Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
223,92 KB
Nội dung
CHU . O . NG III: QUAN H ˆ E . 3.1. QUAN H ˆ E . V ` AC ´ AC T ´ INH CH ˆ A ´ TCU ’ AN ´ O. 3.1.1. D - i . nh ngh˜ıa v`a th´ıdu . : 3.1.1.1. Mo . ’ d¯ ˆa ` u: C´ac mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . anh˜u . ng phˆa ` ntu . ’ cu ’ a c´ac tˆa . pho . . p xuˆa ´ t hiˆe . n trong nhiˆe ` ubˆo ´ ica ’ nh. Thu . `o . ng ng`ay ta vˆa ˜ ng˘a . p c´ac mˆo ´ i quan hˆe . n`ay, ch˘a ’ ng ha . nmˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . amˆo . t tru . `o . ng ho . cv´o . isˆo ´ d¯ i ˆe . n thoa . icu ’ a n´o, mˆo ´ i quan hˆe . cu ’ a mˆo . t gi´ao viˆen v´o . ilu . o . ng cu ’ a ngu . `o . i d¯´o, mˆo ´ i quan hˆe . cu ’ amˆo . t ngu . `o . iv´o . i ngu . `o . i thˆan cu ’ a anh ta . Trong to´an ho . c, ta nghiˆen c´u . u c´ac mˆo ´ i quan hˆe . nhu . mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . amˆo . tsˆo ´ nguyˆen du . o . ng v`a mˆo . tu . ´o . csˆo ´ cu ’ a n´o, mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . amˆo . tsˆo ´ nguyˆen v`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen kh´ac d¯ˆo ` ng du . v´o . i n´o theo mˆod¯ulˆo n,mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . a mˆo . tsˆo ´ thu . . c v`a mˆo . tsˆo ´ thu . . c kh´ac l´o . nho . n n´o . C´ac mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . anh˜u . ng phˆa ` ntu . ’ cu ’ a c´ac tˆa . pho . . pd¯u . o . . cbiˆe ’ udiˆe ˜ nb˘a ` ng c´ach d`ung mˆo . tcˆa ´ u tr´uc d¯u . o . . cgo . i l`a quan hˆe . . C´ach tru . . ctiˆe ´ p nhˆa ´ t d¯ ˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ nmˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a hai tˆa . pho . . pl`ad`ung c´ac c˘a . pta . obo . ’ i hai phˆa ` ntu . ’ c´o quan hˆe . .V`ıl´y do d¯´o, tˆa . p c´ac c˘a . pd¯u . o . . cgo . i l`a quan hˆe . hai ngˆoi. 3.1.1.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho hai tˆa . pho . . p A v`a B.Mˆo . t quan hˆe . hai ngˆoi t`u . A d¯ ˆe ´ n B l`a mˆo . ttˆa . p con R cu ’ a t´ıch Descartes A × B. Ta n´oi phˆa ` ntu . ’ a ∈ A c´o quan hˆe . R v´o . i phˆa ` ntu . ’ b ∈ B nˆe ´ u(a, b) ∈ R v`a k´yhiˆe . ul`aaRb Th´ıdu . :1)Cho A l`a tˆa . pho . . p c´ac sinh viˆen cu ’ aD - a . iho . cHuˆe ´ v`a B l`a tˆa . pho . . p c´ac mˆon ho . c. Cho R l`a quan hˆe . bao gˆo ` m c´ac c˘a . p(a, b) trong d¯´o a l`a sinh viˆen ho . c mˆon b. Ch˘a ’ ng ha . n, ba . n An v`a ba . nT`ung l`a sinh viˆen cu ’ aD - a . iho . cHuˆe ´ d¯ ˆe ` uho . c mˆon Nhˆa . p mˆon d¯a . isˆo ´ c´o m˜a sˆo ´ l`a NMDSO, th`ı c´ac c˘a . p (An, NMDSO) v`a (T`ung, NMDSO) thuˆo . c R.Nˆe ´ u An c`on ho . c mˆon Gia ’ it´ıch 1 c´o m˜a sˆo ´ l`a GTICH1 th`ı c˘a . p (An, GTICH1) c˜ung thuˆo . c R. Tuy nhiˆen nˆe ´ u T`ung khˆong ho . c mˆon GTICH1 th`ı c˘a . p (T`ung, GTICH1) khˆong thuˆo . c R. 2) Cho A l`a tˆa . pho . . p c´ac quˆa . n, huyˆe . nv`aB l`a tˆa . pho . . p c´ac tı ’ nh th`anh cu ’ a Viˆe . t Nam. Ta d¯i . nh ngh˜ıa quan hˆe . R b˘a ` ng c´ach chı ’ r˜o r˘a ` ng (a, b) thuˆo . c R nˆe ´ u quˆa . nhayhuyˆe . n a thuˆo . ctı ’ nh hay th`anh phˆo ´ b. Ch˘a ’ ng ha . n, (Ph´uLˆo . c, Th`u . a Thiˆen Huˆe ´ ), (Ba D - `ınh, H`a Nˆo . i), (Ph´u Quˆo ´ c, Kiˆen Giang), (Nam D - `an, Nghˆe . An), (Tˆan B`ınh, TP. Hˆo ` Ch´ı Minh) v`a (Buˆon D - ˆon, Daklak) d¯ˆe ` u thuˆo . c R. 3.1.1.3. ´ Anh xa . nhu . mˆo . t quan hˆe . : H˜ay nh´o . la . ir˘a ` ng mˆo . t ´anh xa . f t`u . tˆa . p ho . . p A d¯ ˆe ´ ntˆa . pho . . p B g´an cho mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A mˆo . t phˆa ` ntu . ’ duy nhˆa ´ tcu ’ a B. D - ˆo ` thi . cu ’ a f l`a tˆa . p c´ac c˘a . p(a, b) sao cho b = f(a). V`ı d¯ˆo ` thi . cu ’ a f l`a mˆo . ttˆa . p con cu ’ a A × B, nˆen n´o l`a mˆo . t quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n B. Ngu . o . . cla . i, nˆe ´ u R l`a mˆo . t quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n B sao cho mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A l`a phˆa ` ntu . ’ d¯ ˆa ` u tiˆen cu ’ ad¯´ung mˆo . tc˘a . pcu ’ a R,th`ıc´othˆe ’ d¯ i . nh ngh˜ıa d¯u . o . . cmˆo . t ´anh 68 xa . v´o . i R l`a d¯ˆo ` thi . cu ’ a n´o. D - iˆe ` u n`ay d¯u . o . . c l`am b˘a ` ng c´ach g´an cho mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ a ∈ A mˆo . t phˆa ` ntu . ’ duy nhˆa ´ t b ∈ B sao cho (a, b) ∈ R. Mˆo . t quan hˆe . c˜ung c´o thˆe ’ d¯ u . o . . c d`ung d¯ˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ n c´ac mˆo ´ i quan hˆe . mˆo . t- nhiˆe ` ugi˜u . a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a hai tˆa . pho . . p A v`a B, trong d¯´o mˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A c´o thˆe ’ c´o quan hˆe . v´o . iho . nmˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ a B. Trong khi d¯´o, mˆo . t ´anh xa . biˆe ’ u diˆe ˜ nmˆo . t quan hˆe . trong d¯´o mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A c´o quan hˆe . v´o . i d¯´ung mˆo . t phˆa ` n tu . ’ cu ’ a B. 3.1.1.4. D - i . nh ngh˜ıa: Mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p A l`a mˆo . t quan hˆe . hai ngˆoi t`u . A d¯ ˆe ´ n A. N´oi mˆo . t c´ach kh´ac, mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p A l`a mˆo . ttˆa . p con cu ’ a A × A. Th´ıdu . :1)Quan hˆe . “nho ’ ho . n ho˘a . cb˘a ` ng” (≤)l`amˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p R c´ac sˆo ´ thu . . c. 2) Quan hˆe . “chia hˆe ´ t” (|)l`amˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen. 3) Quan hˆe . “vuˆong g´oc” (⊥) l`a mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p c´ac d¯u . `o . ng th˘a ’ ng trong m˘a . t ph˘a ’ ng. 4) V´o . i n l`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen du . o . ng, R = {(x, y) ∈ Z×Z | x−y chia hˆe ´ tchon} l`a mˆo . t quan hˆe . trˆen Z,go . i l`a quan hˆe . d¯ ˆo ` ng du . mˆod¯ulˆo n. Khi xRy, ta viˆe ´ t x ≡ y (modn). 5) Quan hˆe . “c`ung tuˆo ’ i” l`a mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p c´ac con ngu . `o . icu ’ a tr´ai d¯ ˆa ´ t. 3.1.2. C´ac t´ınh chˆa ´ tcu ’ a quan hˆe . : 3.1.2.1. D - i . nh ngh˜ıa: Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . i l`a c´o t´ınh pha ’ nxa . nˆe ´ u aRa v´o . imo . i a ∈ A. 3.1.2.2. D - i . nh ngh˜ıa: Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . i l`a c´o t´ınh d¯ˆo ´ ix´u . ng nˆe ´ uv´o . imo . i a, b ∈ A, aRb k´eo theo bRa. 3.1.2.3. D - i . nh ngh˜ıa: Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . i l`a c´o t´ınh pha ’ nd¯ˆo ´ i x´u . ng nˆe ´ uv´o . imo . i a, b ∈ A, aRb v`a bRa k´eo theo a = b. 3.1.2.4. D - i . nh ngh˜ıa: Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . il`ac´ot´ınh b˘a ´ ccˆa ` u nˆe ´ uv´o . imo . i a, b, c ∈ A, aRb v`a bRc k´eo theo aRc. Th´ıdu . :1)Quan hˆe . “b˘a ` ng nhau” (=) trˆen mˆo . ttˆa . p X tu`y ´y c´o 4 t´ınh chˆa ´ t: pha ’ nxa . ,d¯ˆo ´ ix´u . ng, pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. 2) Quan hˆe . ≤ trˆen tˆa . pho . . p X,v´o . i X l`a tˆa . p con tu`y´ycu ’ a R, c´o 3 t´ınh chˆa ´ t: pha ’ nxa . , pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. 3) Quan hˆe . “d¯ˆo ` ng du . modn” trˆen tˆa . pho . . p Z c´o3t´ınh chˆa ´ t: pha ’ nxa . ,d¯ˆo ´ i x´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. 4) Quan hˆe . “chia hˆe ´ t” trˆen tˆa . pho . . p N ∗ c´ac sˆo ´ nguyˆen du . o . ng c´o 3 t´ınh chˆa ´ t: pha ’ nxa . , pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. Tuy nhiˆen, nˆe ´ u x´et trˆen tˆa . pho . . p Z th`ı quan hˆe . n`ay chı ’ c´o t´ınh chˆa ´ tb˘a ´ ccˆa ` u. 69 5) Quan hˆe . “bao h`am” (⊂) trˆen tˆa . pho . . p P(X)tˆa ´ tca ’ c´ac tˆa . p con cu ’ atˆa . p ho . . p X tu`y ´y c´o 3 t´ınh chˆa ´ t pha ’ nxa . , pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. 6) Quan hˆe . “d¯ˆo ` ng da . ng” trˆen tˆa . pho . . p c´ac tam gi´ac c´o 3 t´ınh chˆa ´ t: pha ’ n xa . ,d¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. 7) Quan hˆe . “nguyˆen tˆo ´ c`ung nhau” trˆen tˆa . pho . . p N ∗ chı ’ c´o t´ınh chˆa ´ td¯ˆo ´ i x´u . ng. 3.1.3. Tˆo ’ ho . . p c´ac quan hˆe . : V`ı c´ac quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n B l`a c´ac tˆa . p con cu ’ a A×B, nˆen hai quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n B c˜ung c´o thˆe ’ d¯ u . o . . ctˆo ’ ho . . pnhu . hai tˆa . pho . . p. Ch˘a ’ ng ha . n, v´o . i R 1 v`a R 2 l`a hai quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n B th`ı ta c´o nh˜u . ng quan hˆe . R 1 ∩ R 2 ,R 1 ∪ R 2 ,R 1 \ R 2 , R 1 ,R 1 ⊕ R 2 t`u . A d¯ ˆe ´ n B. 3.1.3.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho R l`a mˆo . t quan hˆe . t`u . tˆa . pho . . p A d¯ ˆe ´ ntˆa . pho . . p B v`a S l`a mˆo . t quan hˆe . t`u . tˆa . pho . . p B d¯ ˆe ´ ntˆa . pho . . p C.Ho . . p th`anh cu ’ a R v`a S l`a mˆo . t quan hˆe . t`u . A d¯ ˆe ´ n C,k´yhiˆe . u S ◦ R, x´ac d¯i . nh bo . ’ i S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C |∃b ∈ B, (a, b) ∈ R v`a (b, c) ∈ S}. D - ˘a . cbiˆe . t, khi R l`a d¯ˆo ` thi . cu ’ a ´anh xa . f v`a S l`a d¯ˆo ` thi . cu ’ a ´anh xa . g th`ı S ◦ R l`a d¯ˆo ` thi . cu ’ a ´anh xa . g ◦ f. Th´ıdu . : Cho R l`a quan hˆe . t`u . {1, 2, 3} d¯ ˆe ´ n {1, 2, 3, 4} x´ac d¯i . nh bo . ’ i R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} v`a S l`a quan hˆe . t`u . {1, 2, 3, 4} d¯ ˆe ´ n {0, 1, 2} x´ac d¯ i . nh bo . ’ i S = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}. Khi d¯´o ho . . p th`anh cu ’ a R v`a S l`a: S ◦ R = {(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1)}. 3.1.3.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho R l`a mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p A.L˜uy th`u . a R n , v´o . i n l`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen du . o . ng, d¯u . o . . cd¯i . nh ngh˜ıa b˘a ` ng quy na . pnhu . sau: R 1 = R v`a R n+1 = R n ◦ R. Nhu . vˆa . y, (a, b) ∈ R n khi v`a chı ’ khi tˆo ` nta . i x 1 ,x 2 , . ,x n−1 ∈ A sao cho (a, x 1 ), (x 1 ,x 2 ), . ,(x n−1 ,b) ∈ R. 3.1.3.3. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p A c´o t´ınh chˆa ´ tb˘a ´ ccˆa ` u khi v`a chı ’ khi R n ⊂ R v´o . imo . i n ∈ N ∗ . Ch´u . ng minh: Gia ’ su . ’ R n ⊂ R v´o . imo . i n ∈ N ∗ . Khi d¯´o R 2 ⊂ R v`a v´o . imo . i a, b, c ∈ A, (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R th`ı theo d¯i . nh ngh˜ıa cu ’ aho . . p th`anh (a, c) ∈ R 2 , do d¯´o (a, c) ∈ R,t´u . cl`aR c´o t´ınh chˆa ´ tb˘a ´ ccˆa ` u. Gia ’ su . ’ R c´o t´ınh b˘a ´ ccˆa ` u. V´o . imo . i n ∈ N ∗ ,nˆe ´ u(a, b) ∈ R n th`ı tˆo ` nta . i x 1 ,x 2 , . ,x n−1 ∈ A sao cho (a, x 1 ), (x 1 ,x 2 ), . ,(x n−1 ,b) ∈ R,v`ı R c´o t´ınh chˆa ´ tb˘a ´ ccˆa ` unˆen(a, b) ∈ R. Do d¯´o R n ⊂ R v´o . imo . i n ∈ N ∗ . 70 3.2. QUAN H ˆ E . TU . O . NG D - U . O . NG V ` A QUAN H ˆ E . TH ´ U . TU . . . 3.2.1. Quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng: 3.2.1.1. D - i . nh ngh˜ıa: Mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . i l`a quan hˆe . tu . o . ng d¯ u . o . ng nˆe ´ u n´o c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t pha ’ nxa . ,d¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. Th´ıdu . :1)Quan hˆe . “d¯ˆo ` ng du . modn” trˆen tˆa . pho . . p Z l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯ u . o . ng. 2) Quan hˆe . “d¯ˆo ` ng da . ng” trˆen tˆa . pho . . p c´ac tam gi´ac l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯ u . o . ng. 3) Quan hˆe . “c`ung phu . o . ng” (song song ho˘a . c tr`ung nhau) trˆen tˆa . pho . . p c´ac d¯ u . `o . ng th˘a ’ ng cu ’ am˘a . t ph˘a ’ ng l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng. 4) R = {(m, n) ∈ Z × Z | m − n ch˘a ˜ n} l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng. 3.2.1.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen tˆa . pho . . p A v`a a ∈ A.Tˆa . pho . . p {x ∈ A | xRa } d¯ u . o . . cgo . il`al´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng cu ’ a phˆa ` ntu . ’ a,k´yhiˆe . ul`a a ho˘a . c[a] ho˘a . c C(a). 3.2.1.3. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Cho R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen tˆa . pho . . p A v`a a, b ∈ A. Khi d¯´o ta c´o: 1) a = ∅. 2) a = b khi v`a chı ’ khi aRb. 3) a = b ho˘a . c a ∩ b = ∅. Ch´u . ng minh: 1) V`ı R c´o t´ınh pha ’ nxa . nˆen aRa hay a ∈ a. Do d¯´o a = ∅. 2) Gia ’ su . ’ a = b. Khi d¯´o a ∈ b,nˆenaRb. Gia ’ su . ’ aRb. Khi d¯´o v´o . i x ∈ a, ta c´o xRa v`a do aRb nˆen xRb hay x ∈ b. Vˆa . y a ⊂ b.D - a ’ ola . i, v´o . i x ∈ b, ta c´o xRb v`a do bRa (c´o t`u . aRb)nˆenxRa hay x ∈ a.Vˆa . y b ⊂ a.T`u . d¯´o ta c´o a = b. 3) Gia ’ su . ’ a∩ b = ∅. Khi d¯´o tˆo ` nta . i x ∈ a ∩ b, ngh˜ıa l`a xRa v`a xRb.T`u . d¯ ´o ta c´o aRx v`a xRb, nˆen c´o d¯u . o . . c aRb v`a theo trˆen ta c´o a = b. 3.2.1.4. D - i . nh ngh˜ıa: Cho R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen tˆa . pho . . p A. Khi d¯´o A d¯ u . o . . c chia th`anh c´ac l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng kh´ac rˆo ˜ ng, r`o . i nhau d¯ˆoi mˆo . t. Tˆa . pho . . p c´ac l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng d¯´o go . il`atˆa . pthu . o . ng cu ’ a A theo quan hˆe . tu . o . ng d¯ u . o . ng R v`a k´y hiˆe . ul`aA/R.Nhu . vˆa . y, A/R = { a | a ∈ A}. Th´ıdu . :1)X´et quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng “c`ung phu . o . ng” trˆen tˆa . pho . . p D tˆa ´ tca ’ c´ac d¯u . `o . ng th˘a ’ ng trong m˘a . t ph˘a ’ ng. Khi d¯´o v´o . id¯u . `o . ng th˘a ’ ng a ∈ D,l´o . ptu . o . ng d¯ u . o . ng a l`a tˆa . pho . . pgˆo ` m a v`a c´ac d¯u . `o . ng th˘a ’ ng trong D song song v´o . i a. Trong 71 to´an ho . c, ngu . `o . i ta coi mˆo ˜ il´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng n´oi trˆen l`a mˆo . tphu . o . ng trˆen m˘a . t ph˘a ’ ng. V`ı vˆa . y c´o thˆe ’ coi tˆa . pthu . o . ng l`a tˆa . p c´ac phu . o . ng cu ’ am˘a . t ph˘a ’ ng. 2) Cho X = {1, 2, 3, 4}.TrˆenP(X), x´et quan hˆe . R nhu . sau: ∀A, B ∈P(X),ARB⇔|A| = |B|. Dˆe ˜ d`ang c´o d¯u . o . . c R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen P(X). C´ac l´o . ptu . o . ng d¯ u . o . ng theo quan hˆe . R l`a: C 0 = {∅} (tˆa . p con cu ’ a X khˆong c´o phˆa ` ntu . ’ n`ao), C 1 = {{1},{2},{3},{4}} (c´ac tˆa . p con cu ’ a X c´o 1 phˆa ` ntu . ’ ), C 2 = {{1, 2},{1, 3},{1, 4},{2, 3},{2, 4},{3, 4}}(c´ac tˆa . p con cu ’ a X c´o 2 phˆa ` ntu . ’ ), C 3 = {{1, 2, 3},{1, 2, 4},{1, 3, 4},{2, 3, 4}} (c´ac tˆa . p con cu ’ a X c´o 3 phˆa ` ntu . ’ ), C 4 = {X} (tˆa . p con cu ’ a X c´o 4 phˆa ` ntu . ’ ). Tˆa . pthu . o . ng cu ’ a X theo quan hˆe . R l`a P(X)/R = {C 0 ,C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 }. 3) X´et quan hˆe . d¯ ˆo ` ng du . mˆod¯ulˆo n trˆen tˆa . pho . . p Z c´ac sˆo ´ nguyˆen. V´o . imˆo ˜ i x ∈ Z,nˆe ´ u x = qn + r, trong d¯´o 0 ≤ r<nth`ı x ≡ r (modn)hayx ∈ r. Do d¯´o c´ac l´o . ptu . o . ng theo quan hˆe . n`ay l`a: 0={qn | q ∈ Z}, 1={qn +1| q ∈ Z}, 2={qn +2| q ∈ Z}, n − 1={qn +(n− 1) | q ∈ Z}. Tˆa . pthu . o . ng cu ’ a Z theo quan hˆe . d¯ ˆo ` ng du . mˆod¯ulˆo n l`a Z/ ≡(modn)v`a thu . `o . ng d¯u . o . . ck´yhiˆe . ul`aZ n .Mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a Z n d¯ u . o . . cgo . il`amˆo . tsˆo ´ nguyˆen mˆod¯ulˆo n. 3.2.1.5. D - i . nh ngh˜ıa: Mˆo . t phˆan hoa . ch cu ’ atˆa . pho . . p A l`a mˆo . tho . (A i ) i∈I c´ac tˆa . p con cu ’ a A sao cho A i = ∅ (∀i ∈ I),A i ∩ A j = ∅ (∀i, j ∈ I, i = j), ∪ i∈I A i = A. Nhu . vˆa . y, khi c´o mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen tˆa . pho . . p A th`ı ho . gˆo ` mtˆa ´ t ca ’ c´ac l´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng theo quan hˆe . n`ay ta . o th`anh mˆo . t phˆan hoa . ch cu ’ atˆa . p ho . . p A. 3.2.1.6. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Mˆo ˜ i phˆan hoa . ch cu ’ atˆa . pho . . p A x´ac d¯i . nh mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen A. Ch´u . ng minh: Gia ’ su . ’ (A i ) i∈I l`a mˆo . t phˆan hoa . ch cu ’ atˆa . pho . . p A. X´et quan hˆe . R trˆen A nhu . sau: ∀a, b ∈ A, a R b ⇔∃i ∈ I, a,b ∈ A i . 72 T`u . c´ac t´ınh chˆa ´ tcu ’ a phˆan hoa . ch, dˆe ˜ d`ang c´o d¯u . o . . c R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯ u . o . ng v`a mˆo ˜ il´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng ´u . ng v´o . imˆo . ttˆa . p con A i n`ao d¯´o. 3.2.2. Quan hˆe . th´u . tu . . : 3.2.2.1. D - i . nh ngh˜ıa: Mˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p A d¯ u . o . . cgo . i l`a quan hˆe . th´u . tu . . nˆe ´ u n´o c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t pha ’ nxa . , pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng v`a b˘a ´ ccˆa ` u. Ngu . `o . i ta thu . `o . ng k´yhiˆe . umˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . bo . ’ ik´yhiˆe . u ≤. Nˆe ´ u trˆen tˆa . pho . . p A c´o mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . ≤ th`ı ta n´oi A l`a mˆo . ttˆa . pho . . p d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . . V´o . i hai phˆa ` ntu . ’ a, b ∈ A (trong d¯´o A d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . th´u . tu . . ≤), nˆe ´ u ta c´o a ≤ b th`ı ta c`on viˆe ´ t b ≥ a. Khi c´o quan hˆe . th´u . tu . . ≤ trˆen A,tac´othˆe ’ x´ac d¯i . nh quan hˆe . < nhu . sau: ∀a, b ∈ A, a < b ⇔ a ≤ b v`a a = b. Nˆe ´ uc´oa<b, ta c`on viˆe ´ t b>a. Tac´othˆe ’ mˆo ta ’ viˆe . cs˘a ´ pth´u . tu . . mˆo . ttˆa . ph˜u . uha . n A (v´o . i quan hˆe . th´u . tu . . ≤)b˘a ` ng mˆo . tbiˆe ’ ud¯ˆo ` go . il`abiˆe ’ ud¯ˆo ` Hasse. D - ´o l`a biˆe ’ ud¯ˆo ` biˆe ’ udiˆe ˜ n c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A bo . ’ i c´ac dˆa ´ uchˆa ´ mv`anˆe ´ uc´oa ≤ b (a, b ∈ A)th`ınˆo ´ i a v´o . i b bo . ’ imˆo . t d¯oa . n th˘a ’ ng t`u . du . ´o . i lˆen trˆen. Th´ıdu . :1)Quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng trˆen c´ac tˆa . pho . . psˆo ´ N, Z, Q, R l`a quan hˆe . th´u . tu . . . 2) Quan hˆe . “chia hˆe ´ t” trˆen tˆa . pho . . p N ∗ l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . . 3) Quan hˆe . “bao h`am” trˆen tˆa . pho . . p P(X) c´ac tˆa . p con cu ’ atˆa . pho . . p X l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . . 3.2.2.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho A l`a tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . (bo . ’ i quan hˆe . ≤). V´o . i hai phˆa ` ntu . ’ a, b ∈ A,nˆe ´ u ta c´o a ≤ b ho˘a . c b ≤ a th`ı ta n´oi a v`a b so s´anh d¯u . o . . c v´o . i nhau, c`on nˆe ´ u ta khˆong c´o ca ’ a ≤ b lˆa ˜ n b ≤ a th`ı ta n´oi a v`a b khˆong so s´anh d¯ u . o . . cv´o . i nhau. Tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A go . il`amˆo . ttˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` n nˆe ´ u hai phˆa ` ntu . ’ bˆa ´ tk`ya, b ∈ A luˆon c´o thˆe ’ so s´anh d¯u . o . . cv´o . i nhau. Khi d¯´o ta c˜ung go . i quan hˆe . th´u . tu . . ≤ l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . to`an phˆa ` n. Trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . cla . i, t´u . cl`anˆe ´ utˆo ` nta . i hai phˆa ` ntu . ’ a, b ∈ A khˆong so s´anh d¯u . o . . cv´o . i nhau th`ıtago . i A l`a mˆo . ttˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bˆo . phˆa . nv`a quan hˆe . th´u . tu . . ≤ l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . bˆo . phˆa . n. Th´ıdu . :1)Quan hˆe . th´u . tu . . ≤ thˆong thu . `o . ng trˆen tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . to`an phˆa ` n. 2) Tˆa . pho . . p N ∗ c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen kh´ac khˆong v´o . i quan hˆe . th´u . tu . . “chia hˆe ´ t” l`a mˆo . ttˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bˆo . phˆa . n, v`ıch˘a ’ ng ha . n, ta khˆong c´o 2|3v`ac˜ung khˆong c´o 3|2. 