phân tích dầm trên nền pasternak chịu tải di động dùng phần tử dầm timoshenko

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  - PHẠM NGỌC MINH PHÂN TÍCH DẦM TRÊN NỀN PASTERNAK CHỊU TẢI DI ĐỘNG DÙNG PHẦN TỬ DẦM TIMOSHENKO LUẬN VĂN THẠC SĨ XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP Thành Phố Hồ Chí Minh năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  - PHẠM NGỌC MINH PHÂN TÍCH DẦM TRÊN NỀN PASTERNAK CHỊU TẢI DI ĐỘNG DÙNG PHẦN TỬ DẦM TIMOSHENKO Chuyên ngành : Xây dựng công trình dân dụng cơng nghiệp Mã số : 60580208 LUẬN VĂN THẠC SĨ XÂY DỰNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC Thành Phố Hồ Chí Minh năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận văn với tiêu đề “Phân tích dầm Pasternak chịu tải di động dùng phần tử dầm Timoshenko” nghiên cứu tơi Ngoại trừ tài liệu tham khảo trích dẫn luận văn này, tơi cam đoan tồn phần hay phần nhỏ luận văn chưa sử dụng để nhận cấp trường đại học hay sở đào tạo khác Khơng có sản phẩm, nghiên cứu người khác sử dụng luận văn mà khơng trích dẫn theo quy định Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2019 Phạm Ngọc Minh MỤC LỤC CHƯƠNG GIỚI THIỆU 1.1 Nêu vấn đề 1.2 Mục đích luận văn 1.3 Phương pháp thực 1.4 Cấu trúc luận văn CHƯƠNG TỔNG QUAN 2.1 Giới thiệu chương 2.2 Mơ hình kết cấu 2.3 Tình nghiên cứu ngồi nước 2.4 Tình hình nghiên cứu nước 14 2.5 Nhận xét 16 CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 17 3.1 Giới thiệu 17 3.2 Mơ hình toán 17 3.2.1 Mơ hình Pasternak 17 3.2.2 Mơ hình tải trọng 18 3.3 Công thức phần tử hữu hạn 19 3.3.1 Phần tử dầm chịu uốn 19 3.3.2 Các ma trận tính chất 22 3.4 Phương trình vi phân chuyển động 27 3.4.1 Mơ hình vật thể chuyển động 27 3.4.2 Phương trình vi phân chuyển động 29 3.5 Phương pháp giải – thuật toán 30 3.5.1 Đánh giá phương pháp số 30 3.5.2 Phương pháp tích phân Newmark 32 3.5.3 Thuật tốn giải phương trình 33 3.6 Kết luận 35 CHƯƠNG THÍ DỤ SỐ 36 4.1 Giới thiệu 36 4.2 Phần kiểm chứng 36 4.3 Phần khảo sát 44 4.4 Kết luận 57 CHƯƠNG KẾT LUẬN – HƯỚNG PHÁT TRIỂN 58 5.1 Kết luận 58 5.2 Hướng phát triển 59 Tài liệu tham khảo i Phụ lục ii DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 4.1: Tần số không thứ nguyên so sánh với Matsugana với L/H khác Bảng 4.2: Tần số không thứ nguyên dầm với trường hợp chia phần tử khác 39 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1: Mơ hình tốn tải trọng chuyển động Hình 2.2: Dầm chịu lực chuyển động có gia tốc Hình 2.3: Mơ hình khảo sát M.olsson Hình 2.4: Dầm chịu tác động lực tập trung di động Hình 2.5: Dầm Euler–Bernoulli tựa đơn chịu lực tập trung di động với vt Hình 2.6: Mơ hình dầm Timoshenko đàn hồi Winkler chịu tác động khối lượng di động Hình 2.7: Dầm Euler–Bernoulli chịu tác động khối lượng di động Hình 2.8: Mơ hình dầm liên tục nhiều nhịp Hình 2.9: Mơ hình dầm liên tục nhiều nhịp nhiều tải chuyển động 10 Hình 2.10: Dầm Euler–Bernuolli chịu tác động tải trọng thẳng đứng di chuyển với vận tốc thay đổi theo thời gian 10 Hình 2.11: Khối lượng di động dầm 11 Hình 2.12: Mơ hình dầm đơn giản nhịp tác động tải trọng chuyển động 12 Hình 2.13: Mơ hình dầm Euler–Bernoulli chịu tải trọng tác động với vận tốc biến đổi theo thời gian 12 Hình 2.14: Mơ hình dầm liên tục nhiều nhịp lực tác động 13 Hình 2.15: Mơ hình dầm phân lớp chức chịu tác động tải trọng 13 Hình 2.16: Mơ hình dầm đơn giản chịu tác động hai khối lượng chuyển động với vận tốc không đổi 14 Hình 3.1: Mơ hình Pasternak 18 Hình 3.2: Các mơ hình tải trọng 19 Hình 3.3: Mơ hình biến dạng phần tử dầm Timoshenko 20 Hình 3.4: Mơ hình dầm chịu vật thể chuyển động Pasternak 27 Hình 3.5: Sơ đồ thuật tốn phân tích ứng xử động hệ kết cấu 34 Hình 4.1: Sơ đồ toán S.G.M Neves 40 Hình 4.2: Chuyển vị tính tốn điểm dầm luận văn 41 Hình 4.3: Chuyển vị tính tốn dầm S.G.M Neves 41 Hình 4.4: Chuyển vị đứng khối lượng Mv S.G.M Neves 42 Hình 4.5: Chuyển vị đứng khối lượng Mv S.G.M Neves 42 Hình 4.6: Gia tốc theo phương đứng khối lượng Mv luận văn 43 Hình 4.7: Gia tốc theo phương đứng khối lượng Mv S.G.M Neves 43 Hình 4.8: Moment trí dầm luận văn 43 Hình 4.9: Sơ đồ toán dầm pasternak 44 Hình 4.10 Chuyển vị đứng tính tốn dầm với v=100km/h 45 Hình 4.11: Chuyển vị đứng tính tốn dầm với v=30km/h 46 Hình 4.12: Chuyển vị đứng tính tốn vị trí xe với v=100km/h 46 Hình 4.13: Chuyển vị đứng tính tốn vị trí xe xe với v=30km/h 46 Hình 4.14: Momen tính tốn vị trí dầm với v=100km/h 47 Hình 4.15: Momen tính tốn vị trí dầm với v=30km/h 47 Hình 4.16: Chuyển vị đứng tính tốn dầm với v=100km/h 48 Hình 4.17: Chuyển vị đứng tính tốn dầm với v=30km/h 48 Hình 4.18: Chuyển vị đứng tính tốn dầm với v=30km/h 49 Hình 4.19: Chuyển vị đứng tính tốn vị trí xe với v=30km/h 49 Hình 4.20: Momen tính tốn vị trí dầm với v=100km/h 49 Hình 4.21: Momen tính tốn vị trí dầm với v=30km/h 50 Hình 4.22: Momen tính tốn vị trí dầm với v=30km/h 51 Hình 4.23: Chuyển vị đứng tính tốn dầm với Mv, v=30km/h 51 Hình 4.24: Momen tính tốn vị trí dầm với v=100km/h 52 Hình 4.25: Momen tính tốn vị trí dầm với v=30km/h 52 Hình 4.26: Chuyển vị đứng tính tốn dầm với kv, v=100km/h 53 Hình 4.27: Chuyển vị đứng tính tốn dầm với kv , v=30km/h 54 Hình 4.28: Moment tính tốn dầm với kv , v=100km/h 54 Hình 4.29: Moment tính tốn dầm với kv , v=30km/h 54 Hình 4.30: Chuyển vị đứng tính tốn dầm với cv , v=100km/h 55 Hình 4.31: Chuyển vị đứng tính tốn dầm với cv , v=30km/h 56 Hình 4.32: Ảnh hưởng thông số vận tốc lên chuyển vị động vị trí dầm 57 DANH MỤC KÝ HIỆU VIẾT TẮT  , thông số tích phân Newmark chuyển vị tĩnh lị xo bước thời gian tính lặp biến dạng theo phương x góc xoay khối lượng riêng vật liệu dầm ứng suất pháp theo phương x modun đàn hồi lực tương tác xe với dầm gia tốc trọng trường moment quán tính diện tiết diện [ ] ma trận tính biến dạng [ ] ma trận độ cứng tổng thể riêng dầm [ ] ma trận độ cứng phần tử tổng thể [ ] ma trận độ cứng lớp đàn hồi Winler [ ] ma trận độ cứng lớp cắt chiều dài dầm khối lượng bánh xe khối lượng thân xe độ cứng lò xo xe cản nhớt