Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết đã tìm được một số phức đơn hình sao cho các nhóm đồng điều của nó là các nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước. Hơn nữa, ở đây chúng tôi tính toán trực tiếp nhóm đồng điều 1-chiều của phức đơn hình này.
UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC Nhận bài: 09 – 02 – 2017 Chấp nhận đăng: 28 – 06 – 2017 http://jshe.ued.udn.vn/ SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CĨ CÁC NHĨM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƯỚC Lương Quốc Tuyểna*, Lê Thị Thu Nguyệta Tóm tắt: Trong Ví dụ 2.40 [1], với nhóm cyclic hữu hạn, người ta tìm CW phứcsao cho nhóm đồng điều p-chiều đẳng cấu với (khơng gian Moore) Để tính tốn nhóm đồng điều CW phức này, người ta sử dụng đồng điều CW phức bậc ánh xạ từ n mặt cầu S lên Nhưng khơng biết khơng gian Moore có phức đơn hình hay khơng Mục đích chúng tơi tìm phức đơn hình cho nhóm đồng điều nólà nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước, chúng tơi tính tốn trực tiếp nhóm đồng điều 1-chiều phức đơn hình Đầu tiên, với nhóm cyclic hữu hạn chúng tơi xây dựng phức đơn hình sử dụng phương pháp tương tự [2] (§78) để tính tốn nhóm đồng điều 1-chiều Nhóm đẳng cấu với nhóm cyclic hữu hạn cho trước Sau đó, chúng tơi xây dựng phức đơn hình khác tính tốn nhóm đồng điều p-chiều dựa vào dãy Mayer - Vietoris [3](§25) Từ khóa: CW phức; phức đơn hình; nhóm cyclic; nhóm đồng điều; khơng gian Moore Giả sử {a0 , a1 , , an } hệ độc lập Affine Giới thiệu Ta biết rằng, nhóm cyclic hữu hạn, tồn CW phức cho nhóm đồng điều p-chiều đẳng cấu với (xem Ví dụ 2.40 trong[1]) Để tính tốn nhóm đồng điều CW phức này, người ta sử dụng đồng điều CW phức bậc ánh xạ từ mặt n cầu S lên Nhưng khơng biết khơng gian Moore có phức đơn hình hay khơng Mục đích chúng tơi tìm phức đơn hình cho nhóm đồng điều 2-chiều nhóm cyclic hữu hạn Ở chúng tơi tính tốn trực tiếp nhóm đồng điều 2-chiều phức đơn hình ¡ N Khi đó, n n i =0 i =0 = x = ti : t0 , t1 , , tn 0, ti = 1 gọi đơn hình n-chiều sinh {a0 , a1 , , an } Giả sử K ¡ N Khi đó, phức đơn hình K họ gồm đơn hình ¡ N thỏa mãn điều kiện sau: (1) Nếu K , p , K (2) Nếu , K , = mặt chung đơn hình , Giả sử Cơ sở lí thuyết phương pháp nghiên cứu K phức đơn hình, Ap tập tất p-đơn hình định hướng K Khi đó, Ap 2.1 Cơ sở lí thuyết khác rỗng, p-xích aTrường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng * Liên hệ tác giả Lương Quốc Tuyển Email: lqtuyen@ued.udn.vn vào K hàm từ tập Ap ¢ thỏa mãn điều kiện sau: (1) −c( ) = c( ) , Ap đối diện Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 19-23 | 19 Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt (2) Tồn tập Ap tập hữu hạn Ap cho: c( ) = với Ap \ Ap Kí hiệu C p ( K ) tập tất p-xích Khi đó, C p ( K ) nhóm Abel gọi nhóm p-xích Hạt nhân đồng cấu p : C p ( K ) → C p −1 ( K ) gọi