Tích phân

Tích phân Trần Só Tùng Trang 86 1. Đònh nghóa tích phân: Ta có công thức Niutơn – Laipnit: b b a a f(x)dxF(x)F(b)F(a).==- ò Chú ý: Tích phân b a f(x)dx ò chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết: bbb aaa F(b)F(a)f(x)dxf(t)dtf(u)du .-==== òòò 2. Ý nghóa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a ; b] thì tích phân b a f(x)dx ò là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của hàm số yf(x,trụcOx)= và hai đường thẳng x = a và x = b. 3. Các tính chất của tích phân: Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba điểm của K, dựa vào đònh nghóa tích phân ta có các tính chất sau: Tính chất 1. Ta có a a f(x)dx0= ò Tính chất 2. Ta có ba ab f(x)dxf(x)dx.=- òò Tính chất 3. Ta có bb aa kf(x)dxkf(x)dx,vớikR.=Ỵ òò Tính chất 4. Ta có bbb aaa [f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.±=± òòò Tính chất 5. Ta có cbc aaa f(x)dxf(x)dxf(x)dx.=+ òòò Tính chất 6. Nếu b a f(x)0,x[a;b]thìf(x)dx0³"Ỵ³ ò Tính chất 7. Nếu bb aa f(x)g(x),x[a;b]thìf(x)dxg(x)dx.³"Ỵ³ òò §Bài 2: TÍCH PHÂN Trần Só Tùng Tích phân Trang 87 Tính chất 8. Nếu b a mf(x)M,x[a;b]thìm(ba)f(x)dxM(ba).££"Ỵ-££- ò Tính chất 9. Cho t biến thiên trên đoạn [a; b] thì G(t) = t a f(x)dx ò là nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a/ 2 2 3 1 x2x Idx; x - = ò b/ x 4 4 0 J(3xe)dx.=- ò Giải: a/ Ta có: 2 2 2 1 1 122 Idxln|x|(ln21)(ln12)ln21. xxx ỉưỉư =-=+=+-+=- ç÷ç÷ èøèø ò b/ Ta có: 4 x 2 4 0 3 Jx4e(244e)(04)284e. 2 ỉư =-=---=- ç÷ èø Chú ý: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng đònh nghóa cùng các tính chất 1, 3 và 4 để tính tích phân Ví dụ sau đây sẽ sử dụng tính chất 5 để tính tích phân của hàm chứa dấu trò tuyệt đối. Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 1 x 1 Je1dx. - =- ò Giải: Xét dấu của hàm số y = e x – 1 Ta có: y = 0 x e10x0Û-=Û= Nhận xét rằng: x x0e1y0>Þ>Þ> x x0e1y0<Þ<Þ< Ta có bảng xét dấu: x –¥ –1 0 1 +¥ y’ – 0 + Do đó: 01 1 0 xxx 10 10 1 J(1e)dx(e1)dx(xe)(ex)e2. 2 - - =-+-=-+-=+- òò Chú ý: Sử dụng tính chất 6, 7, 8 ta sẽ đi chứng minh được các bất đẳng thức tích phân. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 3/4 2 /4 dx . 42 32sinx p p pp ££ - ò Giải: Tích phân Trần Só Tùng Trang 88 Trên đoạn 3 ; 44 pp éù êú ëû ta có: 22 2 2111 sinx1sinx1132sinx21. 22232sinx ££Þ££Û£-£Û£-£ - Do đó: 3/43/43/4 2 /4/4/4 1dx dxdx. 2 32sinx ppp ppp ££ - òòò (1) trong đó: 3/4 3/4 3/43/4 /4 /4/4 /4 11 dxx&dxx2. 224 p p pp p pp p p ==== òò (2) Thay (2) vào (1) ta được: 3/4 2 /4 dx 42 32sinx p p pp ££ - ò (đpcm). Ví dụ 4: Cho hàm số: 2 xakhix0 f(x) x1khix0 +< ì = í +³ ỵ a/ Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x 0 = 0. b/ Với a để hàm số liên tục tại x = 0, hãy xác đònh 1 1 f(x).dx. - ò Giải: a/ Hàm số xác đònh với mọi xR.Ỵ Ta có: 2 x0x0x0x0 limf(x)lim(x1)1vàlimf(x)lim(xa)a. ++-- ®®®® =+==+= f(0)1.