xe độ cứng lớp Winkler độ cứng lớp cắt [ ][ ] [ ] ma trận khối lượng phần tử tổng thể ma trận khối lượng hiệu dụng [ ][ ] hàm nội suy theo M.Karkon dạng chuyển trí { } { } vectơ tải phần tử tổng thể [ vectơ tải hiệu dụng ] { } { } vectơ chuyển vị nút phần tử tổng thể { ̇} { ̇} vectơ vận tốc nút phần tử tổng thể { ̈} { ̈} vectơ gia tốc nút phần tử tổng thể thời gian vận tốc chuyển động lò xo theo phương dọc dầm chuyển vị theo phương đứng khối lượng Mv ̇ mw ̈ chuyển vị, vận tốc, gia tốc theo phương đứng khối lượng Hình 4.24 Từ kết hình cho thấy rằng, tăng giá trị Mv vật thể làm tăng ứng ứng xử động bên hệ Khi tăng giá trị Mv làm tăng độ võng dầm vật thể Giá trị đỉnh chuyển vị xảy khối lƣợng tăng vận tốc tăng điều diễn xảy cộng hƣởng ứng với vận tốc Thơng số khối lƣợng có ảnh hƣởng đáng kể phản ứng dầm 4.3.4 Khảo sát ảnh hưởng thơng số độ cứng kv Ngồi ảnh hƣởng thơng số yếu tố vật thể chuyển động ảnh hƣởng đến ứng xử dầm Để làm rõ ảnh hƣởng này, ta tiến hành khảo sát vài thông số mơ hình vật thể Xét tốn dầm nhịp nhƣ hình 4.19 Chiều dài nhịp dầm: L = 20 m Khối lƣợng bánh xe: mv = 2.5 T Khối lƣợng xe: Mv = 30 T Độ cứng lò xo: kv= …… Hệ số cản: cv = 8.14×10^4 Ns/m Giá trị độ cứng lớp đàn hồi khơng thứ nguyên K1 = 100 (không thay đổi) Giá trị độ cứng lớp cắt không thứ nguyên K2 = (không thay đổi) Khảo sát ảnh hƣởng giá trị kv , ta thay đổi giá trị kv kv= 1000e3, kv= 1595e3, kv=2500e3, kv = 4000e3 Hình vẽ mơ tả giá trị chuyển vị dầm, chuyển vị xe, momen vị trí dầm theo thời gian vị trí dầm với thơng số vận tốc v = 30 km/h, v = 100km/h Ta chia dầm làm 20 phần tử Bƣớc thời gian tính lặp = 100 Khảo sát kv 52 Chuyển vị (m) 0.002 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.01 -0.012 -0.014 -0.016 kv=1000e3 kv=1595e3 kv=2500e3 kv=4000e3 0.2 0.4 0.6 0.8 Thời gian (s) Chuyển vị (m) Hình 4.26 Chuyển vị đứng tính toán dầm với kv, v=100km/h 0.002 0.000 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.010 -0.012 -0.014 -0.016 kv=1000e3 kv=1595e3 kv=2500e3 kv=4000e3 Thời gian (s) Moment (Nm) Hình 4.27 Chuyển vị đứng tính tốn dầm với kv , v=30km/h 700,000 600,000 500,000 400,000 300,000 200,000 100,000 -100,000 kv=1000e3 kv=1595e3 kv=2500e3 kv=4000e3 0.2 0.4 0.6 0.8 Thời gian (s) Hình 4.28 Moment tính tốn dầm với kv , v=100km/h 53 Moment (Nm) 700,000 600,000 500,000 400,000 300,000 200,000 100,000 -100,000 kv=1000e3 kv=1595e3 kv=2500e3 kv=4000e3 Thời gian (s) Hình 4.29 Moment tính tốn dầm với kv , v=30km/h Khảo sát ảnh hƣởng độ cứng vật thể chuyển động lên ứng xử động bên hệ Kết chuyển vị động dầm đƣợc thể Hình 4.27và Hình 4.28 Từ kết Hình 4.27 Hình 4.28 cho thấy rằng, tăng giá trị kv vật thể làm ảnh hƣởng đến ứng xử dầm 4.3.5 Khảo sát ảnh hưởng thông số độ cứng cv Xét toán dầm nhịp nhƣ hình 4.19 Chiều dài nhịp dầm: L = 20 m Khối lƣợng bánh xe: mv = 2.5 T Khối lƣợng xe: Mv = 30 T Độ cứng lò xo: kv= 8.63×10^6 N/m Hệ số cản: cv = 2*Mv*xiv*√ Giá trị độ cứng lớp đàn hồi không thứ nguyên K1 = 100 (không thay đổi) Giá trị độ cứng lớp cắt không thứ nguyên K2 = (không thay đổi) Khảo sát ảnh hƣởng giá trị cv , ta thay đổi giá trị xiv Xiv = 0, xiv = 0.1, xiv = 0.2, xiv=0.5, xiv=1 Hình vẽ mơ tả giá trị chuyển vị dầm, chuyển vị xe, momen vị trí dầm theo thời gian vị trí dầm với thơng số vận tốc v = 30 km/h, v = 100km/h Ta chia dầm làm 20 phần tử Bƣớc thời gian tính lặp = 100 Khảo sát cv 54 Chuyển vị (m) 0.005 xiv=20% xiv=50% xiv=0 xiv=10% xiv=100% -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 0.2 0.4 0.6 0.8 Thời gian (s) Hình 4.30 Chuyển vị đứng tính tốn dầm với cv , v=100km/h 0.01 xiv=0 xiv=10% xiv=20% xiv=50% xiv=100% Chuyển vị (m) 0.005 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 Thời gian (s) Hình 4.31 Chuyển vị đứng tính tốn dầm với cv , v=30km/h Khảo sát ảnh hƣởng cản vật thể chuyển động lên ứng xử động bên hệ Kết chuyển vị động dầm đƣợc thể Hình 4.31và Hình 4.32 Từ kết Hình 4.31 Hình 4.32 cho thấy rằng, tăng giá trị cv vật thể làm ảnh hƣởng đến ứng xử dầm 4.3.6 Khảo sát ảnh hưởng thông số vận tốc lên DMF Xét tốn dầm nhịp nhƣ hình 4.19 Chiều dài nhịp dầm: L = 20 m Khối lƣợng bánh xe: mv = 2.5 T Khối lƣợng xe: Mv = 30 T Độ cứng lị xo: kv = 8.63×10^6 N/m 55 Hệ số cản: cv = 8.14×10^4 Ns/m Giá trị độ cứng lớp đàn hồi không thứ nguyên K1 = 100 (không thay đổi) Giá trị độ cứng lớp cắt không thứ nguyên K2 = (không thay đổi) Ta chia dầm làm 20 phần tử Ta xem xét ảnh hƣởng chuyển động vật thể lên ứng xử hệ, ta khảo sát hệ số DMF cho vận tốc thay đổi từ đến 100 km/h 1.35 1.3 DMF 1.25 1.2 dmf 1.15 1.1 1.05 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Vận tốc (km/h) Hình 4.32 Ảnh hưởng thơng số vận tốc lên chuyển vị động vị trí dầm 4.4 Kết luận Chƣơng cho thấy qua kết toán đƣợc kiểm chứng với kết báo tác giả trƣớc ta thấy Trong lý thuyết ông M.Karkon H.KarKon tỷ lệ chiều dài dầm chiều cao dầm nhỏ ứng với hệ số lớn kết tần số dao động riêng dầm có sai số nhiều so với nghiên cứu trƣớc, chia dầm với số phần tử nhỏ tần số tự nhiên dầm chƣa hội tụ Bên cạnh lý thuyết ơng cho thấy đƣợc biến dạng điểm khác so với điểm đặt lực tác động ảnh hƣởng đến ứng xử động hệ Chuyển vị dầm cho thấy lớn so với nghiên nghiên cứu trƣớc Các toán khảo sát đƣợc thự để phân tích tìm hiểu ứng xử động dầm, khảo sát thông số dầm nhƣ tần số riêng, thông số mơ hình nền(nhƣ độ cứng lớp chịu cắt, độ cứng nền, ), khảo sát thông số mô hình vật thể ( nhƣ độ cứng lị xo, khối lƣợng thân xe ) Qua khảo sát nhận thấy đƣợc thông số ảnh hƣởng đến ứng xử động hệ 56 Với hệ moving sprung mass ta thấy biểu đồ chuyển vị tƣơng đối lớn phía dầm tải trọng tập trung điểm dầm Khi ta cho ta cho xe chạy với vận tốc nhỏ biểu đồ chuyển vị có dạng gợn sóng nhiều hơn, chứng tỏ dầm bị dao động nhiều , dầm bị tác động thời gian lâu 57 CHƯƠNG KẾT LUẬN 5.1 KẾT LUẬN Luận văn thực việc khảo sát ứng xử động dầm Pasternak chịu vật thể di động dùng phần tử dầm Timoshenko Từ kết số đạt được, số kết luận thể sau: Đã hoàn thành mục tiêu Luận văn: thiết lập phần tử dầm với hàm dạng khác, rời rạc hóa tốn phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử theo hàm dạng khác này, viết mã nguồn chương trình máy tính ngơn ngữ lập trình Matlab để giải tốn đặt có kiểm chứng số trường hợp với nghiên cứu khác, khảo sát thông số vật lý ảnh hưởng lên ứng xử dầm Phương pháp giải toán luận văn: phương pháp phần tử hữu hạn, cân động, tích phân miền thời gian Dựa thiết lập lý thuyết, thuật tốn chương trình máy tính xây dựng, kết số có kiểm chứng thực Trước mắt, độ xác lời giải theo phần tử dầm kiểm chứng, cho thấy phần tử dùng tốn động lực học dầm chịu tải di động Các thông số ảnh hưởng đến dao động dầm: thông số đàn hồi Winkler, thông số lớp cắt thơng số có ảnh hưởng; Mơ hình vật thể di động hay hệ dao động di động có ảnh hưởng đến ứng xử dầm thơng số vận tốc lò xo hệ dao động 58 5.2 HƯỚNG PHÁT TRIỂN Luận văn hoàn thành phần tử dầm chưa có nghiên cứu sâu độ xác nó, nên số hướng phát triển đề xuất sau: Mở rộng phạm vi ứng dụng phần tử này, khảo sát độ xác, hội tụ, tiện ích, số tốn khác Xem xét thêm mơ hình vật lý toán sâu nhiều vật thể di chuyển dầm, dầm liên tục, tính cản dầm 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S I Suzuki, Dynamic behaviour of a finite beam subjected to travelling loads with acceleration, Journal of Sound and Vibration 55 (1) (1977) 65-70 [2] M Olsson, Finite element, modal co-ordinate analysis of structures subjected to moving loads, Journal of Sound and Vibration, 99 (1) (1985) 1-12 [3] Y H Lin, M W Trethewey, Finite element analysis of elastic beams subjected to moving dynamic loads, Journal of Sound and Vibration, 136 (2) ( 1990) 323-342 [4] M Olsson, On the fundamental moving load problem, Journal of Sound and Vibration, 145( 2) (1991) 299-307 [5] H.P.Lee, Dynamic response of a Timoshenko beam on the winkler foundation subjected to a moving mass (Applied Acoustics, Vol 55, No 3, pp 203±215, 1998) [6] U.Lee, Revisiting the moving mass problem: onset of separation between the mass and beam, journal of vibration and Acoustic 118(3)(1996)516221 [7] H.P.Lee, Dynamic response of a beam with a moving mass, Journal of sound and vibration, 191(2)(1996)289-294 [8] K.Henchi, M.Fafard, G.Dhaff, M.Talbot, Dynamic behaviour of multispan beams under moving loads, Journal of sound and vibration 199(1)(1997) 33-50 [9] D.Y.Zheng, Y.K.Cheung, F.T.K Au, Y.S.Cheng, Vibration of multispan non-uniform beams under moving loads by using modified beam vibration functions, journal of sound and vibration, 212(3)(1998)455467 [10] A.YAVARI, M.Nouri, M.Mofid, Discrete element analysis of dynamic response of Timoshenko beams under moving mass, Advances in Engineering software 33(2002)143-153 [11] G.T.Michaltsos, Dynamic behaviour of a single-span beam subjected to loads moving with variable speeds, Journal of sound and vibration, 258(2)(2002)359-372 [12] A.Nikkhoo, F.R.Rfooei, M.R.Shadnam, Dynamic behavior and modal control of beams under moving mass, Journal of sound and vibration 