ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN II MÔN TOÁN - KHỐI 10, NĂM HỌC 2007 - 2008 (Ngày thi: 23-03-2008, Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1.(2 điểm) a) Giải hệ phương trình: 26 3 2008 26 3 2008 y x y x x y x y − = − = b) Giải phương trình: 2 2 3 2 1.x x x x− + − + − = Câu 2.(2 điểm) a) Giải bất phương trình: 2 4 3 2 x x x − + − ≥ . b) Giải hệ bất phương trình: 2 2 3 2 1 0 2 5 2 0 x x x x − − ≥ − + < Câu 3.(2 điểm) Cho phương trình 2 2 2(1 2 ) 4 3 2 0,(1)x m x m m− − + − + = ( m là tham số). a) Giải phương trình với 2m = − . b) Tìm m để phương trình có nghiệm 1 2 ,x x thoả mãn: 1 2 1 2 15 . 11x x x x− ≤ + − ≤ − . Câu 4.(3 điểm) 1) Cho tam giác ABC∆ có , ,AB c BC a CA b= = = và bán kính đường tròn nội tiếp là r . Chứng minh rằng ABC∆ đều khi và chỉ khi 2 2 2 2 36 .a b c r+ + = 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm ( 1; 2)A − − và (1; 6)B − . a) Tìm điểm C thuộc đường thẳng ( ) : 2 3 0x y∆ − − = sao cho ABC∆ cân tại A , biết C có hoành độ dương. b) Viết phương trình đường tròn qua A , tiếp xúc với BC và có bán kính nhỏ nhất. Câu 5.(1 điểm) Cho số thực a thoả mãn a 1≤ . Chứng minh rằng: 2 4 4 4 1 1 1 3.a a a− + − + + ≤ (Giám thị coi thi không cần giải thích gì thêm!) ĐÁP ÁN KHẢO SÁT LẦN II MÔN TOÁN - KHỐI 10, NĂM HỌC 2007 - 2008 Câu Nội dung Điểm 1. [ ] 3;3A = − 0.25 ( ] ; 1B = −∞ − 0.25 A B∩ =[-3;-1] 0.25 C ( ; 3) (3; )A = −∞ − ∪ +∞ ¡ 0.25 2.a [-4;+ )D = ∞ 0.25 ( 2) 0f − = 0.25 (0) 5f = 0.25 (5) 8f = 0.25 2.b 0.5 0.5 3.a Đưa phương trình đã cho về dạng 2 2 (2 1) 2 3 1m m x m m+ − = + + (1) + Nếu 2 1 2 1 0 1 2 m m m m ≠ − + − ≠ ⇔ ≠ thì pt có nghiệm duy nhất 2 1 2 1 m x m + = − 0.5 + Nếu 1m = − thì (1) 0 0x ⇔ = , pt có tập nghiệm là ¡ . 0.25 + Nếu 1 2 m = thì (1) 0 3x ⇔ = , pt vô nghiệm. 0.25 3.b + Nếu 1m = thì pt đã cho trở thành 3 4 3 0 4 x x+ = ⇔ = − 0.25 + Nếu 1m ≠ thì pt đã cho là pt bậc hai có ' 3m∆ = + . Do đó -Nếu 3m < − thì pt vô nghiệm. -Nếu 3m = − thì pt có nghiệm kép 1,2 1 2 x = − 0.25 y O 1 3 3 2 -1 -2 -4 -3 Nếu lấy cả đường thẳng ứng với x<-4, x>0 hoặc lấy cả phần Parabol ứng với x<0 trừ 0.25 điểm. x x y -4 0 2 +∞ -3 3 -1 +∞ -Nếu 3m > − thì pt có hai nghiệm phân biệt 1,2 1 3 1 m m x m − − ± + = − 0.25 Kết luận: . Ghi chú: Nếu không xét riêng trường hợp 1m = mà tính ∆ hoặc '∆ ngay và biện luận đúng thì cho 0.5 điểm toàn bài. 0.25 4.a Ta có ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 AB MB MA MB BA MB CB CA b a= = + ⇒ = = − = − uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r . 