BT thamkhao GT2 nhom2

Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học BÀI TẬP THAM KHẢO GIẢI TÍCH II Nhóm ngành Mã học phần: MI 1122 1) Kiểm tra kỳ hệ số 0.3, Tự luận, 60 phút Nội dung: Từ Chương đến hết Ứng dụng phép tính vi phân hình học khơng gian 2) Thi cuối kỳ hệ số 0.7, Tự luận, 90 phút Chương Hàm số nhiều biến số Bài Tìm miền xác định hàm số sau: a) z = b) z = c) z = arcsin x2 + y − d) z = (x2 + y − 1) (4 − x2 − y ) √ y−1 x x sin y Bài Tìm giới hạn (nếu có) hàm số sau: a) f (x, y) = y4 , x4 + y b) f (x, y) = y2 , x2 + 3xy c) f (x, y) = − cos x2 + y , x2 + y d) f (x, y) = x(ey − 1) − y(ex − 1) , x2 + y (x → 0, y → 0) (x → ∞, y → ∞) (x → 0, y → 0) (x → 0, y → 0) Bài Tính đạo hàm riêng hàm số sau: a) z = ln x + b) z = y sin c) z = xy , (x > 0) x2 + y x y d) u = e x2 +y2 +z2 Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học Bài Khảo sát liên tục hàm số tồn đạo hàm riêng  x arctan y , x = a) f (x, y) = x 0, x =   x sin y − y sin x , (x, y) = (0; 0) x2 + y b) f (x, y) = 0, (x, y) = (0; 0) Bài Giả sử z = yf (x2 − y ), f hàm số khả vi Chứng minh hàm số z hệ thức sau thỏa mãn ′ ′ z zx + zy = x y y Bài Tìm đạo hàm riêng hàm số hợp sau: a) z = eu −2v , u = cos x, v = b) z = ln (u2 + v ) , u = xy, v = x2 + y x y c) z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t3 Bài Cho f hàm số khả vi đến cấp hai R Chứng minh hàm số ω(x, t) = f (x−3t) ∂ 2ω ∂ 2ω thỏa mãn phương trình truyền sóng = ∂t ∂x Bài Tìm vi phân tồn phần hàm số sau: a) z = sin(x2 + y ) b) z = ln tan y x c) z = arctan d) u = xy x+y x−y 2z Bài Tính gần a) A = (2, 02)3 + e0,03 b) B = (1, 02)1,01 Bài 10 Tìm đạo hàm, đạo hàm riêng hàm số ẩn xác định phương trình sau: a) x3 y − y x = a4 , tính y ′ b) x2 + y + z + ez = 0, tính zx ′ , zy ′ c) arctan x+y y = , tính y ′ a a d) x3 + y + z − 3xyz = 0, tính zx ′ , zy ′ Bài 11 Cho hàm số ẩn z = z(x, y) xác định phương trình 2x2 y + 4y + x2 z + z = Tính ∂z ∂z (0; 1), (0; 1) ∂x ∂y x+z , tính ux ′ , uy ′ biết z hàm số ẩn x, y xác định phương y+z trình zez = xex + yey Bài 12 Cho u = Đại học Bách Khoa Hà Nội Bài 13 Phương trình z + Viện Toán ứng dụng Tin học = x y − z , xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh 1 x2 z x ′ + z y ′ = y z Bài 14 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau: a) z = c) z = arctan (x2 + y )3 b) z = x2 ln(x + y) y x d) z = sin(x3 + y ) Bài 15 Tính vi phân cấp hai hàm số sau: a) z = xy − x2 y b) z = e2x (x + y ) c) z = ln(x3 + y ) Bài 16 Tìm cực trị hàm số sau: a) z = 4x3 + 6x2 − 4xy − y − 8x + b) z = 2x2 + 3y − e−(x c) z = 4xy − x4 − 2y 2 +y ) d) z = xy + − x y 12 e) z = e2x (4x2 − 2xy + y ) f) z = x3 + y − (x + y)2 Bài 17 Tìm cực trị hàm số z = x2 + y với điều kiện 3x − 4y = Bài 18 Tìm điểm thuộc elip 4x2 + y = cho xa điểm A(1; 0) Bài 19 Tính giá trị lớn bé hàm số a) z = x2 + y + xy − 7x − 8y hình tam giác giới hạn đường thẳng x = 0, y = 0, x + y = b) z = 4x2 − 9y miền giới hạn đường elip x2 y + =1 Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học Chương Ứng dụng phép tính vi phân hình học Ứng dụng hình học phẳng Bài 20 Viết phương trình tiếp tuyến pháp tuyến với đường cong a) y = x3 + 2x2 − 4x − điểm (−2; 5) b) y = e1−x giao điểm đường cong với đường thẳng y = c) x = cos t + t sin t, y = sin t − t cos t điểm ứng với t = π/2 Bài 21 Tính độ cong a) y = ln(cos x) điểm