Ứng dụng dấu hiệu chia hết vào giải các dạng toán lớp 6 cho học sinh trường THCS tô hiệu, thành phố vĩnh yên

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH YÊN TRƯỜNG THCS TÔ HIỆU HỒ SƠ ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP THÀNH PHỐ Tên sáng kiến: Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải số dạng tốn ơn thi vào THPT trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên Tác giả sáng kiến: Trần Thị Nụ Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Tô Hiệu Hồ sơ gồm: Đơn đề nghị công nhận sáng kiến cấp thành phố Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Vĩnh Yên, năm 2018 CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP THÀNH PHỐ Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến thành phố Vĩnh Yên (Cơ quan thường trực: Phòng Kinh tế thành phố Vĩnh Yên) Tên là: Trần Thị Nụ Chức vụ (nếu có): Giáo viên Trường: THCS Tơ Hiệu Điện thoại: 0983 590 658 Email: Tranthinu10@gmail.com Tôi làm đơn trân trọng đề nghị Hội đồng sáng kiến thành phố Vĩnh Yên xem xét công nhận sáng kiến cấp thành phố cho sau: Tên sáng kiến: Ứng dụng dấu hiệu chia hết vào giải dạng toán lớp cho học sinh trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực áp dụng: Học sinh đại trà lớp 6; bồi dưỡng học sinh giỏi lớp - Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Ứng dụng dấu hiệu chia hết vào giải dạng toán lớp Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Áp dụng lần đầu 5/2018 Nội dung sáng kiến: 4.1 Kiến thức 4.2 Các dạng toán phương pháp giải 4.2.1 Dạng toán 1: Chứng minh quan hệ chia hết 4.2.2 Dạng tốn 2: Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết, chia dư 4.2.3 Dạng tốn 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng 4.2.4 Dạng tốn 4: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm mà không giải phương trình 4.2.5 Dạng tốn 5: Sử dụng hệ thức Vi – ét vào việc giải hệ phương trình đối xứng 4.2.6 Dạng tốn 6: Tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số 4.2.7 Dạng tốn 7: Xét dấu nghiệm 4.2.8 Dạng toán 8: Lập phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước 4.2.9 Dạng tốn 9: Phân tích đa thức thành nhân tử 4.2.10 Dạng tốn 10 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b ( a �0 ) (d) quan hệ với Parabol y = mx2 ( m �0 ) (P) Điều kiện áp dụng: Có thể dùng giảng dạy cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Khả áp dụng: Áp dụng cho học sinh lớp Hiệu đạt Qua việc áp dụng sáng kiến thấy - Lớp học sôi nổi, học sinh hiểu - Nhiều học sinh cịn yếu mơn Tốn giải số tập đơn giản Đối với học sinh giỏi em giải tốt làm tập tự luyện - Đa số học sinh nắm nội dung học Các thông tin cần bảo mật: không Tôi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật, khơng xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ người khác hồn tồn chịu trách nhiệm thơng tin nêu đơn Xác nhận Lãnh đạo nhà trường (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Yên, ngày 25 tháng 04 năm 2018 Người nộp đơn (Ký tên, ghi rõ họ tên) Trần Thị Nụ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Là giáo viên dạy Toán lớp 9, nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, thực ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy hệ thức Vi-ét thấy dạy theo thứ tự lí thuyết tập SGK, SBT chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải tập thuộc chủ đề Quan trọng việc nhớ kiến thức em khơng có hệ thống Như kết làm em không cao, bên cạnh hầu hết đề thi vào THPT tỉnh nói chung tỉnh Vĩnh Phúc nói riêng có phần kiến thức hệ thức Vi-ét Chính thế, tơi tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp tài liệu tham khảo để tập