1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Quan hệ

23 112 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 23
Dung lượng 223,92 KB

Nội dung

CHU . O . NG III: QUAN H ˆ E . 3.1. QUAN H ˆ E . V ` AC ´ AC T ´ INH CH ˆ A ´ TCU ’ AN ´ O. 3.1.1. D - i . nh ngh˜ıa v`a th´ıdu . : 3.1.1.1. Mo . ’ d¯ ˆa ` u: C´ac mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . anh˜u . ng phˆa ` ntu . ’ cu ’ a c´ac tˆa . pho . . p xuˆa ´ t hiˆe . n trong nhiˆe ` ubˆo ´ ica ’ nh. Thu . `o . ng ng`ay ta vˆa ˜ ng˘a . p c´ac mˆo ´ i quan hˆe . n`ay, ch˘a ’ ng ha . nmˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . amˆo . t tru . `o . ng ho . cv´o . isˆo ´ d¯ i ˆe . n thoa . icu ’ a n´o, mˆo ´ i quan hˆe . cu ’ a mˆo . t gi´ao viˆen v´o . ilu . o . ng cu ’ a ngu . `o . i d¯´o, mˆo ´ i quan hˆe . cu ’ amˆo . t ngu . `o . iv´o . i ngu . `o . i thˆan cu ’ a anh ta . Trong to´an ho . c, ta nghiˆen c´u . u c´ac mˆo ´ i quan hˆe . nhu . mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . amˆo . tsˆo ´ nguyˆen du . o . ng v`a mˆo . tu . ´o . csˆo ´ cu ’ a n´o, mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . amˆo . tsˆo ´ nguyˆen v`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen kh´ac d¯ˆo ` ng du . v´o . i n´o theo mˆod¯ulˆo n,mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . a mˆo . tsˆo ´ thu . . c v`a mˆo . tsˆo ´ thu . . c kh´ac l´o . nho . n n´o . C´ac mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . anh˜u . ng phˆa ` ntu . ’ cu ’ a c´ac tˆa . pho . . pd¯u . o . . cbiˆe ’ udiˆe ˜ nb˘a ` ng c´ach d`ung mˆo . tcˆa ´ u tr´uc d¯u . o . . cgo . i l`a quan hˆe . . C´ach tru . . ctiˆe ´ p nhˆa ´ t d¯ ˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ nmˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a hai tˆa . pho . . pl`ad`ung c´ac c˘a . pta . obo . ’ i hai phˆa ` ntu . ’ c´o quan hˆe . .V`ıl´y do d¯´o, tˆa . p c´ac c˘a . pd¯u . o . . cgo . i l`a quan hˆe . hai ngˆoi. 3.1.1.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho hai tˆa . pho . . p A v`a B.Mˆo . t quan hˆe . hai ngˆoi t`u . A d¯ ˆe ´ n B l`a mˆo . ttˆa . p con R cu ’ a t´ıch Descartes A × B. Ta n´oi phˆa ` ntu . ’ a ∈ A c´o quan hˆe . R v´o . i phˆa ` ntu . ’ b ∈ B nˆe ´ u(a, b) ∈ R v`a k´yhiˆe . ul`aaRb Th´ıdu . :1)Cho A l`a tˆa . pho . . p c´ac sinh viˆen cu ’ aD - a . iho . cHuˆe ´ v`a B l`a tˆa . pho . . p c´ac mˆon ho . c. Cho R l`a quan hˆe . bao gˆo ` m c´ac c˘a . p(a, b) trong d¯´o a l`a sinh viˆen ho . c mˆon b. Ch˘a ’ ng ha . n, ba . n An v`a ba . nT`ung l`a sinh viˆen cu ’ aD - a . iho . cHuˆe ´ d¯ ˆe ` uho . c mˆon Nhˆa . p mˆon d¯a . isˆo ´ c´o m˜a sˆo ´ l`a NMDSO, th`ı c´ac c˘a . p (An, NMDSO) v`a (T`ung, NMDSO) thuˆo . c R.Nˆe ´ u An c`on ho . c mˆon Gia ’ it´ıch 1 c´o m˜a sˆo ´ l`a GTICH1 th`ı c˘a . p (An, GTICH1) c˜ung thuˆo . c R. Tuy nhiˆen nˆe ´ u T`ung khˆong ho . c mˆon GTICH1 th`ı c˘a . p (T`ung, GTICH1) khˆong thuˆo . c R. 2) Cho A l`a tˆa . pho . . p c´ac quˆa . n, huyˆe . nv`aB l`a tˆa . pho . . p c´ac tı ’ nh th`anh cu ’ a Viˆe . t Nam. Ta d¯i . nh ngh˜ıa quan hˆe . R b˘a ` ng c´ach chı ’ r˜o r˘a ` ng (a, b) thuˆo . c R nˆe ´ u quˆa . nhayhuyˆe . n a thuˆo . ctı ’ nh hay th`anh phˆo ´ b. Ch˘a ’ ng ha . n, (Ph´uLˆo . c, Th`u . a Thiˆen Huˆe ´ ), (Ba D - `ınh, H`a Nˆo . i), (Ph´u Quˆo ´ c, Kiˆen Giang), (Nam D - `an, Nghˆe . An), (Tˆan B`ınh, TP. Hˆo ` Ch´ı Minh) v`a (Buˆon D - ˆon, Daklak) d¯ˆe ` u thuˆo . c R. 3.1.1.3. ´ Anh xa . nhu . mˆo . t quan hˆe . : H˜ay nh´o . la . ir˘a ` ng mˆo . t ´anh xa . f t`u . tˆa . p ho . . p A d¯ ˆe ´ ntˆa . pho . . p B g´an cho mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A mˆo . t phˆa ` ntu . ’ duy nhˆa ´ tcu ’ a B. D - ˆo ` thi . cu ’ a f l`a tˆa . p c´ac c˘a . p(a, b) sao cho b = f(a). V`ı d¯ˆo ` thi . cu ’ a f l`a mˆo . ttˆa . p con cu ’ a A × B, nˆen n´o l`a mˆo . t quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n B. Ngu . o . . cla . i, nˆe ´ u R l`a mˆo . t quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n B sao cho mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A l`a phˆa ` ntu . ’ d¯ ˆa ` u tiˆen cu ’ ad¯´ung mˆo . tc˘a . pcu ’ a R,th`ıc´othˆe ’ d¯ i . nh ngh˜ıa d¯u . o . . cmˆo . t ´anh 68 xa . v´o . i R l`a d¯ˆo ` thi . cu ’ a n´o. D - iˆe ` u n`ay d¯u . o . . c l`am b˘a ` ng c´ach g´an cho mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ a ∈ A mˆo . t phˆa ` ntu . ’ duy nhˆa ´ t b ∈ B sao cho (a, b) ∈ R. Mˆo . t quan hˆe . c˜ung c´o thˆe ’ d¯ u . o . . c d`ung d¯ˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ n c´ac mˆo ´ i quan hˆe . mˆo . t- nhiˆe ` ugi˜u . a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a hai tˆa . pho . . p A v`a B, trong d¯´o mˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A c´o thˆe ’ c´o quan hˆe . v´o . iho . nmˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ a B. Trong khi d¯´o, mˆo . t ´anh xa . biˆe ’ u diˆe ˜ nmˆo . t quan hˆe . trong d¯´o mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A c´o quan hˆe . v´o . i d¯´ung mˆo . t phˆa ` n tu . ’ cu ’ a B. 3.1.1.4. D - i . nh ngh˜ıa: Mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p A l`a mˆo . t quan hˆe . hai ngˆoi t`u . A d¯ ˆe ´ n A. N´oi mˆo . t c´ach kh´ac, mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p A l`a mˆo . ttˆa . p con cu ’ a A × A. Th´ıdu . :1)Quan hˆe . “nho ’ ho . n ho˘a . cb˘a ` ng” (≤)l`amˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p R c´ac sˆo ´ thu . . c. 2) Quan hˆe . “chia hˆe ´ t” (|)l`amˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen. 3) Quan hˆe . “vuˆong g´oc” (⊥) l`a mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p c´ac d¯u . `o . ng th˘a ’ ng trong m˘a . t ph˘a ’ ng. 4) V´o . i n l`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen du . o . ng, R = {(x, y) ∈ Z×Z | x−y chia hˆe ´ tchon} l`a mˆo . t quan hˆe . trˆen Z,go . i l`a quan hˆe . d¯ ˆo ` ng du . mˆod¯ulˆo n. Khi xRy, ta viˆe ´ t x ≡ y (modn). 5) Quan hˆe . “c`ung tuˆo ’ i” l`a mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p c´ac con ngu . `o . icu ’ a tr´ai d¯ ˆa ´ t. 3.1.2. C´ac t´ınh chˆa ´ tcu ’ a quan hˆe . : 3.1.2.1. D - i . nh ngh˜ıa: Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . i l`a c´o t´ınh pha ’ nxa . nˆe ´ u aRa v´o . imo . i a ∈ A. 3.1.2.2. D - i . nh ngh˜ıa: Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . i l`a c´o t´ınh d¯ˆo ´ ix´u . ng nˆe ´ uv´o . imo . i a, b ∈ A, aRb k´eo theo bRa. 3.1.2.3. D - i . nh ngh˜ıa: Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . i l`a c´o t´ınh pha ’ nd¯ˆo ´ i x´u . ng nˆe ´ uv´o . imo . i a, b ∈ A, aRb v`a bRa k´eo theo a = b. 3.1.2.4. D - i . nh ngh˜ıa: Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . il`ac´ot´ınh b˘a ´ ccˆa ` u nˆe ´ uv´o . imo . i a, b, c ∈ A, aRb v`a bRc k´eo theo aRc. Th´ıdu . :1)Quan hˆe . “b˘a ` ng nhau” (=) trˆen mˆo . ttˆa . p X tu`y ´y c´o 4 t´ınh chˆa ´ t: pha ’ nxa . ,d¯ˆo ´ ix´u . ng, pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. 2) Quan hˆe . ≤ trˆen tˆa . pho . . p X,v´o . i X l`a tˆa . p con tu`y´ycu ’ a R, c´o 3 t´ınh chˆa ´ t: pha ’ nxa . , pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. 3) Quan hˆe . “d¯ˆo ` ng du . modn” trˆen tˆa . pho . . p Z c´o3t´ınh chˆa ´ t: pha ’ nxa . ,d¯ˆo ´ i x´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. 4) Quan hˆe . “chia hˆe ´ t” trˆen tˆa . pho . . p N ∗ c´ac sˆo ´ nguyˆen du . o . ng c´o 3 t´ınh chˆa ´ t: pha ’ nxa . , pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. Tuy nhiˆen, nˆe ´ u x´et trˆen tˆa . pho . . p Z th`ı quan hˆe . n`ay chı ’ c´o t´ınh chˆa ´ tb˘a ´ ccˆa ` u. 69 5) Quan hˆe . “bao h`am” (⊂) trˆen tˆa . pho . . p P(X)tˆa ´ tca ’ c´ac tˆa . p con cu ’ atˆa . p ho . . p X tu`y ´y c´o 3 t´ınh chˆa ´ t pha ’ nxa . , pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. 6) Quan hˆe . “d¯ˆo ` ng da . ng” trˆen tˆa . pho . . p c´ac tam gi´ac c´o 3 t´ınh chˆa ´ t: pha ’ n xa . ,d¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. 7) Quan hˆe . “nguyˆen tˆo ´ c`ung nhau” trˆen tˆa . pho . . p N ∗ chı ’ c´o t´ınh chˆa ´ td¯ˆo ´ i x´u . ng. 3.1.3. Tˆo ’ ho . . p c´ac quan hˆe . : V`ı c´ac quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n B l`a c´ac tˆa . p con cu ’ a A×B, nˆen hai quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n B c˜ung c´o thˆe ’ d¯ u . o . . ctˆo ’ ho . . pnhu . hai tˆa . pho . . p. Ch˘a ’ ng ha . n, v´o . i R 1 v`a R 2 l`a hai quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n B th`ı ta c´o nh˜u . ng quan hˆe . R 1 ∩ R 2 ,R 1 ∪ R 2 ,R 1 \ R 2 , R 1 ,R 1 ⊕ R 2 t`u . A d¯ ˆe ´ n B. 3.1.3.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho R l`a mˆo . t quan hˆe . t`u . tˆa . pho . . p A d¯ ˆe ´ ntˆa . pho . . p B v`a S l`a mˆo . t quan hˆe . t`u . tˆa . pho . . p B d¯ ˆe ´ ntˆa . pho . . p C.Ho . . p th`anh cu ’ a R v`a S l`a mˆo . t quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n C,k´yhiˆe . u S ◦ R, x´ac d¯i . nh bo . ’ i S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C |∃b ∈ B, (a, b) ∈ R v`a (b, c) ∈ S}. D - ˘a . cbiˆe . t, khi R l`a d¯ˆo ` thi . cu ’ a ´anh xa . f v`a S l`a d¯ˆo ` thi . cu ’ a ´anh xa . g th`ı S ◦ R l`a d¯ˆo ` thi . cu ’ a ´anh xa . g ◦ f. Th´ıdu . : Cho R l`a quan hˆe . t`u . {1, 2, 3} d¯ ˆe ´ n {1, 2, 3, 4} x´ac d¯i . nh bo . ’ i R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} v`a S l`a quan hˆe . t`u . {1, 2, 3, 4} d¯ ˆe ´ n {0, 1, 2} x´ac d¯ i . nh bo . ’ i S = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}. Khi d¯´o ho . . p th`anh cu ’ a R v`a S l`a: S ◦ R = {(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1)}. 3.1.3.