306(3-5)(2007)712-724 [13] C.Bilello, L.A.Bergman, Vibration of damaged beams under a moving mass: theory and experimental validation, Journal of sound and vibration 274(2004)567-582 [14] C.Bilello, M.Di Paola, S.Salamone, A correction method for the analysis of continuous linear one-dimensional systems under moving loads, journal of sound and vibration, 315(1-2)(2008)226-238 [15] C J Bowe, T P Mullarkey, Unsprung wheel-beam interactions using modal and finite element models, Advances in Engineering Software, 39 (11) (2008) 911-922 [16] Keivan Kiani, Ali Nikkhoo, Bahman Mehri, Prediction capabilities of classical and shear deformable beam models excited by a moving mass, Journal of Sound and Vibration, 320 (3) (2009) 632-648 [17] M Dehestani, M Mofid, A Vafai, Investigation of critical influential speed for moving mass problems on beams, Applied Mathematical Modelling, 33 (10) (2009) 3885-3895 [18] Czesław I Bajer, Bartłomiej Dyniewicz, Virtual functions of the space–time finite element method in moving mass problems, Computers & Structures, 87 (7-8) (2009) 444-455 [19] Vera De Salvo, Giuseppe Muscolino, Alessandro Palmeri, A substructure approach tailored to the dynamic analysis of multi-span continuous beams under moving loads, Journal of Sound and Vibration, 329 (15) (2010) 3101-3120 [20] Mesut Şimşek, Non-linear vibration analysis of a functionally graded Timoshenko beam under action of a moving harmonic load, Composite Structures, 92 (10) (2010) 2532-2546 [21] E Sharbati, W Szyszkowski, A new FEM approach for analysis of beams with relative movements of masses, Finite Elements in Analysis and Design, 47 (9) (2011) 1047-1057 [22] Hahn G D., A modified Euler method for dynamic analyses, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 32, 932955, 1991 [23] Hamarat M.A., Çalık Karakưse Ü.H and Orakdưğen E., Seismic analysis of structures resting on two parameter elastic foundation, 15th World Conference On Earthquake Engineering, 2012 [24] Hilber, H M., Hughes T J R and Taylor, R L, Improved Numerical dissipation for time integration algorithms in Structural Dynamics, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, vol.5, No.3, 283-292, 1977 [25] Mohebpour S.R., Malekzadeh P., Ahmadzadeh A.A., Dynamic analysis of laminated composite plates subjected to a moving oscillator by FEM, Composite Structures 93, 1574–1583, 2011 [26] Hilber H M., Hughes T J R , Collocation, dissipation and „„overshoot‟‟ for time integration schemes in structural dynamics, Earthquake Eng, Struct Dynam,6: 99–117, 1978 [27] Newmark, N M., A method of computation for structural dynamics, Journal of the Engineering Mechanics Division, 85(3), 67–94, 1959 [28] Walker K C Higher-oder Explicit and Implicit dynamic time intergration methods, Ph.D Dissertation, Univ of Nebraska-Lincoln, USA, 2003 [29] Amin Rashidifar, Mohammad, and Ali Amin Rashidifar 2013 “Analysis of Vibration of a Pipeline Supported on Elastic Soil Using Differential