mô phỏng tín hiệu ngẫu nhiên

Môn học Mô ngẫu nhiên (Stochastic Simulation) Tài liệu tham khảo: 1/ Stochastic Simulation Brian D Ripley, NXB John Wiley & Sons, New York 1987 2/ Quantitative Approaches to Management cuả R I Levin, D S Snell & J P Stinson, NXB McGraw Hil, New York 1986 3/ Introduction to Probability Models Sheldon M Ross, NXB Academic Press, New York 1994 4/ A First Course in Probability Sheldon M Ross, NXB Prentice Hall, New York 1994 5/ Курс статистического моделирования С М Ермаков Г А Михайлов, NXB Наука, Москва 1976 6/ Mơ hình xác suất, xích Markov ứng dụng Nguyễn Duy Tiến, NXB ĐHQG HN, năm 2001 7/ Phương pháp mô số Monte Carlo Nguyễn Quý Hỷ, NXB ĐHQG HN, năm 2004 8/ Toán ứng dụng Nguyễn Hải Thanh, NXB ĐHSP HN, năm 2005 Các kiến thức cần thiết: - Xác suất thống kê - Đại số (lý thuyết dàn lý thuyết đồng dư) - Giải tích số - Thuật giải - Lập trình C Phân bổ thời gian: Lý thuyết : 30 tiết Điểm thực hành: 40% Thảo luận viết tiểu luận: 15 tiết Điểm thi kiểm tra: 60% Cấu trúc chương trình: Chương I - Mục đích mơ Giới thiệu thuật ngữ mô Lịch sử phát triển lý thuyết Phương pháp mơ Mơ hình mơ ý nghĩa Các dạng mô vài ví dụ Chương II - Một số khái niệm kỹ thuật mô Giới thiệu số giả ngẫu nhiên phương pháp sinh số giả n.n Các biến ngẫu nhiên kỹ thuật mô chúng Chương III - Một số chương trình mơ Giới thiệu mơ Q trình Poisson thời gian sống Quá trình Markov Quá trình Gauss Quá trình điểm Phương pháp Metropolis Lấy tích phân Monte-Carlo Thiết kế thí nghiệm phân tích đầu Phương pháp chuỗi thời gian Chương IV - Một số áp dụng mô Giới thiệu ứng dụng mô thống kê, tối ưu, giải tích số, dự báo, hệ phục vụ đám đông, quản trị kinh doanh Bài tập thực hành: Viết chạy chương trình mơ ngẫu nhiên Chương I - Mục đích công cụ mô Mô ngẫu nhiên gì? "To simulate is to feign, , to pretend to be, , toact like, to resemble, towear the guise of, mimic, , imitate conditions of (situation etc.) with models, for convenience or training purposes" (Concise Oxford Dictionary, 1976 Edition) Tạm dịch là: "Mơ có nghĩa làm giả, cố tình bắt chước giống như, hành động như, mang hình thức của, mang mặt nạ , mơ điều kiện mơ hình (hay tình huống) với mục đích huấn luyện tiện lợi" (Trích Từ điển Oxford, 1976) Chú ý: Về mặt ý nghĩa, kỹ thuật mơ hàm chứa việc áp dụng mơ hình để tạo kết quả, khơng có nghĩa thử nghiệm hệ thống thực tế cần nghiên cứu, khảo sát Nếu mô hình có chứa thành phần (yếu tố) ngẫu nhiên ta có mơ ngẫu nhiên (MPNN) Kỹ thuật Monte-Carlo gì? - Có chút mẹo mực thơng qua mơ - Cổ điển: lấy tích phân + Kiểm định giả thuyết thống kê Mô xét quan điểm: nghệ thuật kỹ thuật (cơng cụ) Vì có ứng dụng rộng rãi nên khó phân định ranh giới rạch rịi Chúng ta học mơn với tư cách học môn kỹ thuật Các công cụ chủ yếu 2.1 Nguồn ngẫu nhiên (A source of randomness) (randomness = random numbers) Để thực hiện, áp dụng MPNN, cần tạo nguồn số ngẫu nhiên "đủ tốt" Các số n.n tạo hàm sinh Trong nhiều ngơn ngữ lập trình (như UNIX, C, ), ta thấy có cặp hàm SRAND(seed) RANDOM Thông thường, nguồn coi tồn cách đương nhiên Câu hỏi đặt chúng "đủ tốt" hay chưa? Ở chương II, trả lời câu hỏi Một cách đại cương, thấy số (được gọi n.n.) xa số n.n Chúng gọi giả ngẫu nhiên thơi! Chất lượng nguồn n.n ảnh hưởng tới kết nghiên cứu "Tạo sinh số n.n tốt", "So sánh số n.n sẵn có" đủ làm đề tài cao học Xét thực chất, số giả n.n số có tính chất tất định (deterministic), chúng giống chuỗi giá trị thể biến n.n độc lập, có phân phối Ví dụ: 13, 8, 1, 2, 11, 14, 7, 12, 13, 12, 17, 2, 11, 10, 3, Chuỗi số trơng giống ngẫu nhiên, thực chất "có quy tắc" Ai tinh phát quy tắc? Việc tìm kiếm thuật giải (hay quy tắc tất định) để phát sinh số giả ngẫu nhiên đủ tốt nghiên cứu kỹ chương II Mặc dù thực tế, áp dụng MPNN, người ta dùng số n.n tuân theo luật phân phối (giả định thơ q!), song U(0,1) lại sở để tạo (mô phỏng) phân phối xác suất khác 2.2 Mơ hình Muốn MPNN cần có mơ hình Như vậy, mục đích mơ phải xây dựng mơ hình (phải tiến hành mơ hình hố modelling) Vì cần mơ hình hố? + Để tổng hợp