ứng với x = π/4 b) x = t3 + y = ln(2t − 1) điểm M (3; 0) Bài 22 Tìm điểm M parabol P : y = x2 − 4x + cho độ cong P M đạt lớn Ứng dụng hình học không gian Bài 23 Giả sử p(t), q(t), α(t) hàm khả vi Chứng minh a) b) dq(t) dp(t) d (p(t)q(t)) = p(t) + q(t) dt dt dt d dp(t) (α(t)p(t)) = α(t) + α′ (t)p(t) dt dt Bài 24 Đường cong C biểu diễn hàm vectơ r(t) Giả sử r(t) hàm khả vi r′ (t) ln vng góc với r(t) Chứng minh C nằm mặt cầu tâm gốc tọa độ Bài 25 Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường a) x = a sin2 t, y = b sin t cos t, z = c cos2 t điểm ứng với t = π/4, (a, b, c > 0) Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học √ √ b) x = cos t, y = sin t, z = cos2 t + điểm M ( 2; 2; 3) Bài 26 Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong a) x2 + 3y + 2z = điểm (2; −1; 1) b) z = ln(2 + 3x2 − 4y ) điểm (1; 1; 0) c) 2x2 − y + 2z = điểm (1; −1; 1) d) x2 + 2y − yz = điểm (1; 1; 3) e) (x − 1)2 + (y − 1)2 + z = 25 điểm (4; 1; −4) Bài 27 Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường a) x2 + y + z = 25 3x + 4y + 5z = b) 2x2 + 3y + z = 47 x2 + 2y = z điểm A(4; −3; 0) điểm B(−2; 1; 6) Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học Chương Tích phân kép Tích phân kép Bài 28 Thay đổi thứ tự lấy tích phân tích phân sau √ a) f (x, y)dy dx π x c) x3 b) √ f (x, y)dx dy d) sin x y √ 4−y f (x, y)dx dy f (x, y)dx + dy 2−y √ 1−y f (x, y)dy dx 1+ 1+x2 √ Bài 29 Tính tích phân sau a) x2 x dxdy, D = {(x, y) ∈ R2 : ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 1} + y2 D b) (2y − x)dxdy, D miền giới hạn đường cong y = x2 y = D |x − y|dxdy, D = {(x, y) ∈ R2 : ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1} c) D d) y − x2 dxdy, D miền giới hạn đường y = x, x = y = x D 2xydxdy, D giới hạn đường x = y , x = −1, y = y = e) D f) (|x| + |y|)dxdy |x|+|y|≤1 g) dx √ 4x dy +1 y5 Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học Bài 30 Tìm cận lấy tích phân toạ độ cực định sau a) a2 ≤ x2 + y ≤ b2 b) x2 + y ≥ x, x2 + y ≤ 2x, x ≤ y, y ≤ c) f (x, y)dxdy, D miền xác D √ 3x x2 y + ≤ 1, y ≥ 0, (a, b > 0) a2 b Bài 31 Dùng phép đổi biến toạ độ cực, tính tích phân sau √ R a) Rx−x2 Rx − x2 − y dy, dx √ (R > 0) − Rx−x2 b) x2 + y dxdy, với D : x2 + y ≤ x x D c) (x2 + y )dxdy, với D : {(x, y) ∈ R2 : ≤ x2 + y ≤ 4, ≤ y ≤ x} D d) xydxdy, với D 1) D mặt tròn: (x − 2)2 + y ≤ 2) D nửa mặt tròn: (x − 2)2 + y ≤ 1, y ≥ |x − y|dxdy, với D : x2 + y ≤ e) D Bài 32 Chuyển tích phân sau theo hai biến u v a) x f (x, y)dy, đặt dx −x u=x+y v =x−y b) Áp dụng tính với f (x, y) = (2 − x − y)2 Bài 33 Tính tích phân sau dxdy , D : (x + y )2 a) D b) D c) D 1+ x2 + y2 y ≤ x2 + y ≤ 2y √ x ≤ y ≤ 3x dxdy, D : x2 + y ≤  2  2x ≤ x + y√≤ 12 xy dxdy, D : x2 + y ≥ 3y  x2 + y  x ≥ 0, y ≥ Đại học Bách Khoa Hà Nội d) Viện Toán ứng dụng Tin học |9x2 − 4y |dxdy, D : x2 y + ≤1 D e) (4xy + 3y)dxdy, ≤ xy ≤ 4, x ≤ y ≤ 9x D 3.1 Ứng dụng tích phân bội Bài 34 Tính diện tích miền D giới hạn đường y = x, y = 2x x2 = y, x2 = 2y Bài 35 Tính diện tích miền D giới hạn y = 0, y = 4ax x + y = 3a, y ≤ 0, (a > 0) Bài 36 Tính diện tích miền D xác định 2x ≤ x2 + y ≤ 4x ≤ y ≤ x Bài 37 Tính diện tích miền D xác định r ≥ 1; r ≤ √2 cos ϕ Bài 38 Tính diện tích miền D giới hạn đường r = a(1 + cos ϕ), (a > 0) Bài 39 Chứng minh diện tích miền D xác định x2 + (αx − y)2 ≤ không đổi ∀ α ∈ R Bài 40 Tính thể tích miền xác định x + y ≥ 1, x + 2y ≤ 2, y ≥ 0, ≤ z ≤ − x − y Bài 41 Tính thể tích miền giới hạn mặt z = − x2 − y , 2z = + x2 + y Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Tốn ứng dụng Tin học Chương Tích phân đường Tích phân đường loại Tính tích phân sau: Bài 42 (xy + x + 2y)ds, C đường cong x = cos t, y = sin t với ≤ t ≤ π/2 C Bài 43 xyds, C nửa đường elip x2 + y = 1, y ≥ C Bài 44 (x − y)ds, C đường tròn x2 + y = 2x C Bài 45 y ds, C đường có phương trình C x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π, a > 0) Tích phân đường loại Tính tích phân sau: Bài 46 (x2 + y )dx + (3xy + 1)dy, L cung parabol y = x2 từ O(0; 0) đến M (1; 1) L Bài 47 (2x − y)dx + xdy, C đường cong C t, (0 ≤ t ≤ 2π, a > 0) Bài 48 x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t) theo chiều tăng 2(x2 + y )dx + x(4y + 3)dy ABCA đường gấp khúc qua A(0; 0), ABCA B(1; 1), C(0; 2) Bài 49 ABCDA D(0; −1) dx + dy , ABCDA đường gấp khúc qua A(1; 0), B(0; 1), C(−1; 0) |x| + |y| Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học Bài 50 Tính tích phân sau (xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy C hai cách: tính trực tiếp, tính nhờ cơng thức Green so sánh kết quả, với C đường a) x2 + y = R2 Bài 51 b) x2 + y = 2x x2 y + c) x2 y + = 1, (a, b > 0) a2 b x y dy − y x + dx 4 x2 +y =2x Bài 52 ex [(1 − cos y)dx − (y − sin y)dy] , OABO đường gấp khúc qua O(0; 0), OABO A(1; 1) B(0; 2) Bài 53 (xy + ex sin x + x + y)dx − (xy − e−y + x − sin y)dy x2 +y =2x Bài 54 xy + x2 + y cos(xy) dx + x3 + xy − x + x cos(xy) dy, C đường C cong x = a cos t, y = a sin t, (a > 0) Bài 55 Dùng tích phân đường loại hai tính diện tích miền giới hạn nhịp cycloid: x = a(t − sin t); y = a(1 − cos t) trục Ox, (a > 0) (3;0) Bài 56 (x4 + 4xy )dx + (6x2 y − 5y )dy (−2;−1) (2;2π) Bài 57 1− y2 y cos x x dx + sin y y y + cos dy x x x (1;π) Bài 58 Tính tích phân đường (y − ey sin x)dx + (x2 + 2xy + ey cos x)dy, với C nửa đường C tròn x = 2y − y2, từ O(0; 0) đến P (0; 2) Bài 59 Tìm số a, b để biểu thức (y + axy + y sin(xy))dx + (x2 + bxy + x sin(xy))dy vi phân toàn phần hàm số u(x, y) Hãy tìm hàm số u(x, y) Bài 60 Tìm hàm số h(y) để tích phân h(y)[y(2x + y )dx − x(2x − y )dy] AB không phụ thuộc vào đường miền xác định Với h(y) vừa tìm được, tính tích phân từ A(0; 1) đến B(−3; 2) Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học Chương Lý thuyết trường Bài 61 Tính đạo hàm theo hướng ℓ hàm u = 3x3 + y + 2z − 2xyz điểm A(1; 2; 1) với −→ ℓ = AB, B(2; 4; 2) ∂u Bài 62 Cho hàm số u(x, y, z) = x3 + 3x2 y + 2yz Tính đạo hàm − điểm A(1; 1; −1), ∂→ n → − n vectơ pháp tuyến hướng mặt cầu x2 + y + z = điểm A −−→ Bài 63 Tính mơđun gradu, với u = x3 + y + z − 3xyz −−→ −−→ → − A(2; 1; 1) Khi gradu vng góc với Oz, gradu = ? −−→ Bài 64 Tính gradu, với u = r2 + + ln r, với r = r x2 + y + z Bài 65 Theo hướng biến thiên hàm số u = x sin z − y cos z từ gốc O(0; 0; 0) lớn nhất? √ −−→ Bài 66 Tính góc hai vector gradz hàm số z = x2 + y z = x − 3y + 3xy (3; 4) Bài 67 Trong trường vectơ sau đây, trường trường thế? Tìm hàm vị (nếu có) a) F = (x2 − 4xy)i + (2x3 − 2z)j + ez k b) F = (yz + 1)i + (xz + 2y)j + (xy − 3)k c) F = (x + y)i + (x + z)j + (z + y)k d) F = C xi + y j + z k (x2 + y + z )3 , C = số e) F = (3x2 + 2yz)i + (y + 2xz + ey )j + (9z + 2xy)k Viện Toán ứng dụng Tin học