Đề thi tuyển sinh Cao Đẳng môn Toán khối B năm 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: B Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số với là tham số thực. 32 (2 1) (2 ) 2 (1),yx m x mx=− − +− + m 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi (1) 2.m = 2. Tìm các giá trị của để hàm số (1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. m ) (1) Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 (1 2sin ) cos 1 sin cos .x xx+=++x 2. Giải bất phương trình 12 2 5 1( ).xx xx++ − ≤ + ∈\ Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 1 2 0 () xx .I exed − =+ ∫ x Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều có .S ABCD ,2AB a SA a==. Gọi ,M N và lần lượt là trung điểm của các cạnh và CD Chứng minh rằng đường thẳng P ,SA SB . MN vuông góc với đường thẳng Tính theo thể tích của khối tứ diện .SP a .AMNP Câu V (1,0 điểm) Cho và là hai số thực thỏa mãn 0 a b 1.ab< << Chứng minh rằng 22 ln ln ln ln .abba a b−>− PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI. a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có C,Oxy ABC (1; 2),− − đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 59xy 0+ −= và 350xy .+ −= Tìm tọa độ các đỉnh A và .B 2. Trong không gian với hệ tọa độ cho các mặt phẳng và Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm vuông góc với hai mặt phẳng và . ,Oxyz 1 (): 2 3 4 0Px y z+++= 2 ():3 2 10.Pxyz+−+= ()P (1; 1; 1),A 1 ()P 2 ()P ) (2 ) 8 (1 2 ) .iizi iz+−=+++ y 0 Câu VII. a (1,0 điểm) Cho số phức thỏa mãn (1 Tìm phần thực và phần ảo của . z 2 z B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI .b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox cho các đường thẳng , 1 :23xyΔ −−= và Tìm tọa độ điểm 2 :1xyΔ++=0. M thuộc đường thẳng 1 Δ sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2 Δ bằng 1 2 ⋅ 2. Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác có và trọng tâm Viết phương trình đường thẳng ,Oxyz ABC (1; 1; 0), (0; 2; 1)AB (0; 2; 1).G − Δ đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng C ().ABC Câu VII. b (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 437 2. zi zi zi − − = − − ---------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị … Khi hàm số trở thành 2,m = (1) 32 32yx x=− +. • Tập xác định: .\ • Chiều biến thiên: - Ta có hoặc 2 '3 6;yxx=− '0 0yx=⇔= 2.x = - Hàm số đồng biến trên các khoảng (; và 0)−∞ (2; ).+∞ - Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). 0,25 • Cực trị: - Hàm số đạt cực đại tại y 0,x = CĐ = y (0) = 2. - Hàm số đạt cực tiểu tại y 2,x = CT = y (2) = −2. • Các giới hạn tại vô cực: và lim x y →−∞ =−∞ lim . x y →+∞ =+∞ 0,25 • Bảng biến thiên: Trang 1 / 4 0,25 • Đồ thị 0,25 2. (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m … Ta có () 2 '3 22 1 2yx mx=− −+−.m m thỏa mãn yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm dương phân biệt '0y = 0,25 2 '(2 1) 3(2 )0 2(2 1) 0 3 2 0 3 mm m S m P ⎧ ⎪ Δ= − − − > ⎪ − ⎪ ⇔= > ⎨ ⎪ − ⎪ => ⎪ ⎩ 0,25 I (2,0 điểm) 5 2. 4 m⇔<< 0,50 x y O 2 2 −2 x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + y 2 +∞ −∞ −2 Trang 2 / 4 Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình đã cho tương đương với (si n 1)(2sin 2 1) 0xx+− II = 0,50 • sin 1x =− π 2π () 2 xkk⇔=−+ ∈] (2,0 điểm) . 