73 3) Quan hˆe . “bao h`am” trˆen tˆa . pho . . p P(X) c´ac tˆa . p con cu ’ atˆa . pho . . p X, trong d¯ ´o |X| > 1, l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . bˆo . phˆa . n, v`ıch˘a ’ ng ha . n, v´o . i x, y ∈ X, x = y, ta c´o hai phˆa ` ntu . ’ {x} v`a {y} cu ’ a P(X) khˆong so s´anh d¯u . o . . cv´o . i nhau. V´o . i X = ∅ ho˘a . c X = {x},tadˆe ˜ nhˆa . n thˆa ´ y P(X)d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . ⊂. 4) Cho A l`a tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a n l`a mˆo . t sˆo ´ nguyˆen du . o . ng. Trˆen A n , ta d¯i . nh ngh˜ıa quan hˆe . hai ngˆoi D nhu . sau: ∀a =(a 1 ,a 2 , . ,a n ),b=(b 1 ,b 2 , . ,b n ) ∈ A n ,aD b ⇔ ho˘a . c a = b ho˘a . ctˆo ` nta . i i (1 ≤ i ≤ n) sao cho a 1 = b 1 , . ,a i−1 = b i−1 ,a i <b i . Khi d¯´o A n d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . D. Quan hˆe . n`ay d¯u . o . . cgo . il`a quan hˆe . th´u . tu . . t`u . d¯ i ˆe ’ n. Ch˘a ’ ng ha . n, x´et A = {,a,b,c, . ,x,y,z}, trong d¯´o k´yhiˆe . u cho khoa ’ ng tr˘a ´ ng (khˆong c´o ch˜u . c´ai). R˜o r`ang A d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` n theo th´u . tu . . liˆe . tkˆeo . ’ trˆen. Go . i n l`a sˆo ´ ch˜u . c´ai nhiˆe ` u nhˆa ´ t trong sˆo ´ c´ac t`u . tiˆe ´ ng Anh. Mˆo . t t`u . tiˆe ´ ng Anh bˆa ´ tk`yc´ok ch˜u . c´ai (k ≤ n)th`ıd¯u . o . . c xem nhu . mˆo . t phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A n , trong d¯´o k ch˜u . c´ai d¯ˆa ` ul`ac´acch˜u . c´ai cu ’ at`u . d¯´o (theo th´u . tu . . t`u . tr´ai sang pha ’ i) v`a n− k th`anh phˆa ` n c`on la . il`a. Khi d¯´o quan hˆe . th´u . tu . . D trˆen A n s˜e cho ta c´ach s˘a ´ pxˆe ´ pc´act`u . tiˆe ´ ng Anh theo th´u . tu . . nhu . trong t`u . d¯ i ˆe ’ n. V`ı l´y do d¯´o D go . i l`a quan hˆe . th´u . tu . . t`u . d¯ i ˆe ’ n. 3.2.2.3. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a X l`a mˆo . ttˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A. Phˆa ` ntu . ’ a ∈ X d¯ u . o . . cgo . i l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X nˆe ´ uv´o . imo . i x ∈ X ta c´o x ≤ a (t.u . . x ≥ a). Phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X nˆe ´ utˆo ` nta . i l`a duy nhˆa ´ t. Thˆa . tvˆa . y, nˆe ´ u a v`a b l`a hai phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X th`ı theo d¯i . nh ngh˜ıa ta c´o a ≤ b v`a b ≤ a; theo t´ınh chˆa ´ t pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng cu ’ a ≤,tac´oa = b. Th´ıdu . :1)X´et tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen v´o . i quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng. Khi d¯ ´o N c´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t l`a 0 v`a khˆong c´o phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t. X´et tˆa . p con X = {10, 15, 1, 4, 9, 22, 11} cu ’ a N. Khi d¯´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ tcu ’ a X l`a 1 v`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t l`a 22. 2) X´et tˆa . pho . . p N ∗ c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen kh´ac khˆong d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . “chia hˆe ´ t”. Khi d¯´o 1 l`a phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t(v`ı1| a, ∀a ∈ N ∗ ) v`a khˆong c´o phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t. X´et X = {2, 3, 6, 8, 12, 24}⊂N ∗ . Khi d¯´o X c´o phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t l`a 24 v`a khˆong c´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t. 3) Cho X l`a mˆo . ttˆa . pho . . p. X´et tˆa . pho . . p P(X)gˆo ` m c´ac tˆa . p con cu ’ a X d¯ u . o . . c s˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . “bao h`am”. Khi d¯´o P(X) c´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ tl`a∅ v`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ tl`aX. 74 3.2.2.4. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a X l`a mˆo . ttˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A. Phˆa ` ntu . ’ c ∈ A d¯ u . o . . cgo . i l`a mˆo . tch˘a . n trˆen (t.u . . ch˘a . ndu . ´o . i) cu ’ a X nˆe ´ uv´o . imo . i x ∈ X ta c´o x ≤ c (t.u . . x ≥ c). Nˆe ´ u X c´o ´ıt nhˆa ´ t mˆo . tch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i) th`ı ta n´oi X l`a tˆa . p con bi . ch˘a . n trˆen (t.u . .bi . ch˘a . n du . ´o . i). Mˆo . ttˆa . p con X cu ’ atˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A c´o thˆe ’ khˆong c´o ch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i), c˜ung c´o thˆe ’ c´o mˆo . t hay nhiˆe ` uch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i). V´o . i X l`a mˆo . ttˆa . p con cu ’ atˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A v`a a ∈ X. Phˆa ` ntu . ’ a l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X khi v`a chı ’ khi a l`a mˆo . tch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i) cu ’ a X. Th´ıdu . :1)X´et tˆa . pho . . p N d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng v`a X = {6, 8, 4, 9, 45, 10, 7, 12}⊂N. Khi d¯´o c´ac sˆo ´ 0, 1, 2, 3 l`a c´ac ch˘a . ndu . ´o . icu ’ a X v`a c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen x ≥ 45 l`a c´ac ch˘a . n trˆen cu ’ a X. 2) X´et tˆa . pho . . p Q ∗ 0 c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ khˆong ˆam v´o . i quan hˆe . th´u . tu . . ≤ thˆong thu . `o . ng v`a X = { 1 n | n ∈ N ∗ }⊂Q ∗ 0 . Khi d¯´o 0 l`a ch˘a . ndu . ´o . i duy nhˆa ´ tcu ’ a X m`a khˆong l`a phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ tcu ’ a X v`a c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ x ≥ 1 l`a c´ac ch˘a . n trˆen cu ’ a X m`a 1 l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ tcu ’ a X. 3) X´et tˆa . pho . . p N ∗ d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . “chia hˆe ´ t” v`a X = {2, 4, 6, 8, 12}⊂N ∗ . Khi d¯´o c´ac sˆo ´ 1, 2 l`a c´ac ch˘a . ndu . ´o . icu ’ a X v`a c´ac sˆo ´ x ∈ N ∗ sao cho x l`a bˆo . i chung cu ’ a 2, 4, 6, 8, 12, l`a c´ac ch˘a . n trˆen cu ’ a X. 3.2.2.5. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a X l`a mˆo . ttˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A. Phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t (t.u . .l´o . n nhˆa ´ t) cu ’ atˆa . pho . . p c´ac ch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i) cu ’ a X d¯ u . o . . cgo . i l`a cˆa . n trˆen (t.u . .cˆa . ndu . ´o . i) cu ’ a X trong A,k´yhiˆe . u sup A X (t.u . . inf A X). Nhu . vˆa . y, phˆa ` ntu . ’ a ∈ A l`a cˆa . n trˆen (t.u . .cˆa . ndu . ´o . i) cu ’ atˆa . p con X cu ’ a A khi v`a chı ’ khi a l`a mˆo . tch˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i) cu ’ a A v`a a ≤ c (t.u . . a ≥ c) v´o . imo . ich˘a . n trˆen (t.u . .ch˘a . ndu . ´o . i) c cu ’ a X. Cˆa . n trˆen (t.u . .cˆa . ndu . ´o . i) cu ’ amˆo ˜ itˆa . p con X cu ’ atˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A nˆe ´ utˆo ` nta . i l`a duy nhˆa ´ t. Ngo`ai ra, cˆa . n trˆen (t.u . .cˆa . ndu . ´o . i) cu ’ a X l`a thuˆo . c X khi v`a chı ’ khi n´o l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X. Th´ıdu . :1)X´et tˆa . pho . . p R d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng v`a X = {x ∈ R | 1 <x<2} =(1, 2) ⊂ R v`a X = {(1 + 1 n ) n | n ∈ N ∗ }⊂R. Khi d¯´o tˆa . pho . . p c´ac ch˘a . n trˆen cu ’ a X l`a [2, +∞) v`a cu ’ a X l`a [e, +∞), tˆa . pho . . p c´ac ch˘a . ndu . ´o . icu ’ a X l`a (−∞, 1] v`a cu ’ a X l`a (−∞, 2]. Do d¯´o sup R X =2, sup R X = e, inf R X =1, inf R X =2(∈ X ). 2) X´et tˆa . pho . . p N ∗ d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . “chia hˆe ´ t” v`a X = {2, 3, 6, 8}. Khi d¯´o tˆa . pho . . p c´ac ch˘a . n trˆen cu ’ a X l`a c´ac bˆo . i chung trong N ∗ 75 cu ’ a 2, 3, 6, 8 v`a tˆa . pho . . p c´ac ch˘a . ndu . ´o . icu ’ a X l`a c´ac u . ´o . c chung trong N ∗ cu ’ a2, 3, 6, 8. Do d¯´o sup N ∗ X = BCNN(2, 3, 6, 8) = 24 v`a inf N ∗ X = UCLN(2, 3, 6, 8) = 1. 3) X´et tˆa . pho . . p P(X)d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . bo . ’ i quan hˆe . “bao h`am” v`a X = {A 1 ,A 2 , . ,A n }⊂P(X). Khi d¯´o sup P(X) X = n ∪ i=1 A i v`a inf P(X) X = n ∩ i=1 A i . 3.2.2.6. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a X l`a mˆo . ttˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A. Phˆa ` ntu . ’ m ∈ X d¯ u . o . . cgo . i l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . . tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X nˆe ´ uv´o . imo . i x ∈ X ta c´o: m ≤ x ⇒ x = m (t.u . . x ≤ m ⇒ x = m), t´u . c l`a khˆong tˆo ` nta . i phˆa ` n phˆa ` ntu . ’ x n`ao cu ’ a X sao cho x>m(t.u . . x<m). R˜o r`ang r˘a ` ng phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) m cu ’ a A sao cho m ∈ X c˜ung l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X. Tuy nhiˆen, nˆe ´ u m l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X th`ı chu . ach˘a ´ c m l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a A. Phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ amˆo . ttˆa . pho . . p c´o thˆe ’ khˆong c´o v`a nˆe ´ utˆo ` n ta . i, c´o thˆe ’ c´o ho . n1. 3.2.2.7. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤ v`a X l`a mˆo . ttˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A. Khi d¯´o: 1) Nˆe ´ u X c´o phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) l`a a th`ı a l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) duy nhˆa ´ tcu ’ a X. 2) Nˆe ´ u X d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . ≤ th`ı phˆa ` ntu . ’ a ∈ X l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X khi v`a chı ’ khi a l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . . tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X. Ch´u . ng minh: 1) Gia ’ su . ’ a l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X. Khi d¯´o ta c´o x ≤ a (t.u . . x ≥ a)v´o . imo . i x ∈ X v`a nˆe ´ u a ≤ x (t.u . . a ≥ x)th`ı do t´ınh chˆa ´ t pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng ta c´o x = a.Vˆa . y a l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X. Nˆe ´ u a l`a mˆo . t phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) t`uy ´y cu ’ a X th`ı do a l`a phˆa ` n tu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X ta c´o a ≤ a (t.u . . a ≥ a) v`a do a l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X nˆen a = a. 2) (⇒) C´o t`u . 1). (⇐) Gia ’ su . ’ a ∈ X l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X. Khi d¯´o do X d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` n nˆen v´o . imo . i x ∈ X, ta c´o x ≤ a ho˘a . c a ≤ x.Nˆe ´ u a ≤ x (t.u . . a ≥ x)th`ıdoa l`a phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i (t.u . .tˆo ´ itiˆe ’ u) cu ’ a X ta c´o x = a. Vˆa . y x ≤ a (t.u . . x ≥ a)v´o . imo . i x ∈ X hay x l`a phˆa ` ntu . ’ l´o . n nhˆa ´ t (t.u . . nho ’ nhˆa ´ t) cu ’ a X. Th´ıdu . :1)Tˆa . pho . . p N ∗ v´o . i quan hˆe . “chia hˆe ´ t” c´o phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ itiˆe ’ u duy nhˆa ´ tl`a 1, d¯´o c˜ung l`a phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ tcu ’ a N ∗ , khˆong tˆo ` nta . i phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i. Tˆa . p con X = N ∗ \{1} cu ’ a N ∗ c´o c´ac phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ itiˆe ’ u l`a c´ac sˆo ´ nguyˆen tˆo ´ v`a X khˆong c´o phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i. 76 Tˆa . p con X = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 19, 24} cu ’ a N ∗ c´o c´ac phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ itiˆe ’ u l`a 2, 3, 19 v`a c´ac phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i l`a 9, 19, 24. 2) Cho tˆa . pho . . p X = {x 1 ,x 2 , . ,x n }. X´et tˆa . pho . . p A = P(X) \{∅,X} v´o . i quan hˆe . “bao h`am”. Khi d¯´o A c´o c´ac phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ itiˆe ’ u l`a c´ac tˆa . p con 1 phˆa ` ntu . ’ : {x 1 }, {x 2 }, . ,{x n } v`a c´o c´ac phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i l`a c´ac tˆa . p con n − 1 phˆa ` ntu . ’ : {x 2 ,x 3 , . ,x n }, {x 1 ,x 3 , . ,x n }, . ,{x 1 ,x 2 , . ,x n−1 }. 3.2.2.8. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A bo . ’ i quan hˆe . ≤. Ta n´oi A d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . n`ay nˆe ´ umo . itˆa . p con kh´ac rˆo ˜ ng cu ’ a A d¯ ˆe ` u c´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t. 3.2.2.9. Hˆe . qua ’ : Nˆe ´ umˆo . ttˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ imˆo . t quan hˆe . n`ao d¯´o th`ın´od¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . d¯´o. Ch´u . ng minh: Gia ’ su . ’ A l`a tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . ≤. Khi d¯´o v´o . i hai phˆa ` ntu . ’ bˆa ´ tk`ya, b ∈ A,tˆa . p con X = {a, b} cu ’ a A c´o phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t. Nˆe ´ u a l`a phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ tcu ’ a X th`ı a ≤ b v`a nˆe ´ u b l`a phˆa ` ntu . ’ nho ’ nhˆa ´ t cu ’ a X th`ı b ≤ a.Nhu . vˆa . y, a v`a b so s´anh d¯u . o . . cv´o . i nhau hay A d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` nbo . ’ i quan hˆe . ≤. Th´ıdu . :1)Tˆa . pho . . p N d¯ u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng. 2) Tˆa . pho . . p N ∗ khˆong d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . “chia hˆe ´ t”. 3) C´ac tˆa . pho . . p Z, Q, R khˆong d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . ≤ thˆong thu . `o . ng. 3.2.2.10. D - i . nh ngh˜ıa: Tˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . A d¯ u . o . . cgo . i l`a mˆo . td`annˆe ´ u v´o . i hai phˆa ` ntu . ’ bˆa ´ tk`ya, b ∈ A,tˆa . pho . . p {a, b} luˆon c´o cˆa . n trˆen v`a cˆa . ndu . ´o . i. Cˆa . n trˆen v`a cˆa . ndu . ´o . icu ’ a {a, b} lˆa ` nlu . o . . td¯u . o . . ck´yhiˆe . ul`aa ∨ b v`a a ∧ b. 3.2.2.11. T´ınh chˆa ´ t: Cho A l`a mˆo . t d`an. Khi d¯´o v´o . imo . i a, b, c ∈ A, ta c´o: 1) Luˆa . tl˜uy d¯˘a ’ ng: a∨ a = a, a ∧ a = a. 2) Luˆa . t giao ho´an: a∨ b = b ∨ a, a∧ b = b ∧ a. 3) Luˆa . tkˆe ´ tho . . p: (a ∨ b)∨ c = a ∨ (b ∨ c), (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b∧ c). 4) Luˆa . thˆa ´ p thu . : a ∨ (a∧ b)=a, a∧ (a∨ b)=a. Ch´u . ng minh: C´o ngay t`u . d¯ i . nh ngh˜ıa cu ’ acˆa . n trˆen v`a cˆa . ndu . ´o . i. Th´ıdu . :1)Tˆa . pho . . p N ∗ v´o . i quan hˆe . chia hˆe ´ tl`amˆo . t d`an v`ıv´o . imo . i m, n ∈ N ∗ , ta c´o m ∨ n l`a BCNN(m, n)v`am ∧ n l`a UCLN(m, n). 