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho R l`a mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p A.L˜uy th`u . a R n , v´o . i n l`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen du . o . ng, d¯u . o . . cd¯i . nh ngh˜ıa b˘a ` ng quy na . pnhu . sau: R 1 = R v`a R n+1 = R n ◦ R. Nhu . vˆa . y, (a, b) ∈ R n khi v`a chı ’ khi tˆo ` nta . i x 1 ,x 2 , . ,x n−1 ∈ A sao cho (a, x 1 ), (x 1 ,x 2 ), . ,(x n−1 ,b) ∈ R. 3.1.3.3. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p A c´o t´ınh chˆa ´ tb˘a ´ ccˆa ` u khi v`a chı ’ khi R n ⊂ R v´o . imo . i n ∈ N ∗ . Ch´u . ng minh: Gia ’ su . ’ R n ⊂ R v´o . imo . i n ∈ N ∗ . Khi d¯´o R 2 ⊂ R v`a v´o . imo . i a, b, c ∈ A, (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R th`ı theo d¯i . nh ngh˜ıa cu ’ aho . . p th`anh (a, c) ∈ R 2 , do d¯´o (a, c) ∈ R,t´u . cl`aR c´o t´ınh chˆa ´ tb˘a ´ ccˆa ` u. Gia ’ su . ’ R c´o t´ınh b˘a ´ ccˆa ` u. V´o . imo . i n ∈ N ∗ ,nˆe ´ u(a, b) ∈ R n th`ı tˆo ` nta . i x 1 ,x 2 , . ,x n−1 ∈ A sao cho (a, x 1 ), (x 1 ,x 2 ), . ,(x n−1 ,b) ∈ R,v`ı R c´o t´ınh chˆa ´ tb˘a ´ ccˆa ` unˆen(a, b) ∈ R. Do d¯´o R n ⊂ R v´o . imo . i n ∈ N ∗ . 70 3.2. QUAN H ˆ E . TU . O . NG D - U . O . NG V ` A QUAN H ˆ E . TH ´ U . TU . . . 3.2.1. Quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng: 3.2.1.1. D - i . nh ngh˜ıa: Mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . i l`a quan hˆe . tu . o . ng d¯ u . o . ng nˆe ´ u n´o c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t pha ’ nxa . ,d¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. Th´ıdu . :1)Quan hˆe . “d¯ˆo ` ng du . modn” trˆen tˆa . pho . . p Z l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯ u . o . ng. 2) Quan hˆe . “d¯ˆo ` ng da . ng” trˆen tˆa . pho . . p c´ac tam gi´ac l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯ u . o . ng. 3) Quan hˆe . “c`ung phu . o . ng” (song song ho˘a . c tr`ung nhau) trˆen tˆa . pho . . p c´ac d¯ u . `o . ng th˘a ’ ng cu ’ am˘a . t ph˘a ’ ng l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng. 4) R = {(m, n) ∈ Z × Z | m − n ch˘a ˜ n} l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng. 3.2.1.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen tˆa . pho . . p A v`a a ∈ A.Tˆa . pho . . p {x ∈ A | xRa } d¯ u . o . . cgo . il`al´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng cu ’ a phˆa ` ntu . ’ a,k´yhiˆe . ul`a a ho˘a . c[a] ho˘a . c C(a). 3.2.1.3. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Cho R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen tˆa . pho . . p A v`a a, b ∈ A. Khi d¯´o ta c´o: 1) a = ∅. 2) a = b khi v`a chı ’ khi aRb. 3) a = b ho˘a . c a ∩ b = ∅. Ch´u . ng minh: 1) V`ı R c´o t´ınh pha ’ nxa . nˆen aRa hay a ∈ a. Do d¯´o a = ∅. 2) Gia ’ su . ’ a = b. Khi d¯´o a ∈ b,nˆenaRb. Gia ’ su . ’ aRb. Khi d¯´o v´o . i x ∈ a, ta c´o xRa v`a do aRb nˆen xRb hay x ∈ b. Vˆa . y a ⊂ b.D - a ’ ola . i, v´o . i x ∈ b, ta c´o xRb v`a do bRa (c´o t`u . aRb)nˆenxRa hay x ∈ a.Vˆa . y b ⊂ a.T`u . d¯´o ta c´o a = b. 3) Gia ’ su . ’ a∩ b = ∅. Khi d¯´o tˆo ` nta . i x ∈ a ∩ b, ngh˜ıa l`a xRa v`a xRb.T`u . d¯ ´o ta c´o aRx v`a xRb, nˆen c´o d¯u . o . . c aRb v`a theo trˆen ta c´o a = b. 3.2.1.4. D - i . nh ngh˜ıa: Cho R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen tˆa . pho . . p A. Khi d¯´o A d¯ u . o . . c chia th`anh c´ac l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng kh´ac rˆo ˜ ng, r`o . i nhau d¯ˆoi mˆo . t. Tˆa . pho . . p c´ac l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng d¯´o go . il`atˆa . pthu . o . ng cu ’ a A theo quan hˆe . tu . o . ng d¯ u . o . ng R v`a k´y hiˆe . ul`aA/R.Nhu . vˆa . y, A/R = { a | a ∈ A}. Th´ıdu . :1)X´et quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng “c`ung phu . o . ng” trˆen tˆa . pho . . p D tˆa ´ tca ’ c´ac d¯u . `o . ng th˘a ’ ng trong m˘a . t ph˘a ’ ng. Khi d¯´o v´o . id¯u . `o . ng th˘a ’ ng a ∈ D,l´o . ptu . o . ng d¯ u . o . ng a l`a tˆa . pho . . pgˆo ` m a v`a c´ac d¯u . `o . ng th˘a ’ ng trong D song song v´o . i a. Trong 71 to´an ho . c, ngu . `o . i ta coi mˆo ˜ il´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng n´oi trˆen l`a mˆo . tphu . o . ng trˆen m˘a . t ph˘a ’ ng. V`ı vˆa . y c´o thˆe ’ coi tˆa . pthu . o . ng l`a tˆa . p c´ac phu . o . ng cu ’ am˘a . t ph˘a ’ ng. 2) Cho X = {1, 2, 3, 4}.TrˆenP(X), x´et quan hˆe . R nhu . sau: ∀A, B ∈P(X),ARB⇔|A| = |B|. Dˆe ˜ d`ang c´o d¯u . o . . c R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen P(X). C´ac l´o . ptu . o . ng d¯ u . o . ng theo quan hˆe . R l`a: C 0 = {∅} (tˆa . p con cu ’ a X khˆong c´o phˆa ` ntu . ’ n`ao), C 1 = {{1},{2},{3},{4}} (c´ac tˆa . p con cu ’ a X c´o 1 phˆa ` ntu . ’ ), C 2 = {{1, 2},{1, 3},{1, 4},{2, 3},{2, 4},{3, 4}}(c´ac tˆa . p con cu ’ a X c´o 2 phˆa ` ntu . ’ ), C 3 = {{1, 2, 3},{1, 2, 4},{1, 3, 4},{2, 3, 4}} (c´ac tˆa . p con cu ’ a X c´o 3 phˆa ` ntu . ’ ), C 4 = {X} (tˆa . p con cu ’ a X c´o 4 phˆa ` ntu . ’ ). Tˆa . pthu . o . ng cu ’ a X theo quan hˆe . R l`a P(X)/R = {C 0 ,C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 }. 