✳✾✮✱ ❞♦ f (xk , xk ) = 0✱ ♥➯♥ ||xk+1 − xk ||2 ≤ 2βk ||y k − xk || + 2βk ||xk+1 − xk || − ||y k − xk ||2 − ||xk+1 − y k ||2 =⇒ (||xk+1 − xk || − βk )2 + (||y k − xk || − βk )2 + ||xk+1 − y k ||2 ≤ 2βk2 ✭✷✳✸✳✶✵✮ =⇒ ||xk+1 − xk || ≤ 3βk ❚ø ✭✷✳✸✳✶✵✮ ✈➔ ✭✷✳✸✳✾✮✱ ❦➨♦ t❤❡♦ ||xk+1 − x||2 ≤ ||xk − x||2 + 2λk f (xk , x) + 7βk2 ✭✷✳✸✳✶✶✮ ●✐↔ sû x¯ ∈ (SEP )✳ ❚❤❛② x = x¯ tr♦♥❣ ✭✷✳✸✳✶✶✮ ✈➔ sû ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ f ✱ t❛ ✤÷đ❝ ||xk+1 − x¯||2 ≤ ||xk − x¯||2 + 7βk2 ✭✷✳✸✳✶✷✮ ❚ø ✭✷✳✸✳✶✷✮ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✷✳✶✮✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✻✱ t❛ s✉② r❛ ❞➣② {||xk − x¯||} ❤ë✐ tö✱ ✈➔ ❞♦ ✤â ❞➣② {xk } ❜à ❝❤➦♥✳ ❑❤✐ ✤â tỗ t M > s ||xk || M ✱ ∀k = 0, 1, ❚ø ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ z k ✱ t❛ ❝â k ||z || = || k i i=0 λk x || k λ i=0 i ≤ k i i=0 λi ||x || k i=0 λi ≤ M, ∀k = 0, 1, ✤✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ ❞➣② {zk } ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❉♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❍✶✮✱ ❝→❝ ❞➣② {g1k }✱ {g2k } ❜à ❝❤➦♥✱ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✷✳✶✮✱ tỗ t K > s ||g1k || K ✱ ||g2k ≤ K ✱ βk ≤ K ✱ ∀k = ✸✹ 0, 1, ❉♦ ✤â✱ tø ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ηk ✱ λk ✱ t❛ ❝â ηk = max{βk , ||g1k |, ||g2k || ≤ K} βk βk ≥ , ∀k = 1, 2, ⇒ λk = ηk K ∞ ⇒ ✭✷✳✸✳✶✸✮ λk = +∞ k=0 ✭✐✐✮ ▼å✐ ✤✐➸♠ ❤ë✐ tö ②➳✉ ❝õ❛ {zk } ✤➲✉ t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✭❙❊P✮✳ ●✐↔ sû z¯ ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ tö ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② {zk }✱ ❦❤✐ õ tỗ t ởt {z k } {z k } s❛♦ ❝❤♦ z k z¯✳ ❚ø ✭✷✳✸✳✶✶✮✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ C ✱ t❛ ❝â j j 2λk f (xk , x) ≤ ||xk+1 − x||2 − ||xk − x||2 − 7βk2 k ⇒ ⇒ k i (||xi+1 − x||2 − ||xi − x||2 − 7βi2 ) λi f (x , x) ≥ i=0 k i i=0 λi f (x , x) k i=0 λi ≥ i=0 k i+1 i=0 (||x − x||2 − ||xi − x||2 − 7βi2 ) k i=0 λi ✭✷✳✸✳✶✹✮ ❙û ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❧ã♠ ❝õ❛ f (., x) ✈➔ rót ❣å♥ ✭✷✳✸✳✶✹✮✱ t❛ ✤÷đ❝ k f (z , x) = f ( ||x ≥ k i i=0 λi x , x) k λ i i=0 k+1 − x|| − ||x0 − x||2 − k i=0 λi k i=0 βi ✭✷✳✸✳✶✺✮ ❉♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✷✳✶✮ ✈➔ ✭✷✳✸✳✶✸✮✱ ♥➯♥ tø ✭✷✳✸✳✶✺✮✱ lim inf f (z k , x) ≥ k→∞ ❈ư t❤➸✱ ✈ỵ✐ ❞➣② ❝♦♥ zk t❛ ✤÷đ❝ j z¯✱ ❞♦ t➼♥❤ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ②➳✉ ❝õ❛ f (., x)✱ f (¯ z , x) ≥ 0, ∀x ∈ C, ✤✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ z¯ ∈ (SEP )✳ ❱➟② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✽ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ❞♦ ✤â ❞➣② {zk } ❤ë✐ tư ②➳✉ ✤➳♥ ♠ët ✤✐➸♠ x¯ ∈ (SEP ) ✸✺ r ỵ ợ s f ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✤✐➺✉✱ ✤➸ ✤↔♠ ❜↔♦ ❝❤♦ sü ❤ë✐ tư ❝õ❛ ❞➣② ❧➦♣ {zk } s✐♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✸✳✶ t❤➻ ❝➛♥ ❤➔♠ f (., y) ❧➔ ❧ã♠ tr➯♥ C ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ C ✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ t➼♥❤ ❧ã♠ ❝â t❤➸ ❜ä ♥➳✉ s♦♥❣ ❤➔♠ f ❧➔ ✤ì♥ ❞✐➺✉ tr➯♥ C ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ s♦♥❣ ❤➔♠ f ❧➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ t❤➻ ❞➣② {xk } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t t ỵ ợ tt ✭❇✶✬✮✱✭❇✷✮✱ ✭❇✸✮✱ ✭❍✶✮✱ s♦♥❣ ❤➔♠ f ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✱ t❤➻ ❞➣② {z k } s✐♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ ♠ët ✤✐➸♠ x¯ ∈ (SEP ) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ✭✷✳✸✳✶✶✮ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ ợ x C ✱ ❞♦ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ f ✱ t❛ ❝â 2λk f (x, xk ) ≤ ||xk − x||2 − ||xk+1 − x||2 + 7βk2 k ⇒ ⇒ k i (||xi − x||2 − ||xi+1 − x||2 + 7βi2 ) λk f (x, x ) ≤ i=0 k i i=0 λk f (x, x ) k i=0 λi ≤ i=0 k i i=0 (||x − x||2 − ||xi+1 − x||2 + 7βi2 ) k i=0 λi ✭✷✳✸✳✶✻✮ ❙û t ỗ f (x, ) rút ✭✷✳✸✳✶✻✮✱ t❛ ✤÷đ❝ k i i=0 λi x ) k λ i=0 i k+1 k f (x, z ) = f (x, ≤ ||x0 − x|| − ||x − x||2 + k i=0 λi k i=0 βi ✭✷✳✸✳✶✼✮ ❉♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✷✳✶✮ ✈➔ ✭✷✳✸✳✶✸✮✱ ♥➯♥ tø ✭✷✳✸✳✶✼✮✱ lim sup f (x, z k ) ≤ k→∞ ❈ư t❤➸✱ ✈ỵ✐ ❞➣② ❝♦♥ zk t❛ ❝â j z t ỷ tử ữợ f (x, )✱ f (x, z¯) ≤ 0, ∀x ∈ C ✸✻ ❉♦ ✤â✱ tø ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✷✱ s✉② r❛ z¯ ∈ (SDEP ) = (SEP ) ❱➟②✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✽✱ ❞➣② {zk } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ ởt x (SEP ) ỵ ợ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❇✶✬✮✱ ✭❇✷✮✱ ✭❇✸✮✱ ✭❍✶✮ ✈➔ s♦♥❣ ❤➔♠ f ❧➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ ❤➺ sè β > tr➯♥ C t❤➻ ❞➣② {xk } s✐♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❤ỉ✐ tư ♠↕♥❤ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t x¯ ❝õ❛ ✭❊P✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ✭✷✳✸✳✶✶✮ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ỵ ợ x ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✱ ❞♦ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❝õ❛ f ✱ t❛ ❝â ||xk+1 − x¯||2 ≤ ||xk − x¯||2 + 2λk f (xk , x¯) + 7βk2 ≤ ||xk − x¯||2 − 2βλk ||xk − x¯||2 + 7βk2 ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✼✱ t❛ ✤÷đ❝ ||xk − x¯|| → ❦❤✐ k → ∞ ❙♦ s→♥❤ ợ t t tr ữỡ t õ t t❤➜② tr♦♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤✱ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ✤á✐ ❤ä✐ ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦✐➸✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✭✶✳✷✳✹✮✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❣✐ó♣ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â t❤➸ →♣ ❞ư♥❣ t t ữủ rở ỡ s ợ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳ ▼ët ❤➔♠ f : C × C → R ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ τ ✲❍♦❧❞❡r t❤❡♦ ❜✐➳♥ t❤ù ♥❤➜t ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ t❤❡♦ ❜✐➳♥ t❤ù ❤❛✐✮ ♥➳✉ tỗ t số L > (0, 1] s❛♦ ❝❤♦ |f (x, y) − f (z, y)| ≤ L||x − z||τ , ∀x, y, z ∈ C t÷ì♥❣ ù♥❣ , |f (x, y) − f (x, z)| ≤ L||y − z||τ , ∀x, y, z ∈ C) ❚➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ❍♦❧❞❡r ❦❤✐➳♥ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ❝â t❤➸ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜à t❤✉ ❤➭♣✳ ▼ët ✈➼ ❞ư ✈➲ s♦♥❣ ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ❍♦❧❞❡r ♥❤÷ s❛✉✿ ( h(x, y) = ey − ex , ∀x, y ∈ [0, +∞) ❍➔♠ h ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ❍♦❧❞❡r tr➯♥ [0, +) ì [0, +) ợ z = t ổ tỗ t số L > ✈➔ τ ∈ (0, 1] t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❍♦❧❞❡r tr➯♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❤é♥ ❤ñ♣ ❞↕♥❣ f (x, y) = F (x), y − x + h(x, y), ✸✼ ✈ỵ✐ F : [0, +∞) → R ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ s➩ ❦❤ỉ♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ❦❤✐ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ s♦♥❣ ❤➔♠ f1(x, y) = F (x), y − x ✱ f2(x, y) = h(x, y) ú ỵ r ợ ộ x [0, +) t h(x, ) ỗ ỡ ✤✐➺✉ tr➯♥ [0, +∞) ♥➯♥ ❝→❝ s♦♥❣ ❤➔♠ ✤â ✤➲✉ tọ ỵ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② {zk } tr♦♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶✱ ✈➔ ❞♦ ✤â ❝â t❤➸ →♣ ❞ö♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ♥➔② ✤➸ t➼♥❤ t♦→♥✳ ✸✽ ❑➳t ❧✉➟♥ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣✱ ♥â ❜❛♦ ❤➔♠ r➜t ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✳ ❈ö t❤➸ tr♦♥❣ ❦❤✉ỉ♥ ❦❤ê ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ tỉ✐ ✤➣ • ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✈➲ ❣✐↔✐ t ỗ t ỡ r ữủ sỹ tỗ t t♦→♥ ♥➔② • ❚r➻♥❤ ❜➔② ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤ ✈➔ ✤÷❛ r❛ t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤→♥❤ ❣✐→ ✤÷đ❝ tè❝ ✤ë ❤ë✐ tư ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ♥➔②✳ ✸✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❍✐➲♥✱ ▲➯ ❉ơ♥❣ ▼÷✉✱ ◆❣✉②➵♥ ❍ú✉ ✣✐➸♥ ✭✷✵✶✺✮✱ tr t ỗ ự t ✣↕✐ ❤å❝ q✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐ ❬✷❪ P✳▼✳❉✉❝✱ ▲✳❉✳▼✉✉✱ ◆❣✳❱✳◗✉② ✭✷✵✶✻✮✱ ❙♦❧✉t✐♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ❛❧❣♦✲ r✐t❤♠s ✇✐t❤ t❤❡✐r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❛t❡ ❢♦r str♦♥❣❧② ♣s❡✉❞♦♠♦♥♦♥❡ ❡q✉✐✲ ❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✱ P❛❝✐❢✐❝ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✶✷✭✹✮✱ ♣♣✳ ✽✸✸✲✽✹✺✳ ❬✸❪ P✳▼✳❉✉❝✱ ▲✳❉✳▼✉✉✱ ▲✳❳✳❚❤❛♥❤ ✭✷✵✶✻✮✱ ❙♣❧✐tt✐♥❣ ❣r❛❞✐❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ❜✐❧❡✈❡❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ♥♦♥❡①♣❛♥s✐✈❡ ♠❛♣✲ ♣✐♥❣s✱ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ♣♣✳ ✶✽✺✺✲✶✽✻✻✳ ... Chƣơng Bài toán cân giả đơn điệu mạnh 1.1 Các kiến thức sở giải tích lồi 1.2 Bài tốn cân giả đơn điệu 13 Chƣơng Bài toán cân tách 29 2.1 Phát biểu toán 29 2.2 Thuật toán giải 30 2.3 Sự hội tụ thuật. .. NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ HỒNG NHUNG THUẬT TOÁN TÁCH CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Xuân... Đại học Sư phạm Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học tập trường Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán thầy cô tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả