Thông tin tài liệu
Mc Lc Mẻ đầu Ch¬ng ChuÈn bfi 10 1.1 1.2 1.3 10 13 14 16 Chơng dd-DÃy đặc trng Euler-Poincar bậc cao 2.1 2.2 2.3 Ch¬ng Môđun Cohen-Macaulay dÃy 3.1 3.2 3.3 Chơng Môđun Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy 4.1 4.2 17 25 33 45 46 54 59 70 71 4.3 K’t luËn Tài liữu tham khảo 78 85 93 96 Mẻ đầu Nghiên cu cấu trc cềa môđun thông qua nghiên cu tnh chất cềa hàm đẩ dài cềa môđun modulo mẩt hữ tham sậ phơng pháp đà xuất hiữn t lâu Đại sậ giao hoán T nhng năm 50 cỊa th’ k˚ trÌc, Serre ®· chÿ c„ th” dễng phc Koszul đ tnh bẩi cềa mẩt môđun đậi vèi mẩt hữ tham sậ, t đ đa mậi liên hữ gia hàm đẩ dài, sậ bẩi vèi đẩ dài cềa môđun đng điu Koszul Các mậi liên hữ đ đểc tip tc nghiên cu công tr nh cềa Auslander-Buchsbaum tác giả khác, dẫn đn nhng kt mà ngày trẻ thành Đại sậ giao hoán Đ phát biu chnh xác, ta xt (R, m) mẩt vành giao hoán, đfia phơng, Noether vèi iđêan cc đại m, M mẩt R-môđun hu hạn sinh c chiu dim M = d K˝ hi÷u x = x1, , xd m mẩt hữ tham sậ cềa M Khi đ ta c `(M/xM) > e(x, M) , đ `(?) hàm đẩ dài, e(x, M) sậ bẩi cềa M đậi vèi hữ tham sậ x Khi dấu đẳng thc xảy ra, ngha tn x cho `(M/xM) = e(x, M), M đểc gi môđun Cohen-Macaulay C th ni môđun Cohen-Macaulay mẩt nhng cấu trc môđun đểc nghiên cu ká c nhiu ng dng Đại sậ giao hoán Nu M Cohen- Macaulay ta cng c `(M/xM) = e(x, M) vÌi m‰i h÷ tham sË x cỊa M Mẻ rẩng theo hèng cềa lèp môđun Cohen-Macaulay khái niữm môđun Buchsbaum Stuăckrad Vogel đa Đ môđun M cho tÂn t¹i mÈt h»ng sË I(M) th·a m·n `(M/xM) = e(x, M) + I(M) vÌi m‰i h÷ tham sË x Nh môđun Cohen-Macaulay Buchsbaum vèi I(M) = Năm 1979, ba nhà toán hc N T Cng-Schenzel-N V Trung xt môđun M mà tn sậ C cho vÌi m‰i h÷ tham sË x cỊa M, `(M/xM) e(x, M) + C H»ng sË C nhà đểc k hiữu I(M) c tên sậ Buchsbaum cềa M Các môđun nh c nhiu tnh chất tơng t nh môđun Cohen-Macaulay đểc gi môđun Cohen-Macaulay suy rẩng R ràng môđun Cohen-Macaulay Buchsbaum trng hểp riêng cềa môđun Cohen-Macaulay suy rẩng L thuyt môđun Cohen-Macaulay suy rẩng đểc phát trin nhanh thập k 80 nhng năm đầu thập k 90 cềa th k 20 bẻi nhà toán hc N T Cng, Schenzel, N V Trung, Stuăckrad, Vogel, L T Hoa, Brodmann, Goto, Yamagishi, Takayama, vµ c„ nhi“u ¯ng dng Đại sậ giao hoán H nh hc đại sậ K hiữu x(n) = xn11 , , xndd , vÌi n1, , nd > lµ Cohen-Macaulay suy rÈng th n1, , nd riêng, `(M/x(n)M) mẩt đa thc theo n1, , nd Khi M n1, , nd 0), n1, , n d ni mẩt môđun Cohen-Macaulay suy rẩng, Sharp đặt câu hÃi: hàm n1, , nd M vÌi `(M/x(n)M) = n1 nde(x, M) + I(M) ®Ị lÌn (®” ngắn gn ta s dễng k hiữu c dạng đa thc theo Nu `(M/x(n)M) không? Không kh khăn c th t m đểc v d ch câu trả li phề đfinh, dẫn đn câu hÃi tip theo vèi điu kiữn th hàm `(M/x(n)M) c dạng đa thc Mẩt điu kiữn cần đề đểc N T Cng đa [8] qua khái niữm up-dÃy Hơn na, báo [9] ông cng chng minh trng hểp tấng quát hàm `(M/x(n)M) bfi chặn bẻi mẩt đa thc Khi vành R vành thơng cềa mẩt vành Gorenstein, N T Cng đà ch tn mẩt hữ tham sậ x cềa M cho `(M/x(n)M) mẩt đa thc C th hơn, k hiữu a(M) = a0(M)a1(M) ad−1(M) vÌi ai(M) = Ann(Hmi(M)) lµ linh h„a tˆ cềa môđun đậi đng điu đfia phơng H i m (M) cềa M Khi R vành thơng cềa mẩt vành Gorenstein th t mẩt kt cềa Schenzel, ta suy tn mẩt hữ tham sậ x = x1, , xd th·a m·n t›nh chÊt xi ∈ a (M/(xi+1, , x d)M), i = 1, , d MÈt hữ tham sậ nh đểc tác giả N T Cng gi mẩt hữ tham sậ p-chuẩn tắc, na đ d X `(M/x(n)M) = i=0 mẩt ®a th¯c vÌi m‰i n1 nie(x1, , xi, (0 : xi+1)M/(xi+2, ,xd)M ), n1, , n d > (?) Kh¸i niữm hữ tham sậ p-chuẩn tắc sau đ đà đểc Kawasaki s dng nh mẩt công c then chật đ giải toán Macaulay mẩt đa tạp đại sậ Faltings đặt ra, t đ đa câu trả li khẳng đfinh cho giả thuyt cềa Sharp v điu kiữn tn phc đậi ngẫu Các kt đ thc đẩy viữc nghiên cu ká tnh chất cềa hữ tham sậ pchuẩn tắc cng nh ng dng nghiên cu cấu trc cềa vành môđun Bản thân hữ tham sậ p-chuẩn tắc c nhiu tnh chất tật Hầu ht tnh chất đu hữ tham sậ thÃa mÃn công thc ( ?) ẻ V luận án này, chng đặt vấn đ nghiên cu tnh chất cềa hữ tham sậ thÃa mÃn (?) cng nh ng dng cềa chng Các hữ tham sậ nh trng hểp riêng cềa khái niữm dd-dÃy đểc đfinh ngha luận án Mẩt mẻ rẩng khác cềa môđun Cohen-Macaulay theo hèng hoàn toàn khác khái niữm môđun Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy Ta gi M mẩt môđun Cohen-Macaulay dÃy (tơng ng, CohenMacaulay suy rẩng dÃy) nu tn mẩt lc môđun cềa M M0 M1 ⊂ Mt = M, cho `(M0) < ∞, dim M0 M /M i i−1 < dim M1 < < dim Mt = d mi Cohen-Macaulay (tơng ng, Cohen-Macaulay suy rẩng) vèi i = 1, 2, , t C¸c lc nh đểc gi lc Cohen-Macaulay (tơng ng, l ‰c Cohen-Macaulay suy rÈng) ChÛ ˝ r»ng môđun CohenMacaulay Cohen-Macaulay suy rẩng không trẩn lẫn, ngha iđêan nguyên tậ liên kt cềa môđun thÃa mÃn dim R/p = dim M (trong trng hểp môđun Cohen-Macaulay suy rẩng), th iđêan nguyên tậ liên kt cềa môđun Cohen-Macaulay dÃy Cohendim R/p = Macaulay suy rÈng d·y c„ ®Ëi chi“u tễy , thay đấi t đn dim M Đây mẩt đim khác biữt gia lèp môđun Cấu trc môđun CohenMacaulay dÃy xuất hiữn t nhiên ng dng cềa Đại sậ giao hoán vào toán tấ hểp đểc Stanley đfinh ngha môđun phân bậc [38], trng hểp môđun vành đfia phơng đểc xt bẻi N T Cng-L T Nhàn [18], Schenzel [37] Hiữn viữc nghiên cu cấu trc môđun thu ht s quan tâm cềa nhiu nhà toán hc, đặc biữt ng dng tấ hểp l˝ thuy’t ®Â thfi (xem [19], [20], ) Bên cạnh đ, viữc nghiên cu cấu trc cềa môđun Cohen-Macaulay dÃy t kha cạnh Đại sậ giao hoán cng mẩt vấn đ quan trng thu ht nhà toán hc Các công tr nh tiêu biu theo hèng c th k đn [18], [28], [37], [38] MÈt nh˜ng k’t qu¶ quan tr‰ng nhÊt đặc trng tnh chất Cohen-Macaulay dÃy qua tnh triữt tiêu tnh chất Cohen-Macaulay cềa đậi ngẫu Matlis cềa môđun đậi đng điu đfia phơng Mẩt mẻ rẩng khác t nhiên cềa khái niữm CohenMacaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy đểc N T Cng L T Nhàn đa báo [18] Môđun Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy hai đậi tểng tip theo cềa chng luận án Chng s ch đậi vèi môđun Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy tn mẩt hữ tham sậ thÃa mÃn công thc ( ?) ẻ T đ chng ng dng đ quay lại nghiên cu cấu trc cềa môđun Mặc dễ đfinh ngha cềa môđun Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy giậng nhau, nhiên cng tơng t nh đậi vèi môđun CohenMacaulay Cohen-Macaulay suy rẩng, ká thuật làm viữc vèi hai lèp môđun ẻ khác nhau, mang đặc thễ cềa tng lèp môđun Luận án đểc chia thành bận chơng Chơng chơng chuẩn bfi Trong chơng chng nêu lại ngắn gn mẩt sậ kt quen bit Đại sậ giao hoán đ tiữn cho viữc tr nh bày kt chơng sau C th Tit 1, chng s nêu lại khái niữm môđun Cohen-Macaulay suy rẩng, khái niữm d-dÃy, d-dÃy mạnh, hữ tham sậ chuẩn tắc mẩt sậ kt liên quan, chề yu t báo [46], [43] Trong Tit 2, chng nhắc lại khái niữm kiu đa thc, hữ tham sậ pchuẩn tắc mẩt sậ tnh chất cềa chng đểc tr nh bày [8], [9], [10], [30], [31] Mẩt sậ kt v đặc trng Euler-Poincar– bËc cao cỊa ph¯c Koszul ®Ĩc tr nh bày Tit Các kt chề yu t [17], [45] Các kt cềa luận án đểc tr nh bày Chơng 2, Trong Chơng chng gièi thiữu khái niữm dd-dÃy mẩt môđun Đ dÃy phần t x1, , xs ∈ m cho vÌi m‰i n1, , ns > 0, i = 1, 2, , s th xn11 , , xnii d-dÃy M/(xni+1i+1 , , xnss )M MÈt nhng kt chnh cềa Chơng đặc trng tnh chất dd-dÃy cềa hữ tham sậ thông qua hàm đẩ dài sậ bẩi C th chng c đfinh l (xem Đfinh l 2.1.8) Đfinh l Giả s x = x1, , xd lµ mÈt hữ tham sậ cềa M Các điu sau tơng đơng: (i) x mẩt dd-dÃy M (ii) Vèi m‰i n1, , nd > 0, d `(M/x(n)M) = X n n e(x , , x , (0 : x ) i=0 i i i+1 M/(xi+2, ,xd)M ) (iii) Tn sậ nguyên a0, a1, , ad cho vÌi m‰i n1, , nd > 0, d `(M/(x n 1 n , ,x X d d )M) = ain1 ni i=0 Mẩt hữ cềa đfinh l mi hữ tham sậ p-chuẩn tắc đu dddÃy Ngểc lại, t mẩt kt cềa N T Cng th mi hữ tham sậ dd-dÃy vèi sậ m đề lèn mẩt hữ tham sậ p-chuẩn tắc Do đ s tn cềa hữ tham sậ dd-dÃy hữ tham sậ p-chuẩn tắc tơng đơng VÌi mÁi h÷ tham sË x = x1, , xd cềa M, ta đfinh ngha đặc trng Euler-Poincar– bËc k cỊa ph¯c Koszul cỊa M ¯ng vÌi x lµ d X i−k χk(x, M) = (−1) i=k `(Hi(x, M)), đ Hi(x, M) môđun đng ®i“u Koszul th¯ i MÈt k’t qu¶ cỊa Serre n„i r»ng χ0(x, M) = e(x, M) vµ χk(x, M) > vÌi m‰i k = 0, 1, , d, dÉn ®’n χ1(x, M) = `(H0(x, M)) − χ0(x, M) = `(M/xM) − e(x, M) Nh vËy t›nh chất đa thc cềa hàm `(M/x(n)M) tơng đơng vèi tnh ®a th¯c cỊa hµm χ1(x(n), M) Trong trÍng hĨp x lµ dd-d·y th d−1 X χ (x(n), M) = n n e(x , , x , (0 : x ) i=0 i i i+1 M/(xi+2, ,xd)M ) Điu dẫn đn mẩt câu hÃi mẻ luận án tin s khoa hc cềa tác giả N T Cng [1]: phải nu x mẩt hữ tham sậ p-chuẩn tắc th χk(x(n), M) n1, , nd lµ mÈt ®a th¯c theo vÌi m‰i k > 0? Tr¶ lÍi câu hÃi chng c kt quan trng th hai cềa Chơng (xem Đfinh l 2.2.3) Đfinh l˝ Cho x = x1, , xd mẩt hữ tham sậ cềa M Giả s x mẩt dd-dÃy M Khi đ vèi mi n1, , nd > 0, d−k χ (x(n), M) = k X i=0 n n e(x , , x , (0 : x ) i i i+1 Hk−1(xi+2, ,xd,M) ) Hữ lập tc trả li khẳng đfinh cho câu hÃi Hơn na chng cfln ch dạng tng minh cềa hàm k(x(n), M) trng hểp Phần cuậi cềa Chơng đểc dành đ nghiên cu tnh chất cềa môđun c mẩt hữ tham sậ dd-dÃy Trong công tr nh c s dng khái niữm dd-dÃy, vành R thng đểc giả s c phc đậi ngẫu Giả thit bảo đảm mi môđun hu hạn sinh M đu c mẩt hữ tham sậ dd-dÃy, bên cạnh đ M c nhiu tnh chất khác đng vai trfl quan trng nghiên cu c s dng dd-dÃy nh tnh đng cỊa qu‹ t›ch kh«ng Cohen-Macaulay, t›nh catenary, Tuy nhiên, thc t c nhiu v d vành R không c phc đậi ngẫu nhng catenary, c qu tch không Cohen-Macaulay đng c hữ tham sậ dd-dÃy Trong tit cuậi cềa chơng này, chng bà giả thit R c phc đậi ngẫu, ch giả s M c mẩt hữ tham sậ dddÃy nghiên cu s thay đấi cềa tnh chất khác Mẩt sậ kt ban đầu theo hèng liên quan đn đậi đng điu đfia phơng, đfia phơng mẩt trng hểp đặc biữt cềa đfinh l Triữt kiu Faltings đểc tr nh bày tit cuậi cềa chơng Chơng đểc dành cho nghiên cu v môđun Cohen-Macaulay dÃy Chng trèc ht gièi thiữu khái niữm lc thÃa mÃn điu kiữn chiu hữ tham sậ tật Các khái niữm đng vai trfl quan trng nghiên cu chơng chơng sau v môđun Cohen-Macaulay suy rÈng d·y Ta n„i mÈt l‰c F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M th·a mÃn điu kiữn chiu nu môđun cềa M dim M0 < dim M1 < < dim Mt = dim M = d K˝ hi÷u di = dim Mi MÈt h÷ tham sË x = x1, , xd mẩt hữ tham sậ tËt ®Ëi vÌi F n’u (xd +1, , xd)M ∩ Mi = vÌi i = 0, 1, , t Khi ®„ x1, i ,x di M mẩt hữ tham sậ cềa i ta c th xt hiữu X IF,M (x) = `(M/xM) − IF ,M (x) c„ t i=0 e(x1, , xdi , Mi) nhi“u t›nh chất tơng t nh hiữu IM (x) = `(M/xM) e(x, M) đà đểc xt tr- èc nghiên cu môđun Cohen-Macaulay, Cohen-Macaulay suy rẩng nhiu vấn đ khác đại sậ giao hoán C th, IF,M (x) mẩt sậ không âm, xt IF,M (x(n)) nh mÈt hµm theo n, ,n I d th hµm không giảm, Cng ch bất đẳng F,M thc (x) > tơng đơng vÌi `(M/xM) > Pt i=0 e(x1, , xdi , Mi) mẩt mẻ rẩng đáng ch cềa bất đẳng thc quen bit gia đẩ dài sậ bẩi Kt chnh cềa Chơng c th tm tắt đfinh l sau (xem Đfinh l 3.3.2) `(M/x M) > e(x, M) Đfinh l Các mữnh đ sau tơng đơng: (i) M mẩt môđun Cohen-Macaulay d·y (ii) TÂn t¹i mÈt l‰c F thÃa mÃn điu kiữn chiu mẩt hữ tham sậ tËt x = x1, , xd ®Ëi vÌi F cho IF,M (x(n)) = 0, vÌi m‰i n1, , nd > TÂn t¹i mẩt lc F thÃa mÃn điu kiữn chiu cho vÌi m‰i h÷ tham sË tËt x = x1, , xd ®Ëi vÌi F, IF,M (x) = (iii) Nh vËy, M lµ Cohen-Macaulay d·y, tÂn t¹i mÈt l‰c F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M cho vÌi m‰i h÷ tham sË tËt x = x1, , xd ta lu«n c„ X `(M/x(n)M) = t i=0 n1 ndi e(x1, , xdi , Mi) mẩt đa thc vèi mi n1, , n d > 0, ®„ di = dim Mi T mẩt đặc trng cềa mẩt hữ tham sậ dd-dÃy qua hàm đẩ dài ẻ Chơng 2, ta suy m i môđun Cohen-Macaulay dÃy c mẩt hữ tham sậ dd-dÃy Khi xt kt trng hểp vành Stanley-Reisner, h÷ sË e(x1, , xdi , Mi) đểc tnh tng minh thông qua sậ mặt cc đại cềa phc đơn h nh tơng ng vèi vành đ Trong chơng cuậi cễng chng nghiên cu lèp môđun CohenMacaulay suy rẩng dÃy Kt chng ch nu M mẩt môđun Cohen-Macaulay suy rÈng d·y vµ F lµ mÈt l‰c Cohen-Macaulay suy rẩng th tn mẩt sậ C cho vÌi m‰i h÷ tham sË tËt x cỊa M đậi vèi F, IF,M (x) < C đặt IF (M) = supIF,M (x) đ x chạy x hữ tham sậ tật cềa M đậi vèi lc F Luôn tn mẩt hữ tham sậ x cho IF,M (x(n)) = IF (M) vÌi m‰i n1, , nd > Do ®„ X t `(M/x(n)M) = i=0 n1 ndi e(x1, , xdi , Mi) + IF (M) vµ x mẩt dd-dÃy M Hằng sậ IF (M) ®Ëi vÌi m«®un Cohen-Macaulay suy rÈng d·y ®„ng vai trfl tơng t nh sậ Buchsbaum I (M ) đậi vèi môđun Cohen-Macaulay suy rẩng Kt quan trng th hai cềa Chơng viữc tnh sậ IF (M ) thông qua đẩ dài cềa mẩt sậ môđun ®Ëi ®Âng ®i“u ®fia ph¬ng Ta c„ ®finh l˝ (xem §finh l˝ 4.2.6) 88 t0 X 0 n1 nd0i e(x1, , xd0i , Di ) + c = i=2 Do ®„ t0 = s + vµ d0i Di = :M/xdM xdi+1 DÉn ®’n Di /((xdM + Di)/xdM) ' (xdM : lc Cohen-Macaulay suy rẩng nên c đẩ dài hu hạn V D0 xdi+1)/(xdM + Di) theo BÊ ®“ 4.1.3, D d Di/Di−1 vÌi i s Hơn na, t Bấ đ 3.1.6, = di cng mẩt lc Cohen-Macaulay suy rẩng V môđun Cohen-Macaulay suy rẩng vèi mi i s M/xdM + Ds mẩt môđun Cohen-Macaulay suy rẩng Ta x–t hai trÍng hĨp TrÍng hĨp dt−1 2.3.3 < d − (s = t − 1) Ta cfln phải chng minh M/D t1 cho M N = Dt−1 vµ dd-d·y x1, , xd ta c„ d·y khÌp −→ Hm i−1 i−1 (M/Dt−1) −→ Hm lµ Cohen-Macaulay suy rÈng n˜a Thay x d bẻi x3 d, áp dng Mữnh đ i (M/x dM+Dt1) −→ Hm (M/Dt−1) −→ 0, vÌi m‰i i < d Do M/x3 M + D Cohen-Macaulay suy rẩng nên t dÃy khèp suy Hm (M/Dt1) c đẩ dài hu hạn vèi mi i < d M/Dt1 mẩt môđun Cohen-Macaulay suy rẩng d t1 i Trng hÓp dt−1 = d − (s = t 2) Ta cần chng minh M/Dt1 D t1 /D t2 môđun Cohen-Macaulay suy rẩng áp dng Mữnh đ 2.3.3 cho M N = D i1 −→ Hm t−2 ta c„ d·y khÌp ng¾n i−1 (M/Dt−2) −→ Hm vÌi m‰i i < d V M/x3 M + D d Hmi(M/Dt−1) t−2 i (M/x dM+Dt−2) Hm (M/Dt1) Cohen-Macaulay suy rẩng nên ta suy c đẩ dài hu hạn, đ M/Dt−1 lµ Cohen-Macaulay suy rÈng Ngoµi ra, v Dt−1 ∩ xdM = nªn ta cÚng c„ d·y khÌp −→ Dt−1/Dt−2 −→ M/xdM + Dt−2 −→ M/xdM + Dt−1 −→ Do M/x lµ Cohen-Macaulay suy rÈng chi“u d − D /D t−1 t−2 lµ Cohen-Macaulay suy rÈng d M+D , M/x M + D t−2 d t1 89 nên Ch 4.3.3 Theo đfinh l 3.3.2 4.3.2, mẩt môđun Cohen- M Macaulay dÃy (tơng ng, Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy) ch tn mẩt hữ tham sậ tật x cho ID,M (x(n)) = (tơng ng, ID,M (x(n)) sË) vÌi m‰i n1, , nd > Trong trng hểp tấng quát, ID,M (x(n)) không thit mẩt đa thc Tuy nhiên, d thấy ID ,M (x(n)) bfi chặn bẻi mẩt đa thc, na, theo mẩt kt [16] th bậc nhà cềa đa thc chặn đ không ph thuẩc vào viữc chn hữ tham sậ đểc k hiữu pD(M) Nh vậy, M Cohen-Macaulay dÃy (tơng ng, Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy) ch pD(M) = −∞ (t¬ng ¯ng, pD(M) pD(M) 0) MÈt sậ kt [16] cho thấy viữc nghiên cu bÊt bi’n h¯a h—n nhi“u k’t qu¶ thÛ vfi, nhiên nghiên cu nh đfli hÃi nhiu công sc nằm phạm vi cềa luận án C mẩt kt l thuyt môđun Cohen-Macaulay suy rÈng n„i r»ng M lµ Cohen-Macaulay suy rÈng ch mi hữ tham sậ vèi sậ m ®Ị lÌn xn11 , , x ndd , n1, , n d 0, ®“u d-dÃy Ta cng c mẩt câu hÃi tơng t đậi vèi môđun Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy: M Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy ch tn mÈt l‰c F cho vÌi m‰i h÷ tham sË tËt x1, , xd ®Ëi vÌi F, x n11 , , xndd lµ dd-d·y vÌi m‰i n1, , nd 0? ®i“u kiữn cần đà đểc chng minh đfinh l 4.1.8 Tuy nhiên, điu ngểc lại ni chung không đng Ta c„ v› dÙ sau V› dÙ 4.3.4 X–t vµnh c¸c chuÁi lÚy thıa h nh th¯c R = S/(yt, yw, zt, zw) S = k[[x, y, z, t, w]] đặt D dàng chng minh dim R = qu tch không Cohen-Macaulay cềa M nCM(R) = {p Spec R : Rp không Cohen-Macaulay} = V (y, z, t, w) đặt D1 = R/(y, z, t, w) vµ M = D1 ⊕ R M c„ l‰c chi“u lµ D : ⊂ D1 ⊂ D2 = M M không mẩt môđun Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy v M/D1 ' R không Cohen-Macaulay suy rẩng dim nCM(R) = Gi 90 mẩt hữ tham sË tËt bÊt k cỊa M Khi ®„ x2, x3 ∈ p Ann D1 = (y, z, t, w) = a(R) V vËy xn11 , xn22 , xn33 lµ mÈt hữ tham sậ p-chuẩn tắc, đ mẩt dd-dÃy vÌi m‰i n1, n2, n3 x1, x2, x3 Trong v› dÙ ti’p theo chÛng t«i muËn chÿ r»ng lc F ni đfinh l 4.3.2 không thit lµ mÈt l‰c Cohen-Macaulay suy rÈng V› dÙ 4.3.5 X–t vµnh S = k[[x, y, z, w]], M = S/(xy, xz) vµ M1 = (xy, xz, xw)/(xy, xz) D‘ thÊy dim M = 3, dim M1 = vµ F : ⊂ M1 ⊂ M/M1 ' S/(x)∩(y, z, w) M2 = M mẩt lc thÃa mÃn điu kiữn chiu V không Cohen-Macaulay suy rẩng nên F không mẩt lc Cohen-Macaulay suy rẩng Mặt khác, d dàng kim tra w, x + y, z mẩt hữ tham sË cỊa M vµ `(M/(w n1 , (x + y) n2 n3 ,z )M) = n1n2n3 + n1n2 vÌi m‰i n1, n2, n3 > Do ®„ w, x + y, z lµ mÈt dd-d·y vµ IF,M (wn , (x + y)n , zn ) = Theo ®finh l 4.3.2, M mẩt môđun Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy Tấng quát hơn, giả s rẩng dÃy vèi lc chiu M mẩt môđun Cohen-Macaulay suy D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M vµ x1, , xd lµ mẩt dd-dÃy M đặt Mi = x1Di, lc F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M thÃa mÃn điu kiữn chiu e(x1, , xd i d = dim D i , Di) = e(x1, , xdi , Mi) vÌi m‰i < i < t, Khi ®„ i IF,M (x(n)) = ID,M (x(n)) + `(D0) = ID(M) + `(D0), vÌi m‰i n1, , nd > V dim Di/Mi = di − nên nu t > th theo Bấ đ 4.1.3, F không mẩt lc Cohen-Macaulay suy rẩng đfinh l 4.3.2 đà đa mẩt đặc trng cho tnh chất Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy thông qua tnh không đấi cềa hµm IF,M (x(n)) vÌi m‰i n1, , nd > Hữ sau cềa Bấ đ 3.3.3 Đfinh l 4.3.2 ch ta ch cần kim tra điu đ vèi hu hạn n1, , nd 91 Hữ 4.3.6 M Cohen-Macaulay suy rÈng d·y vµ chÿ c„ mÈt l c thÃa mÃn điu kiữn chiu F mẩt hữ tham sË tËt x1, , xd ®Ëi vÌi F 2 (x 1, , x d) cho IF,M (x) = IF,M H÷ 4.3.7 Cho M mẩt môđun Cohen-Macaulay suy rẩng d·y MÈt h÷ tham sË x1, , xd cỊa M lµ mÈt dd-d·y vµ chÿ c mẩt lc thÃa mÃn điu kiữn chiu F cho x1, , xd mẩt hữ tham sậ tật đậi vèi F IF,M (x1, , xd) = IF,M (x21, , x2d) 92 K’t luËn Nh vËy, luËn ¸n chng đà thu đểc kt chnh sau đa khái niữm dd-dÃy đặc trng mẩt hữ tham sậ dd-dÃy qua hàm đẩ dài