Mô hình hiện tượng luận cho tán xạ đàn hồi các nucleon : Luận văn ThS. Vật lý: 60 44 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chu Quang Tùng MƠ HÌNH HIỆN TƢỢNG LUẬN CHO TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà nội – 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Chu Quang Tùng MÔ HÌNH HIỆN TƢỢNG LUẬN CHO TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN NHƢ XUÂN Hà nội - 2012 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: MƠ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB 1.1 Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác 1.2 Pha eikonal gần eikonal 1.3 Công thức West Yennie 10 CHƢƠNG : TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MƠ HÌNH EIKONAL 2.1 Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon mơ hình phi eikonal 12 2.2 Biên độ tán xạ nucleon mơ hình eikonal 16 2.3 Giá trị trung bình tham số va chạm 23 CHƢƠNG : CÁC DỮ LIỆU THỰC NGHIỆM VỀ THAM SỐ VA CHẠM TRONG MƠ HÌNH TÁN XẠ PROTON – PROTON 3.1 Mơ hình tán xạ đàn hồi pp đặc trưng 25 3.2 Dữ liệu tham số va chạm cho trình tán xạ pp 53GeV 27 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 PHỤ LỤC A HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON 39 PHỤ LỤC B CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 41 B.1 Phương pháp khai triển theo sóng riêng phần 41 B.2 Phương pháp hàm Green 49 B.3 Phương pháp chuẩn cổ điển 55 B.4 Mối liên hệ biên độ tán xạ sóng riêng phần biên độ tán xạ eikonal 57 B.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal 57 B.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần 58 B.5 Sơ đồ mối liên hệ phương pháp toán tán xạ 59 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình Trang Hình 2.1 14 Hình 2.2 14 Hình 3.1 29 Hình 3.2 30 Hình B.1 42 Hình B.2 50 Hình B.3 59 DANH MỤC BẢNG Bảng Trang Bảng 2.1 19 Bảng 3.1 31 Bảng 3.2 32 MỞ ĐẦU Tán xạ đàn hồi lượng cao nucleon thực nhờ tương tác mạnh hadron, trường hợp hadron tích điện cần phải xét tương tác Coulomb hạt va chạm [16] Sử dụng phép gần chuẩn cổ điển học lượng tử, Bethe thu cơng thức cho tán xạ với góc tán xạ nhỏ proton lên hạt nhân, có tính đến giao thoa biên độ tán xạ Coulomb biên độ tán xạ hạt nhân [45] Biên độ tán xạ đàn hồi ký hiệu F C  N biểu diễn cách hình thức dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau [45]: F C  N  s, t   ei  s ,t  F C  s, t   F N  s, t  (0.1) s bình phương lượng hệ khối tâm (cms), t bình phương xung lượng truyền chiều, F C  s, t  - biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb xác định điện động lực học lượng tử (QED), F N  s, t  biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên quan tới tương tác mạnh),   1/137,036 số cấu trúc,   s, t  pha tương đối - lệch pha dẫn tương tác Coulomb tầm xa Sử dụng mơ hình tán xạ thế, Bethe có kết cụ thể cho pha [16]   2ln 1,06 / qa  (0.2) q xung lượng truyền hạt tán xạ, a tham số đặc trưng cho kích thước hạt nhân Cơng thức Bethe (0.2) có ý nghĩa quan trọng lý thuyết thực nghiệm Về