hợp tập hệ thức Vi-ét Sau tiến hành phân dạng với dạng rõ ứng dụng Từ cách nghĩ cách làm tơi viết sáng kiến : Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải số dạng tốn ơn thi vào THPT trường THCS Tơ Hiệu, thành phố Vĩnh Yên Trong sáng kiến dù biết khơng thể đề cập hết phương pháp giải tốn hy vọng nguồn tài liệu bổ ích cho học sinh tài liệu tham khảo cho thầy cô giáo Tên sáng kiến Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải số dạng tốn ơn thi vào THPT trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên Tác giả sáng kiến - Họ tên: Trần Thị Nụ - Địa tác giả: Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0983 590 658 Email: tranthinu10@gmail.com; Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trần Thị Nụ Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc Chức vụ: Giáo viên Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực áp dụng: Ôn thi vào lớp 10 THPT; bồi dưỡng học sinh giỏi lớp - Vấn đề mà chuyên đề giải quyết: Hệ thức Vi –Ét ứng dụng Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Áp dụng lần đầu 5/2017 Mô tả chất sáng kiến 7.1 Nội dung sáng kiến 7.1.1 Kiến thức Các em cần nắm vững số kiến thức sau: Định lí Vi-ét (thuận): Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) b � x1  x   � � a � c � x1x  � a Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, biết trước nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương c trình có nghiệm x1 = 1, cịn nghiệm x2 = a  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương c trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - a Định lí Vi-ét (đảo): Nếu hai số u, v thỏa mãn uvS � � u.v  P � hai số hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v S2 - 4P �0) 7.1.2 Các dạng toán phương pháp giải Dạng toán 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn a Phương pháp: Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = ( a �0 ), ta áp dụng nhận xét sau: Trường hợp (Trường hợp đặc biệt):  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương c trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = a  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương c trình có nghiệm x1 = - 1, cịn nghiệm x2 = - a Trường hợp 2: Cho phương trình: x2 + bx + c = Ta thực theo bước: Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho nghiệm x1 x2 là: �x1  x  b � �x1.x  c Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính m + n Khi đó: +) Nếu m + n = - b ta chuyển sang bước (kết luận) +) Nếu m + n �- b, ta dừng lại trường hợp không nhẩm nghiệm Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n Mở rộng: Nếu phương trình ax + bx +cx + d =  a �0  có nghiệm x0 x-x   Ax +Bx + C  =  phương trình phân tich thành +) Có nghiệm x  a  b  c  d  +) Có nghiệm x  1 a  b  c  d  b Bài tập áp dụng Bài (Bài 37/SBT-Trang 57) Dùng điều kiện a + b + c = a – b + c = để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 7x2 - 9x + = b) 23x2 - 9x - 32 = Giải a) 7x2 - 9x + = Nhận thấy phương trình có a + b + c = + (-9) + = c  a Do phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1, x2 = b) 23x2 - 9x - 32 = Nhận thấy phương trình có a - b + c =23 - (-9) + (-32) = Do phương trình c  32   32  có hai nghiệm x1 = - 1, x2 = - a Bài Giải phương trình a) 5x - 6x + 8x - = b) 2x + x + 4x +5 = Giải a) 5x - 6x + 8x - = có tổng hệ số a + b + c + d = - + - = nên phương trình có nghiệm x  phương trình 5x - 6x + 8x - = �  5x - 5x  -  x 2 - x  +  7x -  = � 5x  x - 1 - x  x - 1 +  x - 1 = �  x - 1  5x - x +  = x-1=0 � � 5x - x + 7= � �  1  2 +) Giải phương trình   x - 1= � x =1 +) Giải phương trình   5x - x + =    1  4.5.7   140  139  Ta