= Vậy: · Nếu a = 1 thì x0x0 limf(x)limf(x)f(0)1 +- ®® ===Û hàm số liên tục tại x 0 = 0 · Nếu a1¹ thì x0x0 limf(x)limf(x) +- ®® ¹Û hàm số gián đoạn tại x 0 = 0 b/ Ta có: 10001 2 11110 11 f(x)dxf(x)dxf(x)dx(x1)dx(x1)dx. 6 ---- =+=+++= òòòòò Chú ý: Như vậy chúng ta sử dụng hầu hết các tính chất để giải các ví dụ về tích phân, duy còn tính chất thứ 9 ở đó có một dạng toán mà các học sinh cần quan tâm là “Đạo hàm của hàm số xác đònh bởi tích phân”. Ta có các dạng sau: Dạng 1: Với x a F(x)f(t)dtF'(x)f(x).=Þ= ò Với ax xa F(x)f(t)dtthìviếtlạiF(x)f(t)dtF'(x)f(x).==-Þ=- òò Trần Só Tùng Tích phân Trang 89 Dạng 2: Với u(x) a F(x)f(t)dtF(x)u'(x)f[u(x)]. ¢ =Þ= ò Dạng 3: Với u(x) v(x) F(x)f(t)dt= ò thì viết lại: u(x)v(x) aa F(x)f(t)dtf(t)dtF'(x)u'(x)f[u(x)]v'(x)f[v(x)]=-Þ=- òò minh hoạ bằng ví dụ sau: Ví dụ 5: Tính đạo hàm của các hàm số: a/ x t2 a F(x)(ecost)dt;=+ ò b/ 2 a 2 x G(x)(t21)dt;=++ ò c/ 2 x 3 2x H(x)(tsint)dt.=+ ò Giải: a/ Ta có: x t2x2 a F(x)[(ecost)dt]'ecosx.=+=+ ò b/ Ta có: 2 2 ax 222222 a x G(x)[(tt1)dt]'[(tt1)dt]'(u)'.(uu1)=++=-++=++ òò trong đó: u = x 2 , do đó: 24444 G'(x)(x)'.(xx1)2x(xx1).=++=++ c/ Ta có: 22 xx2x 333 2xaa H'(x)[(tsint)dt]'[(tsint)dt(tsint)dt]'=+=+-+ òòò 33 (u)'.(usinu)(v)'.(vsinv),=+++ trong đó: 2 uxvàv2x,== do đó: 262623 H'(x)(x)'.(xsin)(2x)'.(8xsin2x)2x(xsinx) 2(8xsin2x)=+++=+++ TỔNG KẾT CHUNG: Để tính tích phân xác đònh ngoài các phương pháp cơ bản mà chúng ta đã biết để xác đònh nguyên hàm, cụ thể có: 1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản. 2. Phương pháp phân tích 3. Phương pháp đổi biến 4. Phương pháp tích phân từng phần. 5. Sử dụng các phép biến đổi. còn có thêm một vài phương pháp khác ví dụ như phương pháp cho lớp tích phân đặt biệt. Vấn đề 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết, từ đó ta xác đònh được giá trò của tích phân. Tích phân Trần Só Tùng Trang 90 Ví dụ 1: (ĐHTM HN_95) Tính tích phân: 1 5 2 0 x Idx. x1 = + ò Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 5533322 xxxxxxx(x1)x(x1)x.=+--+=+-++ Ta được: 1 1 3422 2 0 0 x11111 Ixxdxxxln(x1)]ln2. 42224 x1 ỉưéù =-+=-++=- ç÷ êú ëû+èø ò Ví dụ 2: (Đề 91) Cho sinx f(x) cosxsinx = + a/ Tìm hai số A, B sao cho cosxsinx f(x)AB cosxsinx - ỉư =+ ç÷ + èø b/ Tính /2 0 f(x)dx. p ò Giải: a/ Ta có: sinxcosxsinx(AB)cosx(AB)sinx AB cosxsinxcosxsinxcosxsinx -++- ỉư =+= ç÷ +++ èø Đồng nhất đẳng thức, ta được: AB0 1 AB. AB1 2 += ì Û==- í -= ỵ b/ Với kết quả ở câu a/ ta được: /2 /2/2 0 00 1cosxsinx1 f(x)dxdxxln(cosxsinx). 22(cosxsinx24 p pp -p éùéù =--=--+=- êúêú + ëû ëû òò BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân: a/ 4 0 dx ; x ò b/ 1 0 x1xdx;- ò c/ 1 2 0 x2x3 dx; 2x -- - ò d/ 2 1 dx x1x1++- ò ĐS: a/ 4 b/ 4 5 c/ 1 ln2 2 - d/ 1 (33221) 3 -- Bài 2. Tính các tích phân: a/ 3 2 0 4sinx ; 1cosx p + ò b/ 8 22 0 tg2x(1tg2x)dx; p + ò c/ x x2 0 e dx; (e1)+ ò d/ 3 e 1 dx x1lnx+ ò ĐS: a/ 2 b/ 1 6 c/ 1 6 d/ 2 Bài 3. Tìm các giá trò của a để có đẳng thức: 2 23 1 [a(44a)x4x]dx12.