Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm học 2013-2014 – Sở Giáo dục và Đào tạo Đà Nẵng phục vụ cho các em học sinh nâng cao kiến thức và giáo viên phân loại năng lực học sinh. Mời các bạn cùng tham khảo!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÀ NẴNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THÀNH PHỐ LỚP 12 Năm học 20132014 Thời gian làm bài: 180 phút Đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 12 tại Đà Nẵng Bài 1: (5 điểm) Tìm tất cả các hàm số sao cho Bài 2: (5 điểm) Cho n số ngun dương đơi một khác nhau (). Đặt . Với mội lấy . Chứng minh ngun với mọi k tự nhiên Bài 3: (5 điểm) Cho đường thẳng d và điểm A khơng nằm trên d. Gọi H là hình chiếu của A trên d và K là trung điểm của AH. Hai đường trịn (M), (N) di động nhưng ln tiếp xúc với d và tiếp xúc với nhau tại A. Chứng minh: a) Phương tích của K với đường trịn đường kính MN khơng đổi b) Chứng minh đường trịn đường kính MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định Bài 4: (5 điểm) Cho bảng kẻ ơ vng kích thước . Hãy tìm giá trị lớn nhất của k sao cho k thoả mãn điều kiện: ta có thể tơ màu k ơ vng đơn vị của bảng sao cho khơng có hai ơ vng đơn vị nào được tơ mà có đỉnh chung Bài 5: (6 điểm) Cho số ngun tố . Gọi . Chứng minh: Bài 6: (7 điểm) Cho tam giác ABC và điểm C’ nằm trên đường thẳng AB. Chứng minh rằng: a) Tồn tại duy nhất tam giác A’B'C’ đồng dạng với tam giác ABC mà các điểm A’ và B’ nằm lần lượt trên đường thẳng BC và AC b) Trực tâm của tam giác A’B'C’ khơng phụ thuộc vị trí của điểm C’ trên đường thẳng AB Bài 7: (7 điểm) Cho (H) là một đa giác đều 24 cạnh. Mỗi đỉnh của (H) sẽ được tơ bởi chỉ một trong hai màu xanh và đỏ. Khi đó, nếu (K) là một đa giác đều thoả mãn đồng thời hai điều kiện: Tập đỉnh của (K) là tập con của tập đỉnh của (H) Tất cả các đỉnh của (K) được tơ bởi cùng một màu thì ta gọi (K) là một mẫu đơn sắc. Hãy tính số cách tơ màu các đỉnh của (H) sao cho khơng có mẫu đơn sắc nào được tạo ra ... AB Bài 7: (7 điểm) Cho (H) là một đa giác đều 24 cạnh. Mỗi đỉnh của (H) sẽ được tơ bởi chỉ một trong hai màu xanh? ?và? ?đỏ. Khi đó, nếu (K) là một đa giác đều thoả mãn đồng thời hai điều kiện: Tập đỉnh của (K) là tập con của tập đỉnh của (H)... thì ta gọi (K) là một mẫu đơn sắc. Hãy tính số cách tơ màu các đỉnh của (H) sao cho khơng có mẫu đơn sắc nào được? ?tạo? ?ra