GIÁO ÁN HSG TOÁN 9

Ngày giảng: Buổi + 2: Tiết - SỐ CHÍNH PHƯƠNG I Mục tiêu Kiến thức: - HS hiểu số phương gì? Các tính chất số phương - Chứng minh số số phương, biết tìm số phương theo kiện đề bài, tính giá trị biến để biểu thức số phương, Kĩ năng: HS có kĩ nhân biết dạng số phương, rèn khả tính tốn, tư Thái độ: Có ý thức học tập II Chuẩn bị: Giáo án, tài liệu tham khảo, đồ dùng dạy học, III Tiến trình giảng: A Lí thuyết Định nghĩa: Số phương số bình phương số nguyên Tính chất: 2.1 Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7, 2.2 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 2.3 Số phương có hai dạng 4n 4n + Không có số phương có dạng 4n + 4n + (n  N) 2.4 Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + (n  N) 2.5 Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 2.6 Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 B Bài tập Dạng 1: Chứng minh số số phương Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t  Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z  Z nên x2  Z, 5xy  Z, 5y2  Z  x2 + 5xy + 5y2  Z Vậy A số phương Bài 2: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + n c.số n-1 c.số = = n c.số n c.số n c.số n c.số 10 n  10 n  10n + +1 9 4.10 n  4.10 n  8.10 n   4.10 n  4.10 n  = 9  2.10 n    =    Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho n-1 csố  2.10 n         Z hay số có dạng 44…488…89 số phương Bài 3: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số phương Giải Gọi số tự nhiên liên tiếp n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n  N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vì n2 khơng thể tận n2+2 khơng thẻ chia hết cho  5.( n2+2) không số phương hay A khơng số phương Bài 4: Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 c.số Chứng minh 2007 c.số ab  số tự nhiên Giải Cách 1: Ta có a = 11…1 = 10 2008  ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + 2008 c.số  ab+1 = (10 2008  1)(10 2008 2007 c.số  5) +1= (10 2008 )  4.10 2008 2008 c.số  59  10 =   2008 2   ab  =  10 2008       10 2008  = Ta thấy 102008 + = 100…02  nên 10 2008   N hay ab  số tự nhiên 2007 c.số Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 2007 c.số 2008 c.số 2008 c.số  ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2  ab  = (3a  1) = 3a + N Bài 5: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n  N n>1 khơng phải số phương Giải n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ] = n2( n+1 )2.( n2–2n+2) Với n  N, n >1 n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2 n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2  n2 – 2n + khơng phải số phương Dạng 2: Tìm giải trị biến để biểu thức số phương Bài 6: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) c 13n + d n2 + n + 1589 Giải a Vì n2 + 2n + 12 số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k  N)  (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n+1)2 = 11  (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1  k+n+1 = 11  k=6 k–n-1=1 n=4 b Đặt n(n+3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2  (4n2 + 12n + 9) – = 4a2  (2n + 3) - 4a2 =  (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết: (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1  2n + + 2a =  n=1 2n + – 2a = a=2 c Đặt 13n + = y2 ( y  N)  13(n – 1) = y2 – 16  13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)  (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 số nguyên tố nên y +  13 y –  13  y = 13k  (Với k  N)  13(n – 1) = (13k  )2 – 16 = 13k.(13k  8)  n = 13k2  8k + Vậy n = 13k2  8k + (Với k  N) 13n + số phương d Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m  N)  (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2  (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 Bài 7: Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m  N) Từ suy m2 – n2 = 2006  (m + n)(m - n) = 2006 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m  số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2)  m + n m – n số chẵn  (m + n)(m - n)  Nhưng 2006 không chia hết cho  Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Bài 8: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương Giải Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Giải Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a  N) 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48)  a+48 = 2p Với p, q  N ; p+q = n p > q  2p – 2q = 96  2q (2p-q -1) = 25.3 48 = 2q  q = p-q =  p =  n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 Dạng 3: Tìm số phương Bài 10: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B Giải Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m  N 32 < k < m < 100 a, b, c, d  Ta có  N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2  m2 – k2 = 1111  (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k m+k số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) viết (m-k)(m+k) = 11.101 Do m – k == 11  m = 56 m + k = 101 n = 45  A = 2025 B = 3136 Bài 11: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Giải Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = k  N, 32 ≤ k < 100 Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10)  k +10  101 k-10  101 Mà (k-10; 101) =  k +10  101 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110  k+10 = 101  k = 91  abcd = 912 = 8281 Bài 12: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Giải Gọi số phương phải tìm aabb = n2 với a, b  N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb  11  a + b  11 Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18  a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) 9a+1 số phương Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn  b = Số cần tìm 7744 Bài 13: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Giải Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤ abcd phương  d  { 0,1,4,5,6,9} d nguyên tố  d = Đặt abcd = k2 < 10000  32 ≤ k < 100 k số có hai chữ số mà k2 có tận  k tận Tổng chữ số k số phương  k = 45  abcd = 2025 Vậy số phải tìm 2025 Bài 14: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương Giải Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm ab ( a,b  N, ≤ a,b ≤ ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba 2 Ta có ab - ba = ( 10a + b ) – (10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 )  11  a2 - b2  11 Hay ( a-b )(a+b )  11 Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b  11  a + b = 11 2 Khi ab - ba = 32 112 (a - b) 2 Để ab - ba số phương a - b phải số phương a-b = a - b = + Nếu a-b = kết hợp với a+b = 11  a = 6, b = 5, ab = 65 Khi 65 – 562 = 1089 = 332 + Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11  a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm 65 Bài 15: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Giải Gọi số phải tìm ab với a,b  N ≤ a ≤ , ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3  (10a+b)2 = ( a + b )3  ab lập phương a+b số phương Đặt ab = t3 ( t  N ) , a + b = l ( l  N ) Vì 10 ≤ ab ≤ 99  ab = 27 ab = 64 - Nếu ab = 27  a + b = số phương - Nếu ab = 64  a + b = 10 khơng số phương  loại Vậy số cần tìm ab = 27 Bài 16: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có chữ số giống Giải Gọi số lẻ liên tiếp 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n  N) Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ ≤ a ≤  12n( n + ) = 11(101a – )  101a –   2a –  Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 2a-1 lẻ nên 2a –  { 3; 9; 15 }  a  { 2; 5; } Vì a lẻ  a =  n = 21 Vậy: số càn tìm 41; 43; 45 Bài 17: Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số Giải ab (a + b ) = a3 + b3  10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab  3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) Vì a + b a + b – nguyên tố a + b = 3a a +b–1=3+b  a=4,b=8 a + b – = 3a a+b=3+b a = , b = Vậy ab = 48 ab = 37 Bài tập nhà Bài 1: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Giải : Gọi số tự nhiên, liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 (n � Z) Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + = ( n2  3n)(n  3n  2)  (*) Đặt n  3n  t (t �N ) (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n � N nên n2 + 3n + � N Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + số phương Bài 2: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chứng minh 4S + số phương Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1 k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2) 4  (k  3)  (k  1) = 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 4 => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kết => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + số phương Các tương tự: Chứng minh số sau số phương A = 11 + 44 + 2n chữ số n chữ số B = 11 + 11 + 66 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C= 44 + 22 + 88 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số D = 22499 9100 09 n-2 chữ số n chữ số E = 11 155 56 n chữ số n-1 chữ số � 10n  � Kết quả: A= � �; � � n D = (15.10 - 3) 2 � 10n  � B� �; � �  10 n    E =    �2.10n  � C � � � � Bài 3: Chứng minh tổng bình phương số lẻ số phương a b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + (Với k, m � N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 khơng thể số phương Bài 4: Chứng minh p tích n (với n > 1) số nguyên tố p - p + số phương Vì p tích n số nguyên tố nên pM2 p chia hết cho (1) a- Giả sử p + số phương Đặt p + = m2 ( m � N) Vì p chẵn nên p + lẻ => m2 lẻ => m lẻ Đặt m = 2k + (k � N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k2 + 4k + => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M4 mâu thuẫn với (1) => p + số phương b- p = 2.3.5 số chia hết cho => p - có dạng 3k + => p - không số phương Vậy p tích n (n >1) số nguyên tố p - p + khơng số phương Bài 5: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 2011 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N 2N + khơng có số số phương a- 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Có 2N M3 => 2N - = 3k + (k � N) => 2N - khơng số phương b- 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N chẵn => N lẻ => N không chia hết cho 2N M2 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư dư => 2N khơng số phương c- 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lẻ nên 2N + không chia hết cho 2N không chia hết 2N + không chia cho dư 10 ... 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử Giải: Đặt y = x2 ,có Q(y) = 6y2 + 19y + 15 20 Tìm m, n cho m.n = 90 m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9. 10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có: 6y + 19y + 15... 5)(x – 9) (9x + 10) + 24x2 thành nhân tử Giải: Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9. 1 = c1d1 a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10... 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 1 69 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 9: Tìm tất