(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi

(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi(Luận án tiến sĩ) Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi

i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn GS TS Nguyễn Văn Quảng Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết trình bày luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Phạm Trí Nguyễn ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy-người đặt toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin cảm ơn TS Dương Xuân Giáp ThS Nguyễn Trần Thuận thảo luận góp ý q trình học tập nghiên cứu đề tài luận án Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận động viên quan tâm PGS TS Nguyễn Thành Quang, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thị Thế, PGS TS Lê Văn Thành, PGS TS Kiều Phương Chi, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân, TS Lê Hồng Sơn, TS Nguyễn Văn Huấn thầy, cô bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập hoàn thành luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Điện lực, nơi tác giả công tác giảng dạy, hỗ trợ tạo điều kiện cho tác giả trình học tập hoàn thành luận án Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình người bạn thân thiết động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập cơng tác Phạm Trí Nguyễn iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng luận án Mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tổ hợp lồi 10 10 1.2 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi 17 1.3 Biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi 24 Chương Một số dạng luật số lớn cho dãy mảng tam giác biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi 30 2.1 Luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi theo khối nhận giá trị không gian tổ hợp lồi 30 2.2 Sự hội tụ đầy đủ luật mạnh số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi 43 Chương Một số dạng luật số lớn cho dãy, mảng tam giác mảng hai chiều biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi 52 3.1 Khái niệm CUI (α, α+ )-từng mức Cesàro CUI bậc r (α, α+ )từng mức họ biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi 52 3.2 Sự hội tụ đầy đủ luật mạnh số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi 55 3.3 Luật mạnh số lớn mảng hai chiều biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi 63 3.4 Sự hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn dãy biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi 72 iv Kết luận chung kiến nghị 81 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án 83 Tài liệu tham khảo 84 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N N0 R (X, d) [., ] c(X) dH coA coA clA (Ω, A, P ) BX Bc(X) F(X) K(X) I I{A} card{A} CUI m∨n m∧n log+ a x u0 A {u0 } a+ a− ✷ Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số nguyên không âm Tập hợp số thực Không gian metric đầy đủ khả ly Phép tốn tổ hợp lồi Khơng gian tập compact khác rỗng X Metric Hausdorff Bao lồi tập A, với A ⊂ X Bao lồi đóng tập A, với A ⊂ X Bao đóng tập A, với A ⊂ X Khơng gian xác suất σ -đại số Borel X σ -đại số Borel c(X) Không gian tập mờ v X thỏa mãn: v nửa liên tục trên, sup v = supp v tập compact X Miền khả lồi X Tập số Hàm tiêu tập A Số phần tử tập A Compact khả tích Giá trị lớn hai số thực m n Giá trị nhỏ hai số thực m n lôgarit số a ∨ 1, với a ∈ R Giá trị x u0 := d(x, u0 ), với x ∈ X, u0 ∈ K(X) Giá trị A {u0 } := dH (A, {u0 }), với A ∈ c(X), u0 ∈ K(X) Giá trị a+ := max{a, 0}, với a ∈ R Giá trị a− := max{−a, 0}, với a ∈ R Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Trong thập kỷ gần đây, số kết định lý giới hạn dạng luật số lớn họ biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric số tác giả nghiên cứu thiết lập Năm 1992, Herer [12] đưa khái niệm kỳ vọng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric đầy đủ khả ly (X, d) có độ cong âm Từ đó, Herer chứng minh luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Năm 1997, sử dụng định nghĩa Herer [12] kỳ vọng biến ngẫu nhiên nhận giá trị X, phương pháp xấp xỉ dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, Fitte [8] chứng minh định lý ergodic luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên khả tích Một số định lý giới hạn martingale nhận giá trị không gian metric thiết lập cơng trình Herer [12, 13] Sturm [35] Năm 2006, Terán Molchanov [40] đưa khái niệm không gian tổ hợp lồi, khơng gian metric mà trang bị phép tốn tổ hợp lồi Từ Terán Molchanov xây dựng định nghĩa kỳ vọng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi thu luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi phân phối Như vậy, việc nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật số lớn cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất 1.2 Các định lý giới hạn dạng luật số lớn hội tụ đầy đủ nghiên cứu cho mảng hai chiều mảng tam giác biến ngẫu nhiên Có thể tìm thấy kết lĩnh vực sách chuyên khảo Klesov [21] Chú ý rằng, mở rộng định lý giới hạn cho dãy biến ngẫu nhiên sang trường hợp mảng kết phương pháp sử dụng cho dãy lúc áp dụng cho mảng Do đó, kết nghiên cứu định lý giới hạn cho mảng hai chiều mảng tam giác biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian metric vấn đề thú vị có nhiều ý nghĩa 1.3 Khi nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật số lớn, người ta thường xét đến điều kiện độc lập biến ngẫu nhiên Một hướng nghiên cứu định lý giới hạn nói chung định lý giới hạn dạng luật số lớn nói riêng thay điều kiện độc lập điều kiện yếu độc lập đôi một, m-phụ thuộc theo khối, m-phụ thuộc đôi theo khối Đây hướng nghiên cứu đáng quan tâm 1.4 Nghiên cứu định lý giới hạn cho biến ngẫu nhiên mờ quan