3) X´et quan hˆe . d¯ ˆo ` ng du . mˆod¯ulˆo n trˆen tˆa . pho . . p Z c´ac sˆo ´ nguyˆen. V´o . imˆo ˜ i x ∈ Z,nˆe ´ u x = qn + r, trong d¯´o 0 ≤ r<nth`ı x ≡ r (modn)hayx ∈ r. Do d¯´o c´ac l´o . ptu . o . ng theo quan hˆe . n`ay l`a: 0={qn | q ∈ Z}, 1={qn +1| q ∈ Z}, 2={qn +2| q ∈ Z}, n − 1={qn +(n− 1) | q ∈ Z}. Tˆa . pthu . o . ng cu ’ a Z theo quan hˆe . d¯ ˆo ` ng du . mˆod¯ulˆo n l`a Z/ ≡(modn)v`a thu . `o . ng d¯u . o . . ck´yhiˆe . ul`aZ n .Mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a Z n d¯ u . o . . cgo . il`amˆo . tsˆo ´ nguyˆen mˆod¯ulˆo n. 3.2.1.5. D - i . nh ngh˜ıa: Mˆo . t phˆan hoa . ch cu ’ atˆa . pho . . p A l`a mˆo . tho . (A i ) i∈I c´ac tˆa . p con cu ’ a A sao cho A i = ∅ (∀i ∈ I),A i ∩ A j = ∅ (∀i, j ∈ I, i = j), ∪ i∈I A i = A. Nhu . vˆa . y, khi c´o mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen tˆa . pho . . p A th`ı ho . gˆo ` mtˆa ´ t ca ’ c´ac l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng theo quan hˆe . n`ay ta . o th`anh mˆo . t phˆan hoa . ch cu ’ atˆa . p ho . . p A. 3.2.1.6. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Mˆo ˜ i phˆan hoa . ch cu ’ atˆa . pho . . p A x´ac d¯i . nh mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen A. Ch´u . ng minh: Gia ’ su . ’ (A i ) i∈I l`a mˆo . t phˆan hoa . ch cu ’ atˆa . pho . . p A. X´et quan hˆe . R trˆen A nhu . sau: ∀a, b ∈ A, a R b ⇔∃i ∈ I, a,b ∈ A i . 72 T`u . c´ac t´ınh chˆa ´ tcu ’ a phˆan hoa . ch, dˆe ˜ d`ang c´o d¯u . o . . c R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯ u . o . ng v`a mˆo ˜ il´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng ´u . ng v´o . imˆo . ttˆa . p con A i n`ao d¯´o. 3.2.2. Quan hˆe . th´u . tu . . : 3.2.2.1. D - i . nh ngh˜ıa: Mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . i l`a quan hˆe . th´u . tu . . nˆe ´ u n´o c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t pha ’ nxa . , pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. Ngu . `o . i ta thu . `o . ng k´yhiˆe . umˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . bo . ’ ik´yhiˆe . u ≤. Nˆe ´ u trˆen tˆa . pho . . p A c´o mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . ≤ th`ı ta n´oi A l`a mˆo . ttˆa . pho . . p d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . . V´o . i hai phˆa ` ntu . ’ a, b ∈ A (trong d¯´o A d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . th´u . tu . . ≤), nˆe ´ u ta c´o a ≤ b th`ı ta c`on viˆe ´ t b ≥ a. Khi c´o quan hˆe . th´u . tu . . ≤ trˆen A,tac´othˆe ’ x´ac d¯i . nh quan hˆe . < nhu . sau: ∀a, b ∈ A, a < b ⇔ a ≤ b v`a a = b. Nˆe ´ uc´oa<b, ta c`on viˆe ´ t b>a. Tac´othˆe ’ mˆo ta ’ viˆe . cs˘a ´ pth´u . tu . . mˆo . ttˆa . ph˜u . uha . n A (v´o . i quan hˆe . th´u . tu . . ≤)b˘a ` ng mˆo . tbiˆe ’ ud¯ˆo ` go . il`abiˆe ’ ud¯ˆo ` Hasse. D - ´o l`a biˆe ’ ud¯ˆo ` biˆe ’ udiˆe ˜ n c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A bo . ’ i c´ac dˆa ´ uchˆa ´ mv`anˆe ´ uc´oa ≤ b (a, b ∈ A)th`ınˆo ´ i a v´o . i b bo . ’ imˆo . t d¯oa . n th˘a ’ ng t`u . du . ´o . i lˆen trˆen. Th´ıdu . :1)Quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng trˆen c´ac tˆa . pho . . psˆo ´ N, Z, Q, R l`a quan hˆe . th´u . tu . . . 2) Quan hˆe . “chia hˆe ´ t” trˆen tˆa . pho . . p N ∗ l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . . 3) Quan hˆe . “bao h`am” trˆen tˆa . pho . . p P(X) c´ac tˆa . p con cu ’ atˆa . pho . . p X l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . . 3.2.2.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho A l`a tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . (bo . ’ i quan hˆe . ≤). V´o . i hai phˆa ` ntu . ’ a, b ∈ A,nˆe ´ u ta c´o a ≤ b ho˘a . c b ≤ a th`ı ta n´oi a v`a b so s´anh d¯u . o . . c v´o . i nhau, c`on nˆe ´ u ta khˆong c´o ca ’ a ≤ b lˆa ˜ n b ≤ a th`ı ta n´oi a v`a b khˆong so s´anh d¯ u . o . . cv´o . i nhau. Tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A go . il`amˆo . ttˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` n nˆe ´ u hai phˆa ` ntu . ’ bˆa ´ tk`ya, b ∈ A luˆon c´o thˆe ’ so s´anh d¯u . o . . cv´o . i nhau. Khi d¯´o ta c˜ung go . i quan hˆe . th´u . tu . . ≤ l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . to`an phˆa ` n. Trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . cla . i, t´u . cl`anˆe ´ utˆo ` nta . i hai phˆa ` ntu . ’ a, b ∈ A khˆong so s´anh d¯u . o . . cv´o . i nhau th`ıtago . i A l`a mˆo . ttˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bˆo . phˆa . nv`a quan hˆe . th´u . tu . . ≤ l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . bˆo . phˆa . n. Th´ıdu . :1)Quan hˆe . th´u . tu . . ≤ thˆong thu . `o . ng trˆen tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . to`an phˆa ` n. 2) Tˆa . pho . . p N ∗ c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen kh´ac khˆong v´o . i quan hˆe . th´u . tu . . “chia hˆe ´ t” l`a mˆo . ttˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bˆo . phˆa . n, v`ıch˘a ’ ng ha . n, ta khˆong c´o 2|3v`ac˜ung khˆong c´o 3|2. 