liệu theo phân loại định + Để dự báo Ví dụ, mơ hình cổ điển mơ hình hồi quy tuyến tính: Y = a0 + a1X1 +a2X2 + +akXk Lưu ý mơ hình khơng bao qt vấn đề thực tế Có loại mơ hình: + mechanistic = mơ hình chế (cứ theo chế mà làm) + convenient = mơ hình tiện dụng (tiện đâu, cần gì, lại giả thiết điều ấy) Cả loại sử dụng để trợ giúp công việc: tăng thêm nhận biết; tìm kiếm tri thức; dự báo trợ giúp việc định (DDS) Để ứng dụng mô hình, ta có lựa chọn sau: + phân tích mặt tốn học để tìm hiểu hành vi mơ hình Cần có giả thiết chặt chẽ: trường hợp tuyến tính O.K., trường hợp phi tuyến tỏ khó Ta cần phải hiểu : giả thiết "chặt chẽ q" tốn học đơi trở nên "đáng nghi ngờ" thực tế + thí nghiệm với mơ hình: MPNN, giá trị phản hồi biến thiên, cần tạo hàng loạt thể với tham số khác Nhiều người xem xét tới khả lựa chọn thứ ba: lựa chọn lai (hybrid approach) Khi áp dụng MPNN, phải đặc biệt ý tới khía cạnh kinh tế (cost analysis) Một số ví dụ ứng dụng MPNN Ví dụ 1: Có 20 sách giá sách, có 14 sách tin học sách văn học Tìm xác suất để rút bất kỳ, ta ln có sách văn học Lời giải (theo cách tính tổ hợp, chỉnh hợp): Xác suất để rút bất kỳ, có sách văn học là: C61 x C142/C203 Xác suất để rút bất kỳ, có sách văn học là: C62 x C141/C203 Xác suất để rút bất kỳ, sách văn học là: C63 x C140/C203 Xác suất để rút quyển, khơng có sách văn học là: C143/C203 Vậy có cách tính: p =1 – C143/C203= (C61xC142 +C62xC141 + C63xC140)/C203 Lời giải theo cách mô ngẫu nhiên (của Phan Hồng, hv Cao học Khóa 1): 1– Gieo ngẫu nhiên số nguyên từ đến 19 Quy ước: sách văn học sách đánh số từ đến 5, sách tin học đánh số từ dến 19 Số đếm ban đầu 2– Nếu số nhỏ 6, ta tăng số đếm lên 1, chuyển sang gieo đợt khác 3– Nếu số (gọi x1) lớn 6, ta gieo tiếp số ngẫu nhiên thứ hai: + Nếu nhỏ 6, ta tăng số đếm lên 1, chuyển sang gieo đợt khác + Nếu lớn 6, ta so sánh với x1, x1 ta gieo lại, khác x1 thơi Lại xảy trường hợp: số (gọi x2) nhỏ 6, ta chấp nhận, tăng số đếm lên 1, lớn (và khác x 1), ta tiến hành gieo số thứ ba 4– Nếu số thứ ba (gọi x3) nhỏ 6, ta tăng số đếm lên 1, chuyển sang gieo đợt khác Nếu số thứ ba lớn 6, ta so sánh với x1 x2 Nếu x3 = x1 x3 = x2 ta phải gieo lại, khác x1 x2 lớn chuyển sang gieo đợt khác mà khơng tăng số đếm 5– Ta chủ động gieo 10,000 đợt 40,000 đợt, 100,000 dợt Mỗi lần có số đếm khác Lấy tỷ số số đếm số đợt, ta có tần suất xuất kiện "lấy bất kỳ, có sách văn học" Số tần suất, số xấp xỉ cho xác suất p cần tính Chương trình nguồn : ( xem phần phụ lục) Kết chạy chương trình: Số đợt gieo Kết 10,000 40,000 100,000 Kết Kết Kết Lời giải là: p = 0,683 Trong trường hợp này, dùng MPNN để tính tần suất, thay cho việc tính xác suất theo cơng thức Ví dụ 2: (Bài tốn Sylvester) Tìm xác suất để bao lồi điểm vẽ vòng tròn đơn vị hình tam giác Lời giải theo cách mơ ngẫu nhiên (của Phan Hồng, hv Cao học Khóa 1): 1– Gieo ngẫu nhiên tám số thực ri (lấy số ngẫu nhiên gieo i nhân thêm với ) (i = 1, 2, 3, 4) Đặt xi = ri sin i , yi = ri cos i , ta có điểm nằm hình tròn đơn vị Đặt A = (x1 , y1), B = (x2 , y2), C = (x3 , y3), D = (x4 , y4) Số đếm ban đầu 2– Cố định tạm thời D = (x4 , y4) Ta xét xem D có nằm ABC khơng, cách giải hệ đại số tuyến tính ẩn (là ), phương trình: (x4– x3) = (x1– x3) + (x2– x3) (y4– y3) = (y1– y3) + (y2– y3) + Nếu hệ suy biến (vô số nghiệm), hay có nghiệm thoả mãn điều kiện: ta tăng số đếm lên + Nếu hệ phương trình vơ nghiệm, có nghiệm, khơng thoả mãn điều kiện trên, ta đổi vai trị đỉnh D Nói cách khác, ta xét xem A có nằm BCD khơng, B có nằm ACD khơng, C có nằm ABD khơng + Nếu có, tức hệ phương trình suy biến (vơ số nghiệm), hay có nghiệm thoả mãn điều kiện 1, ta tăng số đếm lên + Nếu không (sau lần thay đổi vai trị) ta chuyển sang gieo đợt khác 3– Ta chủ động gieo 10,000 đợt 40,000 đợt, 100,000 dợt Mỗi lần có số đếm khác Lấy tỷ số số đếm số đợt, ta có tần suất xuất kiện "bao lồi điểm tam giác" Số tần suất, số xấp xỉ cho xác suất cần tính Chương trình nguồn: xem phần phụ lục Kết chạy chương trình: Số đợt gieo Kết 10,000 40,000 100,000 Kết Kết Kết Lời giải là: p = 35/(12 2) 0,29552 Trong trường hợp này, dùng MPNN để tính tần suất (việc dễ thực hiện), thay cho việc tính xác suất theo lý thuyết (việc khó thực hiện) Ví dụ 3: (Bài tốn Repley Silvermann đề nghị, 1978) Trong hình vng đơn vị vẽ n điểm Ký hiệu d khoảng cách nhỏ điểm số n điểm Hãy tính xem có lần xảy bất đẳng thức: n(n–1)d2 > 1,907 số 10.000 lần vẽ ? Lời giải theo cách mô ngẫu nhiên (của Phan Hồng, hv Cao học Khóa 1): 1– Gieo ngẫu nhiên 2n số thực: xi yi (i = 1, 2, , n) Số đếm ban đầu 2– Tính khoảng cách : d(i,j) = [(xi – xj)2 + (yi – yj)2]1/2 với i j (1 i n j i) 3- Tính d = {d(i,j): i n j i} khoảng cách 4– Gieo 10,000 đợt đếm số lần xuất kiện "n.(n–1).d2 > 1,907" Nếu n.(n–1).d2 > 1,907 ta nâng số đếm lên Nếu không, ta tiến hành gieo đợt Giải thích thêm số 1,907: Người ta biết n.(n–1).d2 biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng 2/ Vậy, tính tham số = /2 Từ đây, giải phương trình F(t) = 1–e– t/2 = 0,95 ta có t = 1,907 Bản thân số lần kiện "n.(n–1).d2 > 1,907" xảy 10.000 lần vẽ biến ngẫu nhiên Nó tuân theo luật nhị thức (10.000, 5%) coi có phân bố tiệm cận chuẩn Vùng chấp nhận mức ý nghĩa 5% (457; 543) Theo lý thuyết, gieo 10.000 đợt, số đếm ta phải nằm khoảng từ 457 đến 543 Nếu kết không giống (và kiểm tra lại, việc lập trình khơng có sai sót), suy ra: giả thuyết ban đầu "có vấn đề" Nói cách khác, tốn này, mơ ngẫu nhiên đóng vai trị kiểm định giả thuyết phân bố xác suất Chương trình nguồn: xem phần phụ lục Kết chạy chương trình: Số lần gieo Kết 10,000 Kết Kết Kết Lời giải phải là: 457 < số đếm < 543 cho 10.000 lần gieo Ví dụ 4: Mơ q trình tơi vật liệu f(x) =4x12 - 2,1 x14 + x16/3 +x1x2 – x22 + 4x24 - 2,5 x1 2.5 -1,5 x2 1.5 Có cực tiểu địa phương cực tiểu tồn cục ( Bài tốn lưng lạc đà) Phương pháp giải Sử dụng ý tưởng phương pháp SIMULATED ANNEALING (SA) để giải: Phương pháp mô tượng vật lý vật thể rắn sau bị nung nóng nhiệt độ cao để nguội từ từ nhiệt độ thấp Lúc hàm lượng vật thể đạt mức thấp (chú ý q trình “Tơi thép” thơng thường, tơi thép nung nóng sau làm nguội nhanh để đạt số tính chất vật lý đặc biệt hữu ích, ví dụ lượng cao…) Áp dụng cho tốn tối ưu này, ta theo cách đó, hy vọng tìm thời điểm giá trị hàm ứng với mức lượng thấp nhất, tức đạt f ( x) Min x D Nội dung phương pháp: Ta xuất phát từ phương án ban đầu thoả điều kiện ràng buộc T ban đầu cao (T=100000) Lặp : i, Chọn X’ D x lân cận đủ nhỏ X ii, Xét TH1: TH2: f = f(x’) – f(x) f < X= X’ f > chấp nhận X’: X :=X’ f K b T e với xác suất p Trong Kb số Boltzmann (Kb=1,38.1023), T nhiệt độ thời trình nguội Chu trình i, ii lặp lại số lần đủ lớn L = 200….4000 Sau giảm to : Tmới = Tcũ ; ; ( =0.95; 0,99) Thuật toán kết thúc Tmới Tcuối chọn  In kết  fmin = -1,0316 Ứng dụng MPNN mơ hình hàng chờ đợi (queuing / waiting line model) 4.1 Một số đặc trưng mơ hình hàng đợi Một số khái niệm mô - - Mô (Simulation) ứng dụng rộng rãi kinh tế, kỹ thuật nhiều lĩnh vực khác Hàng chờ đợi (Waiting Line/ Queue) gọi Dịch vụ đại chúng hay Dịch vụ đám đông lĩnh vực quan trọng tốn ứng dụng/vận trù học Nhiều mơ hình hàng chờ giải thành cơng nhờ áp dụng mô Sơ đồ minh hoạ đơn giản hệ thống hàng chờ sau: Ðể nghiên cứu, áp dụng mô cần biết số kiến thức lý thuyết xác suất thống kê Input KÊNH PHỤC VỤ Output Hàng chờ Hệ thống hàng chờ đợi - Các đặc trưng mơ hình hàng chờ đợi: o Bố trí vật lý hệ thống (physical layout) Có dạng: Single Channel - Single Server (1 kênh phục vụ, loại dịch vụ) Single Channel - Multi Server (1 kênh phục vụ, nhiều loại dịch vụ) Multi Channel - Single Server (nhiều kênh phục vụ, loại dịch vụ) Multi Channel - Multi Server (nhiều kênh phục vụ, nhiều loại dịch vụ) o Nội quy hay quy tắc hoạt động (discipline) hệ thống FIFO, LIFO, FIFS, có ưu tiên, khơng ưu tiên, o Các phân phối xác suất: số lượng tín hiệu đầu vào (tín hiệu đến) thời gian tín hiệu đến liên tiếp thời gian phục vụ Các quy luật (phân phối xác suất) lấy từ số liệu thực nghiệm, từ quan sát, thí nghiệm, từ sở liệu thu thập v.v Các số cần khảo sát - A (Arrival rate): tốc độ tín hiệu đến