T đ suy quan hữ gia dd-dÃy hữ tham sậ p-chuẩn tắc Chng minh tnh đa thc cềa ®Ỉc trng EulerPoincar– bËc cao ®Ëi vÌi lÚy thıa cỊa mẩt hữ tham sậ dd-dÃy đa dạng tng minh cềa đa thc đ Ch s tn cềa hữ tham sậ dd-dÃy chuyn qua đfia phơng mẩt sậ tnh chất cềa đậi đng điu đfia phơng qu tch không Cohen-Macaulay Gièi thiữu khái niữm lc thÃa mÃn điu kiữn chiu, hữ tham sậ tật, hàm IF,M (x1, , xd) vµ mÈt sË t›nh chất Ch s tn hữ tham sậ dd-dÃy đậi vèi môđun Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rÈng d·y Nghiªn c¯u t›nh chÊt cỊa môđun Cohen-Macaulay dÃy liên quan đn lc Cohen-Macaulay, hữ tham sậ tật, hàm đẩ dài, đậi đng điu đfia phơng đặc trng tnh chất Cohen-Macaulay dÃy qua tnh triữt tiêu cềa hàm I F,M (x1, , xd) áp dng kt đ trng hểp môđun CohenMacaulay xấp x vành Stanley-Reisner Nghiên cu lc Cohen-Macaulay suy rẩng, môđun đậi đng điu đfia ph- ơng, đfia phơng ha, cềa môđun Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy Tnh toán hàm đẩ dài, hàm IF,M (xn1 , , xndd ), sậ IF (M), hàm Hilbert-Samuel thông qua lc Cohen-Macaulay suy rẩng đặc trng môđun Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy qua tnh chất bfi chặn cềa hàm IF,M (xn1 n , , x dd ) 93 Mẩt vài hèng phát trin ng dng dd-dÃy vào nghiên cu cấu trc cềa lèp môđun rẩng môđun Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy Ni riêng, nghiên cu đặc trng cho mẩt môđun c mẩt hữ tham sậ dd-dÃy Nghiên cu quan hữ gia tnh chất Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rẩng dÃy cềa môđun môđun phân bậc liên kt, môđun Rees đậi vèi mẩt phần cềa hữ tham sậ dd-dÃy áp dng kt đà đạt đểc đậi vèi môđun Cohen-Macaulay dÃy vào trng hểp vành Stanley-Reisner nghiên cu đặc trng v tấ hểp cềa phc đơn h nh Cohen-Macaulay dÃy Các kt luận án đà đểc báo cáo thảo luận tại: - Seminar phflng đại sậ, viữn Toán hc - Seminar bẩ môn Đại sậ-H nh hc-Tôpô, khoa Toán-Cơ-Tin hc - Hẩi nghfi Toán hc Toàn quậc lần th 6, Hu 9/2002 Hẩi nghfi đại sậ-H nh hc-Tôpô, đà Lạt 11/2003 - International Conference on Commutative Algebra and Combinatorics, Allahabad, India 12/2003 - - International Conference on Commutative Algebra and Interaction with Combinatorics and Algebraic Geometry, ICTP, Triest, Italy 6/2004 - Hẩi nghfi đại sậ-H nh hc-Tôpô, thành phậ H Ch Minh 11/2005 CIMPA School and International Conference on Commutative Algebra, Hanoi 1/2006 - The Second Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra, Meiji University, Tokyo, Japan 3/2006 - Seminar on Commutative Algebra, Faculty of Mathematics, - University of Duisburg-Essen, Essen, Germany 6/2006 94 Các công tr nh liên quan đn luận án N T Cuong and D T Cuong (2003), dd-Sequences and partial Euler-Poincar– characteristics of Koszul complex, Short communication, Vietnam J Math 31(3), pp 353-358 N T Cuong, D T Cuong and H L Truong (2006), On a new invariant of modules over local rings, Proc The 2nd Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra , Meiji University, Tokyo, Japan, pp 26-37 N T Cuong and D T Cuong (2007), dd-Sequences and partial Euler- Poincar– characteristics of Koszul complex, J Algebra Appl 6(2), pp 207- 231 N T Cuong and D T Cuong (2007), On sequentially Cohen-Macaulay modules, Kodai Math J 30, pp 409-428 N T Cuong and D T Cuong (2007), On the structure of sequentially generalized Cohen-Macaulay modules, J Algebra 317, pp 714-742 D T Cuong (2007), p-Standard systems of parameters, localizations and local cohomology modules, preprint 95 Tài liữu tham khảo [1] N T Cng (1995), L thuyt kiu đa thc hữ tham sậ p-chuẩn tắc vành giao hoán ng dng, Luận án tin s‹ khoa h‰c, Hµ NÈi Ti’ng Anh [2] M Auslander and D A Buchsbaum (1958), Codimension and multi-plicity, Ann Math 68, pp 625-657 [3] [4] M Brodmann (1978), A particular class of regular domains, J Algebra 54, pp 366-373 M Brodmann, C Rotthaus and R Y Sharp (2000), On annihilators and associated primes of local cohomology modules J Pure Appl Algebra 153, pp 197-227 [5] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications , Cambridge University Press [6] [7] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen Macaulay rings, Cambridge University Press D T Cuong (2007), p-Standard systems of parameters, localizations and local cohomology modules, preprint [8] N T Cuong (1990), On the length of powers of systems of parameters in local ring, Nagoya Math J 120, pp 77-88 96 [9] N T Cuong (1992), On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local ring, Nagoya Math J 125, pp 105-114 [10] N T Cuong (1995), p-Standard systems of parameters and p-standard ideals in local rings, Acta Math Vietnam 20(1), pp 145-161 [11] N T Cuong (1998), Remarks on the non-Cohen-Macaulay locus of Noetherian scheme, Proc A M S 126, pp 1017-1022 [12] N T Cuong and D T Cuong (2003), dd-Sequences and partial Euler-Poincar– characteristics of Koszul complex, Short communication, Viet-nam J Math 31(3), pp 353-358 [13] N T Cuong and D T Cuong (2007), dd-Sequences and partial Euler-Poincare characteristics of Koszul complex, J Algebra Appl 6(2), pp 207-231 [14] N T Cuong and D T Cuong (2007), On sequentially Cohen-Macaulay modules, Kodai Math J 30, pp 409-428 [15] N T Cuong and D T Cuong (2007), On the structure of sequentially generalized Cohen-Macaulay modules, J Algebra 317, pp 714-742 [16] N T Cuong, D T Cuong and H L Truong (2006), On a new invariant of modules over local rings, Proc The 2nd Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra, Meiji University, Tokyo, Japan, pp 26-37 [17] N T Cuong and V T Khoi (1996), On the partial Euler-Poincar– characteristics of certain systems of parameters in local rings, Math Z 222, pp 383-390 [18] N T Cuong and L T Nhan (2003), Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules, J Algebra 267, pp 156-177 97 [19] S Faridi (2004), Simplicial trees are sequentially CohenMacaulay, J Pure Appl Algebra 190, pp 121-136 [20] C A Francisco and H H Tai (2006), Whiskers and sequentially Cohen-Macaulay graphs, preprint [21] S Goto (1981), Approximately Cohen-Macaulay rings, J Algebra 76, pp 214-225 [22] S Goto and K Yamagishi (1985), The theory of unconditioned strong d-sequences and modules of finite local cohomology, preprint (unpub-lished) [23] A Grothendieck (1967), Local Cohomology, Lect Notes in Math 41, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York [24] R Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, SpringerVerlag Berlin-Heidelberg-New York [25] R Hartshorne (1966), Residues and duality, Lect Notes in Math 20, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York [26] M Herrmann, S Ikeda and U Orbanz (1988), Equimultiplicity and blowing up, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York [27] J Herzog and D Popescu (2006), Finite filtrations of modules and shellable multicomplexes, preprint [28] J Herzog and E Sbara (2002), Sequentially Cohen-Macaulay modules and local cohomology, Algebra, arithmetic and geometry, Part I, II (Mumbai, 2000), 327-340, Tata