có � phương trình   vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  b) 2x + x + 4x +5 = có a - b + c - d = - + - = nên phương trình có nghiệm x  1 phương trình 2x +x + 4x +5 = �  2x + 2x  -  x 2 + x  +  5x +5  = � 2x  x + 1 - x  x + 1 +  x + 1 = �  x + 1  2x - x+5 =0 x+1=0 � � 2x - x + = � �  1  2 +) Giải phương trình   x + = � x = - +) Giải phương trình   2x - x + =    1  4.2.5   40  39  Ta có � phương trình   vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  1 Nhận xét: Đối với phương trình có dạng ví dụ giải phương trình nhẩm nghiệm nhanh gọn việc vận dụng công thức nghiệm (công thức nghiệm thu gọn) c Bài tập tự luyện Bài Nhẩm nghiệm phương trình sau: a x2 + 7x + 12 = c x2 -11x + 28 = b x2 - 7x + 12 = d x2 – 12x + 35 = Bài Giải phương trình a) 2x - 3x + 5x - = b) 3x +2 x + 7x +8 = Dạng toán 2: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm a Phương pháp chung Giả sử phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) cho biết nghiệm x1 = m Tìm nghiệm cịn lại x2 ? Ta làm sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1  x =  b a Thay x1 = m vào hệ b b c x    x1    m x1.x  a a a Thay x1 = m thức, ta có ta dùng hệ thức �c � �c � x2  � � : x1  � � :m a a � � � � vào hệ thức, ta có b Bài tập áp dụng Bài Chứng tỏ phương trình 3x + 2x - 21 = có nghiệm -3 Hãy tìm nghiệm Giải Vì x1 = - nghiệm phương trình 3x2 + 2x - 21 = Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – – 21 = Cách 1: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x =  b 2 2 2 x2   x1    3     a = � 3 3 Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c 21   7 � x   7  : x1   7  :  3   a 3 Bài (Bài 40/SBT-Trang 44) Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x phương trình, tìm giá trị m trường hợp sau: a x2 + mx - 35 = 0, biết nghiệm x1 = 7; b 3x2 – 2(m – 3)x + = 0, biết nghiệm x1 = Giải a x2 + mx - 35 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c 35   35 a Mà x1 = nên suy ra: x  35 : x1  35 :  5 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x =  b m   m �   5    m � m   a = Vậy x2 = 5 , m = 2 b 3x2 – 2(m – 3)x + = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c  a Mà x1 = nên suy ra: 5 x  : x1  :  3 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x =   m  3 b  m  3 � 5 � 16  2m  � m  11 3 a = Vậy x2 = 5, m = 11 Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng hệ thức Vi-ét trước, sau sử dụng hệ thức Vi-ét x1  x =  x1.x  c a trước để tìm x2 b a (vì lúc biết x1 x2) để suy giá trị tham số c Bài tập tự luyện Bài Phương trình x2 – 2px + = có nghiệm x1 = 2, tìm p nghiệm Bài Phương trình x2 + 5x + q = có nghiệm x1 = 5, tìm q nghiệm Bài Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình Bài Tìm q hai nghiệm phương trình : x –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm Dạng tốn 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng 10 4;8 8; Vậy hệ phương trình có nghiệm     3 � �x  y  � x  y  xy  2 � d) � �  x  y   3xy  x  y   � �  x  y  xy  2 � �  x  y    2   � �x  y  � �  x  y  xy  2 � � � �xy  2 Theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai: t2  t   a - b + c = 1-  -1 +  -2  = (1) nên phương trình (1) có nghiệm t1  1 t2  1;  2; 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm   �x  a �x  b � � Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm �y  b có nghiệm �y  a Chúng ta cần lưu ý điều để khơng bỏ xót nghiệm hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình �x  y  xy  �2 �x  y  xy  Hướng dẫn Biến đổi hpt dạng tổng tích x y cách đặt S  x  y P  x y ta có hệ pt �S  P  �2 �S  S  12  giải hệ phương trình Giải �x  y  xy  �2 �x  y  xy  � �  