lý thuyết phần thực biên độ tán xạ kể cho phép ta kiểm tra hệ thức tán sắc [34], hay dáng điệu tiệm cận tiết diện tán xạ toàn phần [15], hay việc kiểm nghiệm mơ hình lý thuyết khác cho tương tác mạnh Việc đánh giá phần thực biên độ tán xạ hạt nhân phía trước vùng lượng thấp so với số liệu thực nghiệm thực cho vùng có | t | 102 GeV Cịn vùng | t | 102 GeV tương thích lý thuyết thực nghiệm chưa nghiên cứu đầy đủ Mơ hình eikonal cơng cụ mạnh thích hợp cho việc xem xét q trình tán xạ đàn hồi hadron lượng cao Với cách tiếp cận theo mơ hình cho phép đưa giá trị tham số va chạm (ví dụ phạm vi tác dụng lực Coulomb lực tương tác mạnh khoảng cách khác nhau), đặc trưng vật lý quan trọng q trình tương tác Việc giải thích đầy đủ trình tán xạ nucleon hạt nhân địi hỏi khơng tư logic mà cịn cần tư tượng luận dựa kết thực nghiệm Hiện tượng luận khoa học cách lập luận xuất phát từ thực nghiệm, kết thực tế chấp nhận, không theo cách tư logic toán học Hàm delta Dirac ví dụ, hàm suy rộng, xuất phát từ thực tiễn, khơng hẳn định nghĩa hàm số thông thường Hàm delta Dirac phải bẩy năm giới học thuật thừa nhận! Mục đích luận văn thạc sỹ khoa học nghiên cứu trình tán xạ đàn hồi nucleon tích điện mơ hình eikonal giá trị t theo mơ hình tượng luận thừa nhận Sự ảnh hưởng hai tương tác tương tác mạnh hadron tương tác Coulomb đến biên độ tán xạ pha tán xạ rút dựa số liệu thực nghiệm Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phụ lục kết luận Chƣơng 1: Mô hình eikonal Giao thoa Coulomb Xuất phát từ mơ hình eikonal cho tán xạ lượng cao, chúng tơi xây dựng biên độ tán xạ tổng quát cho hai loại tương tác – tương tác Coulomb tương tác nucleon, pha eikonal tính từ biên độ tán xạ gần Born Trong mục 1.1 chúng tơi trình bầy vắn tắt việc tính biên độ tán xạ cho hai loại tương tác gần Born Việc tính lệch pha cho biên độ tán xạ Coulomb mơ hình eikonal dẫn mục 1.2 Công thức cho lệch pha gần eikonal thu phù hợp với kết mà West Yennie thu lý thuyết trường lượng tử việc tính giản đồ Feynman cho tốn Lưu ý có kể thêm hệ số dạng điện từ nucleon bỏ qua spin nucleon Mục 1.3 dành cho việc mở rộng công thức lệch pha biên độ tán xạ Coulomb tán xạ hạt nhân từ tán xạ với xung lượng truyền nhỏ vùng xung lượng truyền lớn dựa số liệu thực nghiệm Chƣơng 2: Tán xạ nucleon lượng cao mơ hình eikonal Chương dành cho mô tả ảnh hưởng qua lại hai loại tương tác Coulomb tương tác đàn hồi hadron va chạm nucleon Trong mục 2.1 số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West Yennie từ vùng xung lượng truyền nhỏ (khi hai loại tương tác Coulomb tương tác mạnh tham gia giao thoa chúng) cho vùng xung lượng truyền lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào số liệu thực nghiêm Ở hạn chế không chuẩn xác mở rộng công thức West Yennie cách đơn giản Để khắc phục bất cập mục 2.2 mơ hình eikonal tượng luận dựa vào hệ thức biên độ tán xạ pha eikonal qua phép biến đổi Fourier – Bessel Mục 2.3 dành cho việc tính giá trị trung bình tham số va chạm mơ hình Chƣơng 3: Các liệu thực nghiệm tham số va chạm cho tán xạ proton – proton mơ hình eikonal tượng luận Các giả thuyết độ lệch quỹ đạo để đưa công thức đơn giản West Yennie phân tích dựa biên độ tán xạ eikonal đầy đủ Trong mục 3.1 đặc trưng cho tán xạ proton-proton giới thiệu vắn tắt Mục 3.2 mơ hình eikonal tượng luận áp dụng để phân tích liệu tán xạ đàn hồi pp lượng 53 GeV Trong phần kết luận ta hệ thống hóa kết thu thảo luận việc mở rộng nghiên cứu cho toán tương tự lý thuyết trường lượng tử Phần phụ lục A đưa cách tính hệ số dạng điện từ tán xạ nucleon Phần phụ lục B, ta trình bầy cách thu nhận biểu thức Eikonal cho biên độ tán xạ từ cách giải khác phương trình Schrodinger học lượng tử  c  metric Feynman Trong luận văn này, hệ đơn vị nguyên tử sử dụng Các véctơ phản biến tọa độ   x   x0  t , x1  x, x  y, x3  z   t , x  véctơ tọa độ hiệp biến x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  , g   g  1 0    1 0     0 1     0 1 Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến CHƢƠNG 1: MƠ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB Trong chương ta xuất phát từ mơ hình eikonal cho biên độ tán xạ lượng cao xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), pha eikonal tính từ biên độ tán xạ Born Trong mục 1.1, ta tính biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb tương tác hạt nhân sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal ta vận dụng gần eikonal cho tương tác Coulomb trình bầy mục 1.2 Trong mục 1.3, xây dựng công thức West Yennie (WY) dạng tổng quát cho hàm pha tán xạ  (s, t ) dựa kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi photon) 1.1 Biên độ tán xạ tổng qt cho hai tƣơng tác Mơ hình eikonal thuận tiện sử dụng xem xét tán xạ hạt với góc tán xạ nhỏ dựa phép gần đúng, coi quĩ đạo hạt tán xạ thẳng (còn gọi gần quĩ đạo thẳng) Trong quĩ đạo pha trình tán xạ   b  chứa toàn thơng tin q trình tán xạ F  q2   s d 2beiq.b e2i (b )  1  4 i (1.1) Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ vùng lượng cao tổng quát, với ý nghĩa, khơng dựa vào chế tương tác cụ thể Tất động lực học q trình mơ hình eikonal xác định, cho trước dạng cụ thể pha  (b) Pha phụ thuộc vào tham số va chạm b lượng khối tâm Ở lượng siêu cao pha  (b) xác định biểu thức:  b  d 2 s  qeiq.b FBorn  q  (1.2) Ở bỏ qua phụ thuộc vào s biên độ tán xạ Born Khi đó, biên độ tán xạ eikonal vùng lượng lớn là: Feik  q   s d 2beiq.b e2i (b )  1  4 i (1.3) Chúng ta giả thiết có pha eikonal,  C  N , tương ứng với trình tán xạ: tán xạ Coulomb tán xạ hạt nhân, biên độ tán xạ đầy đủ là: F N C  q   C N s d 2beiq.b e2i ( ( b)  ( b))  1    4 i (1.4) Nếu bỏ qua lực hạt nhân biên độ tán xạ Coulomb có dạng: F C  q2   s iq b  2i C ( b ) d be e  1   4 i  (1.5) Còn bỏ qua lực tương tác Coulomb có biên độ tán xạ hadron hạt nhân: F N  q2   s iq.b  2i N ( b ) d be e  1   4 i  (1.6) Kết hợp biểu thức trên, viết lại biểu thức biên độ tán xạ (1.4) dạng F N C  q   F C  q   F N  q    F C  q2   F N  q2    F C (q )  F N (q )  C N s d 