+-+= ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 91 ĐS: a = 3 Bài 4. Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx và g(x) = cosx + 2sinx. a/ Tìm các số A, B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f’(x) b/ Tính 4 0 g(x) dx. f(x) p ò ĐS: a/ 21 A;B; 55 ==- b/ 17 ln 105 42 p - Bài 5. Tìm các hằng số A, B để hàm số f(x) = Asinpx + B thoả mãn đồng thời các điều kiện: 2 0 f'(1)2vàf(x)dx4.== ò ĐS: 2 A;B2.=-= p Tích phân Trần Só Tùng Trang 92 Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác đònh có hai dạng cơ bản (ngoài ra còn dạng 3) dựa trên đònh lý sau: Đònh lý: a. Nếu f(x)dxF(x)Cvàu(x)=+=j ò là hàm số có đạo hàm trong [a ; b] thì: (b) (b) (a) (a) f(u)duF(u) j j j j = ò b. Nếu hàm số f(x) xác đònh và liên tục trên đoạn [a ; b], hàm số x = j(t) xác đònh và (i) Tồn tại đạo hàm j’(t) liên tục trên đoạn [a; b] (ii) j ( a ) = a và j(b) = b. (iii) Khi t biến đổi từ a đến b thì x biến thiên trong đoạn [a ; b] Khi đó: b a f(x)dxf[(t)]'(t)dt. b a =jj òò Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tsch phân b a If(x)dx.= ò Giải: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp. Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt Bước 3: Tính các cận a và b tương ứng theo a và b Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt Bước 5: Khi đó: Ig(t)dt. b a = ò Lưu ý: Chúng ta cần nhớ lại các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn 22 ax- xasintvới/2t/2 xacostvới0t é=-p££p ê =££p ë 22 xa- a xvớit[;]\{0} sint22 a xvớit[0;]\{} cost2 é pp =Ỵ- ê ê p ê =Ỵp ê ë 22 ax+ xatgtvới/2t/2 xacotgtvới0t é=-p<<p ê =<<p ë Trần Só Tùng Tích phân Trang 93 Dấu hiệu Cách chọn axax hoặc axax +- -+ x = acos2t (xa)(bx)-- 2 xa(ba)sint=+- Ví dụ 1: (ĐHTCKT_97) Tính tích phân : = - ò 2 2 2 0 2 x Idx. 1x Giải: Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt Đổi cận: với x= 0 Þ t = 0; 2 xt. 24 p =Þ= Ta có: 2222 22 xdxsint.costdtsint.costdtsintcostdt1 (1cos2t)dt. costcost2 1x1sint ====- -- Khi đó: /4 /4 0 0 1111 I(1cos2t)dttsin2t. 22284 p p p ỉư =-=-=- ç÷ èø ò Ví dụ 2: Tính tích phân : 2/3 2 2 dx I xx1 = - ò Giải: Đặt 2 1cost x,khiđó:dxdt sint sint ==- Đổi cận: với x= 1 Þ t = p/2; 2 xt. 3 3 p =Þ= Khi đó: /2/2 2 /2 /3 /3/3 2 1 costdt sint dtt 1 6 1 sint1 sint pp p p pp - p === - òò Chú ý: Cũng có thể sử dụng phép đổi: 2/3 2 2 2 dx I 1 x1 x = - ò . Từ đó sử dụng phép đổi biến 1 t, x = ta sẽ nhận được: 3/2 2 1/2 dt I. 1t = - ò Rồi tiếp tục sử dụng phép đổi biến t = sinu, ta được /3 /3 /6 /3 Iduu. 6 p p p p p === ò Đó chính là lời giải có thể bổ sung (để phù hợp với hạn chế chương trình của Bộ Tích phân Trần Só Tùng Trang 94 GD&ĐT) hầu hết các tài liệu tham khảo trước đây. Ví dụ 3: Tính tích phân : 0 a ax Idx,(a0) ax + => - ò Giải: Đặt xa.cos2t,khiđó:dx2a.sin2tdt.