x  y   xy  � �  x  y   xy  � � � �xy    x  y  �   x  y �  x  y  � � � � � �xy    x  y  �  x  y    x  y   12  �� Đặt S  x  y P  x y �S  P  �2 Ta có hệ phương trình �S  S  12  � 20 �S  P  � �S  3; S  4 �x  y  � � +) Với S = P = ta có �xy  theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai t  3t   (1) a + b + c = 1+  -3  + 2= nên phương trình (1) có nghiệm t1  t2  1; 2;1 Vậy hệ phương trình có nghiệm     �x  y  � +) Với S = � P = ta có �xy  theo định lí Vi – ét x; y nghiệm phương trình bậc hai t  2t   (2) Giải pt (2) ta có  '   1  1.3    2  nên phương trình (2) vơ nghiệm 1; 2;1 Vậy hệ phương trình có nghiệm     c Bài tập tự luyện Bài Giải hệ phương trình a) �x  y  xy  �2 �x  y  xy  � �x y  y x  30 � x x  y y  35 b) � 1 � �x  y  x  y  � � �x  y    x2 y2 � c) � Bài Giải hệ phương trình a) � �x  y  xy  �2 �y  x  xy  b) 4 2 � �x  y  x y  13 �  x  y   xy  � Dạng tốn 6: Tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số a Phương pháp chung Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x 1, x2 ( a �0,  �0 a �0,  ' �0 ) Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số Bước 3: Khử m để lập hệ thức S P, từ suy hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số 21 b Bài tập áp dụng Bài Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - = (x ẩn) Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m Giải Phương trình x – 2mx + 2m - = có:  '  m  2m    m  1   với 2 m Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: S  x1  x  2m (1) � � P  x1x  2m  (2) � Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: S – P = � x1 + x2 - x1x2 = (không phụ thuộc vào m) Bài Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = (x ẩn) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m Giải Phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 �m �0 m �0 �m �0 � � �m �0 � �� �� �� � � 9  2m  3  4m  m    �28m   �m  28 �  � � 2m  3 � S  x  x    � � m m � m4 � P  x1 x  1 m m Áp dụng hệ thức Vi-ét: � 12 � 4S   (1) � � m �� 12 � 3P   (2) � m Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Khơng phụ thuộc vào m) Nhận xét: Ngồi cách cộng vế theo vế, ta m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m Trong trình làm tránh vội vàng áp dụng hệ thức Viét mà quên bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 c Bài tập tự luyện Bài Cho phương trình: x -  m - 1 x + m2 + m + = (1) a) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? 22 b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào m Bài Cho phương trình: x -  m - 1 x + m - = (1) a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm kép b) Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào m Dạng toán 7: Xét dấu nghiệm a Phương pháp chung: Dùng hệ thức Vi-ét ta xét dấu nghiệm x 1, x2 phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) dựa kết quả: - Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1   x � P  c  a �  �0   ' �0  � P0 - Phương trình có hai nghiệm dấu � �  �0   ' �0  � � P0 � � S0 - Phương trình có hai nghiệm dương � � �  �0   ' �0  � P0 � � S0 - Phương trình có hai nghiệm âm � � - Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn �P  �� nghiệm dương �S  - Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ �P  �� nghiệm dương �S  23 b Bài tập áp dụng Bài Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + = Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dương phân biệt Giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu �P c 1 m  � m 1 a Vậy với m < phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  x1  x � '  m  3m  � � � �� P0 �� 1 m  �  m  � � S0  m  1  � � Vậy với < m < phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Bài Cho phương trình mx2 - 6x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Giải Để phương trình có hai nghiệm âm x1 �x  a �0 � �  ' �0 � �� P0 � � S0 � m �0 � � m �0 �  m �0 � � 3 �m �3 �m � �� 0 �� � 3 �m   �m � �6 � �m  � 0 �m Vậy với 3 �m  phương trình có hai nghiệm âm c Bài tập tự luyện Bài Cho phương trình: x  (2  m) x  m  a Xác định m để phương trình có nghiệm âm? b Xác định m để phương trình có nghiệm dương? 