2beiq.b e2i (b )  1 e2i (b )  1     4 i C N i q  q' b s iq' b  2i  b   e   e 2i b   1 d be e       4 i i s d q ' F C (q ' ) F N (1.7) q  q   ' Biểu thức (1.7) biểu thức tổng quát hóa biên độ tán xạ eikonal tán xạ nuclon hạt nhân có giao thoa loại, tương tác Coulomb tương tác hạt nhân 10   l 0 l 0  (r  )   Cl Pl (cos ) Rl (r )   Cl Pl (cos ) sin(kr   l  l ) kr (B.1.26) Các hệ số Cl phải chọn để hàm sóng có dạng: f ( ) ikz e r   eikz  (B.1.27) Đến đây, ta nhận thấy để cân (B.1.26) (B.1.27) hàm sóng phương trình (B.1.26) phải biểu diễn tổng eikz f ( ) ikz e r Với số hạng thứ nhất, ta khai triển hàm sóng phẳng e ikz theo sóng cầu f ( ) ikz e khoảng cách lớn cách sử dụng đa thức Legendre: r  eikz  eikr cos   fl (r ) Pl (cos ) , (B.1.28) l 0 Trong fl (r ) hệ số khai triển,đó hàm mà ta cần tìm dạng Để đơn giản, ta đặt x = cos(), thay vào (B.1.28) ta có:  eikrx   fl (r ) Pl ( x) (B.1.29) l 0 Nhân phương trình với Pl ' ( x) lấy tích phân theo x khoảng từ -1 đến (n +1) (tương ứng với  biến thiên từ  đến 0) 1 e ikrx 1  1 l 0 1 Pl ' ( x)dx   fl (r )  Pl ( x) Pl ' ( x)dx Sử dụng tính chất đa thức Legendre: (B.1.30)  l ,l ' 1  P ( x) P ( x)dx  l  l 1 Vế trái (B.1.14) viết:  1  1 l 0 1 l 0 1  fl (r )  Pl ( x) Pl ' ( x)dx   fl (r )  Lấy tổng theo l ,khi l  l ' ta được: 49 l'  l ,l ' l 2  1 l 0 1  fl (r )  Pl ( x) Pl ' ( x)dx  fl ' (r )  l ,l ' l '  f l ' (r ) 2 2l ' Thay vào (B.1.30), đổi l  l ' ta thu công thức sau: 1 f l (r )  2l  ikrx e Pl ( x)dx 1 (B.1.31) Lấy tích phân phần biểu thức trên, áp dụng tính chất hàm Legendre Pl (1)  Pl (1)  (1)l , ta được: f l (r )  2l   eikrx Pl ( x)   ikr e 2l       2l + = ikr x 1 x 1  eikrx P 'l ( x)dx  ikr 1  1   Pl (1)  Pl (1)  1 eikrx P ' ( x)dx   ikr ikr 1 l ì ikr ïïï e - (- 1) í ïï ikr ỵï ( l    ü ïï e ikrx ïý P ' ( x ) dx ò ikr l ïï - ù ỵ ) +1 2l  eikr  (1)l e ikr ikrx   e P ' ( x ) dx   l  ikr ikr 1  (B.1.32) Ta nhận thấy, tiếp tục tiến hành tính giá trị biểu thức (B.1.32) cách tích phân phần số hạng thứ 2, thứ 3, thứ 4,…,thứ l, ta thu số hạng tương tự với số hạng thứ (B.1.32), mẫu (ikr)2 , (ikr)3 , (ikr)4 , , (ikr)l1 Do xét r lớn, ta giới hạn biểu thức fl (r ) số hạng bậc 1: fl (r )  2l   eikr  (1)l eikr     ikr  il (B.1.33) il Thay  1   cos  i sin     ei   e e , l l l Thay vào biểu thức (B.1.33) ta thu kết sau: 2l   e  (1) e fl (r )    ikr ikr l  ikr  ikr il2 il2 ikr  2l   e  e e e   ikr   50      il il il   il 2l   e eikr e  e e e ikr   ikr  2l  il2  e il  ikr  il2 e e  e e ikr   ikr               ikr  il2   ikr  il2     2l  e   e   e   ikr     il (B.1.34) il Số hạng e biểu diễn sau: l  il2   l l  l  e    cos  i sin   i 2     l il    ikr    e e ikr il    ikr       cos(ikr  il il il il )  sin(ikr  )  cos(ikr  )  sin(ikr  ) 2 2 ikr sin(kr  l / 2) kr Thay vào (B.1.34), ta được: il  ikr  il2 sin(kr  l / 2) 2l  e e  e e ikr fl (r )  i l (2l  1)  e   kr ikr   il Hay fl (r )  i l (2l  1) sin(kr  l / 2) kr      (B.1.35) Thay biểu thức (B.1.35) vào biểu thức (B.1.28) ta có:  eikz   i l (2l  