trung bình khoảng thời gian Ví dụ: A = (6 khách hàng đến tiếng); A = 20 (20 cú điện thoại đến tổng đài phút) - S (Service rate): tốc độ phục vụ đơn vị thời gian Ví dụ: S = (hệ thống phục vụ khách giờ); S = 25 (tổng đài phục vụ 25 cú điện thoại phút) - Lq (Number in queue hay Leng of queue): số tín hiệu trung bình hàng chờ - Ls (Number in System - Length of System): số tín hiệu trung bình tồn hệ thống (như Ls Lq) - Wq (Waiting time in system): thời gian chờ trung bình hệ thống - Pw (Probataility the system is busy): xác suất hệ thống bận (đang hoạt động) hay gọi hệ số (chỉ số) sử dụng tồn hệ thống (Utilization factor) Tính tốn số Mơ hình kênh phục vụ thoả mãn: số tín hiệu đến có phân phối Poatxơng, thời gian phục vụ có phân phối mũ Các cơng thức (I) sau chứng minh A2 Lq ; S ( S A) A ; Wq S (S A) Ls Ws A S A S A ; Lq ; A Ls ; S A Pw S 10 Với ( e *i ) sở bao đóng Rk, ta có: u = t1 e 1* + +tk e *k với số thực ti * Với i, ei H , ta có: ti = e *i u số nguyên u * Ngược lại, u , u ei H với i = 1, , k H Ta lại có khoảng cách siêu phẳng H xác định là: min{ x | x T u } u vk = { u | H } * vk = { u | u Định lý 2.14: vk = min{ u | u t e1* t k e *k } = l1* 0,| t i | int[w e i ] } với sở ( e *i ) Chứng minh: Theo bất đảng thức Cauchy-Schwartz ta có: |ti|= e iT u ei u Theo định lý 2.11 ta có: với vecto u nhỏ u = vk w đpcm Định lý 2.15: Cho E ma trận kxk bao gồm cột sở dàn Chuẩn dàn : d( ) xác định giá trị định thức ma trận E k Ta có: d( ) l1 (c k ) k d( ) Với: k (ck)2k 4/3 4 8 64/5 64 256 Chứng minh: Cassels (1959, Appendix; 1978, Section 12.2) Định lý 2.16: vklk d( ) li (ck)k Chứng minh: i, Ta chứng minh: vklk Chọn dàn k k vecto độc lập tuyến tính f1, , fk với fk li vecto g * k với g = vk = l1* Khi {fi} bao đóng Rk, s thỏa mãn gTfs * t i e *i Vì g k nên g = f nên s i e i Suy ra: gTfs = s i t i số nguyên Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz ta có: ii, Ta chứng minh: vklk d( ) li (ck)k |gTfs| vklk g f = vkls N k li vklk (c k ) k 85 Cho f1, , fk-1 sở dàn k-1 H = span ( k-1) Gọi siêu phẳng từ H đến k với khoảng cách lớn S Gọi f vecto thuộc dàn k siêu phẳng gần gốc tọa độ (chứa H) + Gọi + dàn với sở (f1, , fk-1, f) d( k) d( +) = Sd( k 1) d( N S k 1) vk S Nd( N k-1) k li N vklk k k- li ) (*) k Theo định lý 2.15 ta có: d( ) (ck)kd( ) li N k (c k ) k li k (c k ) k li (**) Từ (*) (**) ta có điều phải chứng minh Định lý 2.17: i, Với k = ta có: r N l2 c2 r N N r v2 lk c kN k r 1 ii, Với k ta có: r N lkk N k Chứng minh: i, Theo định lý 2.15 với k = ta có: N l1l2 l1 2 rv 22 r l2 l2 ( Nl ) l2 r N2 N2 r r l22 c 22 đpcm N N N N v 22 c 22 đpcm r r ii, Theo định lý 2.15 với k 1 k c 22 N ta có: N l1 lk c kk l1 lk N l1l1k N N r c2 lk l1k r= lkk lk l1 lk N k lkk rk lkk N Một số ứng dụng xích Markov (xem sách [8]) Phân tích Markov có nhiều ứng dụng Kinh tế, Kĩ thuật, Sinh học, Xã hội học, Công nghệ thông tin,… Trong mục này, xem xét ứng dụng tìm cân thị phần, xác định sách thay vật tư thiết bị, dự báo thất thu cho hợp đồng thực trước, tìm phân phối giới hạn 86 hệ thống kĩ thuật ứng dụng trình sinh hàng chờ tử cho hệ thống Tìm cân thị phần Ta nhắc lại cách vắn tắt toán sau: Trong khu phố 1000 dân (khách hàng) có siêu thị A, B, C Giả sử, tháng đầu, số khách vào siêu thị 200, 500 300 Những tháng sau đó, ta giả sử xác suất để khách hàng (đã vào siêu thị A lúc trước) vào lại A 0,8; chuyển sang B 0,1 chuyển sang C 0,1 Các xác suất chuyển khác khách hàng ("trụ lại" B, chuyển sang A, chuyển sang C ) cho thông qua ma trận chuyển P 0,8 0,1 0,03 0,1 P = 0,07 0,9 0,083 0,067 0,85 Lúc đó, theo kết biết, tỉ lệ phần trăm cân dừng (khi thời gian đủ dài) số khách hàng vào siêu thị A, B, C 27,3%, 45,4% 27,3% tìm từ hệ (I – P) = Chính sách thay vật tư thiết bị Trong hệ thống điện kĩ thuật, thiết bị loại phân tình trạng sau đây: vừa thay, tốt, dùng bị hỏng Theo số liệu thống kê được, ta có ma trận xác suất chuyển trạng thái sau: P= 0 0,8 0,2 0,6 0,4 , 0,5 0,5 1,0 0 đó, sau tuần (xem hàng đầu ma trận P) có 0%, 80%, 20% 0% số thiết bị thay chuyển sang