24 Bài Cho phương trình: x  mx  m   a Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương b Xác định m để phương trình có Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ nghiệm dương Bài Gọi a b nghiệm phương trình x + px + = ; c d 2 nghiệm phương trình x + qx + = Chứng minh hệ thức  a  c   a  d   b  c   b  d    p  q  Dạng toán 8: Lập phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước a Phương pháp chung Bước 1: Tìm tổng S tích P hai nghiệm phương trình bậc hai muốn lập Bước 2: Áp dụng định lí Vi-ét đảo lập phương trình dạng X2 – SX + P = b Bài tập áp dụng Bài (Bài 42/SBT-Trang 58) Lập phương trình bậc có nghiệm là: a c   b -4 Giải  15 a Ta có S =   P = � Do ta có phương trình x  x  15  Vậy phương trình cần tìm x  x  15  b Ta có S = x1 + x2 = +  =  , P = x1x2 = Do ta có phương trình là: x2 – (  )x + 1 2 = Vậy phương trình cần tìm x2 – (  )x + c Ta có S = 1     =         P =          25 Do ta có phương trình x  x   Vậy phương trình cần tìm x  x   Bài (Bài 43/SBT-Trang 58) Cho phương trình x2 + px – = có nghiệm x x2 Hãy lập phương trình có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau: 1 2) x1 x 1) -x1 -x2 Giải Phương trình x2 + px – = có   p   Do phương trình có hai nghiệm phân biệt p 5  p  5 Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = , x1x2 = 1) Ta có -x1 + (-x2) = - (x1 + x2 ) = p -x1(-x2) = x1x2 = - Vậy phương trình cần lập : x2 - px - = 2) Ta có: 1 x1  x  p p 1 1     x + x = x1 x 5 , x1 x = x1x 5 p  Vậy phương trình cần lập : x2 - x = hay 5x2 - px - = Nhận xét: Mặc dù tốn có nói x1, x2 nghiệm phương trình cho trước (như ví dụ phần b, ví dụ 2) Tuy nhiên ta phải tính biệt thức   ' để khẳng định phương trình cho trước có hai nghiệm, từ áp dụng định lí Vi-ét Điều đảm bảo tính chặt chẽ tốn học lời giải coi đầy đủ, chọn vẹn c Bài tập tự luyện Bài Lập phương trình bậc có nghiệm là: a b  c 26 2 2 Bài Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 – 3x + = Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: y1  x  1 ; y  x1  x1 x2 Dạng tốn 9: Phân tích đa thức thành nhân tử a Phương pháp chung Phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có nghiệm x1, x2 tam thức ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử sau: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) b Bài tập áp dụng (Bài 6.3/SBT-Trang 59) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x2 – 5x + 4; b 3x2+7x+4 Giải a Phương trình x2 – 5x + = có a + b + c = – + = Do phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = Vì đa thức x2 – 5x + = (x – 1)(x – 4) b Phương trình 3x2+7x+4= có a - b + c = – + = Do phương trình có hai nghiệm x1 = -1, x2 = Vì đa thức 3x + 7x + = 3(x + 1)(x – ) c Bài tập tự luyện Phân tích đa thức thành nhân tử: a x  11x  30 b 3x2+14x+8 c 5x  8x-4 d x  (1  3)x-3+ Dạng tốn 10 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b ( a �0 ) (d) quan hệ với Parabol y = mx2 ( m �0 ) (P) 27 a Phương pháp  Để lập phương trình đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm A  x A ; yA  B  x B ; y B  , ta làm sau: Do đường thẳng (d) Parabol (P) có hai giao điểm nên hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: mx2 = ax + b  mx2 - ax - b = a � xA  xB  � � m (I) � �x x  b A B m Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � Từ hệ (I) tìm a b  Phương trình (d) cần lập  Để lập phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) điểm A  x A ; yA  , ta làm sau: Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình mx - ax - b = có nghiệm kép: x1 = x2 Vận dụng hệ thức Viet, ta có: a � x  x  � m � b � x1x  (II) � m � x1  x  x A � � � Từ hệ (II) tìm a b  Phương trình (d) cần lập b Bài tập áp dụng Bài Cho parabol (P) có phương trình: y = x2 Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ xA = -1; xB = Lập phương trình đường thẳng qua A B Giải Goi phương trình đường thẳng qua A B có dạng y = ax + b (AB) Phương trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) là: x2 = ax + b  x2 - ax - b =0 (1) Ta có: xA = - 1; xB = nghiệm phương trình (1) 28 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 1   a a 1 �x A  x B  a � � � � � � � (1).2   b b2 � � �x A x B   b Vậy phương trình đường thẳng qua A B là: y = x + Bài Cho parabol (P): y x2 ; điểm A thuộc (P) có hồnh độ xA = Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A Giải Gọi phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A (d): y = ax + b Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2 = ax + b  x2 - 4ax - 4b = (*) Ta có: xA = nghiệm kép (*) (x1 = x2 = xA ) Áp dụng hệ thức Vi-ét ra, ta có: �x1  x  4a  4a a 1 � � � �� �� �x1x  4b  4b b  1 � � �x  x  x  2 A �1 Vậy phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A là: y = x – c Bài tập tự luyện Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol y = x (P) đường thẳng (d) có phương trình: y =  a - 1 x + - 2a ; (a tham số) a Với a = tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) (P) b Chứng minh với a đường thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt c Gọi hoành độ giao điểm đường thẳng (d) (P) x1, x2 2 Tìm a để x1 + x = Bài Cho phương trình x  2mx  2m   a Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm với giá trị m b Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm trái dấu 29 Bài Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = 2x 2, I 0;  đường thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm  a Viết phương trình đường thẳng (d) b CMR: (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt A B c Gọi hoành độ giao điểm A B xA, xB CMR: x A - x B �2 7.3 Bài tập củng cố Bài (Bài 31/SGK-Trang 54, 37/SBT-Trang 43) Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 7x2 - 9x + = 0; b) 23x2 - 9x - 32 = 0; c) (5 + )x2 + (5 - )x - 10 = 0; 11 d) x2 - x - = 0; Bài (Bài 40/SBT-Trang 44) Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x phương trình, tìm giá trị m trường hợp sau: a) Phương trình x2 - 13x + m = 0, biết nghiệm x1 = 12,5; b) Phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0, biết nghiệm x1 = -2 Bài Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u - v = 10, u.v = - 24; b) u2 + v2 = 85, u.v = 18 Bài (Bài 6.4*/SBT-Trang 59) (2 m 1) x  2(m  4) x  m   0(m � ) Cho phương trình a Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm b Khi phương trình có nghiệm x1; x2, tính tổng S tích P hai nghiệm theo m c Tìm hệ thức S P cho hệ thức khơng có m Bài Cho phương trình 2x2 – 7x + = 0, nghiệm phương trình x1 x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức: a) x1 + x2 ; x1x2 3 b) x1  x2 30 c) x1  x2 Bài Cho phương trình 2x2 - 6x + = a) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Tính x13 + x23 – 2(x12 + x22) + 3(x12x2 + x1x22) x1 x2 b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x2  x1  Bài (Đề tuyển sinh 10 Vĩnh Phúc 