de thi hsg so 2

đề thi học sinh giỏi môn thi : toán (Thời gian 150 phút ) Bài 1: (3 đ) Giải các phơng trình: a. 2 4 2 6 11x x x x + = + b. x-3 (x-3)(x+3) -5 (x+3) 4 x+3 = c. 4 4 4 2 1 1 1 3x x x+ + + = Bài 2: (4 đ) a. Cho biểu thức: 2 2 4 4 2 2 4 4 . 2 1 2 1 2 1 x x x x A x x x x x + + = + + b. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x 3 y+xy 3 -3x 2 -3y 2 =17 c. Tìm mọi cặp số nguyên dơng (x; y) sao cho 1 2 2 4 + + yx x là số nguyên dơng. Bài 3: (3 đ) a. Với a > 0 ; b > 0 cho trớc và x,y > 0 thay đổi sao cho : 1 =+ y b x a . Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất. b. Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz =1. Tìm GTNN của biểu thức : E = )( 1 )( 1 )( 1 333 yxzxzyzyx + + + + + . Bài 4: (2 đ) Cho tam giác vuông ABC (Â= 90 0 ) có đờng cao AH. Gọi trung điểm của BH là P. Trung điểm của AH là Q. Chứng minh : AP CQ. Bài 5: (3 đ) Cho đờng tròn (o) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đờng tròn cát các cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N. a. Chứng minh rằng: 2 2 2 .MN AM AN AM AN= + b. Chứng minh rằng: 1 NM AN MB NC + = Bài 6:(3 đ) Giải hệ phơng trình: a. +=+ =++ yxyx xyyx 3 1 33 22 ; b. =+++ =+++ 04 0252 22 22 yxyx xyxyyx Bài 7:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức sau: xy1 2 y1 1 x1 1 22 + + + + với x 1, y 1 ---------- Ht ---------- Đáp án: Bài 1: Giải các phơng trình sau; a. 2 4 2 6 11x x x x + = + đặt A = 4 2x x + ( 0)A 2 2 2 (4 )( 2) 2 (4 ) ( 2) 4A x x x x= + + + = 0 2A (1) Đặt B = 2 2 6 11 ( 3) 2 2x x x + = + (2) Để A = B khi va chỉ khi : 4-x = x-2 3x = Vậy nghiệm phơng trình x = 3 b. x-3 (x-3)(x+3) -5 (x+3) 4 x+3 = (1) ĐK: 3x < hoặc 3x đặt x-3 (x+3) x+3 y= (2) 2 ( 3)( 3)y x x = + Từ (1) ta có: 2 5 4 0y y + = 1 2 1; 4y y = = Với y > 0 do đó x + 3 > 0 x 3 Với y = 1 thay vòa (2) ta đợc: 2 9 1 10x x = = Do x > 3 nên 10x = Với y = 4 thay vào (2) ta đợc: 2 9 16 5x x = = Do 3x nên x = 5 Vậy nghiệm phơng trình là: 10x = ; x = 5 b. 4 4 4 2 1 1 1 3x x x+ + + = ; ĐK: 1 1x Đặt 4 4 1 ( 0); 1 ( 0)x a a x b b+ = = Ta có: 4 4 4 3a b ab+ + = 1 1 3 2 2 2 a b a b a b a b + + + = + + + + 1 1 1 1 2 3 2 2 2 a b a b a b + + + = + + + + = + = Phải sảy ra đẳng thức khi a= b = 1 Do đó : x = 0 Vậy nghiệm phơng trình x = 0 Bài 2: a. Rút gọn biểu thức 2 2 4 4 2 2 4 4 . 