tình trạng thay, cịn tốt, dùng bị hỏng Các hàng khác ma trận P giải thích cách tương tự Ta tìm phân phối dừng phương pháp biết Xuất phát từ (n+1) = (n) P, cho qua giới hạn hai vế n ta có: = P, hay (I – P) = Do P ma trận đặc biệt (ma trận chuyển xác suất) nên ma trận suy biến Khi viết lại dạng hệ phương trình (4 ẩn, phương trình) ta phải loại bớt phương trình đi, thêm vào hệ thức 1+ 2+ + = ràng buộc (k = 1, 2, 3, 4) Kí hiệu x1 = 1, x2 = 2, x3 = x4 = ta có hệ: k 87 x1 x 0,8x1 0, 4x 0, 2x1 0, 4x 0,5x 0,5x x x1 x x3 x x1 x4 x2 x3 Vậy phân phối dừng = [1/6 1/3 1/3 1/6] Giả sử chi phí thay thiết bị 25 nghìn (đồng) thất thu thiết bị hỏng 18,5 nghìn, tuần hệ thống trung bình thiết bị số tiền là: (1/6) 25 + (1/6) 18,5 = 7,25 nghìn / thiết bị / tuần Ta xét phương án thứ hai cho việc thay vật tư thiết bị với ma trận xác suất chuyển trạng thái sau đây: 0,8 0,2 P = 0,6 0,4 1,0 0 Ma trận tương ứng với sách thay vật tư thiết bị là: thay thiết bị kiểm tra phát thiết bị tình trạng dùng Điều dẫn tới việc giảm thiểu thất thu thiết bị hỏng gây nên Thật vậy, ứng với ma trận P đây, phân phối dừng = [1/4 1/2 1/4] Lúc này, tuần hệ thống trung bình thiết bị số tiền là: (1/4) 25 + (0) 18,5 = 6,25 nghìn / thiết bị / tuần Như hệ thống tiết kiệm nghìn / thiết bị / tuần Nếu hệ thống có 2000 thiết bị, nhờ sách thay vật tư mới, tuần hệ thống tiết kiệm triệu (đồng) Phân tích Markov dự báo thất thu cho hợp đồng thực trước Một công ti kinh doanh ngành điện chuyên sửa chữa thay phụ tùng đề sách tín dụng: đáp ứng yêu cầu khách hàng trước, toán sau Phần nhiều hợp đồng toán thời hạn, tỉ lệ định công ti cho tốn chậm, cịn số khơng tốn Theo kinh nghiệm, sau hai hay ba hợp đồng tốn chậm khách hàng hợp đồng khơng tốn sau thời gian dài, công ti coi hợp đồng “xấu” cắt bỏ sách tín dụng với khách hàng Như thời điểm hợp đồng rơi vào tình trạng (trạng thái) sau: S0: hợp đồng toán, S1: hợp đồng khơng tốn, S2: hợp đồng toán thời hạn, 88 S3: hợp đồng toán chậm Sau ma trận xác suất chuyển trạng thái (sau tháng): 0 P= 0,5 0,4 0,3 0 0,3 0, 0 0,2 0,1 Hiện cơng ti có hợp đồng phải toán hạn với tổng số 500 triệu, hợp đồng cho toán chậm với tổng số 100 triệu Hãy xác định tổng có tốn, cịn nợ “xấu” khơng địi Đây toán phức tạp liên quan tới phân loại trạng thái xích Markov vấn đề khơng trình bày giáo trình Tuy nhiên, thấy trạng thái S S1 trạng thái “hấp thụ” (absorbing state), tức hợp đồng dù trạng thái cuối sau thời gian định rơi vào hai trạng thái Trong trạng thái S2 S3 gọi trạng thái truyền ứng (hay trạng thái di chuyển) Để tìm câu trả lời cho vấn đề đặt ra, cần thực bước sau: Trước hết, ta chia ma trận P theo khối P= J với J = 0,5 0 0,3 0,2 , K= ,O= ,M= 0 0,4 0,3 0,2 0,1 Sau đó, ta tìm ma trận R = I – M ma trận nghịch đảo R 1, I ma trận đơn vị cỡ với ma trận M Ta có: R 1= 1,5254 0,3390 , 0,3390 1,1864 tính được: R K= 0,8983 0,1017 0,6441 0,3559 Các phần tử ma trận có ý nghĩa đặc biệt Trong số hợp đồng trạng thái S2 (phải toán kì hạn) cuối sau thời gian định có 89,83% rơi vào trạng thái S0 (được tốn) 10,17% rơi vào trạng thái S1 (khơng dược tốn) Cịn số hợp đồng trạng thái S3 (thanh toán chậm) cuối sau thời gian định có 64,41% rơi vào trạng thái S0 (được toán) 35,59% rơi vào trạng thái S1 (khơng tốn) Thực phép tính: 89 0,8983 0,1017 = [459,32 140,68], 0,6441 0,3559 [500 100] ta thấy 500 triệu phải tốn kì hạn 100 triệu tốn chậm cuối có 459,32 triệu tốn 140,68 triệu nợ “xấu” khơng địi Để cải thiện tình trạng này, cơng ti cần nghiên cứu tìm sách tín dụng hợp lí Ngồi ra, ma trận R cịn cho biết thơng tin sau: Tổng phần tử hàng thứ 1,8644 thời gian trung bình (tháng) mà hợp đồng dạng phải tốn kì hạn trải qua trước rơi vào trạng thái hấp thụ, tức trở thành hợp đồng toán hợp đồng “xấu” Tổng phần tử hàng thứ hai R có ý nghĩa tương tự hợp đồng dạng toán chậm Phần tử nằm hàng cột R cho biết thời gian trung bình (tháng) mà hợp đồng dạng phải tốn hạn trạng thái S2 trước rơi vào trạng thái hấp thụ 1,5254 tháng Phần tử nằm hàng cột cho biết thời gian trung bình (tháng) mà hợp đồng dạng