==- Đổi cận: với xat 2 p =-Þ= ; x0t 4 p =Þ= Ta có: axaa.cos2t dx(2a.sin2tdt)cotgt(2a.sin2tdt) axaa.cos2t ++ =-=- -- 2 4a.cost.dt2a(1cos2t)dt.=-=-+ Khi đó: /2 /2 /4 /4 1 I2a(1cos2t)dt2atsin2ta1 24 p p p p p ỉưỉư =-+=--=- ç÷ç÷ èøèø ò . Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân b a If(x)dx.= ò Giải: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác đònh x = y(x) (nếu có thể). Bước 2: Xác đònh vi phân dx = j’(t)dt Bước 3: Tính các cận a và b tương ứng theo a và b Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt Bước 5: Khi đó: Ig(t)dt. b a = ò Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn Hàm có mẫu số t là mẫu số Hàm f(x,(x))j t(x)=j Hàm a.sinxb.cosx f(x) c.sinxd.cosxe + = ++ xx ttg(vớicos0) 22 =¹ Hàm 1 f(x) (xa)(xb) = ++ · Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt: txaxb=+++ · Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt: txaxb=--+-- Trần Só Tùng Tích phân Trang 95 Ví dụ 4: Tính tích phân : /3 2 /6 cosdx I sinx5sinx6 p p = -+ ò Giải: Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx Đổi cận: với 1 xt 62 p =Þ= ; 3 xt 32 p =Þ= Ta có: 22 cosdxdtdt (t2)(t3)sinx5sinx6t5t6 == ---+-+ AB[(AB)t2A3B]dt dt t3t2(t2)(t3) +-- ỉư =+= ç÷ ---- èø Từ đó: AB0A1 2A3B1B1 +== ìì Û íí --==- ỵỵ Suy ra: 2 cosxdx11 dt. t3t2sinx5sinx6 ỉư =- ç÷ ---+ èø Khi đó: 3/2 3/2 1/2 1/2 11t33(63) Idtlnln t3t2t2 5(43) -- ỉư =-== ç÷ --- èø - ò Ví dụ 5: Tính tích phân : 7 3 3 2 0 xdx I 1x = + ò Giải: Đặt 3 232 tx1tx1,=+Þ=+ khi đó: 2 2 3tdt 3tdt2xdxdx. 2x =Þ= Đổi cận: với x = 0 Þ t = 1; x7t2.=Þ= Ta có: 332 34 3 2 xdxx.3tdt 3t(t1)dt3(tt)dt. 2xt 1x ==-=- + Khi đó: 2 2 52 4 1 1 tt141 I3(tt)dt3. 5210 ỉư =-=-= ç÷ èø ò Bài toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 3 tính tích phân b a If(x)dx.= ò Giải: Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường: · Với a a If(x)dx0 - == ò có thể lựa chọn việc đặt x = –t · Với /2 0 If(x)dx p = ò có thể lựa chọn việc đặt tx. 2 p =- [...]... x.cos2 xdx c/ sin1; Trang 97 d/ p ; 3 sin x.cos3 x dx 1 + cos2 x Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN b ò udv = uv b a Công thức: a b - ò vdu a b Bài toán1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh I = ò f(x)dx a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta thực hiện theo các bước sau: b b a a Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ò f(x)dx = ò f1 (x).f2 (x)dx ì u =... 