0.5 1 2 2 b BD CB= − = − r uuur uuur 0.25 MD MB BD= + uuuur uuur uuur = 3 2 a b− + r r Ghi chú: - Không vẽ hình không cho điểm. - Có thể có nhiều cách phân tích khác: 1 , . 2 MD MA AD AB CD CA= + = + − uuuur uuur uuur uuur uuur uuur hoặc MD MC CD= + = ××× uuuur uuuur uuur 0.25 4.b E chia CA theo tỉ số -3 nên 3EC EA= − uuur uuur 0.25 Từ đó ( ) 3 3 4 4 3 2 4 b a ED DC ED DC CA ED CD CA ED+ = − + + ⇔ = − ⇔ = − r r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (Hoặc 3 3 ) 2 4 2 4 CB CA b a ED CD CE= − = − = − uuur uuur r r uuur uuur uuur 0.5 Theo kết quả phần a) và kết quả vừa tìm được thì 2 , ,MD ED M E D= ⇒ uuuur uuur thẳng hàng. Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng định lý Mê lê na uýt: chia theo tû sè 3,M BA E chia AC theo tỷ số 1 3 − , D chia CB theo tỷ số -1 mà 1 3. .( 1) 1 3 − − = . Suy ra M, E, D thẳng hàng. 0.25 4.c Gọi AN cắt BC tại A 1 , BN cắt AC tại B 1 ; Kẻ CA ’ //BB 1 , CB ’ //AA 1 . Gọi AH, CK tương ứng là các đường cao kẻ từ A và C của các tam giác NAB, NBC. Theo qui tắc HBH ta có ' ' ' ' NA NB NC NA NB NA NB NA NB = + = − × − × uuur uuuur uuuur uuur uuur (1) 0.25 A B M M D C A B C A B C N H K B 1 A 1 A ’ B ’ P L Vì 1 1 1 ' // ' B C NA NB A C NA B A ⇒ = . Hơn nữa hai tam giác vuông 1 1 ,B AH B CK đồng dạng với nhau nên 1 1 1 2 1 2 . ' . NBC NBC NAB NAB CK BN S S B C CK NA B A AH S NA S AH BN ∆ ∆ = = = ⇒ = × (2) 0.25 Tương tự 1 1 2 1 1 1 2 . ' // ' . . NCA NAB CL NA S A C NB CL NA B C NB A B BP BP NA S ∆ ∆ ⇒ = = = = (3) 0.25 Thay (2), (3) vào (1) ta được . . . NBC NCA NAB NBC NCA NAB NAB S S NC NA NB S NC S NA S NB S S ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = − × − × ⇔ = − − ⇒ uuur uuur uuur uuur uuur uuur Đpcm. 0.25 5.a Q đúng thì chữ số tận cùng của n+51 là 2, chữ số tận cùng của n-38 là 3 nên n+51 và n-38 không thể là các số chính phương, suy ra P, R cùng sai, vô lý!Vậy Q phải là mệnh đề sai. Tức là P, R đúng. 0.25 Giả sử 2 2 51 ; 38 ( , ) .n x n y x y x y+ = − = ∈ ⇒ >¥ 0.25 ( )( ) 89x y x y⇒ − + = =89.1 1 45 89 44 x y x x y y − = = ⇒ ⇒ + = = 0.25 Vậy 2 45 51 1974.n = − = Ghi chú: Học sinh có thể xét 3 khả năng -P sai, Q & R đúng, -Q sai, P & R đúng, -R sai, P & Q đúng. 0.25 5.b Phương trình đã cho tương đương với 2 6 5 1 2x x m− + = − . Xét hàm số 2 6 5y x x= − + , có đồ thị ứng với 2x > : Ghi chú: Học sinh có thể vẽ đồ thị của cả hàm số 2 6 5y x x= − + mà không bỏ đi phần 2x ≤ , vẫn cho đủ điểm. 0.5 Số nghiệm pt đã cho thoả mãn yêu cầu bài toán là số giao điểm của đường thẳng 1 2y m= − ( song song với trục hoành) và phần đồ thị nét liền. Do đó để pt có ba nghiệm dương phân biệt lớn hơn 2 thì 3 3 1 2 4 1 2 m m< − < ⇔ − < < − . 0.5 5 4 0 1 -4 5 2 3 x y