0,25 • 1 sin 2 2 x = π π 12 x k⇔= hoặc + 5π π () 12 xkk=+ ∈ ] . 0,25 2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình … Điều kiện: 2.x ≥ 0,25 Bất phương trình đã cho tương đương với (1)(2)2xx+−≤ 0,25 23x⇔− ≤ ≤ . 0,25 Kết hợp điều kiện ta được tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là [ ] 2; 3 . 0,25 11 1 1 1 0 00 0 0 1 1. xxxx x I e dx xe dx e xe dx xe dx e −− =+=−+=−+ ∫∫ ∫ ∫ 0,25 Đặt và ta có và . ux= , x dv e dx= du dx= x v e= 0,25 1 11 00 0 11 11 x xx I xe e dx e e ee =− + − =− +− ∫ 0,25 III (1,0 điểm) 1 2 e =−⋅ 0,25 Ta có //MNCD và suy ra ,SP CD⊥ .MNSP⊥ 0,50 IV (1,0 điểm) Gọi là tâm của đáy O .ABCD Ta có 22 6 2 a SO SA OA=−= ⋅ . 11 48 AMNP ABSP S ABCD VVV== 3 2 11 6 83 48 a SO AB== ⋅ 0,50 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 ln ln 11 ab ab <⋅ ++ 0,25 Xét hàm số 2 ln () , (0;1). 1 t ft t t =∈ + Ta có 2 22 1 (1)2ln '( ) 0, (0; 1). (1) ttt t ft t t +− =>∀ + ∈ Do đó ()f t đồng biến trên khoảng (0 ; 1). 0,50 V (1,0 điểm) Mà nên 01ab<<<,() ().f afb< Vậy 22 ln ln 11 ab ab <⋅ ++ 0,25 S M N A B C D P O Trang 3 / 4 Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh A và B … Đường thẳng AC qua và vuông góc với đường thẳng C 350xy+−=. Do đó :3 1 0.AC x y−+= 0,25 Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ 590 (1; 4). 310 xy A xy +−= ⎧ ⇒ ⎨ −+= ⎩ 0,25 Điểm B thuộc đường thẳng và trung điểm của 350xy+−= BC thuộc đường thẳng 5 Tọa độ điểm 9xy+−=0. B thỏa mãn hệ 350 12 59 22 xy xy +−= ⎧ ⎪ −− ⎨ ⎛⎞ +−= ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ 0 0,25 (5; 0).B ⇒ 0,25 2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P) … • (P 1 ) có vectơ pháp tuyến 1 (1; 2; 3).n = JJG • (P 2 ) có vectơ pháp tuyến 2 (3; 2; 1).n =− JJG 0,25 • (P) có vectơ pháp tuyến (4; 5; 2).n =− JJG 0,25 VI.a (2,0 điểm) (P) qua A(1; 1; 1) nên ():4 5 2 1 0.Pxyz−+−= 0,50 Hệ thức đã cho tương đương với (1 2 ) 8iz i+=+ 0,25 23.zi⇔=− 0,50 VII.a (1,0 điểm) Do đó z có phần thực là 2 và phần ảo là 3.− 0,25 1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ điểm M … 1 (2 3; ).M Mt t∈Δ ⇒ + 0,25 Khoảng cách từ M đến là 2 Δ 2 |2 3 1| (, ) 2 tt dM +++ Δ= ⋅ 0,25 2 1 (, ) 2 dM Δ= 1 5 3 t t =− ⎡ ⎢ ⇔ ⎢ =− ⋅ ⎣ 0,25 Vậy hoặc (1; 1)M − 15 ;. 33 M ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng Δ … Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ 1 0 3 3 2 3 1 1 3 x y z + ⎧ = ⎪ ⎪ + ⎪ = ⎨ ⎪ + ⎪ =− ⎪ ⎩ (1;3; 4).C⇒ −− 0,25 Ta có (1;1;1), (1;1; 1).AB AG=− =− − JJJG JJJG 0,25 Mặt phẳng ()ABC có vectơ pháp tuyến (1; 1; 0).n = JJG 0,25 VI.b (2,0 điểm) Phương trình tham số của đường thẳng Δ là 1 3 4. x t y t z =− + ⎧ ⎪ =+ ⎨ ⎪ =− ⎩ 0,25 Trang 4 / 4 Câu Đáp án Điểm Điều kiện: . z i ≠ Phương trình đã cho tương đương với 2 (4 3 ) 1 7 0.zizi−+ ++= 0,25 VII.b 2 34 (2 ).iiΔ= − = − 0,50 (1,0 điểm) Nghiệm của phương trình đã cho là và 12zi=+ 3.zi=+ 0,25 -------------Hết------------- . B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: B Thời gian làm b i:180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN. B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)