1) Pl (cos ) l 0 sin(kr  l / 2) kr (B.1.36) Tiếp theo, số hạng thứ biểu thức (B.1.27), ta khai triển hệ số f ( ) theo đa thức Legendre dạng: 51  f ( )   gl Pl (cos ) (B.1.37) l 0 Thay biểu thức (B.1.36) (B.1.37) vào biểu thức (B.1.27) ta được: f ( ) ikz  l sin(kr  l / 2)  eikr (B.1.38)   gl Pl (cos  )  e  e   i (2l  1) Pl (cos ) kr r r l 0 l 0 ikz Mặt khác, phân tích trên, hàm biểu diễn dạng (B.1.11) Do ta cần cân hai biểu thức (B.1.26) (B.1.38) với nhau, cần ý ta biểu diễn sin(kr  l / 2) e  kr il    ikr     e ikr il    ikr     thay i l ei l /2 Kết ta được:   2ikr C e i ( kr  l l /2) l l 0  ei ( kr l l /2)  Pl (cos )  1 i ( kr l /2) i ( kr l /2)  e   gl eikr  Pl (cos  )   eil /2 (2l  1) e 2ik  l 0 r  (B.1.39) Giản ước, cân hệ số eikr eikr , ta có: 2l  Cl ei (l l /2)   gl , 2ikr 2ki  (B.1.40) 2l  il Cl ei (l l /2)   e 2ikr 2ki (B.1.41) Từ hệ thức (B.1.41) dễ dàng tìm được: Cl  (2l  1)ei (l l /2) r (B.1.42) Thay (B.1.42) vào biểu thức (B.1.40) ta tìm gl sau: gl  2l  1 2l  1 2l  2il  Cl ei (l l /2)   (2l  1)ei (l l /2) rei (l l /2)  (e  1) 2ki 2ikr 2ki 2ikr 2ik (B.1.43) Cuối cùng, thay (B.1.43) vào biểu thức (B.1.37) ta nhận biên độ tán xạ theo sóng riêng phần  f ( )   gl Pl (cos )  l 0  (2l  1)(e2il  1) Pl (cos  )  2ik l 0 52 (B.1.44) B.2 Phƣơng pháp hàm Green Như đề cập mục 1.1, trình tán xạ học lượng tử mơ tả phương trình Schrodinger: 2  k  (r )  U (r ) (r ) , sử dụng ký hiệu k  2mE (B.2.1) U (r )  2mU (r ) Phương trình vi phân (B.2.1) viết lại dạng phương trình tích phân:  (r )   (r )   d 3r ' G0 (r , r ')U (r ') (r ') , (B.2.2) hàm  (r ) thoả mãn phương trình cho hàm tự do: 2  k   (r )  , (B.2.3) hàm Green G0 (r , r ') nghiệm phương trình: 2  k  G0 (r , r ')   (3) (r  r ') (B.2.4) Các điều kiện biên hàm  (r ) G0 (r , r ') xác định từ điều kiện biên hàm  (r ) Phương trình tích phân (B.2.2) gọi phương trình Lippman-Schwinger Các nghiệm phương trình (B.2.3) (B.2.4) là:  (r )  A0eik r  B0eik r , ik r r '  ik r r '   e e  , G0 (r , r ')   A B 4  r  r ' r r'    (B.2.5) (B.2.6) (B.2.6) ý A+B =1 Sử dụng phương trình (B.2.5) (B.2.6), nghiệm phương trình Lippman-Schwinger (B.47) viết lại dạng:  (r )  A0eik r  B0eik r   ik r r '   eik r r ' e A  U (r ) (r ') d r '  B 4   r r' r r'    (B.2.7) Theo điều kiện biên hàm sóng  (r ) phải bao gồm hai thành phần: thành phần sóng tới sóng phẳng truyền theo chiều dương trục z 53 thành phần cịn lại sóng cầu tán xạ Vì B = B = (B.2.7) viết lại ik r r '  (r )  A0e dạng: i k r e  d 3r ' U (r ) (r ')  4 r r' (B.2.8) Như phân tích trên, biên độ tán xạ thu miền tiệm cận hàm sóng Trong phần lớn toán mà xem xét, U(r) xác định thể tích hữu hạn khơng gian máy đo (detectors) hiệu ứng tán xạ đặt xa vùng có chứa U(r) Từ đó, kết luận r ' r r'  r  r suy gần sau:  r '   r.r '  O    r  r   (B.2.9) Từ (B.2.9), viết lại biểu thức (B.2.8) dạng:  r  (r )  A0e r r ' ik ( r  ) r  d r ' e U (r ') (r ') 4  r (B.2.10) eikr , r (B.2.11)  r   r   eik r  f ( , ) Đặt Ao = 1, suy ra: f ( , )   với ik r d 3r ' eik