phải toán hạn trạng thái S3 trước rơi vào trạng thái hấp thụ 0,3390 tháng Các phần tử nằm hàng ma trận R –1 có ý nghĩa tương tự hợp đồng dạng toán chậm Sau đây, đưa số cơng thức giải thích phân tích cho trường hợp ma trận xác suất chuyển trạng thái xích Markov có dạng sau: 0 0 0 P= p 20 p 21 p 22 p 23 = 0,5 0,3 0, 0,3 0,2 p 30 p31 p 32 p 33 = J với J = 0 (như toán trên), 0,2 0,1 p p p p 0 , K= 20 21 , O = , M= 22 23 , 0 p32 p33 p30 p31 pij xác suất chuyển từ trạng thái S i sang trạng thái Sj sau bước Không gian trạng thái gồm bốn trạng thái S 0, S1, S2 S3; trạng thái S0 S1 trạng thái hấp thụ, S S3 trạng thái truyền ứng Chúng ta dùng kí hiệu: U= u 20 u 21 u 30 u 31 , với uik xác suất hấp thụ vào trạng thái Sk trạng thái ban đầu Si, k = 0, 1, i = 2, 90 V= v2 v3 , với vi thời gian trung bình rơi vào trạng thái hấp thụ trạng thái ban đầu Si, i = 2, W= w 22 w 23 w 32 w 33 , với wij thời gian trung bình xích Markov trạng thái S j trước rơi vào trạng thái hấp thụ trạng thái ban đầu Si, i = 2, Lúc đó: U = (I – M) 1, V = (I – M) 1 W = (I – M) 1 Chú ý: Việc chứng minh công thức cho trường hợp tổng quát thực không khó, tìm thấy sách tham khảo q trình Markov Cách ứng dụng phân tích Markov mục cịn áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác Sinh học, Xã hội học, Lí thuyết nhận dạng Thiết kế hệ thống kĩ thuật, có Kĩ thuật điện Tìm phân phối giới hạn cho hệ thống kĩ thuật Một hệ thống kĩ thuật có hai chi tiết bị hỏng thời điểm Tại thời điểm hệ thống rơi vào trạng thái sau (xem hình minh họa): S0: chi tiết tốt; S1: chi tiết hỏng, chi tiết bình thường; S2: chi tiết bình thường, chi tiết hỏng; S3: hai chi tiết hỏng S0 S1 S2 S3 Sơ đồ trạng thái Nói cách khác, thời điểm t, biến X(t) rơi vào vị trí / trạng thái S0, S1, S2 S3 Chú ý lúc ta có xích Markov (thời gian) liên tục với không gian trạng thái S ={S 0, S1, S2, S3} Sau đây, tìm cách xác định phân phối giới hạn (long run distribution) {X(t)}t Đây 91 vấn đề phức tạp nên trình bày vấn đề cách vắn tắt Trước hết ta nhắc lại phân phối Pốt xơng phân phối mũ Giả sử dịng tín hiệu đến (hay xảy ra) tn theo phân phối Pốt xơng P ( ) với số tín hiệu đến trung bình khoảng thời gian định (coi đơn vị thời gian), cịn gọi cường độ dịng tín hiệu đến Lúc đó, khoảng thời gian số tín hiệu xảy nhận giá trị k với xác suất k e Ta gọi phần tử xác suất P xác suất xuất (ít nhất) tín hiệu k! khoảng thời gian t Thế thì, tính “đơn nhất” q trình Pốt xơng, P xác suất xuất tín hiệu khoảng thời gian t Theo công thức biết P = t (chính xác tới vơ bé o( t)) Chẳng hạn, = tín hiệu/ phút t = giây, ta có P = t = (1/30) = 1/5 = 0,2 Từ đó, ta thấy xác suất để có tín hiệu đến khoảng thời gian giây 0,2 Xét biến ngẫu nhiên T (chẳng hạn thời gian phục vụ tín hiệu hệ dịch vụ), có phân phối mũ ( ) với hàm mật độ f( ) = e gọi cường độ phục vụ hay cường độ “dòng phục vụ” Hàm phân phối xác suất T F ( ) = P (T ) = f (t)dt e t dt e Cịn kì vọng toán độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên T 1 mT = tf (t)dt ; T te t dt 0 Ta nhận thấy rằng: P (0 T t) F( t) – F(0) = e t – [1 e 0] = e t= t (chính xác tới vơ bé o( t)) Chú ý: Nếu dịng tín hiệu đến có phân phối Pốt xơng P ( ) thời gian hai tín hiệu liên tiếp có phân phối mũ ( ) Chúng ta quay lại toán xét Gọi số lần chi tiết hỏng số lần chi tiết hỏng (tính trung bình) đơn vị thời gian Lúc đó, ta coi dịng tín hiệu chi tiết hỏng dịng Pốt xông với tham số Gọi T1 T2 thời gian sửa chữa chi tiết 2, có phân phối mũ với kì vọng tsc1 tsc2 thời gian sửa chữa (trung bình) chi tiết chi tiết Vậy T1 T2 có phân phối mũ ( 1) ( 2), với = 1/tsc1 = 1/tsc2 Tại thời điểm t ta có biến ngẫu nhiên X(t) = X t với phân phối xác suất sau đây: Xt S0 S1 S2 S3 P (t) (t) (t) (t) Ta tính 0(t + t ) thời điểm (t + t ) hai trường hợp sau 92 đây: Trường hợp 1: Tại thời điểm t, hệ thống trạng thái S thời điểm t + t , hệ thống trạng thái S0 (không hỏng) Trường hợp 2: Tại thời điểm t, hệ thống trạng thái S1 S2, thời điểm t + t hệ thống trạng thái S0 Do đó, 0(t + t) = 0(t) [1 ( + 2) t] + 1(t) t + 