Inst Fund Res Stud Math., 16, Tata Inst Fund Res., Bombay [29] C Huneke (1982), The theory of d-sequences and powers of ideals, Adv in Math 46, pp 249-279 98 [30] T Kawasaki (2000), On Macaulayfication of Noetherian schemes, Trans Amer Math Soc 352(6), pp 2517-2552 [31] T Kawasaki (2002), On arithmetic Macaulayfication of local rings, Trans Amer Math Soc 354(1), pp 123-149 [32] T Kawasaki (2006), On Faltings' Annihilator Theorem, Proc The 2nd Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra , Meiji Univer-sity, Tokyo, Japan, pp 169-174 [33] D Kirby and J-L Garcia Roig (1986), On the Koszul homology modules for the powers of a multiplicity system, Mathematika 33, pp 96-101 [34] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press [35] M Nagata (1962), Local Rings, Interscience New York [36] J-L Garcia Roig (1986), On polynomial bounds for the Koszul homol-ogy of certain multiplicity systems, J London Math Soc 33(2), pp 411-416 [37] P Schenzel (1998), On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules Proc of the Ferrara Meeting in honor of Mario Fiorentini, University of Antwerp, Wilrijk, Belgium, pp 245-264 [38] R P Stanley (1996), Combinatorics and Commutative Algebra, Second edition, Birkhaăuser Boston [39] [40] J Stuăcrad and W Vogel (1986), Buchsbaum Rings and Applications, Springer-Verlag Berlin M Tousi and S Yassemi (2005), Sequentially Cohen-Macaulay modules under base change, Comm Algebra 33, pp 3977-3987 99 [41] N V Trung (1981), A characterization of two-dimensional unmixed local rings, Math Proc Cambridge Philos Soc 89(2), pp 237-239 [42] N V Trung (1983), Absolutely superficial sequences, Math Proc Camb Phil Soc 93, pp 35-47 [43] N V Trung (1986) , Toward a theory of generalized CohenMacaulay modules, Nagoya Math J 102, pp 1-49 Ti’ng Ph¸p [44] D Ferrand and M Raynaud (1970), Fibres formelles d'un anneau local Noetherien, Ann Sc Ecole Norm Sup 3, pp 295-311 [45] J P Serre (1975), AlgÌbre Locale Multiplicit–s, 3rd ed., Lect Notes in Math 11, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York Ti’ng ®¯c [46] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung (1978), Verallgemeinerte Cohen-Macaulay Moduln, Math Nachr 85, pp 57-73 [47] G Faltings (1978), ă 192 Uber Macaulayfizierung, Math Ann 238, pp 175- [48] G Faltings (1978), ă Uber die annulatoren lokaler Kohomologiengruppen, Arch Math (Basel) 30, pp 473-476 [49] P Schenzel (1982), Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum-Ringe, Lect Notes in Math 907, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 100 Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Splitter A watermark is added at the end of each output PDF file To remove the watermark, you need to purchase the software from http://www.anypdftools.com/buy/buy-pdf-splitter.html ... môđun Cohen- Macaulay đểc gi môđun Cohen- Macaulay suy rẩng R ràng môđun Cohen- Macaulay Buchsbaum trng hểp riêng cềa môđun Cohen- Macaulay suy rẩng L thuyt môđun Cohen- Macaulay suy rẩng đểc phát... cho `(M/xM) = e(x, M), M đểc gi môđun Cohen- Macaulay C th ni môđun Cohen- Macaulay mẩt nhng cấu trc môđun đểc nghiên cu ká c nhiu ng dng Đại sậ giao hoán Nu M Cohen- Macaulay ta cÚng c„ `(M/xM) =... niữm dd- dÃy đểc đfinh ngha luận án Mẩt mẻ rẩng khác cềa môđun Cohen- Macaulay theo hèng hoàn toàn khác khái niữm môđun Cohen- Macaulay dÃy vµ Cohen- Macaulay suy rÈng d·y Ta g‰i M lµ mÈt môđun Cohen- Macaulay
Ngày đăng: 13/11/2020, 16:07
Xem thêm:
