Hình thành tư duy – Kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh trường THPT Như Thanh II luyện thi THPT quốc gia

Mục đích của nghiên cứu này nhằm trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số công thức giải nhanh phần cực trị của hàm số bậc ba giúp các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng cũng như cách giải dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi.

SỞ  GIÁO D ỤỤC VÀ ĐÀO T SỞ  GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠẠO THANH HOÁ  O THANH HOÁ  TRƯỜ ƯỜNG THPT NH NG THPT NHƯƯ  THANH II TR  THANH II     SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHI ỆM   HÌNH THÀNH TƯ DUY – KỸ NĂNG GIẢI NHANH TỐN  TRẮC NGHIỆM PHẦTÊN Đ N CỰC TR Ị CỦA HÀM SỐ BẬC BA  Ề TÀI: CHO HỌ ƯỜ      SỬ  DỤNG TRÒ CH ƠC SINH TR I Ô CHỮ   Ở  MNG THPT  ỘT SỐ  TIẾT BÀI TẬP  ƯNG THU  THANH II LUY ỆN THI THPT QU ỐC GIA CỦA CHNH ƯƠ ỘC CHƯƠ NG TRÌNH TIN H ỌC LỚP 10  NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP MƠN TIN HỌC   HỌC   SINH Người thực hiện: Mạc Lương Thao Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn học   Người thực hiện:  Nguy ễn Thị Hịng Chức vụ:  Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn):  Tin Học   THANH HOÁ NĂM 2016   MỤC LỤC Phần   I:   Đặt   vấn   đề  …………………………………………………………… Phần  II:  Giải  quyết  vấn   đề.……………………………………………… … I Cơ   sở       đề   tài…… ……………………………………………………… 1. Cơ sở lý luận……………………………………………………………… … 1.1   Khái niệm   cực   trị     hàm  số………………………………………………… 1.1.1   Khái   niệm   cực   trị   hàm   số…………………………………… ………… 1.1.2   Điều   kiện   cần   để   hàm   số   đại   cực   trị……………………… …………… 1.1.3   Điều   kiện   đủ   để   hàm   số   đại   cực   trị………………………… ………… 1.2   Cực   trị     hàm   số   bậc  ba……………………………………………… 1.2.1  Điều kiện tồn tại  cực trị……………………………………………… ….3 1.2.2 Kỹ năng tính nhanh………… ……………………………… …………   Thực   trạng   vấn   đề   ……………………………………………………… … II. Các dạng tốn về  cực trị  của hàm số  bậc ba thường gặp…………… ………4 1 Tìm  m  để  hàm số  đạt cực đại hoặc cực tiểu tại   x = x0 ………………… …….4 2 Biện luận theo  m  số  cực trị  của hàm số…………………………………… ….5 3 Tìm m để hàm số có  hai cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước…………… …6 4  Áp   dụng    số   công  thức   giải   nhanh…………………………………… ….12 4.1   Cơng   thức   phương   trình   đường   thẳng     qua   hai   điểm   cực   trị…… ……….12 4.1.1 Công thức của TS Nguyễn Thái Sơn………………………………… … 12 4.1.2   Cơng   thức   có       cách   chia   y  cho  y’…………………………… 13 4.2   Cơng   thức   tính   độ   dài   hai   điểm   cực   trị……………………………… …….14   Một   số   tậ p     trắc  nghiệm………………………………………………… 15 Phần III. Kết luận  ……………………………… ……………………… … 21 Tài   liệu   tham  khảo…………………………………………………………….22 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ      Đạo hàm và  ứng dụng của đạo hàm chiếm vai trò quan trọng trong   chương trình Tốn THPT. Nội dung về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được  trình bày trong tồn bộ chương trình giải tích 11 và giải tích 12, trong đó đạo   hàm được trình bày trong học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm được trình bày  trong học kỳ  I lớp 12. Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song đạo  hàm và ứng dụng đạo hàm là nội dung bắt buộc trong các đề  thi Tốt nghiệp   THPT, ĐH­CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia. Chúng ta có thể kể đến một   số ứng dụng của đạo hàm: Xét tính đơn điệu của hàm số; tìm giá trị lớn nhất,  nhỏ nhất của hàm số; cực trị hàm số… Phần  ứng dụng đạo hàm để  giải quyết các bài tốn liên quan đến cực  trị  của hàm số  bậc ba là một phần khơng q khó với học sinh nếu khơng  muốn nói là phần “lấy điểm” của học sinh. Tuy nhiên, việc giải quyết các bài  tốn cực trị hàm số bậc ba nhanh và hiệu quả là điều mà ít học sinh làm được  nhất là trong bối cảnh kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 đổi từ hình thức thi tự  luận sang trắc nghiệm. Ngồi ra, việc trình bày các kiến thức   SGK, SBT   cũng như  các sách tham khảo, hệ  thống các bài tập cịn dàn trải và học sinh   thường mất thời gian khi giải bài tập phần này. Từ  kinh nghiệm bản thân  trong các năm giảng dạy cũng như sự tìm tịi, tham khảo và tổng hợp ở các tài   liệu Tốn và trên internet, tơi lựa chọn đề  tài: “Hình thành tư duy ­ kỹ năng   giải nhanh tốn trắc nghiệm phần cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh   trường THPT Như  Thanh II luyện thi THPT Quốc Gia ” với mong muốn  trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một  số cơng thức giải nhanh phần cực trị của hàm số bậc ba giúp các em học sinh   nắm bắt được cách nhận dạng cũng như  cách giải dạng tốn này nhằm góp  phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ  thi PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở của đề tài 1. Cơ sở lí luận 1.1 Khái niệm cực trị hàm số 1.1.1 Khái niệm cực trị của hàm số [3] Cho  f : D ﾡ  và  x0 D   a) x0  được gọi là một điểm cực đại của  f  nếu tồn tại khoảng  ( a; b )  sao  cho x0 �( a; b ) �D f ( x ) < f ( x0 ) ∀x ( a; b ) \ { x0} ( a; b ) \ { x0 } b) x0  được gọi là một điểm cực tiểu của  f  nếu tồn tại khoảng  ( a; b )  sao  cho x0 �( a; b ) �D f ( x ) > f ( x0 ) ∀x c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này: x0 f ( x0 ) ( x0 ; f ( x0 ) ) Điểm   cực   đại  của  f ( x) Điểm   cực   tiểu  của  f ( x) Điểm   cực   trị  của  f ( x) Giá   trị   cực   đại   (cực   đại)  của  f ( x) Giá trị  cực tiểu (cực tiểu)   của  f ( x) Cực trị của  f ( x) Điểm cực đại của đồ thị hàm  số  f ( x) Điểm   cực   tiểu     đồ   thị  hàm số  f ( x) Điểm cực trị  của đồ  thị  hàm  số  f ( x) 1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị [6] Giả  sử  hàm  f ( x)  có đạo hàm tại  x0  Khi đó: nếu  f ( x)  đạt cực trị  tại  x0  thì  f ' ( x0 ) = 1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị [6] a) Quy tắc 1 Nếu  f ' ( x )  đổi dấu từ dương sang âm khi  x   đi qua  x0  thì  f ( x)  đạt  cực đại tại  x0 ; Nếu  f ' ( x )  đổi dấu từ  âm sang dương khi  x   đi qua  x0  thì  f ( x)  đạt  cực tiểu tại  x0   b) Quy tắc 2: f ' ( x0 ) = f " ( x0 ) < f ' ( x0 ) = f " ( x0 ) >     f ( x)  đạt cực đại tại  x0 ;     f  đạt cực tiểu tại  x0 1.2 Cực trị của hàm số bậc ba [5] Xét hàm  y = ax + bx + cx + d  ( a ) Đạo hàm:  y ' = 3ax + 2bx + c 1.2.1 Điều kiện tồn tại cực trị: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi  y ' =  có hai  nghiệm phân biệt hay  ∆ ' = b − 3ac > 1.2.2 Kỹ năng tính nhanh cực trị: Giả   sử   ∆ ' = b − 3ac > ,       y ' =   có   hai   nghiệm   phân   biệt  −b b − 3ac  và hàm số đạt cực trị tại  x , x x1,2 = 3a Thực hiện phép chia y cho y’ ta có: b � � b � � bc � �1 f ( x) = � x + �f '( x) + � c − �x + � d− � 9a � � 3a � � 9a � �3 Tức là  f ( x) = q ( x) f '( x) + r ( x) � b � � bc � y1 = f ( x1 ) = � c − �x1 + � d− � � 3a � � 9a � f '( x1 ) = � Do  nên  f '( x2 ) = � b � � bc � y2 = f ( x2 ) = � c − �x2 + � d− � � 3a � � 9a � Từ đó ta có phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của  hàm số là: � b � � bc � bc y= � c − �x + � d − �= ( 3ac − b ) x + (d − ) � 3a � � 9a � 9a 9a   −2∆ ' � bc �     = x+� d− � 9a � 9a � Gọi  A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 )  là các điểm cực trị  của hàm số. Khi đó khoảng cách  giữa hai điểm cực trị là:  AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 = ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 ) �� � −2 ∆ ' −2 ∆ ' �� � � bc � � bc � + �� x2 + � d− � −� x1 + � d− � � � � � 9a � � 9a � � �9a � ��9a � �−2∆ ' � +� ( x2 − x1 ) � �9 a � 2 �−2 b − 3ac � �−2∆ ' −2 b − 3ac � = � �+ � � � � �9a � a a � � � � = 4∆ ' 16 + ∆ ') ( (3a) 9(3a) Đặt  k = 3a  ta được  AB = 4∆ ' 16 + ( ∆ ') k 9k Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là  AB = 4∆ ' 16 + ( ∆ ')  với  k 9k k = 3a  là hệ số của  x  trong phương trình  y ' = Như  vậy khi k là hằng số  thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị  ngắn   nhất khi  ∆ '  nhỏ nhất 2. Thực trạng của vấn đề      Trong các kỳ  thi tốt nghiệp, ĐH­ CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia   chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài tốn cực trị thường hay   xuất hiện, với mục đích của nhà giáo dục dành cho những học sinh có học lực   trung bình. Đối với trường THPT Như Thanh II là một trường miền núi, chất   lượng đầu vào của học sinh cịn rất thấp nên gần như  học sinh mất nhiều   thời gian trong việc định hướng cách làm hoặc trong q trình làm thường  mắc sai sót. Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễu học  sinh càng dễ mắc sai lầm II. Các dạng tốn về cực trị của hàm số bậc ba thường gặp 1. Tìm m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x = x0 Cach lam:  ́ ̀ Tinh đao ham  ́ ̣ ̀ y’   y’ = 0 Điêu kiên cân: Thay  ̀ ̣ ̀ x0 vao ph ̀ ương trinh  ̀ y’ = 0    gia tri cua  ́ ̣ ̉ m (nếu  co)́ Điêu kiên đu:  Kêt h ̀ ̣ ̉ ́ ợp xet dâu cua y’’:   ́ ́ ̉   Nêu  ́ y’’(x0) > 0 thi ham sô đat c ̀ ̀ ́ ̣ ực tiêu tai  ̉ ̣ x0   Nêu  ́ y’’(x0)   (thoa man) ̉ ̃ Vây  ̣ m = 1 ham sô co c ̀ ́ ́ ực tiêu tai  ̉ ̣ x = 2.  Vi du mâu 2: ́ ̣ ̃  Cho ham sô  ̀ ́ y = x3 − mx + ( m − m + 1) x +   Tim  ̀ m đê ham ̉ ̀   sô đat c ́ ̣ ực đai tai  ̣ ̣ x = 1 [3] Giaỉ Ta co:  ́ y ' = x − 2mx + m − m + y ' = � x − 2mx + m − m + =   (*) Điêu kiên cân: thay  ̀ ̣ ̀ x = 1 vao (*)  ̀ ̣ m = 2) m − 3m + =   (m = 1 hoăc  Điêu kiên đu:  ̀ ̣ ̉ y '' = x − 2m    Vơi  ́ m = 2    y '' = x −   y ''(1) = −2 <   ( thoa man) ̉ ̃  Vơi  ́ m = 1    y '' = x −    ( không xet đ ́ ược dâu)  ́ Nhưng khi đo:́   y ' = x − x + = ( x − 1) (∀x)     ham sô luôn đông biên ̀ ́ ̀ ́  nên ko co c ́ ực tri. Hay  ̣ m = 1 không thoa man ̉ ̃ Vây  ̣ m = 2 ham sô co c ̀ ́ ́ ực đai tai  ̣ ̣ x = 1.  2. Biện luận theo m số cực trị của hàm số Sô c ́ ực tri cua ham sô phu thuôc vao sô nghiêm cua ph ̣ ̉ ̀ ́ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ương trinh  ̀ y’ = 0 Vi du mâu 1: ́ ̣ ̃   Cho ham sô ̀ ́  y = x3 − 3mx + (m − 1) x +    Tim ̀  m  đê ham sô ̉ ̀ ́  không đat c ̣ ực tri.  ̣ [3] Giaỉ Ta co:  ́ y ' = 3x − 6mx + m −   y ' = � x − 6mx + m − =  (*) Ham sô không đat c ̀ ́ ̣ ực tri khi:  ̣ ∆ ' = 9m − 3m + �� 3m − m + �0   (vô lý) Vây không co gia tri nao cua  ̣ ́ ́ ̣ ̀ ̉ m đê ham sô không đat c ̉ ̀ ́ ̣ ực tri.̣ Vi du mâu 2: ́ ̣ ̃  Cho ham sô  ̀ ́ y = mx3 + (m − 1) x +  Tim  ̀ m đê ham sô không đat ̉ ̀ ́ ̣  [3] cực tri. ̣ Giaỉ + Nếu m = 0 hàm số trở thành  y = − x +  là PT đường thẳng nên khơng có cực  trị hay m = 0 thỏa mãn + Nêu  ́ m  Ta co:  ́ y ' = 3mx + m − y ' = � 3mx + m − = � x = Ham sô không đat c ̀ ́ ̣ ực tri khi:  ̣ 1− m 3m 1− m 3m Vây đê ham sô không đat c ̣ ̉ ̀ ́ ̣ ực tri thi:  ̣ ̀ m m0 2) Goi ro rang toa đô 2 điêm c ̣ ̃ ̀ ̣ ̣ ̉ ực tri:  ̣ A, B ( nêu cac nghiêm  ́ ́ ̣ x1 va ̀x2  gon – đep)   ̣ ̣ Hoăc biêu thi toa đô  ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ A, B theo x1; x2 nêu nghiêm qua xâu không nên tinh  ra ́ ̣ ́ ́ ́ 3) Sử dung cac tinh chât quen thuôc x ̣ ́ ́ ́ ̣ ử ly yêu câu đê bai ́ ̀ ̀ ̀ 4) Kêt luân gia tri m thoa man ́ ̣ ́ ̣ ̉ ̃ Chu y: ́ ́ Nêu biêu thi toa đô  ́ ̉ ̣ ̣ ̣ A, B theo x1 va ̀x2 do nghiêm xâu sau la phai dung hê ̣ ́ ̀ ̉ ̀ ̣  thưc Vi­et ́ ́ Vi du mâu 1: ́ ̣ ̃  THPT Quôc Gia 2016 ́ Tim m đê ham sô  ̀ ̉ ̀ ́ f ( x) = x3 − x + mx −  co hai điêm c ́ ̉ ực tri. Goi  ̣ ̣ x1 va ̀x2  là  hoanh đô hai điêm c ̀ ̣ ̉ ực tri tim  ̣ ̀ m đê ̉ x12 + x22 = Giaỉ Ta có :  f '( x) = 3x − x + m   f '( x) = � x − x + m =    (*) Đê ham sô co 2 điêm c ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm  ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2  phân biêt  ̣ ĐK :  ∆ ' > � − 3m > � m <  (**) b x1 + x2 = − = a Theo đinh ly vi­et:  ̣ ́ ́ c m x1.x2 = = a 2m =3� m= Theo bài ra ta có :  x12 + x22 = � ( x1 + x2 ) − x1x2 = � − 3 Kêt h ́ ợp điêu kiên (**)   ̀ ̣   m =  thoa man đê bai ra ̉ ̃ ̀ ̀ Vi du mâu 2: ́ ̣ ̃   Tim m đê ham sô  ̀ ̉ ̀ ́ f ( x) = x3 − x + mx −  co hai điêm c ́ ̉ ực tri. Goi  ̣ ̣ x1 va ̀x2  là  hoanh đô hai điêm c ̀ ̣ ̉ ực tri tim  ̣ ̀ m đê ̉ x1 va ̀x2  la đô dai hai canh goc vuông cua ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ̉   [2] môt tam giac vuông co canh huyên băng  .  ̣ ́ ́ ̣ ̀ ̀ Giaỉ Ta co :  ́ f '( x) = 3x − x + m    f '( x) = � x − x + m =   (*) Đê ham sô co 2 điêm c ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm  ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2  phân biêt : ̣ ĐK :  ∆ ' > � − 3m > � m < (**) b x1 + x2 = − = a Theo đinh ly vi­et:  ̣ ́ ́ c m x1.x2 = = a  Đê ̉ x1 va ̀x2  la đô dai hai canh goc vuông cua môt tam giac thi: ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ ̣ ́ ̀ x1 + x2 > x1.x2 > � m >  (***)  Đê tam giac vuông co canh huyên băng  ̉ ́ ́ ̣ ̀ ̀ thì:  10 b 2(2m − 1) x1 + x2 = − = a Theo đinh ly vi­et:  ̣ ́ ́ c 2−m x1.x2 = = a Đê ham sô co hai điêm c ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri co  ̣ ́hoanh đô d ̀ ̣ ương : 2(2m − 1) >0 x1 + x2 > � m> � �� �� � � m � 4( m + 1) − 3(m − 3m + 2) > � m + 17 m − > � −17 + 33 m> (**) Theo đinh ly vi­et: ̣ ́ ́ b 4(m + 1) x1 + x2 = − = a   c m − 3m + x1.x2 = = a Đê c ̉ ực tri năm vê hai phia truc tung chúng ta quan sat hinh anh cua đô thi bâc 3 ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̉ ̉ ̀ ̣ ̣   sau : m<  Đê c ̉ ực tri n ̣ ằm vê hai phia truc tung thi chi c ̀ ́ ̣ ̀ ̉ ần :  x1 x2 < � m − 3m + < � < m < Kêt h ́ ợp điêu kiên (**)   ̀ ̣ 1< m < Vi du mâu 7: ́ ̣ ̃   13 Cho ham sô :  ̀ ́ y = x3 − 2(m + 1) x + (m − 3m + 2) x +  Tim m đê ham sô co hai ̀ ̉ ̀ ́ ́   [6] điêm c ̉ ực tri ̣ năm cung phia so v ̀ ̀ ́ ơi truc tung.  ́ ̣ Giaỉ Ta co :  ́ y ' = 3x − 4( m + 1) x + m2 − 3m +                 y ' = � x − 4(m + 1) x + m − 3m + =     (*) Đê ham sô co 2 điêm c ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm  ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2  phân biêt : ̣ ∆ ' > � 4( m + 1) − 3(m − 3m + 2) > � m + 17 m − > −17 − 33 −17 + 33 m> m<  (**) b 4(m + 1) x1 + x2 = − = a Theo đinh ly vi­et:   ̣ ́ ́ c m − 3m + x1.x2 = = a Đê 2 c ̉ ực tri năm cung phia so v ̣ ̀ ̀ ́ ơi truc tung chúng ta quan sat 1 hinh anh cua đô ́ ̣ ́ ̀ ̉ ̉ ̀  thi bâc 3 sau (hoăc con 1 anh đôi ng ̣ ̣ ̣ ̀ ̉ ́ ược anh nay bên trai Oy): ̉ ̀ ́ Để     cực   trị   năm ̀   cung ̀   phiá   so   vơí   truc̣   tung   thì  m>2 x1 x2 > � m − 3m + > � m 2 m< Vi du mâu 8: ́ ̣ ̃   Cho ham sô :  ̀ ́ y = x3 − 3x + mx −  Tim  ̀ m đê ham sô co hai điêm c ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri ̣ năm ̀   khac phia đ ́ ́ ường thăng ( ̉ d): x = 1 Giaỉ Ta co :  ́ y ' = 3x − x + m y ' = � x − x + m =  (*) Đê ham sô co 2 điêm c ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm  ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2  phân biêt : ̣ ∆ ' > � − 3m > � m <  (**) b x1 + x2 = − = a Theo đinh ly vi­et:  ̣ ́ ́ c m x1.x2 = = a Ta co : ( ́ d): x = 1   x – 1 = 0. Đê ham sô co hai điêm c ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri ̣ năm khac phia ̀ ́ ́  đương thăng ( ̀ ̉ d) thì m ( x1 − 1) ( x2 − 1) < � x1x2 − ( x1 + x2 ) + < � − < � m < Kêt h ́ ợp điêu kiên (**)  ta đ ̀ ̣ ược m   (**) Goi toa đô :  ̣ ̣ ̣ B − m ;2m m + ( ) C ( m ;2m m + 1) uuur AB ( − m ;2m m + 1) Suy ra:  uuur AC ( m ;2m m + 1) Đê tam giac  ̉ ́ ABC cân tai  ̣ A nên AB = AC hay: 15 (− ) m − + (2m m − 2) = ( m − 2) + ( −2m m − 2) m=0 � 16m m − m = � m= Kêt h ́ ợp điêu kiên (**)  ta đ ̀ ̣ ược  m = 4. Áp dụng một số cơng thức giải nhanh 4.1 Cơng thức phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị 4.1.1 Cơng thức của TS Nguyễn Thái Sơn [4] Goi ph ̣ ương trinh đ ̀ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri la:  ̣ ̀ y = Ax + B thì  y ' y '' A, B được xac đinh nh ́ ̣ ư sau:  Ax + B = y − 18a Vi du mâu 1: ́ ̣ ̃  viêt ph ́ ương trinh đ ̀ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri cua ham ̣ ̉ ̀   sô:  ́ y = x − x + 3x + Giải Ap dung công th ́ ̣ ưc hoc nhanh:  ́ ̣ Ax + B = ( x − x + 3x + 1) ( 3x − − x + 3) ( x − ) 18 ­ Thay x = 0 vao đăng th ̀ ̉ ưc ta đ ́ ược:  B =   ­ Thay x = 1 vao lai đăng th ̀ ̣ ̉ ưc trên ta lai đ ́ ̣ ược: A+ B = 28 28 16 � A= −B= 9 Vây ph ̣ ương trinh đ ̀ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri se la:  ̣ ̃ ̀ y= 16 x+ Vi du mâu 2: ́ ̣ ̃  viêt ph ́ ương trinh đ ̀ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri cua ham ̣ ̉ ̀   sô:  ́ y = x + 3x + Giải Ap dung công th ́ ̣ ưc hoc nhanh:  ́ ̣ Ax + B = ( x + x + ) ( 6x − + 3) 12 x 36 ­ Thay x = 0 vao đăng th ̀ ̉ ưc ta đ ́ ược: B = 5 16 ­ Thay x = 1 vao lai đăng th ̀ ̣ ̉ ưc trên ta lai đ ́ ̣ ược:  A + B = � A = − B = Vây ph ̣ ương trinh đ ̀ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri se la:  ̣ ̃ ̀ y = 2x + 4.1.2 Cơng thức có được bằng cách chia y cho y’ y= −2 ∆ ' � bc � x+� d− � 9a � 9a � Vi du mâu 1: ́ ̣ ̃   Cho ham sô : ̀ ́   y = x3 − 3x − mx +  Tim ̀  m  đê ham sô co hai ̉ ̀ ́ ́   điêm c ̉ ực tri ̣ A, B sao cho đường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri song song v ̣ ơí  [1] y = −4 x +   đương thăng d:  ̀ ̉ Giải: Ta có  y ' = 3x − x − m   (*) Để  hàm số  có 2 điểm cực trị  thì phương trình (*) có hai nghiệm phân  biệt ĐK:  ∆ ' > � + 3m > � m > −3 Ta   có   hệ   số   góc     đường   thẳng     qua     điểm   cực   trị       −2∆ ' −2 k= = ( + 3m ) 9a Do đường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri song song v ̣ ơi đ ́ ường thăng d: ̉   −2 y = −4 x +  nên  ( + 3m ) = � m =  (tm) Vậy  m = thỏa mãn u cầu bài tốn Vi du mâu 2: ́ ̣ ̃   Cho ham sơ : ̀ ́   y = x3 + mx + x +  Tim ̀  m  đê ham sô co hai ̉ ̀ ́ ́   điêm c ̉ ực tri ̣ A, B sao cho đường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri vuông goc v ̣ ́ ơí  đương thăng d:  ̀ ̉ y = x + 2017  [1] Giải: Ta có:  y ' = 3x + 2mx +  (*) Để  hàm số  có 2 điểm cực trị  thì phương trình (*) có hai nghiệm phân  biệt ĐK:  ∆ ' > � m − 21 > � m > 21 m < − 21 Ta   có   hệ   số   góc     đường   thẳng     qua     điểm   cực   trị       −2∆ ' −2 k= = ( m − 21) 9a 17 Do cho đường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri vuông goc v ̣ ́ ơi đ ́ ường thăng ̉   −2 −2 � m = 24 � m = � 24  (tm) d:  y = x + 2017  nên  ( m − 21) = Vậy  m = 24  thỏa mãn yêu cầu bài toán 4.1.3 Cơng thức tính độ dài hai điểm cực trị Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là  AB = là hệ số của  x  trong phương trình  y ' = 4∆ ' 16  với  k = 3a   + ∆ ' ( ) k 9k Khi k là hằng số  thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị  ngắn nhất khi  ∆ '  nhỏ nhất Vi du mâu 1: ́ ̣ ̃  Cho ham sô :  ̀ ́ y = x3 − mx − x +  Tim m đê ham sô co hai  ̀ ̉ ̀ ́ ́ điêm c ̉ ực tri ̣ A, B sao cho đô dai  ̣ ̀ AB ngăn nhât.  ́ ́ [2] Giải Ta có:  y ' = x − 2mx − ;    ∆ ' = m + Ham sô co hai điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri ̣ A, B sao cho đô dai  ̣ ̀ AB ngăn nhât khi  ́ ́ ∆ '  nhỏ  nhất.  ∆ 'min = 1 khi  m = Vậy với  m =  thỏa mãn yêu cầu bài toán Vi du mâu 2: ́ ̣ ̃  Cho ham sô :  ̀ ́ y = x3 + 3(m + 1) x + 3m(m + 2) x + m3 + m  Biêt́  ham sô luôn co hai điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri ̣ A, B vơi moi  ́ ̣ m. Tính khoảng cách giũa hai  điểm cực trị.  Giải Ta có:  y ' = 3x + 6( m + 1) x + 3m(m + 2) ∆ ' = 9(m + 1) − 9m(m + 2) = 4∆ ' 16 + ( ∆ ') = k 9k Vậy khoảng cách giũa hai điểm cực trị bằng  Áp dụng công thức:  AB = Vi du mâu 3: ́ ̣ ̃  Cho ham sô :  ̀ ́ y = x3 − mx − x +  Tim m đê ham sô co hai  ̀ ̉ ̀ ́ ́ điêm c ̉ ực tri ̣ A, B sao cho đô dai  ̣ ̀ AB = 15 Giải: Ta có:  y ' = x − 2mx − ;    ∆ ' = m + 18 Theo bài ra: ham sô co hai điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri ̣ A, B sao cho đô dai  ̣ ̀ AB = 15 4∆ ' 16 Áp dụng công thức:  AB = + ( ∆ ')  ta được k 9k AB = 4∆ ' 16 16 3 + ( ∆ ') = 15 � ( ∆ ') + 4∆ '− 60 = k 9k � ∆ ' = � m + = � m2 = � m = � Vậy với  m =  thỏa mãn yêu cầu bài toán 5. Một số bài tập trắc nghiệm Câu 1: Đô thi cua ham sô   ̀ ̣ ̉ ̀ ́ y = ax + bx + cx + d  dang nh ̣ ư trong hinh ve co hê ̀ ̃ ́ ̣  sô.́ A.  a >              B.  a <             C.  a              D.  a Câu 2: Đô thi cua ham sô  ̀ ̣ ̉ ̀ ́ y = ax + bx + cx + d dang nh ̣ ư trong hinh ve co hê  ̀ ̃ ́ ̣ sô.́ 19 A.  d =                    B.  d =                C.  d =               D.  d = Câu 3: Đô thi cua ham sô dang nh ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ̣ ư trong hinh ve la môt trong bôn đô thi ham  ̀ ̃ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ sô đ ́ ược liêt kê  ̣ ở 4 phương an A, B, C, D. Đo la đô thi cua ham sô nao ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ A.  y = x3 − 3x +                                                         B.  y = x3 C.  y = − x3 + x +                                                        D.  y = x3 + x + Câu 4: Đô thi cua ham sô  dang nh ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ̣ ư trong hinh ve. Hoi ph ̀ ̃ ̉ ương trinh y = 4 co  ̀ ́ bao nhiêu nghiêm ̣ A. 1                       B. 2                           C. 3                         D. 4 20 Câu 5: Đô thi cua ham sô  co dang nh ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ư trong hinh ve d ̀ ̃ ưới đây. Khi đo.́ A.  ac >                    B.  ac <                        C.  ad >                     D.  ad < Câu 6: Đô thi cua ham sô dtrong hinh ve la môt trong bôn đô thi ham sô đ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ̃ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ược  liêt kê  ̣ ở 4 phương an A, B, C, D. Đo la đô thi cua ham sô nao ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ A.  y = x3 − 3x +                                                      B.  y = x3 − 3x + C.  y = − x3 + x +                                                      D.  y = x3 + x + Câu 7: Biêt đô thi cua ham sô   co điêm c ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực đai, c ̣ ực tiêu lân l ̉ ̀ ượt la : ̀  A(x1; y1),  B(x2; y2) . Ham sô đa cho nghich biên trên khoang ̀ ́ ̃ ̣ ́ ̉ A.  ( x1; x2 )                  B.  ( x2 ; x1 )                  C.  ( − x1; − x2 )                D.  ( − x2 ; − x1 ) Câu 8: Biêt đô thi cua ham sô   co hai điêm c ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri va co tich hai gia tri c ̣ ̀ ́ ́ ́ ̣ ực tri ̣ nho h ̉ ơn 0. Khi đo đô thi ham sô căt truc hoanh tai ́ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̣ A. 1 điêm               ̉ B. 2 điêm                ̉ C. 3 điêm                    ̉ D. 4 điêm ̉ Câu 9: Biêt đô thi cua ham sô   co hai điêm c ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri va co tich hai gia tri c ̣ ̀ ́ ́ ́ ̣ ực tri ̣ lơn h ́ ơn 0. Khi đo đô thi ham sô căt truc hoanh tai ́ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̣ A. 1 điêm               ̉ B. 2 điêm                ̉ C. 3 điêm                    ̉ D. 4 điêm ̉ 21 Câu 10: Biêt đô thi cua ham sô   co hai điêm c ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri va co tich hai gia tri c ̣ ̀ ́ ́ ́ ̣ ực tri ̣ băng 0. Khi đo ph ̀ ́ ương trinh y = 0 co ̀ ́ A. 1 nghiệm            B. 2 nghiệm           C. 3 nghiệm              D. 4 nghiệm Câu 11: Cho ham sô:  ̀ ́ y = x3 − 3x +  (C).  Đô thi (C) đat c ̀ ̣ ̣ ực đai tai  ̣ ̣ x băng.  ̀ A. x = 0                   B. x = 1                 C. x = 2   D. x = ­ 1 Câu 12: Cho ham sô:  (C). Đô thi (C) đat gia tri c ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ực tiêu băng ̉ ̀ A. y = 2                   B. y = 1                  C.  y = ­ 2   D. y = ­ 1 Câu 13: Cho ham sô:  ̀ ́ y = x3 − 3x + 20 x −  (C). Đô thi (C) co mây điêm c ̀ ̣ ́ ́ ̉ ực tri.̣ A. 1                       B. 2                              C. 3  D. 0 Câu 14: Cho ham sô:  (C). Đ ̀ ́ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tiêu cua đô thi (C) ̉ ̉ ̀ ̣   la.