73 3) Quan hˆe . “bao h`am” trˆen tˆa . pho . . p P(X) c´ac tˆa . p con cu ’ atˆa . pho . . p X, trong d¯ ´o |X| > 1, l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . bˆo . phˆa . n, v`ıch˘a ’ ng ha . n, v´o . i x, y ∈ X, x = y, ta c´o hai phˆa ` ntu . ’ {x} v`a {y} cu ’ a P(X) khˆong so s´anh d¯u . o . . cv´o . i nhau. V´o . i X = ∅ ho˘a . c X = {x},tadˆe ˜ nhˆa . n thˆa ´ y P(X)d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . ⊂. 4) Cho A l`a tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a n l`a mˆo . t sˆo ´ nguyˆen du . o . ng. Trˆen A n , ta d¯i . nh ngh˜ıa quan hˆe . hai ngˆoi D nhu . sau: ∀a =(a 1 ,a 2 , . ,a n ),b=(b 1 ,b 2 , . ,b n ) ∈ A n ,aD b ⇔ ho˘a . c a = b ho˘a . ctˆo ` nta . i i (1 ≤ i ≤ n) sao cho a 1 = b 1 , . ,a i−1 = b i−1 ,a i <b i . Khi d¯´o A n d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . D. Quan hˆe . n`ay d¯u . o . . cgo . il`a quan hˆe . th´u . tu . . t`u . d¯ i ˆe ’ n. Ch˘a ’ ng ha . n, x´et A = {,a,b,c, . ,x,y,z}, trong d¯´o  k´yhiˆe . u cho khoa ’ ng tr˘a ´ ng (khˆong c´o ch˜u . c´ai). R˜o r`ang A d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` n theo th´u . tu . . liˆe . tkˆeo . ’ trˆen. Go . i n l`a sˆo ´ ch˜u . c´ai nhiˆe ` u nhˆa ´ t trong sˆo ´ c´ac t`u . tiˆe ´ ng Anh. Mˆo . t t`u . tiˆe ´ ng Anh bˆa ´ tk`yc´ok ch˜u . c´ai (k ≤ n)th`ıd¯u . o . . c xem nhu . mˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A n , trong d¯´o k ch˜u . c´ai d¯ˆa ` ul`ac´acch˜u . c´ai cu ’ at`u . d¯´o (theo th´u . tu . . t`u . tr´ai sang pha ’ i) v`a n− k th`anh phˆa ` n c`on la . il`a. Khi d¯´o quan hˆe . th´u . tu . . D trˆen A n s˜e cho ta c´ach s˘a ´ pxˆe ´ pc´act`u . tiˆe ´ ng Anh theo th´u . tu . . nhu . trong t`u . d¯ i ˆe ’ n. V`ı l´y do d¯´o D go . i l`a quan hˆe . th´u . tu . . t`u . d¯ i ˆe ’ n. 3.2.2.3. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a X l`a mˆo . ttˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A. Phˆa ` ntu . ’ a ∈ X d¯ u . o . . cgo . i l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X nˆe ´ uv´o . imo . i x ∈ X ta c´o x ≤ a (t.u . . x ≥ a). Phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X nˆe ´ utˆo ` nta . i l`a duy nhˆa ´ t. Thˆa . tvˆa . y, nˆe ´ u a v`a b l`a hai phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X th`ı theo d¯i . nh ngh˜ıa ta c´o a ≤ b v`a b ≤ a; theo t´ınh chˆa ´ t pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng cu ’ a ≤,tac´oa = b. Th´ıdu . :1)X´et tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen v´o . i quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng. Khi d¯ ´o N c´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t l`a 0 v`a khˆong c´o phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t. X´et tˆa . p con X = {10, 15, 1, 4, 9, 22, 11} cu ’ a N. Khi d¯´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ tcu ’ a X l`a 1 v`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t l`a 22. 2) X´et tˆa . pho . . p N ∗ c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen kh´ac khˆong d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . “chia hˆe ´ t”. Khi d¯´o 1 l`a phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t(v`ı1| a, ∀a ∈ N ∗ ) v`a khˆong c´o phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t. X´et X = {2, 3, 6, 8, 12, 24}⊂N ∗ . Khi d¯´o X c´o phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t l`a 24 v`a khˆong c´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t. 3) Cho X l`a mˆo . ttˆa . pho . . p. X´et tˆa . pho . . p P(X)gˆo ` m c´ac tˆa . p con cu ’ a X d¯ u . o . . c s˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . “bao h`am”. Khi d¯´o P(X) c´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ tl`a∅ v`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ tl`aX. 74 3.2.2.4. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a X l`a mˆo . ttˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A. Phˆa ` ntu . ’ c ∈ A d¯ u . o . . cgo . i l`a mˆo . tch˘a . n trˆen (t.u . . ch˘a . ndu . ´o . i) cu ’ a X nˆe ´ uv´o . imo . i x ∈ X ta c´o x ≤ c (t.u . . x ≥ c). Nˆe ´ u X c´o ´ıt nhˆa ´ t mˆo . tch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i) th`ı ta n´oi X l`a tˆa . p con bi . ch˘a . n trˆen (t.u . .bi . ch˘a . n du . ´o . i). Mˆo . ttˆa . p con X cu ’ atˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A c´o thˆe ’ khˆong c´o ch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i), c˜ung c´o thˆe ’ c´o mˆo . t hay nhiˆe ` uch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i). V´o . i X l`a mˆo . ttˆa . p con cu ’ atˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A v`a a ∈ X. Phˆa ` ntu . ’ a l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X khi v`a chı ’ khi a l`a mˆo . tch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i) cu ’ a X. Th´ıdu . :1)X´et tˆa . pho . . p N d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng v`a X = {6, 8, 4, 9, 45, 10, 7, 12}⊂N. Khi d¯´o c´ac sˆo ´ 0, 1, 2, 3 l`a c´ac ch˘a . ndu . ´o . icu ’ a X v`a c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen x ≥ 45 l`a c´ac ch˘a . n trˆen cu ’ a X. 2) X´et tˆa . pho . . p Q ∗ 0 c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ khˆong ˆam v´o . i quan hˆe . th´u . tu . . ≤ thˆong thu . `o . ng v`a X = { 1 n | n ∈ N ∗ }⊂Q ∗ 0 . Khi d¯´o 0 l`a ch˘a . ndu . ´o . i duy nhˆa ´ tcu ’ a X m`a khˆong l`a phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ tcu ’ a X v`a c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ x ≥ 1 l`a c´ac ch˘a . n trˆen cu ’ a X m`a 1 l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ tcu ’ a X. 3) X´et tˆa . pho . . p N ∗ d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . “chia hˆe ´ t” v`a X = {2, 4, 6, 8, 12}⊂N ∗ . Khi d¯´o c´ac sˆo ´ 1, 2 l`a c´ac ch˘a . ndu . ´o . icu ’ a X v`a c´ac sˆo ´ x ∈ N ∗ sao cho x l`a bˆo . i chung cu ’ a 2, 4, 6, 8, 12, l`a c´ac ch˘a . n trˆen cu ’ a X. 3.2.2.5. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a X l`a mˆo . ttˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A. Phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t (t.u . .l´o . n nhˆa ´ t) cu ’ atˆa . pho . . p c´ac ch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i) cu ’ a X d¯ u . o . . cgo . i l`a cˆa . n trˆen (t.u . .cˆa . ndu . ´o . i) cu ’ a X trong A,k´yhiˆe . u sup A X (t.u . . inf A X). Nhu . vˆa . y, phˆa ` ntu . ’ a ∈ A l`a cˆa . n trˆen (t.u . .cˆa . ndu . ´o . i) cu ’ atˆa . p con X cu ’ a A khi v`a chı ’ khi a l`a mˆo . tch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i) cu ’ a A v`a a ≤ c (t.u . . a ≥ c) v´o . imo . ich˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i) c cu ’ a X. Cˆa . n trˆen (t.u . .cˆa . ndu . ´o . i) cu ’ amˆo ˜ itˆa . p con X cu ’ atˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A nˆe ´ utˆo ` nta . i l`a duy nhˆa ´ t. Ngo`ai ra, cˆa . n trˆen (t.u . .cˆa . ndu . ´o . i) cu ’ a X l`a thuˆo . c X khi v`a chı ’ khi n´o l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X. Th´ıdu . :1)X´et tˆa . pho . . p R d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng v`a X = {x ∈ R | 1 <x<2} =(1, 2) ⊂ R v`a X  = {(1 + 1 n ) n | n ∈ N ∗ }⊂R. Khi d¯´o tˆa . pho . . p c´ac ch˘a . n trˆen cu ’ a X l`a [2, +∞) v`a cu ’ a X  l`a [e, +∞), tˆa . pho . . p c´ac ch˘a . ndu . ´o . icu ’ a X l`a (−∞, 1] v`a cu ’ a X  l`a (−∞, 2]. Do d¯´o sup R X =2, sup R X  = e, inf R X =1, inf R X  =2(∈ X  ). 2) X´et tˆa . pho . . p N ∗ d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . “chia hˆe ´ t” v`a X = {2, 3, 6, 8}. Khi d¯´o tˆa . pho . . p c´ac ch˘a . n trˆen cu ’ a X l`a c´ac bˆo . i chung trong N ∗ 75 cu ’ a 2, 3, 6, 8 v`a tˆa . pho . . p c´ac ch˘a . ndu . ´o . icu ’ a X l`a c´ac u . ´o . c chung trong N ∗ cu ’ a2, 3, 6, 8. Do d¯´o sup N ∗ X = BCNN(2, 3, 6, 8) = 24 v`a inf N ∗ X = UCLN(2, 3, 6, 8) = 1. 3) X´et tˆa . pho . . p P(X)d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . “bao h`am” v`a X = {A 1 ,A 2 , . ,A n }⊂P(X). Khi d¯´o sup P(X) X = n ∪ i=1 A i v`a inf P(X) X = n ∩ i=1 A i . 3.2.2.6. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a X l`a mˆo . ttˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A. Phˆa ` ntu . ’ m ∈ X d¯ u . o . . cgo . i l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . . tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X nˆe ´ uv´o . imo . i x ∈ X ta c´o: m ≤ x ⇒ x = m (t.u . . x ≤ m ⇒ x = m), t´u . c l`a khˆong tˆo ` nta . i phˆa ` n phˆa ` ntu . ’ x n`ao cu ’ a X sao cho x>m(t.u . . x<m). R˜o r`ang r˘a ` ng phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) m cu ’ a A sao cho m ∈ X c˜ung l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X. Tuy nhiˆen, nˆe ´ u m l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X th`ı chu . ach˘a ´ c m l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a A. Phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ amˆo . ttˆa . pho . . p c´o thˆe ’ khˆong c´o v`a nˆe ´ utˆo ` n ta . i, c´o thˆe ’ c´o ho . n1. 3.2.2.7. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a X l`a mˆo . ttˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A. Khi d¯´o: 1) Nˆe ´ u X c´o phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) l`a a th`ı a l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) duy nhˆa ´ tcu ’ a X. 2) Nˆe ´ u X d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . ≤ th`ı phˆa ` ntu . ’ a ∈ X l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X khi v`a chı ’ khi a l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . . tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X. Ch´u . ng minh: 1) Gia ’ su . ’ a l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X. Khi d¯´o ta c´o x ≤ a (t.u . . x ≥ a)v´o . imo . i x ∈ X v`a nˆe ´ u a ≤ x (t.u . . a ≥ x)th`ı do t´ınh chˆa ´ t pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng ta c´o x = a.Vˆa . y a l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X. Nˆe ´ u a  l`a mˆo . t phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) t`uy ´y cu ’ a X th`ı do a l`a phˆa ` n tu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X ta c´o a  ≤ a (t.u . . a  ≥ a) v`a do a  l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X nˆen a  = a. 2) (⇒) C´o t`u . 