nhóm p-chu trình kí hiệu Hình Giả sử giá trị c1 [u1 , u2 ] Khi đó, c2 = c1 + ( [u1 , I1 , u2 ]) Z p ( K ), ảnh đồng cấu p +1 : C p +1 ( K ) → C p ( K ) gọi nhóm p-biên kí hiệu B p ( K ) 2.2 Phương pháp nghiên cứu Chúng tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết trình thực báo; nghiên cứu số tài liệu tác giả trước, cách tương tự hóa để đưa kết cho báo xích có giá trị đơn hình định hướng [u1 , u2 ] Hơn nữa, [o, u1 ] không xuất biểu diễn ([u1 , I1 , u2 ]) c1 đồng điều với c2 nên c2 có giá trị [o, u1 ] Do đó, ta đẩy [o, u1 ], [u1 , u2 ] khỏi c Bằng cách tương tự, ta sử dụng đơnhình định hướng [I1 , u1 , p], [I1 , p, q], [I1 , q, u2 ], [q, a, u2 ], Kết đánh giá [u1 , a, p] đẩy [I1 , u1 ], [I1 , p], [I1 , q], 3.1 Kết 3.1.1 Định lí Với nhóm cyclic hữu hạn cho trước, tồn phức đơn hình hữu hạnsao cho có nhóm đồng điều 1-chiều đẳng cấu với [u2 , q], [u1 , p] khỏi c * Chứng minh Đối với m ¥ cho m 2, ta Tiếp tục trình cho tam giác chứa điểm I , I3 , , I m ta suy c đồng điều với 1-xích d , mà có giá phức M biểu diễn Hình gọi M phức đơn hình biểu diễn đa giác mcạnh (xem Hình 1) Đầu tiên ta quy 1-chu trình 1-chu trình đặc biệt theo cách sau: Giả sử c 1-xích cho trước, giá trị c [o, u1 ] Khi đó, cách tính tốn trực tiếp, ta suy rằng: c1 = c − ( [o, u1 , u2 ]) Hình xích có giá trị đơn hình định hướng [o, u1 ] Như Chú ý phức không chứa đơn hình vậy, cách cải biên c tốn tử biên, ta “đẩy [o, u1 ], [o, u2 ], , [o, um−1 ], chứa đơn hình [0, u1 ] khỏi nó” c đồng điều với c1 Sau đó, [o, um ] tương tự vậy, ta “đẩy [u1 , u2 ] khỏi c1 ” Bây giờ, c chu trình, d chu trình Điều suy giá trị d đơn 20 ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 19-23 hình [o, um ] phải (vì ngược lại, 1d có giá trị khác khơng đỉnh o.) Ta thấy rằng, giá trị d đơn hình [u2 , I1 ], [u3 , I ], , [um , I m−1 ], [u1 , I m ] phải (vì ngược lại, 1d có đỉnh I1 , I , , I m có giá trị khác không) Ta thấy giá trị d đơn hình [u1 , a], [u2 , a], , [um , a] phải (vì ngược lại, 1d có đỉnh u1 , u2 , , um có Suy tồn 2-xích e = i i Bởi giá trị e 1-đơn hình mà khơng nằm biên đa giác m-cạnh nên tacó i = j với i, j {1, 2, , m} Như vậy, e = 1m([a, p] + [p, q] + [q, a]) Suy = 1m Điều kéo theo = đơn cấu Từ chứng minh ta suy Do đó, với 1-chu trình M đồng điều với 1-chu trình có giá trị biên đa giác m-cạnh (xem Hình 1) Cuối cùng, ta thấy rằng, giá d = [a, p] + [p, q] + [q, a] ( , , ¢ ) Khi đó, d = ( p − a) + (q − p ) + (a − q ) = ( − ) p + ( − )q + ( − )a M cho e = [a, p] + [p, q] + [q, a] giá trị khác không) Bây giờ, giả sử rằng: H1 ( M ) ¢ m M tập liên thông °0 nhóm tầm thường nên nhóm đồng điều rút gọn H 3.1.2 Định lí Với số tự nhiên m 2, tồn phức đơn hình hữu hạn mà có nhóm đồng điều 2-chiều đẳng cấu với ¢ m Mặt khác, d chu trình nên = = Do đó, d = [a, p ] + [p, q ] + [q, a ] Ta xác định ánh xạ : ¢ m → H1 ( M ) cho ( ) = [a, p] + [p, q] + [q, a] + B1 ( M ), giả sử { i } tập tất 2-đơn hình định hướng M (xem Hình 1) Khi đó, ( i ) = m([a, p] + [p, q] + [q, a]) Hơn nữa, ánh xạ xác định đắn đồng cấu Từ lập luận trên, ta suy tồn cấu từ ¢ m lên H1 ( M ) Bây giờ, ta chứng minh đơn cấu Thật vậy, giả sử ¢ m cho ( ) = B1 ( M ) Khi đó, [a, p] + [p, q] + [q, a] B1 (M ) Hình Chứng minh Cho T phức đơn hình biểu diễn đa diện 2m-mặt cho phần tử biểu diễn Hình Tương tự Định lí 3.1.1, ta tính trực tiếp H (T ) ¢ m Bây giờ, ta dùng dãy khớp MayerVietoris để chứng minh điều Thật vậy, giả sử M phức chứng minh Định lí 3.1.1 Khi đó, M phức phức đơn hình T gồm tất đơn hình 21 Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt nằm mặt phẳng ou1u2 Giả sử K1 , K Bp ( K L) Z p ( K L); phức phức đơn hình Bp ( K ) Z p ( K ); Bp ( L) Z p ( L) T gồm tất đơn hình nằm phía phía mặt phẳng ou1u2 tương ứng Khi đó, ta có nên ta thu H p ( K L) = H p ( K ) H p ( L) T = K1 K , M = K1 K Bởi K1 , K2 nón nên nhóm đồng điều rút gọn chúng tầm thường Do đó, sử dụng dãy khớp Mayer-Vietoris ° p (M ) → H ° p (K ) H ° p (K ) → H ° p (T ) → H ° p −1 ( M ) → H ° p −1 ( K ) H ° p −1 ( K ) →H ° p −1 (T ) → →H giá giao đỉnh v chung phức đơn hình Khi đó, với p ¥ , ta có ° p ( K L) = H ° p (K ) H ° p ( L) H °q ({v}) nhóm tầm thường Chứng minh Bởi H với số nguyên q nên sử dụng dãy khớp Mayer- Vietoris ta ° p (T ) H ° p −1 ( M ) H °2 (T ) H °1 (M) ¢ Như vậy, H (T ) = H m Chú ý rằng, ta có °1 (T ) H °0 (M) = 0; H1 (T ) = H °0 (T ) = H Hoàn toàn tương tự chứng minh Định lí 3.1.2, cách sử dụng tích treo dãy khớp Mayer-Vietoris (xem§25 trang 142 [3]), ta thu 3.1.3 Định lí Với số tự nhiên m với p 1, tồn phức đơn hình hữu hạn T cho với q ¢ \ {0, p} ta có °0 (T ) = 0, H (T ) = H p (T ) ¢ m , H q 3.1.4 Bổ đề Giả sử K , L hai phức đơn hình cho giá chúng rời Khi đó, với p ¥ , ta có H p ( K L) = H p ( K ) H p ( L) Chứng minh Bởi C p ( K L) = C p ( K ) C p ( L) ° p ({v}) → H ° p (K ) H ° p (L) → H ° p ( K L) → H ° p ({v}) → H ° p −1 ({v}) →H ° p −1 ( K ) H ° p −1 (L) → H ° p −1 (K L) → →H ta thu ° p (K ) H ° p ( L) H ° p ( K L) H Ta biết nhóm Abel hữu hạn sinh đẳng cấu với tổng trực tiếp nhóm cyclic hữu hạn nhóm cyclic vơ hạn, nhóm đồng điều p-chiều phức đơn hình biên đơn hình (p+1)-chiều đẳng cấu với nhóm cyclic vơ hạn Do đó, nhờ Định lí 3.1.3, Bổ đề 3.1.5 ta thu định lí sau 3.1.6 Định lí Giả sử G nhóm Abel hữu hạn * sinh p ¥ mà p Khi đó, tồn phức đơn hình hữu hạn K chovới q ¢ \ {p}, ta có ° p ( K ) G, H °q ( K ) = H 3.1.7 Định lí Cho G1 , G2 , , Gn dãy nhóm Abel hữu hạn sinh cho tồn p0 thỏa mãn G p = với p p0 Khi đó, tồn phức đơn hình hữu hạn nên ta có Z p ( K L) = Z p ( K ) Z p ( L), B p ( K L) = B p ( K ) B p ( L) Hơn nữa, 22 3.1.5 Bổ đề Cho K , L hai phức đơn hình mà có K ° p ( K ) G với p ¥ * cho H p Sử dụng Định lí 3.1.3 Bổ đề 3.1.5 ta thu kết sau ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 19-23 3.1.8 Định lí Cho G0 , G1 , G2 , dãy gồm nhóm Abel hữu hạn sinh cho G0 tự tồn p0 thỏa mãn Kết luận G p = với p p0 Khi đó, tồn phức đơn hình hữu hạn L ° p ( L) G với p ¥ cho H p Chứng minh Giả sử K phức đơn hình thỏa mãn điều kiện Định lí 3.1.7 r số phần tử có sở G0 Ta bổ sung lí 3.1.6 Định lí 3.1.7 Các kết tương tự kết liên quan đến CW phức tài liệu đưa trước r − đỉnh phân K cho đỉnh không thuộc vào giá K Khi đó, ta thu phức đơn hình L cần tìm biệt vào 3.2 Đánh giá Các nhà toán học giới chưa chứng minh CW phức phức đơn hình Do vậy, báo này, đưa số kết mới: Định lí 3.1.1, Định lí 3.1.2, Định lí 3.1.3, Định Trong báo này, chúng tơi tìm số phức đơn hình cho nhóm đồng điều nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước Hơn nữa, chúng tơi tính tốn trực tiếp nhóm đồng điều 1-chiều phức đơn hình Tài liệu tham khảo [1] Allen Hatcher (2009), Algebraic Topology, Cambridge [2] James R Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, Inc [3] James R Munkres (1984), Elements of Algebraic Topology, The Ben jamin/ Cummings Publishing Company, Inc EXISTENCE OF SIMPLICIAL COMPLEXS CONTAINING HOMOLOGY GROUPS ISOMORPHIC TO GIVEN FINITELY GENERATED ABELIAN GROUPS Abstract: In Example 2.40 in [1], for each finite cyclic group, a CW Complex has been found with its p-th homologygroup isomorphic to itself (Moore Spaces) To calculate the homology groups of this CW complex, usage has been made of the homology of CW Complexes and the degree of a mapping from the sphere S n into itself But it is not known whether Moore spaces are Simplicial Complexes or not Our aim is to find a Simplicial Complex whose homology groups are isomorphic to finitely generated abelian groups, where we are to directly compute the 1st homology group of this Simplicial Complex First, for each finite cyclic group, we construct a Simplicial Complex and use the similar method in [2] (§78) to compute its 1st homology group This group is isomorphic to the given finite cyclic group Later, we construct the other Simplicial Complex and compute its p-th homology group based on Mayer Vietoris sequences in [3] (§25) Key words: CW complex; simplicial complex; cyclic group; homologygroup; Moore space 23 ... biết nhóm Abel hữu hạn sinh đẳng cấu với tổng trực tiếp nhóm cyclic hữu hạn nhóm cyclic vơ hạn, nhóm đồng điều p-chiều phức đơn hình biên đơn hình (p+1)-chiều đẳng cấu với nhóm cyclic vơ hạn Do... nhóm cyclic hữu hạn cho trước, tồn phức đơn hình hữu hạnsao cho có nhóm đồng điều 1-chiều đẳng cấu với [u2 , q], [u1 , p] khỏi c * Chứng minh Đối với m ¥ cho m 2, ta Tiếp tục trình cho tam giác... G nhóm Abel hữu hạn * sinh p ¥ mà p Khi đó, tồn phức đơn hình hữu hạn K chovới q ¢ {p}, ta có ° p ( K ) G, H °q ( K ) = H 3.1.7 Định lí Cho G1 , G2 , , Gn dãy nhóm Abel hữu hạn sinh cho