̀ A.  y = −2 x −           B.  y = −2 x                C.  y = x −            D.  y = −2 x + Câu 15:  Cho ham sô:  ̀ ́  (C). Đô thi (C) co 2 điêm c ̀ ̣ ́ ̉ ực tri la A, B. Đô dai AB ̣ ̀ ̣ ̀   băng ̀ A.                       B.                        C.                    D.  Câu 16: Cho ham sô:  ̀ ́ y = − x3 − 3x + x −  (C). Đô thi (C) co hoanh đô 2 điêm ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̉   cực tri.̣ A.  xCD > xCT             B.  xCD < xCT               C.  xCD xCT =           D.  xCD + xCT = Câu 17:  Cho ham sô: ̀ ́   y = x3 − 3mx + x −   (Cm). Đơ thi (Cm) có hai điêm ̀ ̣ ̉   cực tri khi ̣ 2 A.  m >                B.  m >                   C.  m >                   D.  m > 3 3 Câu 18: Cho ham sô:  ̀ ́ y = x3 − 3x + mx −  (Cm). Đô thi (Cm) co hai điêm c ̀ ̣ ́ ̉ ực  tri khi ̣ A.  m <                  B.  m <                     C.  m >                        D.  m > Câu 19: Cho ham sô:  ̀ ́ y = x3 − 3x + m +  (Cm). Đô thi (Cm) co gia tri c ̀ ̣ ́ ́ ̣ ực đaị   đat nho nhât khi ̣ ̉ ́ A.  m =                 B.  m =                      C.  m =                      D.  m = −1 22 Câu 20: Cho ham sô:  ̀ ́ y = − x3 − 3x + m −  (C). Đô thi (C) co gia tri điêm c ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̉ ực  đai băng hai lân hoanh đô điêm c ̣ ̀ ̀ ̀ ̣ ̉ ực tiêu khi ̉ A.  m =                     B.  m =                   C.  m = −1                   D.  m = −2 Câu 21: Cho ham sô:  ̀ ́ y = x3 − 3x − 3m(m + 2) x −  (Cm). Đô thi (Cm) co  ̀ ̣ ́hoành  độ hai điêm c ̉ ực tri cung dâu khi.  ̣ ̀ ́ −2 < m < −1 −2 < m < −1 −3 < m < −1 −2 < m < −1 A.          B.            C.      D.  −1 < m < −1 < m < −1 < m < −1 < m < Câu 22:  Cho ham sô: ̀ ́   y = x3 − 3mx + (m − 1) x +   (Cm). Đô thi (Cm) co hai ̀ ̣ ́   điêm c ̉ ực tri đêu co hoanh đô d ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ương khi.  A.  m <                     B.  m >                   C.  m <                   D. 1 < m < Câu 23: Cho ham sô:  ̀ ́ y = x3 + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m +  (Cm). Tim  ̀ m đê đồ ̉   thi (Cm) co hai điêm c ̣ ́ ̉ ực tri ̣ A, B sao cho xA.xB = 0.  A.  m =                 B.  m =                      C.  m =                      D.  m = 1 Câu 24: Cho ham sô: ̀ ́   y = x3 + (m − 1) x + 3(m − 2) x +    (Cm). Tim  ̀ m đê đồ ̉   3 thi (Cm) co hai điêm c ̣ ́ ̉ ực tri co tông hoanh đô băng 2.  ̣ ́ ̉ ̀ ̣ ̀ A.  m =                 B.  m =                      C.  m =                      D.  m = Câu 25: Cho ham sô:  ̀ ́ y = − x3 + (2m + 1) x − (m − 3m + 2) x −  (Cm). Tim  ̀ m để  đô thi (Cm) co hai điêm c ̀ ̣ ́ ̉ ực tri năm vê hai phia truc tung ̣ ̀ ̀ ́ ̣ A. 1 < m <               B. 1 < m <                   C.  < m <                   D.  < m < Câu 26:  Cho ham sô: ̀ ́   y = − x3 + 3mx + 1  (Cm). Tim ̀  m  đê đô thi (Cm) co hai ̉ ̀ ̣ ́   điêm c ̉ ực tri ̣ A, B sao cho tam giac  ́ OAB vuông tai  ̣ O.  −1 A.  m =                 B.  m =                      C.  m =                      D.  m = 2 Câu 27: Cho ham sô:  ̀ ́ y = x3 + x + m  (Cm). Tim m đê đô thi (Cm) co hai điêm ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ̉   cực tri ̣ A, B sao cho goc  ́ AOB băng  ̀ 1200 −12 −12 + A.  m =                                                   B.  m =    −12 − −12 − C.  m =                                                   D.  m = 23 Câu 28:  Cho ham sô: ̀ ́   y = x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + m   (Cm). Tim ̀  m  đê đồ ̉   thi (Cm) co hai điêm c ̣ ́ ̉ ực tri ̣ A, B sao cho tam giac  ́ OAB cân tai  ̣ O.  A.  m =                 B.  m =                      C.  m =                      D.  m = Câu 29: Cho ham sô:  ̀ ́ y = x3 + 3(m − 3) x + 11 − 3m  (Cm) va ̀ C (0; −1)  Tim  ̀ m  đê đô thi (Cm) co hai điêm c ̉ ̀ ̣ ́ ̉ ực tri ̣ A, B sao cho A, B, C thăng hang.  ̉ ̀ A.  m =                 B.  m =                      C.  m =                      D.  m = Câu 30: Cho ham sô:  ̀ ́ y = x3 − 3x − mx +  (Cm). Tim m đê đô thi (Cm) co hai ̀ ̉ ̀ ̣ ́   điêm c ̉ ực tri ̣ A, B sao cho đương thăng đi qua  ̀ ̉ A, B song song vơi đ ́ ường thăng: ̉   y = −4 x + 2017   1 A.  m =                 B.  m =                      C.  m =                      D.  m = 3 Câu 31: Cho ham sô:  (Cm). Tim m đê đô thi (Cm) co hai điêm c ̀ ́ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ̉ ực tri ̣ A, B sao  x − y + 2017 = cho đương thăng đi qua  ̀ ̉ A, B vuông goc v ́ ơi đ ́ ường thăng:  ̉ A.  m = −                 B.  m = −                      C.  m = −1                      D.  m = −2 2 ĐÁP ÁN:   1A 2D 3D 4C 10B           11A 12C 13D 19A          20D           21A 22C 28B          29D 30D           31B 5A 14A 23C 6C 15B 24C 7A 16B 25B 8C        9A 17D     18A 26C      27B 24 PHẦN III : KẾT LUẬN   Sau một thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua các tài liệu   tham khảo cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi đã hệ thống lại được một  số  dạng của bài tốn cực trị  hàm số  bậc ba và đưa ra một số  cơng thức tính  nhanh, cụ thể: Tìm m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x = x0 Biện luận theo m số cực trị của hàm số Tìm m để hàm số có 2 cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước  Cơng thức phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị Cơng thức tính độ dài hai điểm cực trị  Từ  những dạng tốn thường gặp như  trên và từ  việc vận dụng các cơng  thức tính nhanh tơi đã đưa ra một hệ thống các bài trắc nghiệm nhằm củng cố  đồng thời giúp học sinh tiếp cận với các bài tốn trắc nghiệm Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm này tơi mong muốn được đóng góp một  phần cơng sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và  khai thác tốt các bài tốn cực trị của hàm số bậc ba. Đồng thời hình thành khả  năng tư  duy, sáng tạo, kỹ  năng giải nhanh tốn trắc nghiệm, từ  đó tạo hứng   thú cho các em khi học tốn. Tuy nhiên do kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều,  trình độ  bản thân cịn hạn chế  nên tơi rất mong được sự  đóng góp bổ  sung  của Hội đồng khoa học các cấp và của các bạn đồng nghiệp    Tơi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng 5 năm 2017 Tơi   xin   cam   đoan       SKKN   của  mình,   khơng     chép   nội   dung   của  người khác Mạc Lương Thao 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Đồn Quỳnh, Hướng dẫn ơn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học  2015­2016, Nxb Giáo dục Việt Nam [2]. Lê Hồnh Phị, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội [3]. Nguyễn Duy Hiếu, Giải tốn giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm [4]. Nguyễn Thái Sơn, Giải tốn THPT với máy tính cầm tay Fx­570VN­ Plus, Nxb ĐHSP TP Hị Chí Minh [5]. Trần Phương, Hàm số, Nxb ĐHQG Hà Nội [6]. Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải tốn và  câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục 26 ...   giải? ?nhanh? ?tốn? ?trắc? ?nghiệm? ?phần? ?cực? ?trị? ?của? ?hàm? ?số? ?bậc? ?ba? ?cho? ?học? ?sinh   trường? ?THPT? ?Như ? ?Thanh? ?II? ?luyện? ?thi? ?THPT? ?Quốc? ?Gia ” với mong muốn  trang bị? ?cho? ?học? ?sinh? ?nền tảng? ?kiến? ?thức cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một ...  dạng? ?của? ?bài tốn? ?cực? ?trị ? ?hàm? ?số ? ?bậc? ?ba? ?và đưa ra một? ?số  cơng thức tính  nhanh,  cụ thể: Tìm m để? ?hàm? ?số? ?đạt? ?cực? ?đại hoặc? ?cực? ?tiểu tại x = x0 Biện luận theo m? ?số? ?cực? ?trị? ?của? ?hàm? ?số Tìm m để? ?hàm? ?số? ?có 2? ?cực? ?trị? ?thỏa mãn điều kiện? ?cho? ?trước ... phần? ?cơng sức nhỏ bé? ?của? ?mình trong việc hướng dẫn? ?học? ?sinh? ?ứng dụng và  khai thác tốt các bài tốn? ?cực? ?trị? ?của? ?hàm? ?số? ?bậc? ?ba.  Đồng thời? ?hình? ?thành? ?khả  năng? ?tư ? ?duy, ? ?sáng? ?tạo,? ?kỹ ? ?năng? ?giải? ?nhanh? ?tốn? ?trắc? ?nghiệm,  từ  đó tạo hứng   thú? ?cho? ?các em khi? ?học? ?tốn. Tuy nhiên do? ?kinh? ?nghiệm? ?giảng dạy chưa nhiều,