trọng lý thuyết thực tiễn Về mặt thực tiễn, lý thuyết biến ngẫu nhiên mờ nghiên cứu rộng rãi áp dụng cho lĩnh vực cơng nghệ thơng tin, xử lý hình ảnh, kỹ thuật điều khiển số lĩnh vực khác Theo quan điểm lý thuyết, nhiều vấn đề lý thuyết biến ngẫu nhiên mờ liên quan đến lý thuyết xác suất cổ điển Một số định lý giới hạn lý thuyết xác suất cổ điển mở rộng sang biến ngẫu nhiên mờ Đặc biệt, luật số lớn biến ngẫu nhiên mờ nhiều tác giả nghiên cứu Chẳng hạn, Colubi [6] thiết lập luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên mờ độc lập phân phối không gian Rd Proske Puri [28] chứng minh luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên mờ độc lập phân phối không gian Banach Inoue [17] thu luật mạnh số lớn cho tổng biến ngẫu nhiên mờ độc lập thỏa mãn điều kiện "tight", kết Inoue mở rộng kết Taylor Inoue [37] cho tập ngẫu nhiên Gần đây, Kim [20] thiết lập luật yếu số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên mờ khơng gian Banach thực khả ly Vì vậy, nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật số lớn cho biến ngẫu nhiên mờ không gian metric hướng nghiên cứu có nhiều ý nghĩa giá trị Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Một số dạng luật số lớn cho dãy mảng biến ngẫu nhiên không gian tổ hợp lồi” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên mảng hai chiều biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi, thiết lập hội tụ đầy đủ luật mạnh số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên mảng tam giác biến ngẫu nhiên mờ, hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn dãy biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi giả thiết khác Đối tượng nghiên cứu - Luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên, mảng hai chiều biến ngẫu nhiên mờ - Sự hội tụ đầy đủ luật mạnh số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên, mảng tam giác biến ngẫu nhiên mờ - Sự hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn dãy biến ngẫu nhiên mờ Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu số dạng hội tụ dãy mảng tam giác biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi; dãy, mảng tam giác mảng hai chiều biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi Các dạng hội tụ xét đến hội tụ hầu chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo trung bình hội tụ theo xác suất 5 Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phối hợp phương pháp xác suất công cụ giải tích như: phương pháp xấp xỉ, phương pháp chặt cụt, sử dụng tính chất tập compact Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết cho hướng nghiên cứu định lý giới hạn nói chung định lý giới hạn biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian metric Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Năm 1987, Móricz [27] đưa khái niệm m-phụ thuộc theo khối dãy biến ngẫu nhiên mở rộng luật mạnh số lớn Kolmogorov sang trường hợp m-phụ thuộc theo khối Cụ thể, Móricz chứng minh rằng: Với m số nguyên không âm, giả sử {Xn : n 1} dãy biến ngẫu nhiên thoả mãn EXn = EXn2 < ∞ với n, đồng thời với số nguyên k họ {Xn : 2k n i} {Xn : j n < 2k+1 } độc lập j − i > m Khi điều kiện ∞ n=1 EXn2 0, ∞ P (|Xn − θ| > ε) < ∞ n=1 Từ Bổ đề Borel-Cantelli, ta suy rằng, dãy {Xn : n 1} hội tụ đầy đủ đến số θ, Xn → θ hầu chắn Sự hội tụ đầy đủ sau nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn: Hu, Móricz Taylor [15] thiết lập hội tụ đầy đủ cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng Gut [11] mở rộng tổng quát hố kết Hu, Móricz Taylor Baek Park [1] thiết lập số kết hội tụ đầy đủ cho tổng có trọng số mảng hai chiều mảng tam giác biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo hàng Khi xem xét kết nêu không gian Banach, Taylor [36], Hu, Rosalsky, Szynal Volodin [16] thiết lập số kết quan trọng hội tụ đầy đủ Bằng cách áp dụng kết Hu, Móricz Taylor [15], Fu Zhang [9] thu số kết luật mạnh số lớn hội tụ đầy đủ cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact biến ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng không gian Banach khả ly Năm 2006, Terán Molchanov [40] đưa khái niệm không gian tổ hợp lồi, khơng gian metric mà trang bị phép tốn tổ hợp lồi Khơng gian tổ hợp lồi không rộng không gian Banach mà cịn rộng khơng gian tập compact khác rỗng không gian Banach Trong [40], Terán Molchanov nêu lên tính chất không gian tổ hợp lồi định nghĩa kỳ vọng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi Từ đó, tác giả mở rộng luật mạnh số lớn Etemadi [7] cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi phân phối sang không gian tổ hợp lồi Tiếp tục hướng nghiên cứu xác suất khơng gian tổ hợp lồi, Terán Molchanov [41] chứng tỏ (X, d) 74 Do d∞ ([n−1 , Xi ]ni=1 , [n−1 , EF(X) Xi ]ni=1 ) sup dH (Lα [n−1 Xi ]ni=1 , Lα [n−1 EF(X) Xi ]ni=1 ) k p αk−1 0, ta thu điều phải chứng minh Trong phần tiếp theo, thiết lập điều kiện cần đủ hội tụ theo trung bình dãy biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi giả thiết tính độc lập giả thiết tính compact khả tích 3.4.3 Định lý Giả sử {Xn : n 1} dãy biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi X với ε > 0, tồn phân hoạch hữu hạn = α0 < α1 < · · · < αp = [0; 1] cho với n −1 n −1 n E max dH (L+ αk−1 [n , Xi ]i=1 , Lαk [n , Xi ]i=1 ) < ε k p (3.4.2) Khi L d∞ ([n−1 , Xi ]ni=1 , [n−1 , EF(X) Xi ]ni=1 ) −→ n → ∞ với α ∈ (0; 1] L dH ([n−1 , Lα Xi ]ni=1 , [n−1 , Ec(X) Lα Xi ]ni=1 ) −→ n → ∞ Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ, với ε > cho trước, tồn phân hoạch hữu hạn = α0 < α1 < · · · < αp = [0, 1] cho điều kiện (3.4.2) thoả mãn Ta có đánh giá sau sup αk−1 N , ta có sup αk−1 N , d∞ ([n−1 , Xi ]ni=1 , v) = max + sup dH (Lα [n−1 , Xi ]ni=1 , Lα v) k p αk−1