Transform Method.” American Journal of Mechanical Engineering (4): 96–102 doi:10.12691/ajme-1-4-4 [30] Bursa Technical University, Department of Civil Engineering, Turkey, and Şeref Doğuşcan Akbaş 2015 “Free Vibration and Bending of Functionally Graded Beams Resting on Elastic Foundation.” Research on Engineering Structures and Materials (1) doi:10.17515/resm2015.03st0107 [31] C.Fraciosi and A.Masi 1992 “Free Vibrations Ò Foundation Beams on Two-Parameter Elastic Soil.” [32] Changyong, Cao, Zhong Yang, and Li Mingliang 2007 Dynamic Analysis of Bernoulli–Euler Beam on Two-Parameter Foundation Subjected to Moving Harmonic Load [33] D.H Young and W Weaver 1974 “Vibration Problems in Engineering: By S Timoshenko, Professor of Engineering Mechanics, University of Michigan, vi-351 Pages, Illustrations, 8vo, Cloth New York, D Van Nostrand Company, Inc., 1928 Price, $4.50 | Lucien E Picolet | Digital Library Booksc.” [34] Frýba, Ladislav 1972 “Vibration of Solids and Structures under Moving Loads.” [35] Kargarnovin, M.H., and D Younesian 2004 “Dynamics of Timoshenko Beams on Pasternak Foundation under Moving Load.” Mechanics Research Communications 31 (6): 713–23 doi:10.1016/j.mechrescom.2004.05.002 [36] Karkon, M., and H Karkon 2016 “new element formulation for free vibration analysis of timoshenko beam on pasternak elastic foundation.” asian journal of civil engineering (bhrc) 17 (4): 427–442 [37] Kennedy, Graeme J., Jorn S Hansen, and Joaquim RRA Martins 2011 “A Timoshenko Beam Theory with Pressure Corrections for Layered Orthotropic Beams.” International Journal of Solids and Structures 48 (16): 2373–2382 [38] Obara, P 2014 “Vibrations And Stability Of Bernoulli-Euler And Timoshenko Beams On Two-Parameter Elastic Foundation.” Archives of Civil Engineering 60 (4) doi:10.2478/ace-2014-0029 [39] Sekhar Chandra Dutta *, Rana Roy 2002 “A Critical Review on Idealization and Modeling for Interaction among Soil–foundation– structure System | Sekhar Chandra Dutta; Rana Roy | Digital Library Booksc.” [40] Uzzal, Rajib Ul Alam, Rama B Bhat, and Waiz Ahmed 2012 “Dynamic Response of a Beam Subjected to Moving Load and Moving Mass Supported by Pasternak Foundation.” Shock and Vibration 19 (2): 205–20 doi:10.3233/SAV-2011-0624 [41] W.Q Chen a,b,*, C.F Lu€ a, and , Z.G Bian a 2004 “A Mixed Method for Bending and Free Vibration of Beams Resting on a Pasternak Elastic Foundation.” [42] Yang, Yan, Hu Ding, and Li-Qun Chen 2013 “Dynamic Response to a Moving Load of a Timoshenko Beam Resting on a Nonlinear Viscoelastic Foundation.” Acta Mechanica Sinica 29 (5): 718–27 doi:10.1007/s10409-013-0069-3 [43] Zakeri, Mohammad, and Reza Attarnejad 2015 “Numerical Free Vibration Analysis of Higher-Order Shear Deformable Beams Resting on Two-Parameter Elastic Foundation.” Journal of Computational Applied Mechanics 46 (2): 117–1 [44] H MATSUNAGA, vibration and buckling of deep beam-columns on two-parameter elastic foundations, Journal of Sound and