2(t) t (*) Thật vậy, xác suất trường hợp gây nên 1(t) t + 2(t) t, với t = P(0 T1 t) xác suất sửa chữa xong chi tiết khoảng thời gian t t) xác suất sửa chữa xong chi tiết khoảng thời t = P(0 T2 gian t Trong đó, xác suất trường hợp gây nên 0(t)[1 ( + 2) t], với t: xác suất hỏng chi tiết khoảng t, t: xác suất hỏng chi tiết khoảng t Nói cách khác, thực công thức xác suất đầy đủ 0(t + t) = 0(t)p00 + 1(t)p10 + 2(t)p20, đó: pi0 xác suất hệ trạng thái S i thời điểm t chuyển sang trạng thái S0 thời điểm (t+ t) Từ (*) ta có: Cho t (t t) t (t) (t) (t) (t) (t) (vế phải không liên quan với t) d (t) dt (t) (t) (t) (t) Khi t lớn (hệ thống hoạt động khoảng thời gian đủ dài) hệ thống dần ổn định với phân phối giới hạn tìm được, tức là: [ 0(t), [ 0, 1, 2, 3] Vậy ta có: 1(t), 2(t), 3(t)] 1 + 2 = (vì d (t) t đủ lớn) dt Một cách tương tự, ta đến hệ phương trình: d dt d dt d dt d dt 1 2 ( ) 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) Một cách tổng quát, phân phối giới hạn tìm từ hệ phương trình: , j S (**), , qii cường độ jq jj i q ij hay i q ij i i j i S i S chuyển từ trạng thái i sang trạng thái khác (không kể i), q ij cường độ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j, định nghĩa sau: qii = lim t (P[X(t t) i / X(t) i]/ t) , 93 qij = lim t (P[X(t t) j/ X(t) i]/ t) , Lúc đó, Q = [qij] gọi ma trận cường độ Từ điều kiện (**) ta thấy, để tìm phân phối giới hạn cần phải giải hệ [ 3]Q = hay QT[ T ] = Ví dụ: Cho = 1, = 2, = 2, = Từ sơ đồ cường độ chuyển trạng thái cho hình sau, tìm ma trận cường độ Q, với QT có dạng sau: QT = 2 0 3 S0 2 S1 S2 S3 1 Sơ đồ cường độ chuyển trạng thái Giải thích: q00 = cường độ chuyển từ trạng thái S0 sang trạng thái khác 1+ = 3, q10 = cường độ chuyển từ trạng thái S1 vào trạng thái S0 Giải hệ [ 3]Q = hay QT[ 3]T = (với điều kiện bổ trợ + + + = 1) có kết quả: /15 0, ; 3/15 0,2 ; 4/15 0,27 ; /15 0,13 Cần ý rằng, hệ [ 3] Q = theo nghĩa định tương tự với hệ (I – P) = 0, trình bày mục 1.2 2.1 Giả sử lợi nhuận / đơn vị thời gian hệ thống mang lại trường hợp xảy sau: hệ thống trạng thái S0 lợi nhuận USD, S1 USD, S2 USD, S3 USD Vậy lợi nhuận trung bình / đơn vị thời gian 0,4 + 0,2 + 0,27 = 5,15 (USD) Qua ví dụ ta thấy 0, 1, 2, xác định vào giá trị biết 1, 2, 1, 1, 2: số lần chi tiết hỏng (tuỳ thuộc hệ thống cụ thể), 1, : tham số sửa chữa cần đưa vào 94 Lợi nhuận cuối hệ thống phụ thuộc vào 1, 2, xác định cách giải toán tối ưu sau: Lợi nhuận L = c0 + c1 + c2 Max (c0, c1, c2: lợi nhuận trạng thái) với ràng buộc: 1 2 ( ) 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) 0 , 1, 2 , 3 0; , 1, Lưu ý: Bài tốn có biến ( 1, biết) Ta phải tìm từ tốn để có phương hướng xây dựng hệ thống với lợi nhuận lớn 1, Một ứng dụng trình sinh tử cho hệ thống hàng chờ Quá trình sinh tử ứng dụng rộng rãi Lí thuyết độ tin cậy, môn học ngành Điện / Điện tử, số ngành khoa học kĩ thuật khác Quản trị kinh doanh Vận trù học Quá trình sinh tử trường hợp riêng xích Markov thời gian liên tục, với không gian trạng thái S không đếm S = {S0, S1, S2, , Sn, …} ma trận cường độ Q = [qij] có tính chất qij = với i j Điều có nghĩa việc chuyển trạng thái q trình sinh tử tới “1 đơn vị lên xuống” (xem hình vẽ) S0 S1 n-1 S2 … … Sn-1 n Sn n Sn+1 … n+1 Sơ đồ chuyển trạng thái trình sinh - tử Từ trạng thái Sn thời điểm t hệ X(t) chuyển tới trạng thái Sn+1, Sn Sn Vì có cường độ chuyển: ( n + n) 0= = 0=q00, qn, n+1 = n, qn, n = n qn, n = n Trong trường hợp n, n > 0, n > 0, theo định lí chứng minh, phân phối giới hạn tìm cách giải hệ: [ …]Q = 0, với ma trận cường độ Q biết Ma trận chuyển vị Q có dạng: 95 Q Ta có [ …]Q T q 00 q10 q 01 q11 = q n q1n =0 Q T[ q 00 q 01 q 02 q10 q11 q12 q 20 q 21 q 22 qn0 qn 1, q n1 qn 1,1 q nn q n 1, n …]T = 0 hay: q00 + q10 + q20 + … = 0, q01 + q11 + q21 + … = 0, q02 + q12 + q22 + … = 0, … Do tính chất đặc biệt, phân tích trên, ma trận cường độ Q trình sinh tử, hệ viết cách tường minh sau: + … = 0, 0 + 1 ( + 1) + 2 + … = 0, 0 ( + 2) + 3 + … = 0, 1 … Từ đễ dàng tìm n+1 = ( n/ n+1) n, n = 1, 2, 3, … để tới cơng