1). (⇐) Gia ’ su . ’ a ∈ X l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X. Khi d¯´o do X d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` n nˆen v´o . imo . i x ∈ X, ta c´o x ≤ a ho˘a . c a ≤ x.Nˆe ´ u a ≤ x (t.u . . a ≥ x)th`ıdoa l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X ta c´o x = a. Vˆa . y x ≤ a (t.u . . x ≥ a)v´o . imo . i x ∈ X hay x l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X. Th´ıdu . :1)Tˆa . pho . . p N ∗ v´o . i quan hˆe . “chia hˆe ´ t” c´o phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ itiˆe ’ u duy nhˆa ´ tl`a 1, d¯´o c˜ung l`a phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ tcu ’ a N ∗ , khˆong tˆo ` nta . i phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i. Tˆa . p con X = N ∗ \{1} cu ’ a N ∗ c´o c´ac phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ itiˆe ’ u l`a c´ac sˆo ´ nguyˆen tˆo ´ v`a X khˆong c´o phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i. 76 Tˆa . p con X  = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 19, 24} cu ’ a N ∗ c´o c´ac phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ itiˆe ’ u l`a 2, 3, 19 v`a c´ac phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i l`a 9, 19, 24. 2) Cho tˆa . pho . . p X = {x 1 ,x 2 , . ,x n }. X´et tˆa . pho . . p A = P(X) \{∅,X} v´o . i quan hˆe . “bao h`am”. Khi d¯´o A c´o c´ac phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ itiˆe ’ u l`a c´ac tˆa . p con 1 phˆa ` ntu . ’ : {x 1 }, {x 2 }, . ,{x n } v`a c´o c´ac phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i l`a c´ac tˆa . p con n − 1 phˆa ` ntu . ’ : {x 2 ,x 3 , . ,x n }, {x 1 ,x 3 , . ,x n }, . ,{x 1 ,x 2 , . ,x n−1 }. 3.2.2.8. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤. Ta n´oi A d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . n`ay nˆe ´ umo . itˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A d¯ ˆe ` u c´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t. 3.2.2.9. Hˆe . qua ’ : Nˆe ´ umˆo . ttˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ imˆo . t quan hˆe . n`ao d¯´o th`ın´od¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . d¯´o. Ch´u . ng minh: Gia ’ su . ’ A l`a tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . ≤. Khi d¯´o v´o . i hai phˆa ` ntu . ’ bˆa ´ tk`ya, b ∈ A,tˆa . p con X = {a, b} cu ’ a A c´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t. Nˆe ´ u a l`a phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ tcu ’ a X th`ı a ≤ b v`a nˆe ´ u b l`a phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t cu ’ a X th`ı b ≤ a.Nhu . vˆa . y, a v`a b so s´anh d¯u . o . . cv´o . i nhau hay A d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . ≤. Th´ıdu . :1)Tˆa . pho . . p N d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng. 2) Tˆa . pho . . p N ∗ khˆong d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . “chia hˆe ´ t”. 3) C´ac tˆa . pho . . p Z, Q, R khˆong d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng. 3.2.2.10. D - i . nh ngh˜ıa: Tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A d¯ u . o . . cgo . i l`a mˆo . td`annˆe ´ u v´o . i hai phˆa ` ntu . ’ bˆa ´ tk`ya, b ∈ A,tˆa . pho . . p {a, b} luˆon c´o cˆa . n trˆen v`a cˆa . ndu . ´o . i. Cˆa . n trˆen v`a cˆa . ndu . ´o . icu ’ a {a, b} lˆa ` nlu . o . . td¯u . o . . ck´yhiˆe . ul`aa ∨ b v`a a ∧ b. 3.2.2.11. T´ınh chˆa ´ t: Cho A l`a mˆo . t d`an. Khi d¯´o v´o . imo . i a, b, c ∈ A, ta c´o: 1) Luˆa . tl˜uy d¯˘a ’ ng: a∨ a = a, a ∧ a = a. 2) Luˆa . t giao ho´an: a∨ b = b ∨ a, a∧ b = b ∧ a. 3) Luˆa . tkˆe ´ tho . . p: (a ∨ b)∨ c = a ∨ (b ∨ c), (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b∧ c). 4) Luˆa . thˆa ´ p thu . : a ∨ (a∧ b)=a, a∧ (a∨ b)=a. Ch´u . ng minh: C´o ngay t`u . d¯ i . nh ngh˜ıa cu ’ acˆa . n trˆen v`a cˆa . ndu . ´o . i. Th´ıdu . :1)Tˆa . pho . . p N ∗ v´o . i quan hˆe . chia hˆe ´ tl`amˆo . t d`an v`ıv´o . imo . i m, n ∈ N ∗ , ta c´o m ∨ n l`a BCNN(m, n)v`am ∧ n l`a UCLN(m, n). 2) Tˆa . pho . . p P(X)v´o . i quan hˆe . “bao h`am” l`a mˆo . td`anv`ıv´o . imo . i A, B ∈ P(X), ta c´o A ∨ B l`a A ∪ B v`a A ∧ B l`a A ∩ B. Ta th`u . a nhˆa . nmˆe . n h d¯ ˆe ` sau, thu . `o . ng d¯u . o . . cgo . i l`a Bˆo ’ d¯ ˆe ` Zorn, vˆe ` su . . tˆo ` nta . i phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i trong mˆo . ttˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . .Mˆe . n h d¯ ˆe ` n`ay tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i h`ang loa . tmˆe . nh d¯ˆe ` kh´ac trong l´y thuyˆe ´ ttˆa . pho . . p, trong sˆo ´ n`ay c´o Tiˆen d¯ˆe ` cho . n, D - i . n h d¯ ˆe ` Zermelo, Nguyˆen l´ys˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ t, . 