2009-2010) Cho phương trình (ẩn x): x2 - 2(m + 1)x + m2 - = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12+x22 = x1.x2 + Bài (Đề tuyển sinh 10 chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội 2007-208) 2 Cho phương trình: x  x  6a-a  (1) (với ẩn x ) 1) Với giá trị a phương trình có nghiệm; 2) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Tìm giá trị a cho: x  x12  8x1 Bài (Đề tuyển sinh 10 Vĩnh Phúc 2013-2014) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   Tính giá trị biểu 3 thức: Q = x1  x2 Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  x1 + x2 Bài 10 (Đề tuyển sinh 10 chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội 2008-2009) 2 Cho phương trình: x  (m  1) x  m  với m tham số Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho 2x1  2x  55   x1 x  x1 x1 x Tìm tất giá trị m cho: x 7.2 Khả áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng chương trình dạy học mơn Tốn lớp nhà trường cấp THCS 31 Qua trình nghiên cứu khảo sát, lưu ý phương pháp, kinh nghiệm đề xuất sáng kiến có tác động tích cực em học sinh, triển khai rộng rãi sáng kiến trường học tồn thành phố Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Cần trang bị thêm tài liệu tham khảo môn; - Tăg cường thêm thời lượng dành cho môn; - Học sinh khối 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: Trước áp dụng sáng kiến thấy nhiều học sinh lúng túng việc giải toán liên quan tới hệ thức Vi- ét Sau áp dụng sáng kiến, học sinh khắc phục nhiều nhược điểm, tỷ lệ học sinh làm tăng, học sinh nắm vững cách giải mà linh hoạt dạng toán khác Cụ thể kiểm tra lớp 9A, 9B thu kết sau: Lớp Giỏi Áp dụng đề tài Khá Kết kiểm tra T.Bình Yếu S Kém SL % SL % SL % % 20 49 15 37 17 25 21 25 61 54 64 10 22 26 10 10 SL v L 9A Chưa áp dụng 41 em 9B Đã áp dụng Chưa áp dụng Đã áp dụng 10 39 em 10 26 Qua số thống kê thấy rõ mức độ tiến học sinh Qua giảng dạy, ôn tập thấy em tự tin nhiều có u thích say mê giải dạng tốn hệ thức Vi-ét Đặc biệt kì thi vào THPT tháng 5/2017 32 học sinh giải phần tập tốt, góp phần nâng cao điểm toán tỉ lệ đỗ vào THPT 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Trần Thị Nụ tham gia giảng dạy mơn Tốn với học sinh lớp Trường THCS Tô Hiệu Trường THCS Tô Hiệu - Vĩnh YênVĩnh Phúc Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Mơn Tốn Trường THCS Tơ Hiệu Đống Đa, ngày tháng năm , ngày tháng năm Đống Đa, ngày tháng năm Hiệu trưởng CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP THÀNH PHỐ (Ký tên, đóng dấu) Tác giả sáng kiến (Ký tên, đóng dấu) (Ký, ghi rõ họ tên) Trần Thị Nụ 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tôn Thân – Sách giáo khoa, SBT lớp – Nhà xuất giáo dục -2009; Vũ Hữu Bình – Nâng cao phát triển toán – NXB Giáo Dục – 2010; Tơn Thân – Các dạng tốn phương pháp giải toán – Nhà xuất giáo dục -2009; Vũ Hữu Bình – Cơ nâng cao tốn – NXB Giáo Dục - 2010 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn năm Vũ Hữu Bình – Tài liệu chuyên án THCS – NXB Giáo Dục - 2010 34 ... hiệu chia hết vào giải dạng toán lớp cho học sinh trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực áp dụng: Học sinh đại trà lớp 6; bồi dưỡng học sinh giỏi lớp - Vấn... Vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải số dạng tốn ơn thi vào THPT trường THCS Tô Hiệu, thành phố Vĩnh Yên Tác giả sáng kiến - Họ tên: Trần Thị Nụ - Địa tác giả: Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh. .. dưỡng học sinh giỏi lớp Khả áp dụng: Áp dụng cho học sinh lớp Hiệu đạt Qua việc áp dụng sáng kiến thấy - Lớp học sôi nổi, học sinh hiểu - Nhiều học sinh yếu mơn Tốn giải số tập đơn giản Đối với học