thức tính i, i = ( 0/ ) , = ( 1/ ) = ( 0/ ) , = ( 2/ ) = ( 1/ ) = ( 0/ ) , … n+1 = ( n/ n+1) n = … = ( n n … 0/ n+1 n … 1) 0, … Với điều kiện i 1, cuối ta có: i 0 = 1/ (1 + ( k k 1… 0/ k+1 k … 1)) k Đặc biệt n = 0, n, trình sinh tử trở thành trình sinh khiết (pure birth process) Quá trình sinh khiết với n = q trình Pốt xơng với tham số Ví dụ: Giả sử dịng khách hàng đến mua vé văn phòng bán vé với M quầy phục vụ dịng Pốt xơng với tham số = khách hàng / phút (điều có nghĩa khách hàng đến phịng bán vé với thời điểm đến tuân 96 theo luật phân phối mũ với tham số = 6) Ngoài ra, biết nguyên tắc phục vụ FCFS (First come first serve) thời gian phục vụ quầy có luật phân phối mũ với kì vọng 1/3 (phút) Cần trả lời hai câu hỏi sau đây: Số quầy hàng tối thiểu để hàng chờ không trở nên dài vô hạn? Giả sử Nt số khách hàng chờ hay phục vụ thời điểm t Chọn M = khách hàng chờ để phục vụ Nt 4, chờ với xác suất 0,5 Nt = bỏ Nt = Hãy xác định phân phối dừng trình này? Trước hết, ví dụ có q trình sinh tử với không gian trạng thái S = { S0, S1, S2, …, Sn, …}, Sn trạng thái văn phịng có n khách hàng Các cường độ chuyển k = với k = 0, 1, 2, k = 3k với k M = 3M với k k > M (điều biến cực tiểu biến ngẫu nhiên với phân phối mũ độc lập có phân phối mũ với tham số tổng tham số phân phối mũ tương ứng) Do k / k+1 = 6/3M < (khi k M) nên với M thì: ( k k / k k ) < k 0 Bởi hàng đợi không dài vô hạn (nếu trái lại, chuỗi phân kì, 0, nên số khách hàng đợi dần tới số hữu hạn t với xác suất 0) Trong câu hỏi thứ hai, ta có = = = = = 6, = Theo cơng thức tính ( 1/(1 k k / k k )) ta có = 12/89 Từ tính k = = 24/89, = 16/89, = 8/89, = 4/89 24/89, = 1/89 Một số bảng tính 97 MỤC LỤC Chương I - Mục đích cơng cụ mô Mơ ngẫu nhiên gì? Các công cụ chủ yếu 2.1 Nguồn ngẫu nhiên 2.2 Mơ hình Một số ví dụ ứng dụng MPNN 4 Ứng dụng MPNN mô hình hàng chờ đợi 4.1 Một số đặc trưng mô hình hàng đợi 4.2 Ôn tập phân phối xác suất 12 4.3 Mô phân phối xác suất 14 4.4 Tại cần áp dụng MP Các bước tiến hành MP 15 4.5 Một vài ví dụ khác (tiếp theo) 16 Chương II - Số giả ngẫu nhiên 26 Khái niệm số giả ngẫu nhiên 26 1.1 Khái niệm 26 1.2 Lịch sử triết luận 26 1.3 Kiểm định tính ngẫu nhiên dãy số giả ngẫu nhiên 27 Các hàm sinh dạng mod 28 2.1 Định nghĩa 28 2.2 Các định lý 28 2.3 Thuật tốn tìm nhanh đồng dư mod M 29 2.4.Một số tiêu chuẩn lựa chọn M, a c: 29 Các hàm sinh dạng tịnh tiến bit (dịch bit) (SR = shift-register) 32 3.1 Định nghĩa 32 3.2 k-phân phối 34 Cấu trúc dàn (lattice = ) 35 4.1 Các số đặc trưng dàn 36 4.2.Tính số đặc trưng dàn 36 Chỉnh sửa kiểm định xác suất giả ngẫu nhiên 38 Chương III – Mô phương pháp xác suất 40 Mô phân phối xác suất đơn giản 40 1.1 Phân phối chuẩn X~N(0,1) 40 1.2 Phân phối mũ 41 1.3 Phân phối Poisson 41 1.4 Các thuật toán khác 42 Các phương pháp tổng quát phát sinh phân phối xác suất 43 2.1 Phương pháp hàm ngược 43 2.2 Phương pháp bác bỏ (hay phương pháp chấp nhận) 45 Chương Các mơ hình ngẫu nhiên 50 Thống kê thứ tự 50 1.1 Một số định lý 50 1.2 Mô thống kê thứ tự 50 Phương pháp chuẩn chiều 52 Mô phương pháp chuẩn nhiều chiều 53 Quá trình Poisson thời gian sống (Poisson Process and Life times) 54 4.1 Các định nghĩa khái niệm 54 4.2 Các giải thuật mô qúa trình Poisson 56 4.3 Phân phối thời gian sống 57 98 Quá trình Markov 60 5.1.Khái niệm số định nghĩa 60 5.2 Các tính chất định lý Error! Bookmark not defined 5.3 Mơ xích Markov Error! Bookmark not defined MỤC LỤC 98 99 ... thứ ba Bảng 2: Qui định thời điểm đến tín hiệu Phút Nếu tín hiệu đến Nếu tín hiệu Nếu tín hiệu Nếu tín hiệu * * * * * * * * * * - Mô thời gian phục vụ X tín hiệu: Ta mơ phân phối xác suất bảng... 12 0,3 Muốn mô phỏng, ta liệt kê dãy giá trị số ngẫu nhiên (qua tra bảng số ngẫu nhiên hay dùng hàm phát sinh số ngẫu nhiên máy tính), chẳng hạn a1a2 a10 = 1009732533 (gồm10 số ngẫu nhiên nguyên... phân phối Poatxơng tín hiệu đến Một kiểu biến ngẫu nhiên thường xét khoảng thời gian hai tín hiệu liên tiếp tuân theo phân phối mũ Ðây biến ngẫu nhiên liên tục Kí hiệu t biến ngẫu nhiên xét xác suất