0 p/2 cos 4 x + sin 4 x p p dx = ò dx = Þ I = 4 4 2 4 cos x + sin x 0 Trang 96 Trần Só Tùng Tích phân BÀI TẬP Bài 6 Tính các tích phân sau: x dx 4 0 x + x2 + 1 1 a/ ò x 5 (1 - x 3 )6 dx; b/ ò 0 ĐS: a/ 1 ; 168 b/ 1 p 3 18 c/ p 3 c/ ò x 5 1 - x 2 dx; d/ ò 2 0 0 848 ; 105 d/ 1 1 - ln 2 2 2 Bài 7 Tính các tích phân sau: p 6 0 cos x.dx ; 6 - 5sin x + sin 2 x a/ ò c/ cos x.dx ò-1 e x + 1 ; 1 ĐS: a/ ln 10.. .Tích phân · Trần Só Tùng p Với I = ò f(x)dx có thể lựa chọn việc đặt t = p – x 0 · Với I = 2p ò f(x)dx có thể lựa chọn việc đặt t = 2p – x 0 · b Với I = ò f(x)dx có thể lựa chọn việc đặt x = a + b + t a Ghi chú: Xem vấn đề 6 1 Ví dụ 6: Tính tích phân : I = ò x 2004 sin xdx -1 Giải: 0 Viết lại I về dưới dạng: I = ò x 2004 -1 1 sin xdx + ò x 2004 sin xdx (1) 0 0 Xét tích phân J = ò x 2004... I = ò x a ln xdx, với a Ỵ R \ {-1} khi đó đặt u = lnx Ví dụ 1: Tính tích phân: I = p/2 ò (x 2 + 1)sin xdx 0 Giải: ì u = (x 2 + 1) ìdu = 2xdx Đặt: í Û í ỵv = - cos x ỵdv = sin xdx p/ 2 2 Khi đó: I = - (x + 1) cos x 0 + 2 Xét tích phân J = p/ 2 ò p/ 2 ò x cos xdx = 1 + 2 0 p/2 ò 0 x cos xdx 0 Trang 98 x cos xdx (1) Trần Só Tùng Tích phân ìu = x Đặt: í Û dv = cos xdx ỵ p/ 2 ìdu = dx í ỵv = sin x Khi đó:... cos x 0 = - 1 2 2 (2) ỉp ư Thay (2) vào (1) ta được: I = 1 + 2 ç - 1 ÷ = p - 1 è2 ø p Ví dụ 2: (Đề 37) Tính tích phân: I = ò e2 x sin 2 xdx 0 Giải: p Biến đổi I về dạng: I = ò e2x sin 2 xdx = 0 1 p 2x e (1 - cos2x)dx 2ò 0 (1) p · 1 e2 p 1 Xét tích phân: I1 = ò e dx = e2 x = 2 2 2 0 0 · Xét tích phân: I 2 = ò e2 x cos2xdx p 2x (2) p 0 ìdu = -2sin 2xdx ì u = cos2x ï Đặt: í Û í 1 2x 2x ỵdv = e dx ïv = 2... dụ 3: (ĐHHH Tp.HCM_2000) Tính tích phân: I = ò Trang 99 (5) Tích phân Trần Só Tùng Giải: 1 ì du = dx ì u = ln(1 + x) ï ï ï 1+ x Đặt: í Û í dx dv = 2 ï ïv = 1 x ỵ ï x ỵ 2 2 2 1 1 1 1 ư ỉ1 Khi đó: I = - ln(x + 1) + ò dx = - ln 3 + ln 2 + ò ç + ÷dx x x(x + 1) 2 è x 1+ x ø 1 1 1 2 1 3 = - ln 3 + ln 2 + (ln | x | - ln(x + 1)) = - ln 3 + 3ln 2 2 2 1 BÀI TẬP Bài 8 Tính các tích phân sau: a/ d/ ò p 2 0 ò 1 0... x cos2xdx p 2x (2) p 0 ìdu = -2sin 2xdx ì u = cos2x ï Đặt: í Û í 1 2x 2x ỵdv = e dx ïv = 2 e ỵ p p 1 e2 p 1 p 2x Khi đó: I 2 = e2x cos 2x + ò e2x sin 2xdx = - + e sin 2xdx 2 2 2 ò 0 0 0 · (3) p Xét tích phân: I 2, 1 = ò e2x sin 2xdx 0 ìdu = 2 cos 2xdx ì u = sin 2x ï Đặt: í Û í 1 2x 2x ỵdv = e dx ïv = 2 e ỵ p p 1 Khi đó: I 2, 1 = e2x sin - ò e2x cos 2xdx = -I 2 2 0 0 14 244 4 3 (4) I2 Thay (4) vào... 3t 2dt = 2xdx Þ dx = Đổi cận: x = –1 Þ t = 1; 0 Khi đó: I = - ò ( -t) 1 2004 3t 2dt 2x x=0Þt=0 1 sin(- t)dt = - ò x 2004 sin xdx 0 Thay (2) vào (1) ta được I = 0 (2) Ví dụ 7: (ĐHGT Tp.HCM_99) Tính tích phân : I = p/2 ò 0 cos 4 x dx cos 4 x + sin 4 x Giải: Đặt t = p - x Þ dx = -dt 2 Đổi cận: với x = 0 Þ t = p p ; x = Þ t = 0 2 2 p cos 4 ( - t)(-dt) p/ 2 p/2 sin 4 tdt sin 4 x 2 Khi đó: I = ò = ò = ò . lớp tích phân đặt biệt. Vấn đề 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân. 1, 3 và 4 để tính tích phân Ví dụ sau đây sẽ sử dụng tính chất 5 để tính tích phân của hàm chứa dấu trò tuyệt đối. Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 1 x 1 Je1dx.