77 [...]... a c´ d ung 3 l´ o ¯´ o ´ ¯ e o e 17 Mˆt quan hˆ R trˆn tˆp ho.p X d u.o.c goi l` quan hˆ v`ng quanh nˆu xRy o e e a a ` ’ a v` yRz k´o theo zRx Ch´.ng minh r˘ ng quan hˆ R l` phan xa v` v`ng quanh a e u a e a o o.ng d u.o.ng khi v` chı khi R l` mˆt quan hˆ tu a ’ a o e ¯ ’ ’ ´ a e a e 18 Cho L0 l` mˆt d u.`.ng th˘ng cˆ d nh trˆn m˘t ph˘ng R2 Mˆt quan hˆ R a o ¯ o o a o ¯i p L tˆ t ca... ¯ khi v` chı khi f (x) = f (y) a ’ ´ ’ 14 T` quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng nho nhˆ t trˆn tˆp {a, b, c, d, e} ch´.a quan hˆ ım e ¯ a e a u e {(a, b), (a, c), (d, e)} 79 ` ´ ¯ a e a a ’ 15 X´c d nh sˆ c´c quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng kh´c nhau trˆn tˆp ho.p 3 phˆn tu a ¯i o a e ` a e ¯o b˘ ng c´ch liˆt kˆ ra c´c quan hˆ d ´ a a e e ` a ’ 16 C´ bao nhiˆu quan hˆ tu.o.ng du.o.ng kh´c nhau cho trˆn tˆp... R v` d u / a ¯ k´o theo (b, a) ∈ R e / ’ ’ a) C´c quan hˆ n`o trong B`i 2 v` 3 l` phan phan xa a e a a a a ´ ´ b) C´c quan hˆ n`o trong B`i 2 v` 3 l` bˆ t d ˆi x´.ng a e a a a a a ¯o u ´ ¯e a e 5 Cho R l` mˆt quan hˆ t` tˆp ho.p A dˆn tˆp ho.p B Quan hˆ ngu.o.c t` B a o e u a u o.c k´ hiˆu l` R−1 , l` tˆp ho.p {(b, a) | (a, b) ∈ R} Quan hˆ b` R l` ´ e u a a a dˆn A, d u y e a ¯e ¯ ... tu / a a a ’ a a e ¯ ıa sau: quan hˆ ≤ nhu e ∀X, Y ∈ S, X ≤ Y ⇔ ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ R ` Ch´.ng minh r˘ ng: u a e u e a a o a) Quan hˆ ≤ l` mˆt quan hˆ th´ tu trˆn tˆp S e i X, Y ∈ S, nˆu X ⊂ Y th` X ≤ Y ´ b) V´ o e ı ´ ` ’ u a a e a ’ a c) Tˆp S d u.o.c s˘ p th´ tu to`n phˆn bo.i quan hˆ ≤ khi v` chı khi tˆp E a ¯ a o.c s˘ p th´ tu to`n phˆn bo.i quan hˆ R ´ ` ’ du a ¯ u a a e... mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng hay khˆng? a ¯ ˜ a o a e ¯ ıa 19 Cho M l` mˆt tˆp ho.p kh´c rˆ ng v` a ∈ M Trˆn X = P (M ) ta d inh ngh˜ a o a sau: quan hˆ hai ngˆi nhu e o R = {(A, B) ∈ X 2 | A = B hay a ∈ A ∩ B} ` ’ a a a o e ¯ e a Ch´.ng minh r˘ ng R l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng trˆn X H˜y chı ra tˆp ho.p u o.ng thu ’ e a a u 20 Goi X l` tˆp ho.p moi anh xa t` R v`o R Ch´.ng to quan. .. t` c´c l´.p tu.o.ng d u.o.ng R l` mˆt quan hˆ tu a o e ¯ a ım a o ¯ 80 ´ ıa Bˆy gi` nˆu d nh ngh˜ a o e ¯i P1 S P2 ⇔ x1 y1 = x2 y2 ∧ x1 x2 ≥ 0 e th` S c`n l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng n˜.a khˆng ? ı o a o ¯ u o ´ a o e e o 24 Trˆn tˆp ho.p R c´c sˆ thu.c, x´t quan hˆ hai ngˆi R sau: e a ∀x, y ∈ R, x R y ⇔ x3 − y 3 = x − y ` Ch´.ng minh r˘ ng R l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng T` c´c l´.p tu.o.ng... v` tˆp ho a a ´ e a a o 25 X´t quan hˆ R trˆn tˆp ho.p R c´c sˆ thu.c nhu sau: e e ∀a, b ∈ R, a R b ⇔ a3 ≤ b3 ` ´ ` a a a u a a Ch´.ng minh r˘ ng R s˘ p th´ tu to`n phˆn tˆp ho.p R u p R nhu sau th` S c´ l` mˆt quan hˆ th´ tu ´ Nˆu x´t quan hˆ S trˆn tˆp ho e e e e a ı o a o e u khˆng? o ∀a, b ∈ R, a S b ⇔ a2 ≤ b2 ´ e u e a 26 X´t tˆp ho.p N∗ v´.i quan hˆ th´ tu “chia hˆt ” v` X =... c´c c˘p (a, b), ` ’ a ’ e o a a c) R l` quan hˆ trˆn tˆp ho a e e a trong d ´ tınh a gi´p gi´.i v´.i tınh b ¯o ’ a o o ’ ’ ’ ’ a a e o ınh a ¯ 6 Gia su R v` S l` hai quan hˆ c´ t´ phan xa trˆn tˆp ho.p A X´c d inh xem e a ´ ’ ’ c´c quan hˆ R ∪ S, R ∩ S, R ⊕ S, R \ S v` S ◦ R c´ t´ chˆ t phan xa hay phan a e a o ınh a ’ phan xa 78 ` u a 7 Cho R l` mˆt quan hˆ trˆn tˆp ho.p A Ch´.ng minh r˘... Mˆt d`n d ˆ ¯ o a ¯a u a a a ’ o a i quan hˆ bao h`m l` mˆt ´ ` ’ o a ’ a a b) Tˆp P(X) gˆm tˆ t ca c´c tˆp con cua X v´ a o e a a o d`n d` y d u a ¯ˆ ¯ ’ a ´ ´ e o e u a e e a o c) Tˆp Z+ c´c sˆ nguyˆn du.o.ng v´.i quan hˆ th´ tu l` quan hˆ chia hˆt a ’ a o a ¯ˆ ¯ ’ a khˆng phai l` mˆt d`n d` y d u o e ¯ e 33 Cho X l` mˆt tˆp t` y y, S l` tˆp tˆ t ca c´c quan hˆ tu.o.ng du.o.ng trˆn X a o a... a ¯o u V` vˆy sˆ quan hˆ phan xa v` d ˆi x´ ı a o e a o a n(n−1) a n(n−1) ` ` n tu (du.´.i d u.`.ng ch´o), t´.c l` b˘ ng 2 2 ’ o ¯ o e u a a 1 + 2 + ···n = phˆ a 2 ¯ 10 a) Quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng e ´ a ’ b) Khˆng phan xa v` khˆng b˘ c cˆu o a ` a o o.ng d u.o.ng c) Quan hˆ tu e ¯ ´ a d) Khˆng b˘ c cˆu o a ` ´ a ´ a o a ` e) Khˆng d ˆi x´.ng v` khˆng b˘ c cˆu o ¯o u 11 a) Quan hˆ tu.o.ng d . 2) Quan hˆe . “chia hˆe ´ t” (|)l`amˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen. 3) Quan hˆe . “vuˆong g´oc” (⊥) l`a mˆo . t quan. t quan hˆe . trˆen Z,go . i l`a quan hˆe . d¯ ˆo ` ng du . mˆod¯ulˆo n. Khi xRy, ta viˆe ´ t x ≡ y (modn). 5) Quan hˆe . “c`ung tuˆo ’ i” l`a mˆo . t quan

Ngày đăng: 23/10/2013, 14:20

Xem thêm

w