2 1 2 1 2 1 x x x x A x x x x x + + = + + ĐK: 2x Ta bình phơng 2 vế ta đợc 2 2 2 2 4 16 16 2 2 4 .(2 1) (2 1) 4 4 1 2 1 x x x x x A x x x x x x x x + + + = = = + + + .Suy ra 2 1A x= b. phơng trình: x 3 y + xy 3 - 3x 2 - 3y 2 = 17 (x 2 + y 2 )(xy - 3) = 17 = 17.1 Do x,y nguyên dơng nên x 2 + y 2 >1 2 2 2 2 17 ( ) 2 17 ( ) 25 3 1 4 4 x y x y xy x y xy xy xy + = + = + = = = = = = = = = = = = = =+ = =+ -4y -1x hoặc 4y 1x hoặc 1 4 1 4 4 5 4 5 y x y x xy yx xy yx Kết luận: = = 4y 1x hoặc = = 1y 4x hoặc = = 1y 4x hoặc = = 4y 1x c. Đặt 1 2 2 4 + + yx x = a Với a là số nguyên dơng thì x 4 + 2 = a(x 2 y + 1) x 2 (x 2 - ay) = a - 2 (1) Xét 3 trờng hợp sau : TH1: Nếu a = 1 thì từ (1) ta có : x 2 (x 2 - y) = - 1 = = 11 1 2 y x = = 2 1 y x TH2: Nếu a = 2 thì từ (1) có x 2 (x 2 - 2y) = 0, suy ra x 2 = 2y nên có nghiệm x = 2k, y = 2k 2 với k là số nguyên dơng TH3: Nếu a > 2 thì từ (1), có a 2 > 0 và (a 2) chia hết cho x 2 nên a 2 x 2 a x 2 + 2 > x 2 Từ đó 0 < x 2 - ay < x 2 - x 2 y 0. Điều này không xảy ra Vậy: Cặp số nguyên dơng (x; y) thoả mãn đề ra là : (1; 2) và (2k; 2k 2 ) với k là số nguyên dơng. Bài 3: a. áp dụng BĐT Bu_ nhi_ a_ cốp_ xki ta có : ( ) 2 2 2 22 + + +=+ y b y x a x y b x a yxyx hay ( ) 2 bayx ++ I Q P H C B A r K E D H N M CB A o Dấu = xảy ra khi : y b y x a x = hay : ba ba yx b y a x += + + == Tức là : khi ( ) baax += ; ( ) baby += Vậy min (x+y) = ( ) 2 ba + khi : ( ) baax += ( ) baby += b. Đặt a = x 1 , b = y 1 , c = z 1 abc = xyz 1 = 1 x + y = c(a + b) y + z = a(b + c) x + z = b(c + a) E = cb a + 2 + ac b + 2 + ba c + 2 Dễ dàng chứng minh đợc cb a + + ac b + + ba c + 2 3 Nhân hai vế với a + b + c > 0 cb cbaa + ++ )( + ac cbab + ++ )( + ba cbac + ++ )( 2 3 (a+b+c) cb a + 2 + ac b + 2 + ba c + 2 2 cba ++ 2 3 3 abc = 2 3 E 2 3 . Dấu "=" xảy ra a = b = c = 1 .Vậy min E = 2 3 khi a = b = c = 1 Bài 4: Gọi I là giao điểm của CQ và AP Ta có : CAH = ABH (1) ( 2 góc có cạnh tơng ứng vuông góc) Hai tam giác vuông CAH và ABH có 1 góc nhọn bằng nhau AH BH CA AB ABHCAH = ~ AQ BP CA AB AQ BP CA AB == 2 2 (2) Từ (1) và (2) CAQABP ~ (c.g.c) AQ BP CQ AP = mà QH PH CQ AP QH PH AQ BP == HAPHCQ ~ (cạnh góc vuông và cạnh huyền tơng ứng tỉ lệ) HAP = HCQ Xét tam giác IQA và HQC có : Q 1 = Q 2 (đối đỉnh) HAP = HCQ ( chứng minh trên) HQCIQA ~ AIQ = CHQ = 90 0 hay : AI CQ (đpcm) Bài 5: a. Đặt AB = AC = BC = a; AM = x; AN = y; MN = z Hạ đờng cao NH AB ( H AB ) Trong tam giác vuông ANH ( à 0 90H = ) Có à ã 0 0 60 30A ANH= = 2 y AH = ; 3 2 y NH = 2 y HM x= ; theo định lý Py-ta-go ta có: 2 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) 2 2 y y MN HM NH x x y xy= + = + = + Hay 2 2 2 .MN AM AN AM AN= + (đpcm) b.Ta có: MD = MK; NE = NK (t/c tiếp tuyến) AM AN MN AD AE a + + = + = ; Ta phải c/m: 1 AM N BM CN + = ; do đó ta có: 1 1 x y x y a x a y y z x z + = + = + + ( ) ( ) ( )( )x x z y y z x z y z + + + = + + 2 2 2 x xz y yz xy xz zy z + + + = + + + 2 2 2 x y z + = ( c/m câu a) Vậy 1 AM N BM CN + = (đpcm) Bài 6: Giải hệ phơng trình Từ (1) ta có PT (2) có dạng : 33 yx + = ))(3( 22 xyyxyx +++ 33 yx + 232223 333 xyyyxyxxyx +++++= 0244 322 =++ yyxyx 0)22(2 22 =++ yxyxy [ ] 0)(2 22 =++ yxxy =++ = 0)( 0 22 yxx y = = = xy x oy 0 = = = 0 0 y x oy + Với y = 0 thay vào (1) ta đợc x 2 =1 x 1 + Với x = 0, y = 0 thay vào (1) không thỏa mãn x= 0, y = 0 loại Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm (x,y) là (1,0) và (-1,0) b. Giải hệ: =+++ =++ )2(04 )1(0252 22 22 yxyx yxyxyx Từ (1) 2x 2 + (y - 5)x - y 2 + y + 2 = 0 + = + = = = =++= 2 1 4 )1(35 2 4 )1(35 )1(9)2(8)5( 222 yyy x y yy x yyyy x * Với: x = 2 - y, ta có hệ: 1 012 2 04 2 2 22 == =+ = =+++ = yx yy yx yxyx yx *Với 2 1 + = y x , ta có hệ: +=+ =++ )2(3 )1(1 33 22 yxyx xyyx                −= −= == ⇒    =−− −= ⇔      =−+++ + = 5 13 5 4 1 045 12 04 2 1 2 22 y x yx xx xy yxyx y x VËy hÖ cã 2 nghiÖm: (1;1) vµ       −− 5 13 ; 5 4 Bµi 7: Ta cã         + − + +         + − + = + − + + + xy1 1 y1 1 xy1 1 x1 1 xy1 2 y1 1 x1 1 2222 = )xy1)(y1( yxy )xy1)(x1( xxy 2 2 2 2 ++ − + ++ − = )xy1)(y1)(x1( )x1)(yx(y)y1)(xy(x 22 22 +++ +−++− = [ ] )xy1)(y1)(x1( )yxyxyx)(xy( )xy1)(y1)(x1( )x1(y)y1(x)xy( 22 22 22 22 +++ −−+− = +++ +−+− = [ ] 0 )xy1)(y1)(x1( )1xy()xy( )xy1)(y1)(x1( )xy()xy(xy)xy( 22 2 22 ≥ +++ −− = +++ −−−− (V× x ≥ 1, y ≥ 1) . + = ))(3( 22 xyyxyx +++ 33 yx + 23 222 3 333 xyyyxyxxyx +++++= 024 4 322 =++ yyxyx 0 )22 (2 22 =++ yxyxy [ ] 0) (2 22 =++ yxxy =++ = 0)( 0 22 yxx y . Bài 2: a. Rút gọn biểu thức 2 2 4 4 2 2 4 4 . 2 1 2 1 2 1 x x x x A x x x x x + + = + + ĐK: 2x Ta bình phơng 2 vế ta đợc 2 2 2 2 4 16 16 2 2 4 .(2