rU (r ') (r ') ,  4 (B.2.12) r r hiểu biên độ tán xạ hạt trường V(r), k  k Bức tranh minh hoạ cho biến đổi phức tạp rõ hình 1: Hình B.2: Minh hoạ rõ ràng y x b' biến đổi phức tạp sử dụng tính tốn Chú ý r , k ' k r k'k r '  cực toạ độ cầu r ' cực toạ k, z độ trụ r   r sin  cos  , r sin  sin  , r cos  k '   k sin  cos  , k sin  sin  , k cos   k   0,0, k  r '   b 'cos  ', b 'sin  ', z '  54 Thông thường, thực tế coi f ( , ) hàm k , k ' viết f ( , )  f (k , k ') Để ý rằng, thông tin liên quan tới f ( , ) chứa đựng miền tiệm cận  (r ) đóng góp tới f ( , ) phương trình (B.2.12) lại đến từ miền mà khác khơng Với điều kiện cần thiết U E U/E ka Trong miền giới (U / E ) hạn đó, biên độ tán xạ viết dạng : f ( , )  k d 2b ' eik '.b ' ei (b ')  1   2  (B.2.13) đây:  (b ')    2m  dz 'U (b ', z ') 2k  (B.2.14) Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại công thức cho biên độ tán xạ: f ( , )   d 3r ' eik rV (r ') (r ')  4 Và từ phương trình Schrodinger (B.1.3): 2  k  (r )  U (r ) (r ) Ta đặt:  (r )  eik r (r ) chọn k dọc theo hướng z Khi phương trình viết lại dạng:     2ik z  U (b, z )   (b, z )    (b, z ) (B.2.15) sử dụng ký hiệu r  (b, z) Chúng ta viết nghiệm phương trình (B.2.15) dạng:   (b, z )   (b, z )   d 2b '  dz ' Ge (b, z, b ', z ')'2 (b ', z ')   (b, z ) thoả mãn phương trình: 55 (B.2.16)     2ik z  U (b, z )  (b, z )  (B.2.17) Và hàm Ge (b, z, b ', z ') thoả mãn:    ik  U (b, z )  Ge (b, z, b ', z ')   (2) (b  b ') ( z  z ')  z  (B.2.18) Nghiệm phương trình (B.2.17) (B.2.18) là:  (b, z )  e ik z  duU ( b,u )  (B.2.19) Với điều kiện biên  (b)   (b, z  )  Và z Ge (b, z , b ', z ')  (2)  (b  b ') ( z  z ')e 2ik du U ( b ,u ) ik  z'  z du U ( b ,u )   du U ( b,u ) ik  (2)    (b  b ') ( z  z ')e z ' 2ik ik  ik (B.2.20) z  du U (b ,u )  du U (b ,u ) (2)  (b  b ') ( z  z ')e z ' e  2ik (2)   (b  b ') ( z  z ') (b, z ) 1 (b, z ) 2ik  Thay (B.2.19) (B.2.20) vào (B.2.16), ta thu được:   (b, z )   (b, z ) 1   z   2  1 dz '  ( b , z )  b   (b, z ')  (B.2.21)  2ik  z '    Phương trình viết lại dạng sau:  z      (b, z )   (b, z ) 1   dz ' K  b, z ', b ,    z '  z z'          dz ' K  b, z ', b ,   dz '' K  b, z '', b ,    z '   z ''      biểu thức K  b, z, b ,  (B.2.22)    tác động lên hàm g(z) cho bởi: z     1 2   K  b, z, b ,  g ( z )    (b, z )  b2   (b, z ) g ( z ) z  2ik z    56 (B.2.23) Thay chuỗi  (b, z ) (B.2.23) vào dạng hàm  (r )  ei k r (r ) cuối ta viết lại biểu thức biên độ tán xạ dạng: f ( , )  f (0) ( , )  f (1) ( , )  f (2) ( , )  (B.2.24) đây:  f (0) ( , )   d 2b '  dz ' ei (k k ').r 'U (b ', z ) (b ', z ') 4    (B.2.25) z' f ( , )   d 2b '  dz ' ei ( k k ').r 'U (b ', z ') (b ', z ')  dz '' K (b ', z ") 4    (1)  f (2) z' (B.2.26) z" ( , )   d 2b '  dz ' ei ( k k ').r 'U (b ', z ') (b ', z ')   dz '' K (b ', z ")  dz ''' K (b ', z ''') 4     (B.2.27) thay K  b, z, b ,      K (b, z ) cho biểu thức gọn Biểu thức mũ z  hàm e tính sau với ý vectơ sử dụng minh hoạ hình k '   k sin  cos  , k sin  sin  , k cos   k   0,0, k  r '   b 'cos  ', b 'sin  ', z '  k r '  kz ' k '.r '  kb 'sin( )cos( )cos( ')  kb 'sin( )sin( )sin( ') kz ' co s( ) i(k  k ').r '  ikz ' ikb 'sin( )cos( )cos( ')  kb 'sin( )sin( )sin( ')  kz ' co s( ) i (k  k ').r '  ikz '[1  co s( )]  ikb 'sin( )[cos()cos( ')  sin( )sin(  ')] i (k  k ').r '  ikz '.2sin   ikb 'sin( )cos(   ') (B.2.28) Ta quan tâm tới hàm f (0) ( , ) khai triển Từ (B.2.19), (B.2.25) (B.2.26) ta viết: 57 f (0) ( , )    d 2b '  dz ' ei ( k k ').r 'U (b ', z ') (b ', z ')  4    d 2b '  dz 'e  4   ikb 'sin( )cos(  ')ikz '.2sin  U (b ', z ')e ik (B.2.29) z'  du U (b ',u )  ta xét trường hợp mômen xung lượng vào lớn góc tán xạ nhỏ Khi ta áp dụng gần sau: ikb 'sin( )cos(   ')  ikz '.2sin     ikb '  cos(   ')  ikz '.2   2 Xét gần bậc theo q ta nhận biểu thức: ikb 'sin( )cos(   ')  ikz '.2sin   ikb ' cos(   ') (B.2.30) Bây ta viết lại (B.2.29) sau: f (0) ( , )   2  d 2b '  d 'eikb ' cos(  ')  dz '.U (b ', z ')e  4  ik z'  du.U (b ',u )  (B.2.31) Chúng ta cần ý phép xấp xỉ (B.2.30) cho phép đưa tích phân theo z (B.2.31) cách thay tích phân  (b ', u ) Sau tính tích phân, ta được:  duU  f (0) ( , )  2 k  b ' db ' d '.eikb ' cos(  ') ei (b ')  1     0 2 i  (b ')   k  dz 'U (b ', z ') E 0 (B.2.32) (B.2.33) Như đề cập trên, hàm đối xứng qua trục z, khơng phụ thuộc vào góc  ta bỏ  ' tích phân Do vậy, biên độ tán xạ bậc không sử dụng phương pháp hàm Green viết lại dạng: f (0) ( )  k  b ' db ' J (kb ' ) ei (b ')  1  i sử dụng đồng thức: 58 (B.2.34) J (t )  2  2 d eit cos (B.2.35) B.3 Phƣơng pháp chuẩn cổ điển Cũng xuất phát từ phương trình Schrodinger (B.1), nghiệm phương trình có dạng :   eiS(x)/ (B.3.1) Thế vào phương trình Schrodinger ta :  2  iS/ iS/   2m x  U ( x)  e  Ee   1 S '' S '  E U 2m i 2m Trong giới hạn cổ điển  thay E  k2 ta có: 2m 2 S '( x) k   U ( x) 2m 2m (B.3.2) Tích phân biểu thức S z   U k2  2m U ( b  z '2 )dz ' const (B.3.3) L Từ suy hàm sóng có dạng: z  ikz  e e (2 )3/2 im U ( b  z '2 ) dz ' k L  (B.3.4) Và biên độ tán xạ viết: 2m  ik ' x ' d x 'e v( b  z )eikx '  4  im z '   exp    U ( b  z '2 )dz ' k L   f (k ', k )   (B.3.5) Đưa vào hệ tọa độ trụ ta có: d x '  bdbdbdz ' Hơn (k  k ') x '  (k  k ')(b  z ' zˆ)  (k  k ') z ' zˆ  kb  k ' b k ' b Khi k  b (k  k ').zˆ O( ) bỏ qua góc lệch q nhỏ 59 (B.3.6) Xét tán xạ mặt phẳng xz, ta có: k '.b  (k sin  xˆ  kcos zˆ).(b cos b xˆ  b sin b yˆ)  k sin  xˆ.b cos b xˆ  k sin  xˆ.b sin b yˆ  kcos zˆ.b cos b xˆ  kcos zˆ.b sin b yˆ  k sin  xˆ.b cos b xˆ (B.3.7) kb cos b (vì xˆ.xˆ  1; xˆ yˆ  0; zˆ.xˆ  0; zˆ yˆ  q nhỏ nên sin q » q ) Vậy biểu thức f(k’.k) sau đơn giản hóa là: 2  f (k ', k )   2m bdb  dbe  ikb cosb 4 0 (B.3.8)  im z    dzV exp    U ( b  z '2 )dz ' k L     Sử dụng tính chất hàm Bessel ta có: 2  d e  ikb cosb b  2 J (kb ) (B.3.9) Đối với thành phần sau f(k’,k) ta đặt L   V(x) định xứ nên khơng có đóng góp bên ngồi –L z   im z  i 2k  im z  dzU exp  Udz '  exp       Udz '  k L m k L     z   (B.3.10) Thay (B.2.31) (B.2.32) vào (B.2.30) ta được:   im z  2m i 2k f (k ', k )   bdb  J ( kb  ) exp    Udz '  4 m k L   z  z     im    ik  bdb.J (kb )exp    Udz   ik  bdb.J (kb ) exp 2i (b )  1 (B.3.11) k  0   Với (b)    m U ( b2  z )dz  2k  Biên độ tán xạ tính theo chuẩn cổ điển là: f (0) ( )  k  bdbJ (kb ) ei ( b)  1 i 0 60 B.4 Mối liên hệ biên độ tán xạ theo sóng riêng phần biên độ tán xạ eikonal Trong mục này, biểu thức tán xạ phép gần eikonal có quan hệ với biên độ tán xạ sóng riêng phần giới hạn tán xạ lượng cao ngược lại B.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal Như tính tốn trên, biên độ tán xạ thu phương pháp sóng riêng phần có dạng: f ( )     2l  1 Pl  cos  e2il 1 2ik l 0 (B.4.1) Với toán tán xạ lượng cao, coi  ka  lmax lớn thay cho việc lấy tổng theo l tích phân theo l f ( k , )  Tiếp theo, đặt b   dl (2l  1) Pl (cos  ) e2il ( k )  1  2ik (B.4.2) (2l  1) suy dl  kdb , b gọi thông số va 2k chạm Với k – lớn, q - nhỏ kb có giới hạn, đa thức Legendre trở thành hàm Bessel bậc khơng:   k high Pl (cos )  J  (2l  1)sin    small 2  Hơn viết: 2l (k )  2 kb (k )   (k , b) , (B.4.3) (B.4.4) hàm eikonal miền giới hạn tương tác Và đó, biểu thức biên độ tán xạ thu dạng:    f (k , )  ik  bdb.J  (2l  1)sin  ei ( k ,b )  1 2    Khi góc q nhỏ sin    ,ta có: 2 61 (B.4.5)    2k    2l    (2l  1)sin    (2l  1)sin    2k sin   2k   2k 2 2 Thay biểu thức vào công thức (B.4.5), nhận được: f ( s, t )  k  bdbJ (kb ) ei (b )  1 i 0 (B.4.6) Một lần nữa, biên độ tán xạ eikonal bậc không lại thu B.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần Biên độ sóng eikonal viết sau: f ( )  Đặt b  Ta có (2l  1) 2k k  bdbJ (kb ) ei (b )  1 i 0 (B.4.7) (2l  1) 2b (B.4.8) k suy db  dl k  kb  Khi góc q nhỏ (2l  1) (2l  1) b   2b     sin   , lúc ta có: 2 kb  (2l  1)      2l  1   2l  1 sin 2 (B.4.9) Với k – lớn, q - nhỏ kb có giới hạn, đa thức Legendre trở thành hàm Bessel bậc không:   k high  J  (2l  1)sin   Pl (cos )   small  (B.4.10) Hơn viết:  (k , b)  2 kb (k )  2 l (k ) Thay (B.4.8), (B.4.10) (B.4.11) vào (B.4.7) ta được: f ( )  k  k  (2l  1) bdbJ (kb ) ei (b )  1   dlPl (cos ) e2l ( k )  1  i i 2k k 62 (B.4.11)   dl (2l  1)Pl (cos ) e2il ( k )  1  2ik (B.4.12) Với toán tán xạ lượng cao, coi  ka  lmax lớn thay cho việc lấy tích phân theo l tổng theo l (B.4.12) trở thành: f ( )   dl (2l  1) Pl (cos  ) e2il ( k ) 1  2ik (B.4.13) Ta lại thu biên độ sóng riêng phần B.5 Sơ đồ mối liên hệ phƣơng pháp tốn tán xạ Phƣơng trình Schrodinger  2    2m   U (r )  (r )  E (r )   Phương pháp Sóng riêng phần Phương pháp Hàm Green Hàm sóng Hai sóng dạng: phẳng tới: in (r )  eikz cầu phân kỳ  out (r )  f ( , ) eikr r   (2l  1)(e2il  1) Pl (cos ) 2ik l 0 Hàm sóng Hàm sóng Hai sóng dạng: phẳng tới in (r )  A0ei k r cầu phân kỳ Một sóng dạng:   eiS(x)/ ik r  r '  out (r )   e d 3r ' U (r ) (r ')  4 r r' Biên độ tán xạ Biên độ tán xạ f ( )  Phương pháp Chuẩn cổ điển f (0) ( )  k i   bdbJ (kb ) ei (b)  1 Hình B.3 63 Biên độ tán xạ f (0) ( )  k i   b ' db ' J (kb ' ) ei (b ')  1