2) Tˆa . pho . . p P(X)v´o . i quan hˆe . “bao h`am” l`a mˆo . td`anv`ıv´o . imo . i A, B ∈ P(X), ta c´o A ∨ B l`a A ∪ B v`a A ∧ B l`a A ∩ B. Ta th`u . a nhˆa . nmˆe . n h d¯ ˆe ` sau, thu . `o . ng d¯u . o . . cgo . i l`a Bˆo ’ d¯ ˆe ` Zorn, vˆe ` su . . tˆo ` nta . i phˆa ` ntu . ’ tˆo ´ id¯a . i trong mˆo . ttˆa . pho . . pd¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . .Mˆe . n h d¯ ˆe ` n`ay tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i h`ang loa . tmˆe . nh d¯ˆe ` kh´ac trong l´y thuyˆe ´ ttˆa . pho . . p, trong sˆo ´ n`ay c´o Tiˆen d¯ˆe ` cho . n, D - i . n h d¯ ˆe ` Zermelo, Nguyˆen l´ys˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ t, . 77 [...]... a c´ d ung 3 l´ o ¯´ o ´ ¯ e o e 17 Mˆt quan hˆ R trˆn tˆp ho.p X d u.o.c goi l` quan hˆ v`ng quanh nˆu xRy o e e a a ` ’ a v` yRz k´o theo zRx Ch´.ng minh r˘ ng quan hˆ R l` phan xa v` v`ng quanh a e u a e a o o.ng d u.o.ng khi v` chı khi R l` mˆt quan hˆ tu a ’ a o e ¯ ’ ’ ´ a e a e 18 Cho L0 l` mˆt d u.`.ng th˘ng cˆ d nh trˆn m˘t ph˘ng R2 Mˆt quan hˆ R a o ¯ o o a o ¯i p L tˆ t ca... ¯ khi v` chı khi f (x) = f (y) a ’ ´ ’ 14 T` quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng nho nhˆ t trˆn tˆp {a, b, c, d, e} ch´.a quan hˆ ım e ¯ a e a u e {(a, b), (a, c), (d, e)} 79 ` ´ ¯ a e a a ’ 15 X´c d nh sˆ c´c quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng kh´c nhau trˆn tˆp ho.p 3 phˆn tu a ¯i o a e ` a e ¯o b˘ ng c´ch liˆt kˆ ra c´c quan hˆ d ´ a a e e ` a ’ 16 C´ bao nhiˆu quan hˆ tu.o.ng du.o.ng kh´c nhau cho trˆn tˆp... R v` d u / a ¯ k´o theo (b, a) ∈ R e / ’ ’ a) C´c quan hˆ n`o trong B`i 2 v` 3 l` phan phan xa a e a a a a ´ ´ b) C´c quan hˆ n`o trong B`i 2 v` 3 l` bˆ t d ˆi x´.ng a e a a a a a ¯o u ´ ¯e a e 5 Cho R l` mˆt quan hˆ t` tˆp ho.p A dˆn tˆp ho.p B Quan hˆ ngu.o.c t` B a o e u a u o.c k´ hiˆu l` R−1 , l` tˆp ho.p {(b, a) | (a, b) ∈ R} Quan hˆ b` R l` ´ e u a a a dˆn A, d u y e a ¯e ¯ ... tu / a a a ’ a a e ¯ ıa sau: quan hˆ ≤ nhu e ∀X, Y ∈ S, X ≤ Y ⇔ ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ R ` Ch´.ng minh r˘ ng: u a e u e a a o a) Quan hˆ ≤ l` mˆt quan hˆ th´ tu trˆn tˆp S e i X, Y ∈ S, nˆu X ⊂ Y th` X ≤ Y ´ b) V´ o e ı ´ ` ’ u a a e a ’ a c) Tˆp S d u.o.c s˘ p th´ tu to`n phˆn bo.i quan hˆ ≤ khi v` chı khi tˆp E a ¯ a o.c s˘ p th´ tu to`n phˆn bo.i quan hˆ R ´ ` ’ du a ¯ u a a e... mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng hay khˆng? a ¯ ˜ a o a e ¯ ıa 19 Cho M l` mˆt tˆp ho.p kh´c rˆ ng v` a ∈ M Trˆn X = P (M ) ta d inh ngh˜ a o a sau: quan hˆ hai ngˆi nhu e o R = {(A, B) ∈ X 2 | A = B hay a ∈ A ∩ B} ` ’ a a a o e ¯ e a Ch´.ng minh r˘ ng R l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng trˆn X H˜y chı ra tˆp ho.p u o.ng thu ’ e a a u 20 Goi X l` tˆp ho.p moi anh xa t` R v`o R Ch´.ng to quan. .. t` c´c l´.p tu.o.ng d u.o.ng R l` mˆt quan hˆ tu a o e ¯ a ım a o ¯ 80 ´ ıa Bˆy gi` nˆu d nh ngh˜ a o e ¯i P1 S P2 ⇔ x1 y1 = x2 y2 ∧ x1 x2 ≥ 0 e th` S c`n l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng n˜.a khˆng ? ı o a o ¯ u o ´ a o e e o 24 Trˆn tˆp ho.p R c´c sˆ thu.c, x´t quan hˆ hai ngˆi R sau: e a ∀x, y ∈ R, x R y ⇔ x3 − y 3 = x − y ` Ch´.ng minh r˘ ng R l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng T` c´c l´.p tu.o.ng... v` tˆp ho a a ´ e a a o 25 X´t quan hˆ R trˆn tˆp ho.p R c´c sˆ thu.c nhu sau: e e ∀a, b ∈ R, a R b ⇔ a3 ≤ b3 ` ´ ` a a a u a a Ch´.ng minh r˘ ng R s˘ p th´ tu to`n phˆn tˆp ho.p R u p R nhu sau th` S c´ l` mˆt quan hˆ th´ tu ´ Nˆu x´t quan hˆ S trˆn tˆp ho e e e e a ı o a o e u khˆng? o ∀a, b ∈ R, a S b ⇔ a2 ≤ b2 ´ e u e a 26 X´t tˆp ho.p N∗ v´.i quan hˆ th´ tu “chia hˆt ” v` X =... c´c c˘p (a, b), ` ’ a ’ e o a a c) R l` quan hˆ trˆn tˆp ho a e e a trong d ´ tınh a gi´p gi´.i v´.i tınh b ¯o ’ a o o ’ ’ ’ ’ a a e o ınh a ¯ 6 Gia su R v` S l` hai quan hˆ c´ t´ phan xa trˆn tˆp ho.p A X´c d inh xem e a ´ ’ ’ c´c quan hˆ R ∪ S, R ∩ S, R ⊕ S, R \ S v` S ◦ R c´ t´ chˆ t phan xa hay phan a e a o ınh a ’ phan xa 78 ` u a 7 Cho R l` mˆt quan hˆ trˆn tˆp ho.p A Ch´.ng minh r˘... Mˆt d`n d ˆ ¯ o a ¯a u a a a ’ o a i quan hˆ bao h`m l` mˆt ´ ` ’ o a ’ a a b) Tˆp P(X) gˆm tˆ t ca c´c tˆp con cua X v´ a o e a a o d`n d` y d u a ¯ˆ ¯ ’ a ´ ´ e o e u a e e a o c) Tˆp Z+ c´c sˆ nguyˆn du.o.ng v´.i quan hˆ th´ tu l` quan hˆ chia hˆt a ’ a o a ¯ˆ ¯ ’ a khˆng phai l` mˆt d`n d` y d u o e ¯ e 33 Cho X l` mˆt tˆp t` y y, S l` tˆp tˆ t ca c´c quan hˆ tu.o.ng du.o.ng trˆn X a o a... a ¯o u V` vˆy sˆ quan hˆ phan xa v` d ˆi x´ ı a o e a o a n(n−1) a n(n−1) ` ` n tu (du.´.i d u.`.ng ch´o), t´.c l` b˘ ng 2 2 ’ o ¯ o e u a a 1 + 2 + ···n = phˆ a 2 ¯ 10 a) Quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng e ´ a ’ b) Khˆng phan xa v` khˆng b˘ c cˆu o a ` a o o.ng d u.o.ng c) Quan hˆ tu e ¯ ´ a d) Khˆng b˘ c cˆu o a ` ´ a ´ a o a ` e) Khˆng d ˆi x´.ng v` khˆng b˘ c cˆu o ¯o u 11 a) Quan hˆ tu.o.ng d . 2) Quan hˆe . “chia hˆe ´ t” (|)l`amˆo . t quan hˆe . trˆen tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen. 3) Quan hˆe . “vuˆong g´oc” (⊥) l`a mˆo . t quan. t quan hˆe . trˆen Z,go . i l`a quan hˆe . d¯ ˆo ` ng du . mˆod¯ulˆo n. Khi xRy, ta viˆe ´ t x ≡ y (modn). 5) Quan hˆe . “c`ung tuˆo ’ i” l`a mˆo . t quan